إحداثيات ريندل

إحداثيات ريندل أو إطار ريندل هي نظام إحداثيات أو إطار مرجعي يُستخدم لوصف التسارع الزائدي لإطار مرجعي متسارع بانتظام في فضاء-زمن مسطح . في الفيزياء النسبية ، تُشكل إحداثيات إطار مرجعي متسارع زائديًا ^{[ H1 ] [ 1 ]} مخطط إحداثيات مفيدًا يُمثل فضاء-زمن مينكوفسكي المسطح . ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} في النسبية الخاصة ، ينتج عن التسارع المنتظم حركة زائدية ، والتي يُمكن اختيار إطار مرجعي متسارع بانتظام يكون فيه هذا الإطار ساكنًا كإطار مرجعي مناسب لها . يُمكن مقارنة الظواهر في هذا الإطار بالتأثيرات الناشئة في مجال جاذبية متجانس .

تاريخيًا، تم تقديم هذه الإحداثيات بعد فترة وجيزة من ظهور النسبية الخاصة، عندما تمت دراستها (كليًا أو جزئيًا) جنبًا إلى جنب مع مفهوم الحركة الزائدية: فيما يتعلق بزمكان مينكوفسكي المسطح بواسطة ألبرت أينشتاين (1907، 1912)، ^{[ H2 ]} ماكس بورن (1909)، ^{[ H1 ]} أرنولد سومرفيلد (1910)، ^{[ H3 ]} ماكس فون لاو (1911)، ^{[ H4 ]} هندريك لورنتز (1913)، ^{[ H5 ]} فريدريش كوتلر (1914)، ^{[ H6 ]} فولفغانغ باولي (1921)، ^{[ H7 ]} كارل بوليرت (1922)، ^{[ H8 ]} ستيبان موهوروفيتشيتش (1922)، ^{[ H9 ]} جورج لومتر (1924)، ^{[ H10 ]} أينشتاين وناثان روزن (1935)، ^{[ [H 2 ]} كريستيان مولر (1943، 1952)، ^{[ H 11 ]} فريتز رورليش (1963)، ^{[ 6 ]} هاري لاس (1963)، ^{[ 7 ]} وفيما يتعلق بكل من الزمكان المسطح والمنحني في النسبية العامة بواسطة فولفغانغ ريندلير (1960، 1966). ^{[ 8 ] [ 9 ]} لمزيد من التفاصيل والمصادر، انظر §  التاريخ .

في هذه المقالة، تُعرَّف سرعة الضوء بالمعادلة c = 1 ، والإحداثيات العطالية هي ( X , Y , Z , T ) ، والإحداثيات الزائدية هي ( x , y , z , t ) . يمكن تقسيم هذه الإحداثيات الزائدية إلى نوعين رئيسيين اعتمادًا على موقع الراصد المُتسارع: إذا كان الراصد موجودًا عند الزمن T = 0 في الموضع X = 1/α (حيث α هو التسارع الذاتي الثابت الذي يقيسه مقياس تسارع متحرك )، فإن الإحداثيات الزائدية تُسمى غالبًا إحداثيات ريندل، مع مقياس ريندل المقابل . ^{[ 10 ]} أما إذا كان الراصد موجودًا عند الزمن T = 0 في الموضع X = 0 ، فإن الإحداثيات الزائدية تُسمى أحيانًا إحداثيات مولر ^{[ 1 ]} أو إحداثيات كوتلر-مولر، مع مقياس كوتلر-مولر المقابل . ^{[ 11 ]} يُستَخدَم مخطط بديل، غالبًا ما يرتبط بالمراقبين في الحركة الزائدية، باستخدام إحداثيات الرادار ^{[ 12 ]} ، والتي تُسمى أحيانًا إحداثيات لاس . ^{[ 13 ] [ 14 ]} يُشار إلى كل من إحداثيات كوتلر-مولر وإحداثيات لاس باسم إحداثيات ريندل أيضًا. ^{[ 15 ]}

خط العالم لجسم يتحرك حركة زائدية بتسارع ذاتي ثابت${\displaystyle \alpha }$في${\displaystyle X}$-الاتجاه كدالة للزمن الخاص${\displaystyle \tau }$والسرعة​${\displaystyle \alpha \tau }$يمكن الحصول عليها من خلال ^{[ 16 ]}

${\displaystyle T=x\sinh(\alpha \tau ),\quad X=x\cosh(\alpha \tau )}$

أين${\displaystyle x=1/\alpha }$ثابت و${\displaystyle \alpha \tau }$متغير، حيث يشبه خط العالم القطع الزائد${\displaystyle X^{2}-T^{2}=x^{2}}$أظهر سومرفيلد ^{[ H3 ] [ 17 ]} أنه يمكن إعادة تفسير المعادلات من خلال تعريف${\displaystyle x}$كمتغير و${\displaystyle \alpha \tau }$كثابت، بحيث يمثل "شكل السكون" المتزامن لجسم في حركة زائدية يقيسه مراقب متحرك معه. وذلك باستخدام الزمن الخاص بالمراقب كزمن الإطار المتسارع الزائدي بأكمله عن طريق ضبط${\displaystyle \tau =t}$وبالتالي فإن صيغ التحويل بين الإحداثيات العطالية والإحداثيات الزائدية هي: ^{[ 10 ] [ 13 ]}

${\displaystyle T=x\sinh(\alpha t),\quad X=x\cosh(\alpha t),\quad Y=y,\quad Z=z}$

1أ

مع العكس

${\displaystyle t={\frac {1}{\alpha }}\operatorname {artanh} \left({\frac {T}{X}}\right),\quad x={\sqrt {X^{2}-T^{2}}},\quad y=Y,\quad z=Z}$

