وظيفة توماي

للجميع${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} ,}$لدينا أيضًا${\displaystyle x+n\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$وبالتالي${\displaystyle f(x+n)=f(x)=0,}$

للجميع${\displaystyle x\in \mathbb {Q} ,\;}$يوجد${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$و${\displaystyle q\in \mathbb {N} }$بحيث${\displaystyle \;x=p/q,\;}$و${\displaystyle \gcd(p,\;q)=1.}$ يعتبر${\displaystyle x+n=(p+nq)/q}$. لو${\displaystyle d}$يقسم${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$، فهو يقسم${\displaystyle p+nq}$ و${\displaystyle q}$. على العكس من ذلك، إذا${\displaystyle d}$يقسم${\displaystyle p+nq}$و${\displaystyle q}$، فهو يقسم${\displaystyle (p+nq)-nq=p}$و${\displaystyle q}$. لذا${\displaystyle \gcd(p+nq,q)=\gcd(p,q)=1}$، و${\displaystyle f(x+n)=1/q=f(x)}$.

يترك${\displaystyle x_{0}=p/q}$ليكن عددًا نسبيًا كيفيًا، مع${\displaystyle \;p\in \mathbb {Z} ,\;q\in \mathbb {N} ,}$و${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$عدد أولي فيما بينه.

وهذا يثبت${\displaystyle f(x_{0})=1/q.}$

يترك${\displaystyle \;\alpha \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \;}$ليكن أي عدد غير نسبي ، وعرّف${\displaystyle x_{n}=x_{0}+{\frac {\alpha }{n}}}$للجميع${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

هؤلاء${\displaystyle x_{n}}$جميعها غير عقلانية، ولذا${\displaystyle f(x_{n})=0}$للجميع${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

وهذا يعني${\displaystyle |x_{0}-x_{n}|={\frac {\alpha }{n}},}$و${\displaystyle |f(x_{0})-f(x_{n})|={\frac {1}{q}}.}$

يترك${\displaystyle \;\varepsilon =1/q\;}$، وبالنظر إلى${\displaystyle \delta >0}$يترك${\displaystyle n=1+\left\lceil {\frac {\alpha }{\delta }}\right\rceil .}$للمقابل${\displaystyle \;x_{n}}$لدينا $${\displaystyle |f(x_{0})-f(x_{n})|=1/q\geq \varepsilon }$$و $${\displaystyle |x_{0}-x_{n}|={\frac {\alpha }{n}}={\frac {\alpha }{1+\left\lceil {\frac {\alpha }{\delta }}\right\rceil }}<{\frac {\alpha }{\left\lceil {\frac {\alpha }{\delta }}\right\rceil }}\leq \delta ,}$$

وهو تعريف عدم الاستمرارية تحديداً${\displaystyle f}$في${\displaystyle x_{0}}$.

منذ${\displaystyle f}$دورية ذات فترة${\displaystyle 1}$و${\displaystyle 0\in \mathbb {Q} ,}$يكفي التحقق من جميع النقاط غير المنطقية في${\displaystyle I=(0,1).\;}$افترض الآن${\displaystyle \varepsilon >0,\;i\in \mathbb {N} }$و${\displaystyle x_{0}\in I\setminus \mathbb {Q} .}$وفقًا لخاصية أرخميدس للحقيقيات، يوجد${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$مع${\displaystyle 1/r<\varepsilon ,}$ويوجد${\displaystyle \;k_{i}\in \mathbb {N} ,}$بحيث

ل${\displaystyle i=1,\ldots ,r}$لدينا${\displaystyle 0\leq {\frac {k_{i}}{i}}<x_{0}<{\frac {k_{i}+1}{i}}.}$

الحد الأدنى للمسافة${\displaystyle x_{0}}$يساوي حديها الأدنى والأعلى رقم i$${\displaystyle d_{i}:=\min \left\{\left|x_{0}-{\frac {k_{i}}{i}}\right|,\;\left|x_{0}-{\frac {k_{i}+1}{i}}\right|\right\}.}$$

نحن نحدد${\displaystyle \delta }$باعتباره الحد الأدنى من بين جميع الأشياء المحدودة العدد${\displaystyle d_{i}.}$$${\displaystyle \delta$$ :=\min _{1\leq i\leq r}\{d_{i}\},\;} بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle i=1,\dots ,r,}$${\displaystyle |x_{0}-k_{i}/i|\geq \delta }$و${\displaystyle |x_{0}-(k_{i}+1)/i|\geq \delta .}$

وهذا يعني أن جميع هذه الأعداد النسبية${\displaystyle k_{i}/i,\;(k_{i}+1)/i,\;}$هم خارج${\displaystyle \delta }$-حي${\displaystyle x_{0}.}$

والآن لنبدأ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} \cap (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )}$مع التمثيل الفريد${\displaystyle x=p/q}$أين${\displaystyle p,q\in \mathbb {N} }$هي أعداد أولية فيما بينها. إذن، بالضرورة،${\displaystyle q>r,\;}$وبالتالي، $${\displaystyle f(x)=1/q<1/r<\varepsilon .}$$

وبالمثل، بالنسبة لجميع غير العقلانيين${\displaystyle x\in I,\;f(x)=0=f(x_{0}),\;}$وبالتالي، إذا${\displaystyle \varepsilon >0}$ثم أي اختيار من (صغير بما فيه الكفاية)${\displaystyle \delta >0}$أعطِ $${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta \implies |f(x_{0})-f(x)|=f(x)<\varepsilon .}$$

لذلك،${\displaystyle f}$مستمر على${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} .}$

• بالنسبة للأعداد النسبية، فإن هذا يتبع من عدم الاستمرارية.
• بالنسبة للأعداد غير النسبية:

  لأي متتالية من الأعداد غير النسبية${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$مع${\displaystyle a_{n}\neq x_{0}}$للجميع${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{+}}$التي تتقارب إلى النقطة غير العقلانية${\displaystyle x_{0}}$، التسلسل${\displaystyle (f(a_{n}))_{n=1}^{\infty }}$هو نفسه${\displaystyle 0}$وهكذا${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {f(a_{n})-f(x_{0})}{a_{n}-x_{0}}}\right|=0}$.

  من ناحية أخرى، لننظر إلى متتالية الأعداد النسبية${\displaystyle (b_{n})_{n=1}^{\infty }}$مع${\displaystyle b_{n}=\lfloor nx_{0}\rfloor /n}$، أين${\displaystyle \lfloor nx_{0}\rfloor }$يشير إلى الطابق${\displaystyle nx_{0}}$. منذ${\displaystyle nx_{0}-1<\lfloor nx_{0}\rfloor \leq nx_{0}}$، التسلسل${\displaystyle (b_{n})_{n=1}^{\infty }}$يتقارب إلى${\displaystyle x_{0}}$باستخدام نظرية الضغط . أيضاً،${\displaystyle |b_{n}-x_{0}|=|\lfloor nx_{0}\rfloor /n-x_{0}|=|\lfloor nx_{0}\rfloor -nx_{0}|/n\leq 1/n}$للجميع${\displaystyle n}$.

  وهكذا للجميع${\displaystyle n}$،${\displaystyle \left|{\frac {f(b_{n})-f(x_{0})}{b_{n}-x_{0}}}\right|\geq {\frac {1/n-0}{1/n}}=1}$وبالتالي نحصل على${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\left|{\frac {f(b_{n})-f(x_{0})}{b_{n}-x_{0}}}\right|\geq 1\neq 0}$وهكذا${\displaystyle f}$لا يمكن اشتقاقها عند أي عدد غير نسبي${\displaystyle x_{0}}$.