عينة عشوائية بسيطة

📅 آخر تحديث: ١٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 6 صور
الموسوعة الحرة

في الإحصاء ، تُعرَّف العينة العشوائية البسيطة ( SRS ) بأنها مجموعة فرعية من الأفراد ( العينة ) تُختار من مجموعة أكبر ( المجتمع الإحصائي )، حيث تُختار مجموعة فرعية من الأفراد عشوائيًا ، جميعهم بنفس الاحتمالية. وهي عملية اختيار عينة بطريقة عشوائية. في العينة العشوائية البسيطة، يكون لكل مجموعة فرعية من k فرد نفس احتمالية الاختيار للعينة مثل أي مجموعة فرعية أخرى من k فرد. [ 1 ] تُعدّ العينة العشوائية البسيطة نوعًا أساسيًا من أنواع أخذ العينات، ويمكن أن تكون عنصرًا من عناصر طرق أخذ العينات الأكثر تعقيدًا. [ 2 ]

مقدمة

مبدأ المعاينة العشوائية البسيطة هو أن كل مجموعة تحتوي على نفس عدد العناصر لها نفس احتمالية الاختيار. على سبيل المثال، لنفترض أن عشرة طلاب جامعيين يرغبون في الحصول على تذكرة لحضور مباراة كرة سلة، ولكن لا تتوفر لهم سوى ست تذاكر، لذا قرروا اتباع طريقة عادلة لاختيار الفائز. بعد ذلك، يُعطى كل طالب رقمًا بين 1 و10، ويتم توليد أرقام عشوائية، إما إلكترونيًا أو من جدول أرقام عشوائية . يتم تجاهل الأرقام خارج النطاق من 1 إلى 10، وكذلك أي أرقام تم اختيارها مسبقًا. الأرقام الستة الأولى هي التي تحدد الفائزين المحظوظين بالتذاكر.

في المجتمعات الصغيرة، وفي كثير من الأحيان في المجتمعات الكبيرة، يُجرى هذا النوع من المعاينة عادةً " بدون إرجاع "، أي يتم تجنب اختيار أي فرد من أفراد المجتمع أكثر من مرة. مع أن المعاينة العشوائية البسيطة مع الإرجاع ممكنة، إلا أن هذا أقل شيوعًا، ويُشار إليه عادةً بالمعاينة العشوائية البسيطة مع الإرجاع . المعاينة بدون إرجاع لا تُعدّ مستقلة، لكنها لا تزال تُحقق مبدأ التبادلية ، ولذلك تبقى معظم نتائج الإحصاء الرياضي صحيحة. علاوة على ذلك، بالنسبة لعينة صغيرة من مجتمع كبير، فإن المعاينة بدون إرجاع تُعادل تقريبًا المعاينة مع الإرجاع، نظرًا لانخفاض احتمال اختيار الفرد نفسه مرتين. تعتبر كتب منهجية المسح عمومًا المعاينة العشوائية البسيطة بدون إرجاع معيارًا لحساب الكفاءة النسبية لأساليب المعاينة الأخرى. [ 3 ]

يُعدّ اختيار الأفراد عشوائيًا وبشكل غير متحيز أمرًا بالغ الأهمية، بحيث إذا تم سحب عينات متعددة، فإن متوسط ​​العينة سيمثل المجتمع بدقة. مع ذلك، لا يضمن هذا أن تكون عينة معينة تمثيلًا مثاليًا للمجتمع. فالمعاينة العشوائية البسيطة تسمح فقط باستخلاص استنتاجات صالحة ظاهريًا حول المجتمع بأكمله بناءً على العينة. ويمكن توسيع نطاق هذا المفهوم ليشمل منطقة جغرافية. [ 4 ] في هذه الحالة، تصبح أطر المعاينة المساحية مناسبة.

من الناحية النظرية، تُعدّ العينة العشوائية البسيطة أبسط تقنيات أخذ العينات الاحتمالية. وهي تتطلب إطار عينة كامل ، قد لا يكون متوفرًا أو ممكنًا إنشاؤه في المجتمعات الكبيرة. وحتى في حال توفر إطار كامل، قد تكون هناك طرق أكثر كفاءة إذا توفرت معلومات أخرى مفيدة حول وحدات المجتمع.