تم تفاضلها وإدراجها في مقياس مينكوفسكي

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\mathrm {d} T^{2}+\mathrm {d} X^{2}+\mathrm {d} Y^{2}+\mathrm {d} Z^{2},}$

يتبع المقياس في الإطار المتسارع بشكل زائد ما يلي :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-(\alpha x)^{2}\mathrm {d} t^{2}+\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}.}$

1ب

تُعرّف هذه التحويلات مُراقب ريندل بأنه مُراقب "ساكن" في إحداثيات ريندل، أي أنه يحافظ على ثبات قيم x و y و z ، ولا يتغير فيه سوى t مع مرور الوقت. وتكون هذه الإحداثيات صالحة في المنطقة${\displaystyle 0<X<\infty ,\;-X<T<X}$، والتي تُسمى غالبًا إسفين ريندل ، إذا${\displaystyle \alpha }$يمثل التسارع المناسب (على طول القطع الزائد)${\displaystyle x=1/\alpha }$) لمراقب ريندل الذي يُعرَّف زمنه الخاص بأنه يساوي زمن إحداثيات ريندل. وللحفاظ على خط العالم هذا، يجب أن يتسارع المراقب بتسارع ذاتي ثابت، مع اقتراب مراقبي ريندل من${\displaystyle x=0}$( أفق ريندل ) ذو تسارع ذاتي أكبر. جميع مراقبي ريندل يكونون في حالة سكون لحظيًا عند الزمن${\displaystyle T=0}$في الإطار المرجعي العطالي، وفي هذا الوقت يوجد مراقب ريندل ذو تسارع مناسب${\displaystyle \alpha _{i}}$سيكون في هذا المنصب${\displaystyle X=1/\alpha _{i}}$(حقًا${\displaystyle X=c^{2}/\alpha _{i}}$لكننا نفترض وحدات حيث${\displaystyle c=1}$)، وهو أيضًا المسافة الثابتة للمراقب من أفق ريندل في إحداثيات ريندل. إذا قام جميع مراقبي ريندل بضبط ساعاتهم على الصفر عند${\displaystyle T=0}$ثم عند تعريف نظام إحداثيات ريندل، يكون لدينا خيار تحديد أي من مراقبي ريندل سيكون زمنه الخاص مساوياً لزمن الإحداثيات.${\displaystyle t}$في إحداثيات ريندل، ويحدد التسارع الذاتي لهذا الراصد قيمة${\displaystyle \alpha }$أعلاه (بالنسبة لمراقبي ريندل الآخرين على مسافات مختلفة من أفق ريندل، فإن زمن الإحداثيات يساوي مضاعفًا ثابتًا لزمنهم الذاتي). ^{[ 18 ]} من المتعارف عليه تعريف نظام إحداثيات ريندل بحيث يكون مراقب ريندل الذي يتطابق زمنه الذاتي مع زمن الإحداثيات هو الذي يمتلك التسارع الذاتي.${\displaystyle \alpha =1}$، لهذا السبب${\displaystyle \alpha }$يمكن حذفها من المعادلات.

تم تبسيط المعادلة أعلاه لـ${\displaystyle c=1}$تُعد المعادلة غير المبسطة أكثر ملاءمة لإيجاد مسافة أفق ريندل، بمعلومية التسارع.${\displaystyle \alpha }$.

$\begin{aligned}\t=\frac{c}{\alpha}\operatorname{artanh}\left(\frac{cT}{X}\right)\;\overset{X\,\gg\,cT}{\approx}\;\frac{c^{2}T}{\alphaX}\\&\Rightarrow X\approx{\frac{c^{2}T}{\alphat}\;\overset{T\,\approx\,t}{\approx}\;\frac{c^{2}}{\alpha}}\end{aligned}}}$

ستتبع بقية المقالة اصطلاح تحديد كليهما${\displaystyle \alpha =1}$و${\displaystyle c=1}$، لذا وحدات لـ${\displaystyle X}$و${\displaystyle x}$ستكون وحدة واحدة${\displaystyle =c^{2}/\alpha =1}$انتبه إلى هذا الإعداد${\displaystyle \alpha =1}$يختلف إعداد ثانية الضوء/الثانية ^{2 اختلافًا كبيرًا عن الإعداد}${\displaystyle \alpha =1}$سنة ضوئية/سنة ^2. حتى لو اخترنا وحدات حيث${\displaystyle c=1}$، مقدار التسارع الذاتي${\displaystyle \alpha }$سيعتمد ذلك على اختيارنا للوحدات: على سبيل المثال، إذا استخدمنا وحدات السنة الضوئية للمسافة، (${\displaystyle X}$أو${\displaystyle x}$) وسنوات من الوقت، (${\displaystyle T}$أو${\displaystyle t}$وهذا يعني${\displaystyle \alpha =1}$السنة الضوئية/السنة² ^، أي ما يعادل حوالي 9.5 متر/ثانية² ^، بينما إذا استخدمنا وحدات ثانية ضوئية للمسافة، (${\displaystyle X}$أو${\displaystyle x}$)، وثوانٍ للوقت، (${\displaystyle T}$أو${\displaystyle t}$وهذا يعني${\displaystyle \alpha =1}$ثانية ضوئية/ثانية ² ، أو 299792458 متر/ثانية ² ).

