الازدواجية S

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 19 صور
الموسوعة الحرة

في الفيزياء النظرية ، تُعرف ثنائية S (اختصارًا للثنائية القوية-الضعيفة، أو ثنائية سين ) بأنها تكافؤ بين نظريتين فيزيائيتين، قد تكونان نظريات حقل كمومي أو نظريات أوتار . تُعدّ ثنائية S مفيدة لإجراء الحسابات في الفيزياء النظرية لأنها تربط بين نظرية يصعب فيها إجراء الحسابات ونظرية أخرى يسهل فيها ذلك. [ 1 ]

في نظرية الحقل الكمومي، تُعمّم ثنائية S حقيقة راسخة من الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية ، ألا وهي ثبات معادلات ماكسويل عند تبادل المجالين الكهربائي والمغناطيسي . ومن أقدم الأمثلة المعروفة على ثنائية S في نظرية الحقل الكمومي ثنائية مونتونين-أوليف، التي تربط بين نسختين من نظرية حقل كمومي تُسمى نظرية يانغ-ميلز الفائقة التناظر N = 4. وتشير أعمال حديثة لأنطون كابوستين وإدوارد ويتن إلى أن ثنائية مونتونين-أوليف ترتبط ارتباطًا وثيقًا ببرنامج بحثي في ​​الرياضيات يُسمى برنامج لانجلاندز الهندسي . ومن تجليات ثنائية S الأخرى في نظرية الحقل الكمومي ثنائية سيبرغ ، التي تربط بين نسختين من نظرية تُسمى نظرية يانغ-ميلز الفائقة التناظر N = 1 .

توجد أيضًا أمثلة عديدة على ازدواجية S في نظرية الأوتار. يشير وجود هذه الازدواجيات إلى أن الصيغ المختلفة ظاهريًا لنظرية الأوتار متكافئة فيزيائيًا. وقد أدى ذلك إلى إدراك، في منتصف التسعينيات، أن جميع نظريات الأوتار الفائقة الخمس المتسقة ليست سوى حالات حدية مختلفة لنظرية واحدة ذات أحد عشر بُعدًا تُسمى نظرية M. [ 2 ]

ملخص

في نظرية الحقل الكمومي ونظرية الأوتار، يُعدّ ثابت الاقتران رقمًا يتحكم في قوة التفاعلات في النظرية. فعلى سبيل المثال، تُوصف قوة الجاذبية برقم يُسمى ثابت نيوتن ، والذي يظهر في قانون نيوتن للجاذبية ، وكذلك في معادلات نظرية النسبية العامة لألبرت أينشتاين . وبالمثل، تُوصف قوة القوة الكهرومغناطيسية بثابت اقتران، يرتبط بالشحنة التي يحملها بروتون واحد .

لحساب الكميات القابلة للرصد في نظرية الحقل الكمومي أو نظرية الأوتار، يطبق الفيزيائيون عادةً أساليب نظرية الاضطراب . في نظرية الاضطراب، تُعبَّر الكميات التي تُسمى سعات الاحتمال ، والتي تحدد احتمالية حدوث العمليات الفيزيائية المختلفة، على أنها مجموع عدد لا نهائي من الحدود ، حيث يتناسب كل حد مع قوة ثابت الاقتران.ز{\displaystyle g}:

أ=أ0+أ1ز+أ2ز2+أ3ز3+...{\displaystyle A=A_{0}+A_{1}g+A_{2}g^{2}+A_{3}g^{3}+\dots }.

لكي يكون لهذا التعبير معنى، يجب أن يكون ثابت الاقتران أقل من 1 حتى تكون القوى الأعلى لـز{\displaystyle g}تصبح صغيرة جدًا لدرجة يمكن إهمالها، ويكون المجموع محدودًا. أما إذا كان ثابت الاقتران لا يقل عن 1، فإن حدود هذا المجموع ستزداد باستمرار، ويعطي التعبير نتيجة لانهائية لا معنى لها. في هذه الحالة، يُقال إن النظرية مقترنة بقوة ، ولا يمكن استخدام نظرية الاضطراب للتنبؤ.

بالنسبة لبعض النظريات، توفر الازدواجية-S طريقة لإجراء الحسابات عند الاقتران القوي، وذلك بترجمة هذه الحسابات إلى حسابات مختلفة في نظرية ذات اقتران ضعيف. تُعد الازدواجية-S مثالًا خاصًا على المفهوم العام للازدواجية في الفيزياء. يشير مصطلح الازدواجية إلى حالة يكون فيها نظامان فيزيائيان مختلفان ظاهريًا متكافئين بطريقة غير بديهية. إذا كانت نظريتان مرتبطتين بازدواجية، فهذا يعني أنه يمكن تحويل إحدى النظريتين بطريقة ما بحيث تُصبح مطابقة تمامًا للنظرية الأخرى. يُقال حينها إن النظريتين مزدوجتان لبعضهما البعض تحت هذا التحويل. بعبارة أخرى، تُمثل النظريتان وصفين رياضيين مختلفين لنفس الظاهرة.

