قاعدة الـ 72

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 25 صور
الموسوعة الحرة

في مجال التمويل ، تُعدّ قاعدة 72 ، وقاعدة 70 [ 1 ] ، وقاعدة 69.3 طرقًا لتقدير زمن مضاعفة الاستثمار . يُقسّم رقم القاعدة (مثلاً 72) على نسبة الفائدة لكل فترة (عادةً سنوات) للحصول على العدد التقريبي للفترات اللازمة للمضاعفة. على الرغم من أن الآلات الحاسبة العلمية وبرامج الجداول الإلكترونية تحتوي على وظائف لحساب زمن المضاعفة بدقة، إلا أن هذه القواعد مفيدة للحسابات الذهنية أو عند توفر آلة حاسبة أساسية فقط . [ 2 ]

تنطبق هذه القواعد على النمو الأسي، ولذلك تُستخدم لحساب الفائدة المركبة بدلاً من الفائدة البسيطة . كما يمكن استخدامها لحساب فترة التناقص (زمن التنصيف). ويعتمد اختيار الرقم في الغالب على التفضيل الشخصي: فالرقم 69 أكثر دقة في حساب الفائدة المركبة المستمرة، بينما يُعد الرقم 72 مناسبًا لحساب الفائدة المشتركة، كما أنه أسهل في القسمة.

توجد عدة اختلافات في القواعد تُحسّن الدقة. بالنسبة للفائدة المركبة الدورية، يكون زمن التضاعف الدقيق لمعدل فائدة قدره r بالمئة لكل فترة هو

ت=ln⁡(2)ln⁡(1+ر/100)≈72ر،{\displaystyle t={\frac {\ln(2)}{\ln(1+r/100)}}\approx {\frac {72}{r}},}

حيث يُمثل t عدد الدورات المطلوبة. يمكن استخدام الصيغة أعلاه لأكثر من مجرد حساب زمن التضاعف. فإذا أردنا معرفة زمن التضاعف الثلاثي، على سبيل المثال، نستبدل الثابت 2 في البسط بالرقم 3. كمثال آخر، إذا أردنا معرفة عدد الدورات اللازمة لزيادة القيمة الابتدائية بنسبة 35%، نستبدل الثابت 2 بالرقم 1.35.

استخدام القاعدة لتقدير فترات التراكم

لتقدير عدد الفترات المطلوبة لمضاعفة الاستثمار الأصلي، قسّم "الكمية الأساسية" الأكثر ملاءمة على معدل النمو المتوقع، معبراً عنه كنسبة مئوية.

  • على سبيل المثال، إذا كنت ستستثمر 100 دولار بفائدة مركبة بمعدل 9٪ سنويًا، فإن قاعدة 72 تعطي 72/9 = 8 سنوات مطلوبة لكي يصبح الاستثمار بقيمة 200 دولار؛ والحساب الدقيق يعطي ln(2) /ln(1+0.09) = 8.0432 سنة.

وبالمثل، لتحديد الوقت الذي تستغرقه قيمة النقود لتنخفض إلى النصف بمعدل معين، قسّم كمية القاعدة على ذلك المعدل.

  • لتحديد المدة اللازمة لانخفاض القوة الشرائية للنقود إلى النصف، يقسم الخبراء الماليون الكمية المحددة وفقًا لقاعدة الـ 70 على معدل التضخم . وبالتالي، عند معدل تضخم 3.5% باستخدام قاعدة الـ 70 ، من المتوقع أن يستغرق الأمر حوالي 70/3.5 = 20 عامًا حتى تنخفض قيمة وحدة العملة إلى النصف. [ 1 ]
  • لتقدير تأثير الرسوم الإضافية على السياسات المالية (مثل رسوم التحميل والمصاريف على محافظ استثمار التأمين على الحياة الشاملة المتغيرة )، قسّم 72 على قيمة الرسوم. على سبيل المثال، إذا كانت بوليصة التأمين على الحياة الشاملة تفرض رسومًا سنوية بنسبة 3% بالإضافة إلى تكلفة صندوق الاستثمار الأساسي، فإن إجمالي قيمة الحساب سينخفض ​​إلى 50% خلال 24 عامًا (72 / 3)، ثم إلى 25% من القيمة خلال 48 عامًا، مقارنةً بالاحتفاظ بنفس الاستثمار خارج البوليصة.