يُقدَّم اشتقاقٌ أكثر عموميةً لصيغ التحويل، عند صياغة رباعي فيرمي-ووكر المقابل، والذي يُمكن من خلاله اشتقاق إحداثيات فيرمي أو الإحداثيات الخاصة . ^{[ 19 ]} وبناءً على اختيار نقطة الأصل لهذه الإحداثيات، يُمكن اشتقاق المقياس، أي تمدد الزمن بين الزمن عند نقطة الأصل.${\displaystyle dt_{0}}$و${\displaystyle dt}$عند النقطة${\displaystyle x}$وسرعة الضوء الإحداثية${\displaystyle |dx|/|dt|}$(لا يتعارض هذا التغير في سرعة الضوء مع النسبية الخاصة، لأنه مجرد نتاج للإحداثيات المتسارعة المستخدمة، بينما يظل ثابتًا في الإحداثيات العطالية). بدلًا من إحداثيات فيرمي، يمكن أيضًا استخدام إحداثيات الرادار، التي تُحسب بتحديد المسافة باستخدام إشارات الضوء (انظر قسم مفاهيم المسافة )، وبذلك لا يعتمد كل من المقياس وتمدد الزمن وسرعة الضوء على الإحداثيات - على وجه الخصوص، تظل سرعة الضوء في الإحداثيات مطابقة لسرعة الضوء.${\displaystyle (c=1)}$في الأطر المرجعية العطالية:

${\displaystyle X}$في${\displaystyle T=0}$	التحويل، النظام المتري، تمدد الزمن، وسرعة الضوء الإحداثية
${\displaystyle X=0}$	إحداثيات كوتلر – مولر [ ح 12 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]
	${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}T&=\left(x+{\frac {1}{\alpha }}\right)\sinh(\alpha t)\\X&=\left(x+{\frac {1}{\alpha }}\right)\cosh(\alpha t)-{\frac {1}{\alpha }}\\Y&=y\\Z&=z\end{aligned}}&{\begin{aligned}t&={\frac {1}{\alpha }}\operatorname {artanh} \left({\frac {T}{X+{\frac {1}{\alpha }}}}\right)\\x&={\sqrt {\left(X+{\frac {1}{\alpha }}\right)^{2}-T^{2}}}-{\frac {1}{\alpha }}\\y&=Y\\z&=Z\end{aligned}}\end{array}}}$ 2أ ${\displaystyle ds^{2}=-(1+\alpha x){}^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$ 2ب ${\displaystyle dt=(1+\alpha x)dt_{0},\qquad {\frac {|dx|}{|dt|}}=1+\alpha x}$ 2 ج
	إحداثيات ريندل [ 23 ] [ 24 ] [ 18 ]
${\displaystyle X={\frac {1}{\alpha }}}$	${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}T&=x\sinh(\alpha t)\\X&=x\cosh(\alpha t)\\Y&=y\\Z&=z\end{aligned}}&{\begin{aligned}t&={\frac {1}{\alpha }}\operatorname {artanh} {\frac {T}{X}}\\x&={\sqrt {X^{2}-T^{2}}}\\y&=Y\\z&=Z\end{aligned}}\end{array}}}$ 2d ${\displaystyle ds^{2}=-(\alpha x)^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$ 2e ${\displaystyle dt=\alpha x\ dt_{0},\qquad {\frac {|dx|}{|dt|}}=\alpha x}$ 2f
	إحداثيات الرادار (إحداثيات لاس) [ 25 ] [ 26 ] [ 12 ] [ 13 ]
${\displaystyle X={\frac {1}{\alpha }}}$	${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}T&={\frac {1}{\alpha }}e^{\alpha x}\sinh(\alpha t)\\X&={\frac {1}{\alpha }}e^{\alpha x}\cosh(\alpha t)\\Y&=y\\Z&=z\end{aligned}}&{\begin{aligned}t&={\frac {1}{\alpha }}\operatorname {artanh} {\frac {T}{X}}\\x&={\frac {1}{2\alpha }}\ln \left[\alpha {}^{2}\left(X^{2}-T^{2}\right)\right]\\y&=Y\\z&=Z\end{aligned}}\end{array}}}$ 2 غرام
	${\displaystyle ds^{2}=e^{2\alpha x}\left(-dt^{2}+dx^{2}\right)+dy^{2}+dz^{2}}$ ساعتان ${\displaystyle dt=e^{\alpha x}dt_{0},\qquad {\frac {|dx|}{|dt|}}=1}$ 2i

في الرسم البياني الجديد ( 1أ ) مع${\displaystyle c=1}$و${\displaystyle \alpha =1}$من الطبيعي أن نأخذ مجال الإطار المشترك

${\displaystyle d\sigma ^{0}=x\,dt,\;\;d\sigma ^{1}=dx,\;\;d\sigma ^{2}=dy,\;\;d\sigma ^{3}=dz}$

والذي يحتوي على مجال الإطار المزدوج

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}={\frac {1}{x}}\partial _{t},\;\;{\vec {e}}_{1}=\partial _{x},\;\;{\vec {e}}_{2}=\partial _{y},\;\;{\vec {e}}_{3}=\partial _{z}}$

يُحدد هذا إطار لورنتز محليًا في الفضاء المماسي عند كل حدث (في المنطقة التي يغطيها مخطط ريندل، أي إسفين ريندل). المنحنيات التكاملية لحقل متجه الوحدة الزمني${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$تُعطي هذه المخططات تطابقًا زمنيًا ، يتألف من خطوط العالم لمجموعة من المراقبين تُسمى مراقبي ريندل . في مخطط ريندل، تظهر خطوط العالم هذه كخطوط إحداثيات رأسية.${\displaystyle x=x_{0},\;y=y_{0},\;z=z_{0}}$باستخدام تحويل الإحداثيات أعلاه، نجد أن هذه تتوافق مع الأقواس الزائدية في المخطط الديكارتي الأصلي.