تُعدّ الازدواجية S مفيدة لأنها تربط النظرية بثابت الاقترانز{\displaystyle g}إلى نظرية مكافئة ذات ثابت اقتران1/ز{\displaystyle 1/g}وبالتالي، فهي تربط نظرية الاقتران القوي (حيث ثابت الاقترانز{\displaystyle g}أكبر بكثير من 1) لنظرية الاقتران الضعيف (حيث ثابت الاقتران1/ز{\displaystyle 1/g}(أقل بكثير من 1، وبالتالي يمكن إجراء الحسابات). لهذا السبب، تُسمى ثنائية S ثنائية قوية-ضعيفة .

في نظرية الحقل الكمومي

تناظر معادلات ماكسويل

في الفيزياء الكلاسيكية ، يُوصف سلوك المجالين الكهربائي والمغناطيسي بنظام من المعادلات يُعرف بمعادلات ماكسويل . وباستخدام لغة حساب المتجهات ، وبافتراض عدم وجود شحنات أو تيارات كهربائية ، يمكن كتابة هذه المعادلات [ 3 ].

∇⋅هـ=0،∇⋅ب=0،∇×هـ=-∂ب∂ت،∇×ب=1ج2∂هـ∂ت.{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0,\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0,\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},\\\nabla \times \mathbf {B} &={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.\end{aligned}}}

هناهـ{\displaystyle \mathbf {E} }هو متجه (أو بتعبير أدق حقل متجه قد يختلف مقداره واتجاهه من نقطة إلى أخرى في الفضاء) يمثل المجال الكهربائي،ب{\displaystyle \mathbf {B} }هو متجه يمثل المجال المغناطيسي،ت{\displaystyle t}الوقت، وج{\displaystyle c}هي سرعة الضوء . أما الرموز الأخرى في هذه المعادلات فتشير إلى التباعد والالتفاف ، وهما مفهومان من حساب المتجهات.

تتمثل إحدى الخصائص المهمة لهذه المعادلات [ 4 ] في ثباتها تحت التحويل الذي يستبدل المجال الكهربائي في الوقت نفسههـ{\displaystyle \mathbf {E} }بواسطة المجال المغناطيسيب{\displaystyle \mathbf {B} }ويحل محلب{\displaystyle \mathbf {B} }بواسطة-1/ج2هـ{\displaystyle -1/c^{2}\mathbf {E} }:

هـ→بب→-1ج2هـ.{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &\rightarrow \mathbf {B} \\\mathbf {B} &\rightarrow -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {E} .\end{aligned}}}

بمعنى آخر، إذا توفر لدينا زوج من المجالات الكهربائية والمغناطيسية التي تحل معادلات ماكسويل، فمن الممكن وصف نظام فيزيائي جديد يتم فيه تبادل هذه المجالات الكهربائية والمغناطيسية بشكل أساسي، وستقدم المجالات الجديدة بدورها حلاً لمعادلات ماكسويل. يُعد هذا الوضع أبسط تجليات ازدواجية S في نظرية المجال.

ثنائية مونتونين-أوليف

في نظرية الحقل الكمومي، يُوحَّد الحقلان الكهربائي والمغناطيسي في كيان واحد يُسمى الحقل الكهرومغناطيسي ، ويُوصَف هذا الحقل بنوع خاص من نظرية الحقل الكمومي يُسمى نظرية القياس أو نظرية يانغ-ميلز . في نظرية القياس، تتمتع الحقول الفيزيائية بدرجة عالية من التناظر ، يُمكن فهمها رياضيًا باستخدام مفهوم زمرة لي . تُعرف زمرة لي هذه بزمرة القياس . يُوصَف الحقل الكهرومغناطيسي بنظرية قياس بسيطة جدًا تُقابل زمرة القياس الأبيلية U(1) ، ولكن توجد نظريات قياس أخرى ذات زمر قياس غير أبيلية أكثر تعقيدًا . [ 5 ]