من مزايا هذه الطريقة أنها خالية من أخطاء التصنيف، ولا تتطلب سوى الحد الأدنى من المعرفة المسبقة عن المجتمع الإحصائي باستثناء الإطار. كما أن بساطتها تجعل تفسير البيانات التي يتم جمعها بهذه الطريقة سهلاً نسبياً. لهذه الأسباب، يُعدّ أخذ العينات العشوائية البسيطة الأنسب للحالات التي لا تتوفر فيها معلومات كافية عن المجتمع الإحصائي، ويمكن فيها جمع البيانات بكفاءة على عناصر موزعة عشوائياً، أو عندما تكون تكلفة أخذ العينات منخفضة بما يكفي لجعل الكفاءة أقل أهمية من البساطة. إذا لم تتحقق هذه الشروط، فقد يكون أخذ العينات الطبقية أو أخذ العينات العنقودية خياراً أفضل.

العلاقة بين العينة العشوائية البسيطة والأساليب الأخرى

أخذ العينات باحتمالية متساوية (epsem)

تُسمى طريقة أخذ العينات التي يكون لكل وحدة فردية فيها نفس فرصة الاختيار بأخذ العينات باحتمالية متساوية (epsem اختصارًا).

يؤدي استخدام عينة عشوائية بسيطة دائمًا إلى عينة ذات احتمالية إبسيلونية (epsem)، ولكن ليست كل عينات epsem عينات عشوائية بسيطة. على سبيل المثال، إذا كان لدى معلمة فصل دراسي مُرتب في 5 صفوف و6 أعمدة، وتريد أخذ عينة عشوائية من 5 طلاب، فقد تختار أحد الأعمدة الستة عشوائيًا. ستكون هذه عينة epsem، ولكن ليس لكل مجموعة فرعية من 5 طلاب احتمالية متساوية للاختيار، حيث أن المجموعات الفرعية المرتبة في عمود واحد فقط هي المؤهلة للاختيار. هناك أيضًا طرق لإنشاء عينات متعددة المراحل ، وهي ليست عينات عشوائية بسيطة، بينما ستكون العينة النهائية epsem. [ 5 ] على سبيل المثال، تُنتج العينات العشوائية المنتظمة عينة يكون لكل وحدة فيها نفس احتمالية الإدراج، ولكن مجموعات الوحدات المختلفة لها احتمالات اختيار مختلفة.

العينات التي تكون epsem هي عينات ذاتية الترجيح ، مما يعني أن مقلوب احتمالية الاختيار لكل عينة متساوٍ.

التمييز بين العينة العشوائية المنتظمة والعينة العشوائية البسيطة

لنفترض مدرسة بها 1000 طالب، ولنفترض أن باحثًا يريد اختيار 100 منهم لإجراء دراسة إضافية. يمكن وضع جميع أسماء الطلاب في وعاء، ثم سحب 100 اسم عشوائيًا. ليس فقط أن لكل طالب فرصة متساوية في الاختيار، بل يمكننا أيضًا حساب احتمالية ( P ) اختيار طالب معين بسهولة، لأننا نعرف حجم العينة ( n ) وحجم المجتمع الإحصائي ( N ).

1. في حالة أنه لا يمكن اختيار أي شخص إلا مرة واحدة (أي بعد الاختيار، يتم استبعاد الشخص من مجموعة الاختيار):

P=1-شمال-1شمال⋅شمال-2شمال-1⋅⋯⋅شمال-نشمال-(ن-1)=إلغاء:1-شمال-نشمال=نشمال=1001000=10%{\displaystyle {\begin{aligned}P&=1-{\frac {N-1}{N}}\cdot {\frac {N-2}{N-1}}\cdot \cdots \cdot {\frac {Nn}{N-(n-1)}}\\[8pt]&{\stackrel {\text{الإلغاء:}}{=}}1-{\frac {Nn}{N}}\\[8pt]&={\frac {n}{N}}\\[8pt]&={\frac {100}{1000}}\\[8pt]&=10\%\end{aligned}}}