كما هو الحال مع أي تطابق زمني في أي فضاء لورنتزي، فإن لهذا التطابق تحليلًا حركيًا (انظر معادلة رايشودري ). في هذه الحالة، يتلاشى كل من تمدد ودوامية تطابق مراقبي ريندل . يشير تلاشي موتر التمدد إلى أن كل مراقب من مراقبينا يحافظ على مسافة ثابتة من جيرانه . ويشير تلاشي موتر الدوامة إلى أن خطوط العالم لمراقبينا لا تلتف حول بعضها البعض؛ وهذا نوع من الغياب الموضعي لـ"الدوامة".

يُعطى متجه التسارع لكل مراقب بواسطة المشتقة المتغيرة

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{0}={\frac {1}{x}}{\vec {e}}_{1}}$

أي أن كل مراقب من ريندل يتسارع في${\displaystyle \partial _{x}}$الاتجاه. على المستوى الفردي، يتسارع كل مراقب في الواقع بمقدار ثابت في هذا الاتجاه، لذا فإن خطوط العالم الخاصة بهم هي نظائر لورنتزية للدوائر، وهي منحنيات ذات انحناء مسار ثابت في الهندسة الإقليدية .

ولأن مراقبي ريندل خالون من الدوامات ، فإنهم أيضاً متعامدون على السطح الفائق . الشرائح المكانية المتعامدة هي${\displaystyle t=t_{0}}$تظهر هذه على شكل أنصاف مستويات أفقية في مخطط ريندل، وعلى شكل أنصاف مستويات عبر${\displaystyle T=X=0}$في المخطط الديكارتي (انظر الشكل أعلاه). الإعداد${\displaystyle dt=0}$في عنصر الخط، نرى أن هذه العناصر لها هندسة إقليدية عادية.${\displaystyle d\sigma ^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},\;\forall x>0,\forall y,z}$وبالتالي، فإن الإحداثيات المكانية في مخطط ريندل لها تفسير بسيط للغاية يتوافق مع الادعاء بأن مراقبي ريندل ثابتون فيما بينهم. وسنعود إلى خاصية الثبات هذه لمراقبي ريندل لاحقًا في هذه المقالة.

لاحظ أن مراقبي ريندل ذوي الإحداثي السيني الثابت الأصغر يتسارعون بقوة أكبر لمواكبة الحركة. قد يبدو هذا مفاجئًا، لأنه في الفيزياء النيوتونية، يجب أن يتشارك المراقبون الذين يحافظون على مسافة نسبية ثابتة نفس التسارع. لكن في الفيزياء النسبية، نرى أن الطرف الخلفي لقضيب يتسارع بفعل قوة خارجية (موازية لمحور تناظره) يجب أن يتسارع بقوة أكبر قليلًا من الطرف الأمامي، وإلا سينكسر في النهاية. هذا مظهر من مظاهر انكماش لورنتز . مع تسارع القضيب، تزداد سرعته ويقل طوله. وبما أنه يقصر، يجب أن يتسارع الطرف الخلفي بقوة أكبر من الطرف الأمامي. بعبارة أخرى، يجب أن يحقق الطرف الخلفي نفس التغير في السرعة في فترة زمنية أقصر. يؤدي هذا إلى معادلة تفاضلية توضح أنه عند مسافة معينة، يتباعد تسارع الطرف الخلفي، مما ينتج عنه أفق ريندل .

تُشكّل هذه الظاهرة أساسًا لمفارقةٍ معروفة، وهي مفارقة بيل لسفينة الفضاء . مع ذلك، فهي نتيجةٌ بسيطةٌ لعلم الحركة النسبية. إحدى طرق فهم ذلك هي ملاحظة أن مقدار متجه التسارع هو ببساطة انحناء مسار خط العالم المقابل. لكن خطوط العالم لمراقبينا من نوع ريندل هي نظائر لمجموعة من الدوائر متحدة المركز في المستوى الإقليدي، لذا فنحن نتعامل ببساطة مع النظير اللورنتزي لحقيقةٍ مألوفةٍ لمتزلجي السرعة: في مجموعة من الدوائر متحدة المركز، يجب أن تنحني الدوائر الداخلية أسرع (لكل وحدة طول قوس) من الدوائر الخارجية .

من المفيد أيضًا تقديم إطار بديل، موضح في مخطط مينكوفسكي من خلال الاختيار الطبيعي

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}=\partial _{T},\;{\vec {f}}_{1}=\partial _{X},\;{\vec {f}}_{2}=\partial _{Y},\;{\vec {f}}_{3}=\partial _{Z}}$

بتحويل حقول المتجهات هذه باستخدام تحويل الإحداثيات المذكور أعلاه، نجد أنه في مخطط ريندل (في إسفين ريندل) يصبح هذا الإطار

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {f}}_{0}&={\frac {1}{x}}\cosh(t)\,\partial _{t}-\sinh(t)\,\partial _{x}\\{\vec {f}}_{1}&=-{\frac {1}{x}}\sinh(t)\,\partial _{t}+\cosh(t)\,\partial _{x}\\{\vec {f}}_{2}&=\partial _{y},\;{\vec {f}}_{3}=\partial _{z}\end{aligned}}}$

حساب التفكيك الحركي للتطابق الزمني المحدد بواسطة حقل متجه الوحدة الزمني${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$، نجد أن التمدد والدوامية يتلاشيان مرة أخرى، بالإضافة إلى أن متجه التسارع يتلاشى.${\displaystyle \nabla _{{\vec {f}}_{0}}{\vec {f}}_{0}=0}$بمعنى آخر، هذا تطابق جيوديسي ؛ المراقبون المقابلون في حالة حركة قصورية . في الخريطة الديكارتية الأصلية، هؤلاء المراقبون، الذين سنسميهم مراقبي مينكوفسكي ، في حالة سكون.