اختيار القاعدة

القيمة 72 هي خيار مناسب للبسط، لأنها تحتوي على العديد من القواسم الصغيرة : 1، 2، 3، 4، 6، 8، 9، و12. وهي توفر تقريبًا جيدًا للفائدة المركبة السنوية، وللفائدة المركبة بمعدلات نموذجية (من 6% إلى 10%)؛ وتكون التقريبات أقل دقة عند معدلات الفائدة الأعلى.

في حالة حساب الفائدة المركبة المستمرة، تعطي القيمة 69 نتائج دقيقة لأي معدل، لأن ln (2) يساوي تقريبًا 69.3%؛ انظر الاشتقاق أدناه. ولأن حساب الفائدة المركبة اليومية قريب جدًا من حساب الفائدة المركبة المستمرة، فإن القيم 69 أو 69.3 أو 70 أفضل من القيمة 72 في معظم الحالات. بالنسبة لمعدلات الفائدة السنوية المنخفضة، تكون القيمة 69.3 أكثر دقة من القيمة 72. [ 3 ] أما بالنسبة لمعدلات الفائدة السنوية المرتفعة، فتكون القيمة 78 أكثر دقة.

معدلالسنوات الفعليةالمعدل × السنوات الفعليةقاعدة الـ 72قاعدة الـ 70قاعدة 69.3
0.25  %277.60569.401288.000280.000277.200
0.5  %138.97669.488144.000140.000138.600
1  %69.66169.6617200070.00069.300
2  %35.00370.006360003500034.650
3  %23.45070.3492400023.33323.100
4  %17.67370.692180001750017.325
5  %14.20771.03314.4001400013.860
6  %11.89671.3741200011.66711.550
7  %10.24571.71310.286100009.900
8  %9.00672.05290008.7508.663
9  %8.04372.38980007.7787.700
10  %7.27372.7257.20070006.930
11  %6.64273.0616.5456.3646300
12  %6.11673.39560005.8335.775
15  %4.95974.3924.8004.6674.620
18  %4.18875.38140003.8893.850
20  %3.80276.0363.6003.5003.465
25  %3.10677.6572.88028002.772
30  %2.64279.2582.4002.3332.310
40  %2.06082.4021.8001.7501.733
50  %1.71085.4761.4401.4001.386

ملاحظة: القيمة الأكثر دقة في كل صف مكتوبة بخط غامق.

رسوم بيانية تقارن أوقات التضاعف ونصف العمر للنمو الأسي (خطوط سميكة) والاضمحلال الأسي (خطوط باهتة)، وتقريباتها 70/ t و72/ t . في نسخة SVG ، مرر مؤشر الماوس فوق الرسم البياني لتمييزه وتمييز مكمله.

تاريخ

ورد ذكر هذه القاعدة في وقت مبكر في كتاب "سوما دي أريثميتيكا " (البندقية، 1494، صفحة 181، رقم 44) للوكا باتشولي (1445-1514). وقد عرضها في سياق مناقشة حول تقدير زمن مضاعفة الاستثمار، لكنه لم يستنتجها أو يشرحها، ولذا يُفترض أن هذه القاعدة أقدم من باتشولي بفترة زمنية معينة.

ستعرف كل كمية على مدار 100 عام، على الرغم من أنها ستزيد من المنفعة ورأس المال، وتحتاج إلى التنظيم 72 ، مع الأخذ في الاعتبار أنه دائمًا ما تشارك في الفائدة، وما لم تعد كذلك، خلال هذه السنوات. على سبيل المثال: عندما تكون الفائدة 6 لكل 100 عام، كما لو كانت 72 لكل 6؛ لم يبق سوى 12 عامًا، وفي 12 عامًا، سيتم إعادة بناء العاصمة. (تم إضافة التأكيد).

ترجمة تقريبية:

عند الرغبة في معرفة عدد السنوات اللازمة لمضاعفة رأس مال معين، عند معدل فائدة سنوي محدد، بإضافة الفائدة إلى رأس المال، تذكر دائمًا العدد 72 ، الذي تقسمه دائمًا على الفائدة، والنتيجة هي أنه سيتضاعف خلال هذا العدد من السنوات. مثال: عندما تكون الفائدة 6% سنويًا، نقول إننا نقسم 72 على 6؛ والنتيجة هي 12، وبالتالي سيتضاعف رأس المال خلال 12 عامًا.