من الطبيعي التساؤل عما إذا كان هناك نظير في نظرية القياس للتناظر الذي يتبادل فيه المجالين الكهربائي والمغناطيسي في معادلات ماكسويل. وقد قُدِّمَت الإجابة في أواخر سبعينيات القرن العشرين على يد كلاوس مونتونين وديفيد أوليف ، [ 6 ] بالاستناد إلى أعمال سابقة لبيتر غودارد وجان نويتس وأوليف. [ 7 ] ويُقدِّم عملهما مثالًا على ازدواجية S المعروفة الآن باسم ازدواجية مونتونين-أوليف . تنطبق ازدواجية مونتونين-أوليف على نوع خاص جدًا من نظرية القياس يُسمى نظرية يانغ-ميلز الفائقة التناظر N = 4 ، وتنص على أن نظريتين من هذا النوع قد تكونان متكافئتين بمعنى دقيق معين. [ 1 ] إذا كانت إحدى النظريتين تمتلك زمرة قياسجي{\displaystyle G}إذاً، فإن النظرية الثنائية لها زمرة قياسلجي{\displaystyle {^{L}}G}أينلجي{\displaystyle {^{L}}G}يشير إلى المجموعة الثنائية لانجلاندز ، والتي تختلف بشكل عام عنجي{\displaystyle G}[ 8 ]​

يُعد ثابت الاقتران المركب كمية مهمة في نظرية الحقل الكمومي. وهو عدد مركب يُعرَّف بالصيغة [ 9 ].

τ=θ2π+4πأناز2{\displaystyle \tau ={\frac {\theta }{2\pi }}+{\frac {4\pi i}{g^{2}}}}

أينθ{\displaystyle \theta }هي زاوية ثيتا ، وهي كمية تظهر في لاغرانجيان الذي يحدد النظرية، [ 9 ] وز{\displaystyle g}هو ثابت الاقتران. على سبيل المثال، في نظرية يانغ-ميلز التي تصف المجال الكهرومغناطيسي، هذا الرقمز{\displaystyle g}هي ببساطة الشحنة الأوليةهـ{\displaystyle e}يحملها بروتون واحد. [ 1 ] بالإضافة إلى تبادل مجموعات القياس للنظريتين، فإن ازدواجية مونتونين-أوليف تحول نظرية ذات ثابت اقتران معقدτ{\displaystyle \tau }إلى نظرية ذات ثابت معقد-1/τ{\displaystyle -1/\tau }[ 9 ]​

العلاقة ببرنامج لانجلاندز

إن تطابق لانجلاندز الهندسي هو علاقة بين الكائنات الهندسية المجردة المرتبطة بمنحنى جبري مثل المنحنيات الإهليلجية الموضحة أعلاه.

في الرياضيات، تُعدّ معادلة لانجلاندز الكلاسيكية مجموعة من النتائج والتخمينات التي تربط نظرية الأعداد بفرع الرياضيات المعروف بنظرية التمثيل . [ 10 ] وقد صاغها روبرت لانجلاندز في أواخر الستينيات، وترتبط معادلة لانجلاندز بتخمينات مهمة في نظرية الأعداد، مثل تخمين تانياما-شيمورا ، الذي يتضمن نظرية فيرما الأخيرة كحالة خاصة. [ 10 ]

على الرغم من أهميتها في نظرية الأعداد، فقد أثبت إثبات تطابق لانجلاندز في سياق نظرية الأعداد صعوبة بالغة. [ 10 ] ونتيجة لذلك، عمل بعض علماء الرياضيات على تخمين ذي صلة يُعرف باسم تطابق لانجلاندز الهندسي . وهو إعادة صياغة هندسية لتطابق لانجلاندز الكلاسيكي، يتم الحصول عليها باستبدال حقول الأعداد الواردة في النسخة الأصلية بحقول الدوال ، وتطبيق تقنيات من الهندسة الجبرية . [ 10 ]

في ورقة بحثية نُشرت عام ٢٠٠٧، اقترح أنطون كابوستين وإدوارد ويتن أن تطابق لانجلاندز الهندسي يُمكن اعتباره بيانًا رياضيًا لثنائية مونتونين-أوليف. [ ١١ ] انطلاقًا من نظريتين ليانغ-ميلز مرتبطتين بثنائية S، بيّن كابوستين وويتن إمكانية بناء زوج من نظريات الحقل الكمومي في الزمكان ثنائي الأبعاد . ومن خلال تحليل تأثير هذا الاختزال البُعدي على بعض الأجسام الفيزيائية المعروفة باسم أغشية D ، أظهرا إمكانية استعادة العناصر الرياضية لتطابق لانجلاندز الهندسي. [ ١٢ ] يُظهر عملهما أن تطابق لانجلاندز يرتبط ارتباطًا وثيقًا بثنائية S في نظرية الحقل الكمومي، مع تطبيقات محتملة في كلا المجالين. [ ١٠ ]