في مخطط ريندل، تظهر خطوط العالم لمراقبي مينكوفسكي على شكل منحنيات قاطع زائدية تقترب من مستوى الإحداثيات.${\displaystyle x=0}$وبالتحديد، في إحداثيات ريندل، يمر خط العالم الخاص بمراقب مينكوفسكي عبر الحدث${\displaystyle t=t_{0},\;x=x_{0},\;y=y_{0},\;z=z_{0}}$يكون

${\displaystyle {\begin{aligned}t&=\operatorname {artanh} \left({\frac {s}{x_{0}}}\right),\;-x_{0}<s<x_{0}\\x&={\sqrt {x_{0}^{2}-s^{2}}},\;-x_{0}<s<x_{0}\\y&=y_{0}\\z&=z_{0}\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle s}$هذا هو الزمن الخاص لمراقب مينكوفسكي. لاحظ أن جزءًا صغيرًا فقط من تاريخه مُغطى بمخطط ريندل. يُبين هذا بوضوح سبب عدم اكتمال مخطط ريندل جيوديسيًا ؛ إذ تمتد الخطوط الجيوديسية الزمنية خارج المنطقة التي يغطيها المخطط في زمن خاص محدود. بالطبع، كنا نعلم مسبقًا أن مخطط ريندل لا يمكن أن يكون كاملًا جيوديسيًا، لأنه لا يغطي سوى جزء من المخطط الديكارتي الأصلي، وهو مخطط كامل جيوديسيًا.

في الحالة الموضحة في الشكل،${\displaystyle x_{0}=1}$وقد رسمنا (بمقياس وتكبير صحيحين) مخاريط الضوء عند${\displaystyle s\in \left\{-{\frac {1}{2}},\;0,\;{\frac {1}{2}}\right\}}$.

يحتوي مخطط إحداثيات ريندل على نقطة تفرد إحداثية عند x  =  0، حيث يكون محدد موتر القياس (المعبر عنه بإحداثيات ريندل) معدومًا . يحدث هذا لأن تسارع مراقبي ريندل يتباعد عندما x  →  0. وكما نرى في الشكل الذي يوضح إسفين ريندل، فإن الموضع x  =  0 في مخطط ريندل يقابل الموضع T² = ^X² ، حيث ^X > 0 في المخطط الديكارتي، والذي يتكون من نصفي مستويين صفريين، يحكم كل منهما تطابق جيوديسي صفري.     

في الوقت الحالي، نعتبر أفق ريندل بمثابة حدود إحداثيات ريندل. إذا نظرنا إلى مجموعة المراقبين المتسارعين ذوي الموقع الثابت في إحداثيات ريندل، فلن يتمكن أي منهم من استقبال إشارات ضوئية من أحداث ذات زمن T  ≥ X (في الرسم التخطيطي، ستكون هذه أحداثًا على الخط T = X أو على يساره، والذي يقع عليه الأفق الأحمر العلوي؛ ومع ذلك، يمكن لهؤلاء المراقبين استقبال إشارات من أحداث ذات زمن T ≥ X إذا أوقفوا تسارعهم وعبروا هذا الخط بأنفسهم)، كما لم يكن بإمكانهم إرسال إشارات إلى أحداث ذات زمن T ≤ − X (أحداث على الخط T = − X أو على يساره ، والذي يقع عليه الأفق الأحمر السفلي؛ تقع هذه الأحداث خارج جميع مخاريط الضوء المستقبلية لخط عالمهم الماضي). كذلك، إذا نظرنا إلى أعضاء هذه المجموعة من المراقبين المتسارعين وهم يقتربون أكثر فأكثر من أفق الحدث، ففي حالة اقتراب المسافة إلى أفق الحدث من الصفر، فإن التسارع الذاتي الثابت الذي يشعر به المراقب عند هذه المسافة (والذي يمثل أيضًا قوة الجاذبية التي يشعر بها هذا المراقب) سيقترب من اللانهاية. وينطبق هذا أيضًا على مجموعة من المراقبين الذين يحومون خارج أفق حدث الثقب الأسود ، حيث يحوم كل مراقب عند نصف قطر ثابت في إحداثيات شوارزشيلد . في الواقع، في الجوار القريب للثقب الأسود، يمكن وصف الهندسة القريبة من أفق الحدث بإحداثيات ريندل. يُشار إلى إشعاع هوكينغ في حالة الإطار المتسارع باسم إشعاع أونرو . ويكمن الرابط بينهما في تكافؤ التسارع مع الجاذبية.     

يمكن الحصول بسهولة على معادلات الجيوديسية في مخطط ريندل من لاغرانجيان الجيوديسية ؛ وهي

${\displaystyle {\ddot {t}}+{\frac {2}{x}}\,{\dot {x}}\,{\dot {t}}=0,\;{\ddot {x}}+x\,{\dot {t}}^{2}=0,\;{\ddot {y}}=0,\;{\ddot {z}}=0}$

بالطبع، في الخريطة الديكارتية الأصلية، تظهر الخطوط الجيوديسية كخطوط مستقيمة، لذا يمكننا بسهولة الحصول عليها في خريطة ريندل باستخدام تحويل الإحداثيات. مع ذلك، من المفيد الحصول عليها ودراستها بشكل مستقل عن الخريطة الأصلية، وسنفعل ذلك في هذا القسم.

