التفاهة (الرياضيات)

في الرياضيات ، تُستخدم صفة "تافه" غالبًا للإشارة إلى ادعاء أو حالة يمكن استنتاجها بسهولة من السياق، أو إلى كائن بسيط للغاية يمتلك بنية معينة (مثل الزمرة ، أو الفضاء الطوبولوجي ). ^{[ 1 ] [ 2 ]} أما اسم " التفاهة" فيشير عادةً إلى جانب تقني بسيط في برهان أو تعريف ما. يعود أصل هذا المصطلح في اللغة الرياضية إلى منهج "التريفيوم" في العصور الوسطى، والذي يميزه عن منهج "الكوادريفيوم" الأكثر صعوبة . ^{[ 1 ] [ 3 ]} عكس "تافه" هو "غير تافه" ، والذي يُستخدم عادةً للإشارة إلى أن مثالًا أو حلًا ليس بسيطًا، أو أن عبارة أو نظرية ما ليس من السهل إثباتها. ^{[ 2 ]}

لا يوجد تعريف دقيق للتفاهة في الرياضيات. إنها مسألة ذاتية ، وغالبًا ما يتم تحديدها في موقف معين بناءً على معرفة وخبرة من ينظرون في الحالة.

في الرياضيات، يُستخدم مصطلح "تافه" غالبًا للإشارة إلى الكائنات (مثل الزمر، والفضاءات الطوبولوجية) ذات البنية البسيطة للغاية. وتشمل هذه الكائنات، على سبيل المثال لا الحصر:

• المجموعة الفارغة : المجموعة التي لا تحتوي على أي عناصر أو تحتوي على عناصر فارغة.
• المجموعة التافهة : المجموعة الرياضية التي تحتوي فقط على عنصر الوحدة
• الحلقة التافهة : حلقة معرفة على مجموعة أحادية

يمكن استخدام مصطلح " تافه " لوصف حلول المعادلات ذات البنية البسيطة جدًا، ولكن لا يمكن حذفه من أجل الإكمال. تُسمى هذه الحلول بالحلول التافهة . على سبيل المثال، لننظر إلى المعادلة التفاضلية التالية:

$${\displaystyle y'=y}$$

أين${\displaystyle y=y(x)}$هي دالة مشتقتها هي​${\displaystyle y'}$الحل التافه هو الدالة الصفرية

$${\displaystyle y(x)=0}$$

بينما يمثل الحل غير التافه الدالة الأسية

$${\displaystyle y(x)=e^{x}.}$$

المعادلة التفاضلية${\displaystyle f''(x)=-\lambda f(x)}$مع الشروط الحدية${\displaystyle f(0)=f(L)=0}$يُعدّ هذا المفهوم مهمًا في الرياضيات والفيزياء، إذ يُمكن استخدامه لوصف جسيم في صندوق في ميكانيكا الكم، أو موجة مستقرة على وتر. وهو يتضمن دائمًا الحل.${\displaystyle f(x)=0}$وهو ما يُعتبر بديهياً، ولذا يُطلق عليه الحل "البديهي". في بعض الحالات، قد توجد حلول أخرى ( دوال جيبية )، تُسمى الحلول "غير البديهية". ^{[ 4 ]}

وبالمثل، غالبًا ما يصف علماء الرياضيات نظرية فيرما الأخيرة بأنها تؤكد عدم وجود حلول صحيحة غير تافهة للمعادلة${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$حيث n أكبر من 2. من الواضح أن هناك بعض الحلول للمعادلة. على سبيل المثال،${\displaystyle a=b=c=0}$يُعد حلاً لأي قيمة n ، ولكن مثل هذه الحلول واضحة ويمكن الحصول عليها بجهد قليل، وبالتالي فهي "تافهة".

قد يشير مصطلح "تافه" أيضًا إلى أي حالة سهلة من البرهان، والتي لا يمكن تجاهلها من أجل الإكمال. على سبيل المثال، تتكون البراهين بالاستقراء الرياضي من جزأين: "الحالة الأساسية" التي تُبين صحة النظرية لقيمة ابتدائية معينة (مثل n = 0 أو n = 1)، وخطوة الاستقراء التي تُبين أنه إذا كانت النظرية صحيحة لقيمة معينة من n ، فإنها صحيحة أيضًا للقيمة n + 1. غالبًا ما تكون الحالة الأساسية تافهة ويتم تحديدها على هذا النحو، على الرغم من وجود حالات تكون فيها الحالة الأساسية صعبة ولكن خطوة الاستقراء تافهة. وبالمثل، قد يرغب المرء في إثبات أن خاصية معينة تمتلكها جميع عناصر مجموعة معينة. سيتناول الجزء الرئيسي من البرهان حالة المجموعة غير الفارغة، ويفحص عناصرها بالتفصيل؛ في حالة كون المجموعة فارغة، فإن الخاصية تمتلكها جميع عناصر المجموعة الفارغة بشكل بديهي، نظرًا لعدم وجود أي عنصر فارغ (انظر " الحقيقة الفارغة" لمزيد من التفاصيل).