ازدواجية سيبرغ

من تجليات ثنائية S في نظرية الحقل الكمومي ثنائية سيبرغ ، التي قدمها ناثان سيبرغ لأول مرة حوالي عام 1995. [ 13 ] على عكس ثنائية مونتونين-أوليف، التي تربط بين نسختين من نظرية القياس الفائقة التناظر القصوى في الزمكان رباعي الأبعاد، تربط ثنائية سيبرغ بين نظريات أقل تناظرًا تُسمى نظريات القياس الفائقة التناظر N=1 . لا تتطابق النظريتان N=1 الظاهرتان في ثنائية سيبرغ، لكنهما تُنتجان نفس الفيزياء عند المسافات الكبيرة. ومثل ثنائية مونتونين-أوليف، تُعمم ثنائية سيبرغ تناظر معادلات ماكسويل التي تُبدل بين المجالين الكهربائي والمغناطيسي.

في نظرية الأوتار

رسم تخطيطي لثنائيات نظرية الأوتار. تشير الحواف الزرقاء إلى ثنائية S. وتشير الحواف الحمراء إلى ثنائية T.

حتى منتصف التسعينيات، كان الفيزيائيون العاملون على نظرية الأوتار يعتقدون بوجود خمسة إصدارات متميزة منها: النوع الأول ، والنوع الثاني أ ، والنوع الثاني ب ، ونوعان من نظرية الأوتار غير المتجانسة ( SO(32) و E 8 × E 8 ). تسمح النظريات المختلفة بأنواع مختلفة من الأوتار، وتُظهر الجسيمات التي تنشأ عند الطاقات المنخفضة تناظرات مختلفة.

في منتصف التسعينيات، لاحظ الفيزيائيون أن نظريات الأوتار الخمس هذه مرتبطة في الواقع بازدواجيات بالغة الأهمية. إحدى هذه الازدواجيات هي ازدواجية S. وقد صاغ مصطلح ازدواجية S كلٌ من أناماريا فونت ، ولويس إي. إيبانيز، وديتر لوست، وفرناندو كيفيدو عام 1990. [ 14 ] [ 15 ] وقد تبين أن نظرية الأوتار من النوع IIB ذات ثابت الاقترانز{\displaystyle g}وهي مكافئة عبر ازدواجية S لنفس نظرية الأوتار ذات ثابت الاقتران1/ز{\displaystyle 1/g}وبالمثل، نظرية الأوتار من النوع الأول مع الاقترانز{\displaystyle g}وهو مكافئ لنظرية الأوتار غير المتجانسة SO(32) ذات ثابت الاقتران1/ز{\displaystyle 1/g}.

أظهر وجود هذه الازدواجيات أن نظريات الأوتار الخمس لم تكن في الواقع نظريات منفصلة تمامًا. ففي عام ١٩٩٥، وخلال مؤتمر نظرية الأوتار في جامعة جنوب كاليفورنيا ، قدّم إدوارد ويتن اقتراحًا مثيرًا للدهشة مفاده أن هذه النظريات الخمس ما هي إلا حدود مختلفة لنظرية واحدة تُعرف الآن باسم نظرية إم . [ ١٦ ] استند اقتراح ويتن إلى ملاحظة أن نظريات الأوتار غير المتجانسة من النوع IIA وE 8 × E 8 ترتبط ارتباطًا وثيقًا بنظرية جاذبية تُسمى الجاذبية الفائقة ذات أحد عشر بُعدًا . وقد أدى إعلانه إلى موجة من الأبحاث تُعرف الآن باسم ثورة الأوتار الفائقة الثانية .

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. 1 2 3 فرينكل (2009 ، ص 2) 
  2. ↑ زويباخ (2009 ، ص 325) 
  3. ↑ غريفيث (1999 ، ص 326) 
  4. ↑ غريفيث (1999 ، ص 327) 
  5. ↑ للحصول على مقدمة عن نظرية الحقل الكمومي بشكل عام بما في ذلك أساسيات نظرية القياس، انظر Zee (2010)
  6. ↑ مونتونين وأوليف (1977)
  7. ^ جودارد ونويتس وأوليف (1977)
  8. ↑ فرينكل (2009 ، ص 5) 
  9. 1 2 3 فرينكل (2009 ، ص 12) 
  10. 1 2 3 4 5 فرينكل (2007)
  11. ↑ كابوستين وويتن (2007)
  12. ↑ أسبينوال وآخرون (2009 ، ص 415) 
  13. ↑ سيبرغ (1995)
  14. ↑ بولشينسكي، جوزيف (24 مايو 2022). ذكريات فيزيائي نظري: رحلة عبر عالم الأوتار والثقوب السوداء والأكوان المتعددة . مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ISBN 978-0-262-36890-2.
  15. ↑ فونت وآخرون (1990)
  16. ↑ ويتن 1995

مراجع