من التكاملات الأول والثالث والرابع نحصل مباشرة على التكاملات الأولى

${\displaystyle {\dot {t}}={\frac {E}{x^{2}}},\;\;{\dot {y}}=P,\;\;{\dot {z}}=Q}$

لكن من عنصر الخط لدينا${\displaystyle \varepsilon =-x^{2}\,{\dot {t}}^{2}+{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}$أين${\displaystyle \varepsilon \in \left\{-1,\,0,\,1\right\}}$بالنسبة للجيوديسيات الزمنية، والصفرية، والمكانية، على التوالي. وهذا يعطي التكامل الأول الرابع، وهو

${\displaystyle {\dot {x}}^{2}=\left(\varepsilon +{\frac {E^{2}}{x^{2}}}\right)-P^{2}-Q^{2}}$.

وهذا يكفي لإعطاء الحل الكامل لمعادلات الجيوديسية.

في حالة الجيوديسيات الصفرية ، من${\displaystyle {\frac {E^{2}}{x^{2}}}\,-\,P^{2}\,-\,Q^{2}}$مع غير الصفر${\displaystyle E}$نلاحظ أن الإحداثي السيني يتراوح على الفترة

${\displaystyle 0\,<\,x\,<\,{\frac {E}{\sqrt {P^{2}\,+\,Q^{2}}}}}$.

عائلة المعلمات السبعة الكاملة التي تعطي أي مسار جيوديسي صفري يمر عبر أي حدث في إسفين ريندل، هي

${\displaystyle {\begin{aligned}t-t_{0}&=\operatorname {artanh} \left({\frac {1}{E}}\left[s\left(P^{2}+Q^{2}\right)-{\sqrt {E^{2}-\left(P^{2}+Q^{2}\right)x_{0}^{2}}}\right]\right)+\\&\qquad \operatorname {artanh} \left({\frac {1}{E}}{\sqrt {E^{2}-(P^{2}+Q^{2})x_{0}^{2}}}\right)\\x&={\sqrt {x_{0}^{2}+2s{\sqrt {E^{2}-(P^{2}+Q^{2})x_{0}^{2}}}-s^{2}(P^{2}+Q^{2})}}\\y-y_{0}&=Ps;\;\;z-z_{0}=Qs\end{aligned}}}$

رسم مسارات بعض الخطوط الجيوديسية الصفرية التمثيلية عبر حدث معين (أي الإسقاط على الشريحة الفائقة).${\displaystyle t=0}$)، نحصل على صورة تشبه بشكل مثير للريبة عائلة جميع أنصاف الدوائر التي تمر بنقطة ما وتكون متعامدة مع أفق ريندل (انظر الشكل). ^{[ 27 ]}

يمكن التحقق مباشرةً من الحل العام المذكور آنفًا، من خلال الحل العام، من حقيقة أن إسقاطات الجيوديسيات الصفرية في أي شريحة مكانية فائقة، بالنسبة لمراقبي ريندل، هي ببساطة أقواس نصف دائرية. لكن ثمة طريقة بسيطة جدًا لإثبات ذلك. الزمكان الساكن هو الزمكان الذي يمكن فيه إيجاد حقل متجه كيلينغ زمني خالٍ من الدوامات . في هذه الحالة، لدينا مجموعة فريدة من الشرائح المكانية الفائقة (المتطابقة) المتعامدة مع المراقبين الساكنين المناظرين (الذين لا يشترط أن يكونوا مراقبين قصوريين). يسمح لنا هذا بتعريف مقياس جديد على أي من هذه الشرائح الفائقة، وهو مقياس مرتبط توافقيًا بالمقياس الأصلي الموروث من الزمكان، لكن بخاصية أن الجيوديسيات في المقياس الجديد (لاحظ أن هذا مقياس ريماني على مشعب ريماني ثلاثي الأبعاد) هي تحديدًا إسقاطات الجيوديسيات الصفرية للزمكان. يُطلق على هذا المقياس الجديد اسم مقياس فيرما ، وفي فضاء-زمن ثابت مزود بمخطط إحداثيات يكون فيه عنصر الخط على الشكل التالي

${\displaystyle ds^{2}=g_{00}\,dt^{2}+g_{jk}\,dx^{j}\,dx^{k},\;\;j,\;k\in \{1,2,3\}}$

مقياس فيرما${\displaystyle t=0}$هو ببساطة

${\displaystyle d\rho ^{2}={\frac {1}{-g_{00}}}\left(g_{jk}\,dx^{j}\,dx^{k}\right)}$

(حيث يُفهم أن معاملات القياس يتم تقييمها عند${\displaystyle t=0}$).

في مخطط ريندل، الترجمة الزمنية${\displaystyle \partial _{t}}$بما أن هذا حقل متجه كيلينغ، فإن هذا الزمكان ساكن (وهذا ليس مفاجئًا، لأن زمكان مينكوفسكي هو بطبيعة الحال حل فراغي ساكن لمعادلة أينشتاين للمجال ). لذلك، يمكننا كتابة مقياس فيرما مباشرةً لمراقبي ريندل:

${\displaystyle d\rho ^{2}={\frac {1}{x^{2}}}\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right),\;\;\forall x>0,\;\;\forall y,z}$

لكن هذا هو عنصر الخط المعروف للفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد H3 في مخطط نصف الفضاء العلوي . وهو مشابهٌ إلى حد كبير لمخطط نصف المستوى العلوي المعروف للمستوى الزائدي H2 ^، والذي يعرفه أجيالٌ من ^طلاب التحليل المركب فيما يتعلق بمسائل التحويل المطابق (وغيرها الكثير)، ويعلم العديد من القراء ذوي الميول الرياضية أن الخطوط الجيوديسية لـ H2 في نموذج نصف المستوى ^العلوي هي ببساطة أنصاف دوائر (متعامدة على الدائرة عند اللانهاية التي يمثلها المحور الحقيقي).