الاشتقاق

التركيب الدوري

بالنسبة للفائدة المركبة الدورية ، تُعطى القيمة المستقبلية بالصيغة التالية:

FV=PV⋅(1+ر/100)ت{\displaystyle FV=PV\cdot (1+r/100)^{t}}

أينPV{\displaystyle PV}هي القيمة الحالية ،ت{\displaystyle t}هو عدد الفترات الزمنية، ور{\displaystyle r}يمثل هذا معدل الفائدة لكل فترة زمنية.

تكون القيمة المستقبلية ضعف القيمة الحالية عندما:

FV=2⋅PV{\displaystyle FV=2\cdot PV}

وهو الشرط التالي:

(1+ر/100)ت=2{\displaystyle (1+r/100)^{t}=2\,}

يمكن حل هذه المعادلة بسهولة لإيجادت{\displaystyle t}:

ln⁡((1+ر/100)ت)=ln⁡2ت⋅ln⁡(1+ر/100)=ln⁡2ت=ln⁡2ln⁡(1+ر/100).{\displaystyle {\begin{aligned}\ln((1+r/100)^{t})&=\ln 2\\t\cdot \ln(1+r/100)&=\ln 2\\t&={\frac {\ln 2}{\ln(1+r/100)}}.\end{aligned}}}

يُظهر إعادة ترتيب بسيطة

ln⁡2ln⁡(1+ر/100)=ln⁡2ر/100⋅ر/100ln⁡(1+ر/100).{\displaystyle {\frac {\ln 2}{\ln(1+r/100)}}={\frac {\ln 2}{r/100}}\cdot {\frac {r/100}{\ln(1+r/100)}}.}

لور/100{\displaystyle r/100}صغير، إذنln⁡(1+ر/100){\displaystyle \ln(1+r/100)}يساوي تقريبًار/100{\displaystyle r/100}(هذا هو الحد الأول في متسلسلة تايلور ). أي أن العامل الأخير ينمو ببطء عندمار{\displaystyle r}يقترب من الصفر.

أطلق على هذا العامل الأخير اسم(ر/100)/ln⁡(1+ر/100)=و(ر){\displaystyle (r/100)/\ln(1+r/100)=f(r)}الوظيفةو(ر){\displaystyle f(r)}وقد ثبتت دقتها في تقريبت{\displaystyle t}للحصول على معدل فائدة صغير وإيجابي عندمار=8{\displaystyle r=8}(انظر الاشتقاق أدناه).و(8)≈1.039{\displaystyle f(8)\approx 1.039}وبالتالي نقوم بتقريب الوقتت{\displaystyle t}مثل:

ت(ر)=ln⁡2ر/100⋅و(8)≈0.72ر/100=72ر.{\displaystyle t(r)={\frac {\ln 2}{r/100}}\cdot f(8)\approx {\frac {0.72}{r/100}}={\frac {72}{r}}.}

تزداد دقة هذا التقريب كلما أصبح تراكم الفائدة مستمرًا (انظر الاشتقاق أدناه).

وللحصول على تعديل أكثر دقة، تجدر الإشارة إلى أنln⁡(1+ر/100){\displaystyle \ln(1+r/100)}يتم تقريبها بشكل أدق بواسطةر/100-12(ر/100)2{\displaystyle r/100-{\tfrac {1}{2}}(r/100)^{2}}(باستخدام الحد الثاني في متسلسلة تايلور ).0.693/(ر/100-12(ر/100)2){\displaystyle 0.693/\left(r/100-{\tfrac {1}{2}}(r/100)^{2}\right)}ويمكن بعد ذلك تبسيطها بشكل أكبر عن طريق تقريبات تايلور: [ 4 ]