يعتمد الحكم على ما إذا كان موقفٌ ما تافهاً أم لا على من ينظر إليه، إذ يبدو الموقف واضحاً لمن يملك معرفةً أو خبرةً كافيةً به، بينما قد يصعب فهمه على من لم يره قط، وبالتالي لا يُعدّ تافهاً على الإطلاق. وقد يُثار جدلٌ حول مدى سهولة وسرعة إدراك المشكلة لاعتبارها تافهة. تُظهر الأمثلة التالية ذاتية وغموض الحكم على التفاهة.

تعتمد بديهية المسألة أيضاً على السياق. ففي التحليل الوظيفي، من المرجح أن يفترض البرهان، عند إعطاء عدد معين، وجود عدد أكبر منه. أما عند إثبات نتائج أساسية حول الأعداد الطبيعية في نظرية الأعداد الأولية ، فقد يعتمد البرهان بشكل كبير على ملاحظة أن لكل عدد طبيعي عددًا لاحقاً - وهي عبارة يجب إثباتها أو اعتبارها بديهية، لذا فهي ليست بديهية (للمزيد، انظر بديهيات بيانو ).

• من النكات الشائعة في الأوساط الرياضية القول بأن "التافه" مرادف لـ "المثبت" - أي أن أي نظرية يمكن اعتبارها "تافهة" بمجرد أن يُعرف أنها مثبتة على أنها صحيحة. ^{[ 1 ]}
• عالمان رياضيات يناقشان نظريةً ما: يقول الأول إنها "بديهية". ثم يشرع في شرحها لمدة عشرين دقيقة استجابةً لطلب الثاني توضيحًا. وفي نهاية الشرح، يوافق الثاني على بداهة النظرية. ولكن هل يمكننا القول إن هذه النظرية بديهية حتى لو استغرق إثباتها وقتًا وجهدًا كبيرين؟
• عندما يقول عالم رياضيات أن نظرية ما تافهة، لكنه غير قادر على إثباتها بنفسه في اللحظة التي ينطق فيها بأنها تافهة، فهل النظرية تافهة؟
• كثيراً ما يُشار إلى مشكلة ما، على سبيل المزاح، بأنها "بديهية". على سبيل المثال، قد يعتبر شخصٌ ذو خبرة في حساب التفاضل والتكامل العبارة التالية بديهية:$${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}\,dx={\frac {1}{3}}.}$$ومع ذلك، بالنسبة لشخص ليس لديه معرفة بحساب التكامل، فإن هذا ليس واضحًا، لذا فهو ليس أمرًا تافهًا.

• في نظرية الأعداد ، من المهم غالبًا إيجاد عوامل العدد الصحيح N. أي عدد N له أربعة عوامل واضحة: ±1 و ± N . تُسمى هذه العوامل "العوامل التافهة". أي عامل آخر، إن وُجد، يُسمى "عاملًا غير تافه". ^{[ 6 ]}
• معادلة المصفوفة المتجانسة${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }$، أين${\displaystyle A}$هي مصفوفة ثابتة،${\displaystyle \mathbf {x} }$هو متجه مجهول، و${\displaystyle \mathbf {0} }$المتجه الصفري له حل واضح${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} }$يُطلق على هذا اسم "الحل البسيط". أما أي حلول أخرى، مع${\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }$وتسمى "غير تافهة". ^{[ 7 ]}
• في نظرية الزمر ، توجد زمرة بسيطة للغاية تحتوي على عنصر واحد فقط؛ وغالبًا ما تسمى هذه الزمرة "الزمرة التافهة". أما جميع الزمر الأخرى، الأكثر تعقيدًا، فتسمى "الزمر غير التافهة".
• في نظرية الرسم البياني ، الرسم البياني التافه هو رسم بياني يحتوي على رأس واحد فقط ولا يحتوي على أي حافة.
• تتضمن نظرية قواعد البيانات مفهومًا يُسمى التبعية الوظيفية ، مكتوبًا${\displaystyle X\to Y}$الاعتماد${\displaystyle X\to Y}$تكون هذه العبارة صحيحة إذا كانت Y مجموعة جزئية من X ، ولذلك يُطلق على هذا النوع من التبعية اسم "التبعية التافهة". أما جميع التبعيات الأخرى، الأقل وضوحًا، فتُسمى "التبعيات غير التافهة".
• يمكن إثبات أن دالة زيتا لريمان لها أصفار عند الأعداد الزوجية السالبة -2، -4، ... على الرغم من سهولة البرهان نسبيًا، إلا أن هذه النتيجة لا تُعتبر بديهية في العادة؛ إلا أنها كذلك في هذه الحالة، لأن أصفارها الأخرى غير معروفة عمومًا ولها تطبيقات مهمة وتثير تساؤلات مفتوحة (مثل فرضية ريمان ). وبناءً على ذلك، تُسمى الأعداد الزوجية السالبة بالأصفار البديهية للدالة، بينما تُعتبر أي أصفار أخرى غير بديهية.

• الانحطاط
• الكائنات الأولية والنهائية
• قائمة المصطلحات الرياضية
• مرضي
• التفاهة
• إجراء تافه
• تمثيل تافه
• الطوبولوجيا التافهة

• مدخل بسيط في عالم الرياضيات