بما أن مخطط ريندل هو مخطط إحداثيات لزمكان مينكوفسكي، فإننا نتوقع إيجاد عشرة حقول متجهة كيلينغ مستقلة خطيًا. في الواقع، يمكننا بسهولة إيجاد عشرة حقول متجهة كيلينغ مستقلة خطيًا في المخطط الديكارتي، تُولّد على التوالي مجموعات فرعية ذات مُعامل واحد لإزاحة الزمن ، وثلاث مجموعات فرعية مكانية، وثلاث مجموعات فرعية دورانية، وثلاث مجموعات فرعية مُعززة. تُولّد هذه المجموعات مجتمعةً زمرة بوانكاريه (المتزامنة تمامًا)، وهي زمرة التناظر لزمكان مينكوفسكي.

مع ذلك، من المفيد كتابة معادلات متجهات كيلينغ وحلها مباشرةً. نحصل على أربعة حقول متجهات كيلينغ مألوفة الشكل.

${\displaystyle \partial _{t},\;\;\partial _{y},\;\;\partial _{z},\;\;-z\,\partial _{y}+y\,\partial _{z}}$

(التحويل الزمني، والتحويلات المكانية المتعامدة مع اتجاه التسارع، والدوران المكاني المتعامد مع اتجاه التسارع) بالإضافة إلى ستة أخرى:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\exp(\pm t)\,\left({\frac {y}{x}}\,\partial _{t}\pm \left[y\,\partial _{x}-x\,\partial _{y}\right]\right)\\&\exp(\pm t)\,\left({\frac {z}{x}}\,\partial _{t}\pm \left[z\,\partial _{x}-x\,\partial _{z}\right]\right)\\&\exp(\pm t)\,\left({\frac {1}{x}}\,\partial _{t}\pm \partial _{x}\right)\end{aligned}}}$

(حيث تُختار الإشارات باستمرار إما + أو -). نترك لكم مهمة تحديد كيفية ارتباط هذه الإشارات بالمولدات القياسية؛ ونود هنا أن نشير إلى أنه يجب أن نكون قادرين على الحصول على مولدات مكافئة لـ${\displaystyle \partial _{T}}$في المخطط الديكارتي، ومع ذلك، من الواضح أن إسفين ريندل ليس ثابتًا تحت هذا التحويل. كيف يمكن تفسير ذلك؟ الجواب هو أنه كما هو الحال مع أي شيء مُعرَّف بنظام من المعادلات التفاضلية الجزئية على مشعب أملس، فإن معادلة كيلينغ ستكون لها عمومًا حلول مُعرَّفة محليًا، ولكن هذه الحلول قد لا تكون موجودة على المستوى الكلي. أي، مع فرض قيود مناسبة على مُعامل المجموعة، يمكن دائمًا تعريف تدفق كيلينغ في جوار محلي مناسب ، ولكن قد لا يكون التدفق مُعرَّفًا جيدًا على المستوى الكلي . لا علاقة لهذا الأمر بمشعبات لورنتز بحد ذاتها، حيث تظهر المشكلة نفسها في دراسة المشعبات الملساء العامة .

من بين الدروس القيمة العديدة التي يمكن تعلمها من دراسة مخطط ريندل، أن هناك في الواقع العديد من المفاهيم المتميزة (ولكن المعقولة) للمسافة التي يمكن أن يستخدمها مراقبو ريندل.

الأول هو الذي استخدمناه ضمنيًا أعلاه: المقياس الريماني المستحث على الشرائح الفائقة المكانية${\displaystyle t=t_{0}}$سنطلق على هذا اسم مسافة المسطرة لأنه يتوافق مع هذا المقياس الريماني المستحث، ولكن قد لا يكون معناه العملي واضحًا على الفور.

من منظور القياس الفيزيائي، يُعدّ مفهوم مسافة الرادار أكثر طبيعيةً لقياس المسافة بين خطين في العالم . تُحسب هذه المسافة بإرسال مسار جيوديسي صفري من خط العالم الخاص بالمراقب (الحدث أ) إلى خط العالم لجسم صغير، حيث ينعكس (الحدث ب) ويعود إلى المراقب (الحدث ج). ثم تُحسب مسافة الرادار بقسمة زمن الرحلة ذهابًا وإيابًا، كما يُقاس بواسطة ساعة مثالية يحملها المراقب.

(في فضاء مينكوفسكي، لحسن الحظ، يمكننا تجاهل إمكانية وجود مسارات جيوديسية صفرية متعددة بين خطين عالميين، ولكن في النماذج الكونية والتطبيقات الأخرى، لا تكون الأمور بهذه البساطة. كما يجب أن نحذر من افتراض أن مفهوم المسافة بين مراقبين يعطي مفهومًا متناظرًا عند تبديل المراقبين.)

على وجه الخصوص، ضع في اعتبارك زوجًا من مراقبي ريندل ذوي الإحداثيات${\displaystyle x=x_{0},\;y=0,\;z=0}$و${\displaystyle x=x_{0}+h,\;y=0,\;z=0}$على التوالي. (لاحظ أن الأول من هؤلاء، وهو المراقب المتأخر، يتسارع بشكل أكبر قليلاً، من أجل مواكبة المراقب المتقدم). ضبط${\displaystyle dy=dz=0}$في عنصر خط ريندل، نحصل بسهولة على معادلة الجيوديسيات الصفرية المتحركة في اتجاه التسارع:

${\displaystyle t-t_{0}=\log \left({\frac {x}{x_{0}}}\right)}$

وبالتالي، فإن المسافة الرادارية بين هذين الراصدين تُعطى بالعلاقة التالية:

${\displaystyle x_{0}\,\log \left(1+{\frac {h}{x_{0}}}\right)=h-{\frac {h^{2}}{2\,x_{0}}}+O\left(h^{3}\right)}$

هذا أصغر قليلاً من مسافة المسطرة، ولكن بالنسبة للمراقبين القريبين، فإن الاختلاف ضئيل.