2. في حالة إعادة أي شخص تم اختياره إلى مجموعة الاختيار (أي، يمكن اختياره أكثر من مرة):

P=1-(1-1شمال)ن=1-(9991000)100=0.0952⋯≈9.5%{\displaystyle P=1-\left(1-{\frac {1}{N}}\right)^{n}=1-\left({\frac {999}{1000}}\right)^{100}=0.0952\dots \approx 9.5\%}

هذا يعني أن لكل طالب في المدرسة فرصة تقارب 1 من 10 للاختيار باستخدام هذه الطريقة. علاوة على ذلك، فإن أي مجموعة من 100 طالب لديها نفس احتمالية الاختيار.

إذا تم إدخال نمط منتظم في عملية أخذ العينات العشوائية، يُطلق عليها اسم "أخذ العينات المنتظم (العشوائي)". على سبيل المثال، إذا كان لطلاب المدرسة أرقام مرتبطة بأسمائهم تتراوح من 0001 إلى 1000، واخترنا نقطة بداية عشوائية، مثلاً 0533، ثم اخترنا كل عاشر اسم بعد ذلك لنحصل على عينة مكونة من 100 طالب (بدءًا من 0003 بعد الوصول إلى 0993). بهذا المعنى، تُشبه هذه التقنية أخذ العينات العنقودية، حيث أن اختيار الوحدة الأولى يُحدد باقي الوحدات. لم يعد هذا أخذ عينات عشوائي بسيط، لأن بعض مجموعات الطلاب المئة لديها احتمال اختيار أكبر من غيرها - على سبيل المثال، المجموعة {3، 13، 23، ...، 993} لديها فرصة 1/10 للاختيار، بينما المجموعة {1، 2، 3، ...، 100} لا يمكن اختيارها بهذه الطريقة.

أخذ عينة من مجتمع ثنائي التفرع

إذا كان أفراد المجتمع الإحصائي ينقسمون إلى ثلاثة أنواع، ولنقل "أزرق" و"أحمر" و"أسود"، فإن عدد العناصر الحمراء في عينة ذات حجم معين يختلف باختلاف العينة، وبالتالي فهو متغير عشوائي يمكن دراسة توزيعه. يعتمد هذا التوزيع على عدد العناصر الحمراء والسوداء في المجتمع الإحصائي ككل. بالنسبة لعينة عشوائية بسيطة مع الإحلال، يكون التوزيع توزيعًا ثنائي الحدين . أما بالنسبة لعينة عشوائية بسيطة بدون إحلال، فيكون التوزيع فوق الهندسي . [ 6 ]

الخوارزميات

طُوِّرت العديد من الخوارزميات الفعّالة لأخذ عينات عشوائية بسيطة. [ 7 ] [ 8 ] إحدى الخوارزميات البسيطة هي خوارزمية السحب المتتالي، حيث نقوم في كل خطوة بإزالة عنصر من المجموعة باحتمالية متساوية، ثم نضعه في العينة. نستمر في هذه العملية حتى نحصل على عينة بالحجم المطلوب.ك{\displaystyle k}عيب هذه الطريقة هو أنها تتطلب الوصول العشوائي إلى المجموعة.

تتطلب خوارزمية الاختيار والرفض التي طورها فان وآخرون عام 1962 [ 9 ] مرورًا واحدًا فقط على البيانات؛ ومع ذلك، فهي خوارزمية تسلسلية وتتطلب معرفة العدد الإجمالي للعناصرن{\displaystyle n}، وهو أمر غير متوفر في سيناريوهات البث المباشر.

أثبت سانتر في عام 1977 خوارزمية فرز عشوائي بسيطة للغاية. [ 10 ] تقوم الخوارزمية ببساطة بتعيين رقم عشوائي مُستمد من توزيع منتظم.(0،1){\displaystyle (0,1)}كمفتاح لكل عنصر، ثم يقوم بفرز جميع العناصر باستخدام المفتاح ويختار أصغرهاك{\displaystyle k}أغراض.