ت(ر)=0.693ر/100-12(ر/100)2=69.3ر-ر2/200=69.3ر11-ر/200≈69.3ر(1+ر/200)=69.3ر+69.3200ت(ر)=69.3ر+0.3465.{\displaystyle {\begin{aligned}t(r)={}&{\frac {0.693}{r/100-{\tfrac {1}{2}}(r/100)^{2}}}={\frac {69.3}{rr^{2}/200}}={\frac {69.3}{r}}{\frac {1}{1-r/200}}\approx {\frac {69.3}{r}}(1+r/200)={\frac {69.3}{r}}+{\frac {69.3}{200}}\\[8pt]t(r)={}&{\frac {69.3}{r}}+0.3465.\end{aligned}}}

استبدالر{\displaystyle r}فير/200{\displaystyle r/200}بطرح 7.79 نحصل على 72 في البسط. هذا يدل على أن قاعدة 72 هي الأكثر دقة للفوائد المركبة دوريًا حول 8  %. وبالمثل، باستبدالر{\displaystyle r}فير/200{\displaystyle r/200}مع 2.02 يعطي 70 في البسط، مما يدل على أن قاعدة 70 هي الأكثر دقة بالنسبة للفوائد المركبة دوريًا حوالي 2  ٪.

باعتبارها طريقة رياضية متطورة وأنيقة لتحقيق تطابق أكثر دقة، فإن الدالةت(ر)=ln⁡(2)/ln⁡(1+ر/100){\displaystyle t(r)=\ln(2)/\ln(1+r/100)}تم تطويرها في سلسلة لوران عند النقطةر=0{\displaystyle r=0}[ 5 ] باستخدام الحدين الأولين نحصل على:

ت(ر)≈100⋅ln⁡2ر+ln⁡22ت(ر)≈69.3147ر+0.346574، أو مستديرة:ت(ر)≈69ر+0.35.{\displaystyle {\begin{aligned}t(r)\approx {}&{\frac {100\cdot \ln 2}{r}}+{\frac {\ln 2}{2}}\\[8pt]t(r)\approx {}&{\frac {69.3147}{r}}+0.346574,{\text{ أو مقربة:}}\\[8pt]t(r)\approx {}&{\frac {69}{r}}+0.35.\end{aligned}}}

التركيب المستمر

في حالة التركيب المستمر النظري ، يكون الاشتقاق أبسط ويؤدي إلى قاعدة أكثر دقة:

خبرة⁡(ر100⋅ت)=FVPV=2ر100⋅ت=ln⁡2ت=100⋅ln⁡2ر≈69.3147ر{\displaystyle {\begin{aligned}\exp \left({\frac {r}{100}}\cdot t\right)&={\frac {FV}{PV}}=2\\[6pt]{\frac {r}{100}}\cdot t&=\ln 2\\[6pt]t&={\frac {100\cdot \ln 2}{r}}\approx {\frac {69.3147}{r}}\end{aligned}}}

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 دونيلا ميدوز ، التفكير في الأنظمة: مقدمة ، دار نشر تشيلسي جرين ، 2008، الصفحة 33 (المربع "تلميح حول تعزيز حلقات التغذية الراجعة ومضاعفة الوقت").
  2. ↑ سلافين، ستيف (1989). كل الرياضيات التي ستحتاجها على الإطلاق . جون وايلي وأولاده . الصفحات 153-154 . ISBN  0-471-50636-2.
  3. ↑ خالد آزاد: تبسيط اللوغاريتم الطبيعي (ln) من موقع BetterExplained
  4. ↑ "متسلسلة تايلور لـ 1 / (1 – r /200)" . WolframAlpha . تم الاسترجاع في 3 يناير 2025 .
  5. ↑ "متسلسلة لوران لـ ln(2) / ln(1 + r/100)" . WolframAlpha . تم الاسترجاع في 2 يناير 2025 .

مصادر

  • جولد، جون ب.؛ ويل، رومان ل. (1974). "قاعدة 69". مجلة الأعمال . 47 (3): 397-398 . doi : 10.1086/295653 .
  • بريف، ريتشارد ب. (1977). "ملاحظة حول 'إعادة الاكتشاف' وقاعدة 69". مجلة المحاسبة . 52 (4): 810-812 .
  • مقياس الـ 70 - يوسع قاعدة الـ 72 لتتجاوز النمو ذي المعدل الثابت إلى النمو المركب ذي المعدل المتغير بما في ذلك المعدلات الإيجابية والسلبية.