ثمة مفهوم ثالث محتمل للمسافة، وهو كالتالي: يقيس الراصد الزاوية المحصورة بين قرص وحدة موضوع على جسم ما (ليس جسمًا نقطيًا)، كما تبدو من موقعه. نسمي هذه المسافة مسافة القطر البصري . نظرًا لبساطة الجيوديسيات الصفرية في فضاء مينكوفسكي، يمكننا بسهولة تحديد المسافة البصرية بين زوج مراقبي ريندل (المحاذيين لاتجاه التسارع). من خلال رسم تخطيطي، يبدو من المعقول أن تتناسب مسافة القطر البصري مع${\textstyle h+{\frac {1}{x_{0}}}+O\left(h^{3}\right)}$لذلك، في حالة قيام مراقب متأخر بتقدير المسافة إلى مراقب متقدم (الحالة${\displaystyle h>0}$تكون المسافة البصرية أكبر قليلاً من المسافة المقاسة بالمسطرة، والتي بدورها أكبر قليلاً من المسافة الرادارية. ينبغي على القارئ الآن أن يتأمل قليلاً في حالة مراقب متقدم يُقدّر المسافة إلى مراقب متأخر.

توجد مفاهيم أخرى للمسافة، لكن الفكرة الأساسية واضحة: فبينما تختلف قيم هذه المفاهيم عمومًا بالنسبة لزوج معين من مراقبي ريندل، إلا أنها تتفق جميعًا على أن كل زوج من مراقبي ريندل يحافظ على مسافة ثابتة . وتنتج حقيقة أن مراقبي ريندل المتقاربين جدًا ثابتون عن حقيقة، كما ذُكر سابقًا، أن موتر التوسع لتطابق ريندل يتلاشى تمامًا. ومع ذلك، فقد بيّنا هنا أن خاصية الصلابة هذه، من نواحٍ مختلفة، تنطبق على نطاقات أوسع. وهذه خاصية صلابة لافتة حقًا، بالنظر إلى الحقيقة المعروفة في الفيزياء النسبية، وهي أنه لا يمكن تسريع أي قضيب بشكل صلب ( ولا يمكن تدوير أي قرص بشكل صلب ) - على الأقل، ليس دون تعريضه لإجهادات غير متجانسة. وأسهل طريقة لفهم ذلك هي ملاحظة أنه في الفيزياء النيوتونية، إذا "ركلنا" جسمًا صلبًا، فإن جميع عناصر المادة في الجسم ستغير حالتها الحركية على الفور. وهذا بالطبع يتعارض مع المبدأ النسبي القائل بأنه لا يمكن نقل أي معلومات ذات تأثير مادي بسرعة تفوق سرعة الضوء.

يترتب على ذلك أنه إذا تم تسريع قضيب بقوة خارجية مطبقة في أي مكان على طوله، فلا يمكن لعناصر المادة في مختلف أجزاء القضيب أن تشعر بنفس مقدار التسارع حتى لا يتمدد القضيب بلا حدود وينكسر في النهاية. بعبارة أخرى، يجب أن يتحمل القضيب المتسارع الذي لا ينكسر إجهادات متفاوتة على طوله. علاوة على ذلك، في أي تجربة فكرية تتضمن قوى متغيرة مع الزمن، سواء قمنا بدفع جسم ما بقوة أو حاولنا تسريعه تدريجيًا، لا يمكننا تجنب مشكلة تجنب النماذج الميكانيكية غير المتوافقة مع الحركة النسبية (لأن أجزاء الجسم البعيدة تستجيب بسرعة كبيرة للقوة المطبقة).

بالعودة إلى مسألة الأهمية العملية لمسافة المسطرة، نرى أن هذه هي المسافة التي سيحصل عليها المراقبون إذا قاموا بتمرير مسطرة صغيرة ببطء شديد من يد إلى أخرى، مع وضعها بشكل متكرر من طرف إلى طرف. لكن تبرير هذا التفسير بالتفصيل يتطلب نموذجًا ماديًا ما.

يمكن تعميم إحداثيات ريندل، كما وُصفت أعلاه، لتشمل الزمكان المنحني، لتصبح إحداثيات فيرمي العادية . يتضمن هذا التعميم أساسًا إنشاء رباعي متعامد مناسب، ثم نقله على طول المسار المحدد باستخدام قاعدة نقل فيرمي-ووكر . لمزيد من التفاصيل، يُرجى مراجعة ورقة ني وزيمرمان في المراجع أدناه. يُمكّن هذا التعميم من دراسة تأثيرات القصور الذاتي والجاذبية في مختبر أرضي، بالإضافة إلى تأثيرات القصور الذاتي والجاذبية المترابطة الأكثر أهمية.

• مفارقة بيل الفضائية ، وهي موضوع مثير للجدل في بعض الأحيان، وغالبًا ما يتم دراسته باستخدام إحداثيات ريندل.
• إحداثيات بورن ، لنظام إحداثيات مهم آخر مُكيَّف مع حركة بعض المراقبين المتسارعين في فضاء مينكوفسكي الزمني .
• التطابق (النسبية العامة)
• مفارقة إهرنفست ، لموضوع مثير للجدل في بعض الأحيان، وغالبًا ما يتم دراسته باستخدام إحداثيات بورن.
• حقول الإطار في النسبية العامة
• موارد النسبية العامة
• نموذج ميلن
• معادلة رايشودري
• تأثير أونرو