اقترح ج. فيتر في عام 1985 [ 11 ] خوارزميات أخذ عينات الخزانات ، والتي تُستخدم على نطاق واسع. لا تتطلب هذه الخوارزمية معرفة حجم المجتمع.ن{\displaystyle n}مسبقاً، ويستخدم مساحة ثابتة.

يمكن أيضًا تسريع عملية أخذ العينات العشوائية عن طريق أخذ عينات من توزيع الفجوات بين العينات [ 12 ] وتجاوز الفجوات.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ ييتس، دانيال س.؛ ديفيد س. مور؛ دارين س. ستارنز (2008). ممارسة الإحصاء، الطبعة الثالثة . فريمان . ISBN 978-0-7167-7309-2.
  2. ↑ تومسون، ستيفن ك. (2012). المعاينة . سلسلة وايلي في الاحتمالات والإحصاء ( الطبعة الثالثة). هوبوكين، نيوجيرسي: جون وايلي وأولاده. ISBN  978-1-118-16293-4.
  3. ↑ كوكران، ويليام جيميل (1977). تقنيات المعاينة . سلسلة وايلي في الاحتمالات والإحصاء الرياضي ( الطبعة الثالثة). نيويورك: وايلي. ISBN  978-0-471-16240-7.
  4. ↑ كريسي، نويل أ.س. (2015). إحصاءات البيانات المكانية ( طبعة منقحة). هوبوكين، نيوجيرسي: جون وايلي وأولاده، رقم ISBN  978-1-119-11517-5.
  5. ↑ بيترز، تيم جيه، وجيني آي. إيتشوس. "تحقيق احتمالية متساوية للاختيار في ظل استراتيجيات أخذ العينات العشوائية المختلفة." علم الأوبئة في طب الأطفال وما حول الولادة 9.2 (1995): 219-224.
  6. ↑ آش، روبرت ب. (2008). نظرية الاحتمالات الأساسية . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-46628-6. OCLC 190785258 . 
  7. ^ تيل، إيف؛ تيلي ، إيف (2006-01-01). خوارزميات أخذ العينات - سبرينغر . سلسلة سبرينغر في الإحصاء. دوى : 10.1007/0-387-34240-0 . رقم ISBN 978-0-387-30814-2.
  8. ↑ مينغ، شيانغروي (2013). "أخذ العينات العشوائية البسيطة القابلة للتوسع وأخذ العينات الطبقية" (ملف PDF) . وقائع المؤتمر الدولي الثلاثين للتعلم الآلي (ICML-13) : 531-539 .
  9. ↑ فان، سي تي؛ مولر، ميرفين إي؛ ريزوتشا، إيفان (1962-06-01). "تطوير خطط المعاينة باستخدام تقنيات الاختيار التسلسلي (عنصرًا تلو الآخر) والحواسيب الرقمية". مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية . 57 (298): 387-402 . doi : 10.1080/01621459.1962.10480667 . ISSN 0162-1459 . 
  10. ↑ سانتر، أ.ب. (1977-01-01). "أخذ العينات التسلسلية القائمة باحتمالات متساوية أو غير متساوية بدون إرجاع". الإحصاء التطبيقي . 26 (3): 261-268 . doi : 10.2307/2346966 . JSTOR 2346966 . 
  11. ↑ فيتر، جيفري س. (1985-03-01). "أخذ العينات العشوائية باستخدام خزان". معاملات ACM للبرمجيات الرياضية . 11 (1): 37-57 . CiteSeerX 10.1.1.138.784 . doi : 10.1145/3147.3165 . ISSN 0098-3500 .  
  12. ↑ فيتر، جيفري س. (1984-07-01). "طرق أسرع لأخذ العينات العشوائية". مجلة اتصالات رابطة مكائن ​​الحوسبة . 27 (7): 703-718 . CiteSeerX 10.1.1.329.6400 . doi : 10.1145/358105.893 . ISSN 0001-0782 .  
  • شعار ويكيميديا ​​كومنزالوسائط المتعلقة بالمعاينة العشوائية على ويكيميديا ​​كومنز