نقطة الانعطاف

في حساب التفاضل والتكامل والهندسة التفاضلية ، تُعرف نقطة الانعطاف ( أو نقطة الانعطاف ) بأنها نقطة على منحنى مستوٍ أملس يتغير عندها اتجاه الانحناء . وبالتحديد، في حالة تمثيل دالة بيانيًا ، هي النقطة التي تتغير عندها الدالة من كونها مقعرة ( مقعرة للأسفل ) إلى محدبة (مقعرة للأعلى)، أو العكس.

بالنسبة لمنحنى دالة $f$ من فئة التفاضل $C²$ (حيث توجد مشتقتها الأولى $f'$ ومشتقتها الثانية $f''$ وهما متصلتان)، يمكن استخدام الشرط $f'' = 0$ لإيجاد نقطة انعطاف، إذ يجب المرور بنقطة $f$ ' $' = 0 لتغيير قيمة$ $f''$ من موجبة (محدبة) إلى سالبة (مقعرة) أو العكس، لأن $f''$ متصلة. نقطة الانعطاف هي النقطة التي تكون عندها $f'' = 0$ وتغير إشارتها عندها (من موجبة إلى سالبة أو من سالبة إلى موجبة). ^{[ 1 ]} تُسمى النقطة التي تنعدم عندها المشتقة الثانية دون أن تغير إشارتها أحيانًا بنقطة تموج .

في الهندسة الجبرية، يتم تعريف نقطة الانعطاف بشكل أكثر عمومية، على أنها نقطة منتظمة حيث يلتقي المماس بالمنحنى من الدرجة 3 على الأقل، ويتم تعريف نقطة التموج أو الانعطاف الفائق على أنها نقطة حيث يلتقي المماس بالمنحنى من الدرجة 4 على الأقل.

تعريف

نقاط الانعطاف في الهندسة التفاضلية هي نقاط المنحنى التي يتغير عندها اتجاه الانحناء . ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

على سبيل المثال، يمتلك منحنى الدالة القابلة للتفاضل نقطة انعطاف عند $(x, f (x))$ إذا وفقط إذا كانت مشتقتها الأولى $f'$ لها قيمة قصوى معزولة عند $x$ . (هذا لا يعني بالضرورة أن $f$ لها قيمة قصوى). أي، في جوار معين، $x$ هي النقطة الوحيدة التي تمتلك عندها $f' قيمة صغرى أو عظمى (محلية). إذا$ كانت جميع القيم القصوى لـ $f'$ معزولة ، فإن نقطة الانعطاف هي نقطة على منحنى $f$ يتقاطع عندها المماس مع المنحنى .

نقطة الانعطاف الهابطة هي نقطة يكون فيها المشتق سالبًا على جانبيها؛ أي أنها نقطة انعطاف تكون الدالة عندها متناقصة. أما نقطة الانعطاف الصاعدة فهي نقطة يكون فيها المشتق موجبًا على جانبيها؛ أي أنها نقطة انعطاف تكون الدالة عندها متزايدة.

بالنسبة لمنحنى أملس معطى بواسطة معادلات بارامترية ، تعتبر النقطة نقطة انعطاف إذا تغير انحناؤها الموجه من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب، أي تغير الإشارة .

بالنسبة لمنحنى أملس يمثل رسمًا بيانيًا لدالة قابلة للتفاضل مرتين، فإن نقطة الانعطاف هي نقطة على الرسم البياني يكون عندها للمشتقة الثانية صفر معزول وتغير الإشارة.

في الهندسة الجبرية ، تُعتبر النقطة غير الشاذة لمنحنى جبري نقطة انعطاف إذا وفقط إذا كان عدد نقاط تقاطع المماس مع المنحنى (عند نقطة التماس) أكبر من 2. والدافع الرئيسي لهذا التعريف المختلف هو أنه لولا ذلك، لما كانت مجموعة نقاط الانعطاف لمنحنى ما مجموعة جبرية . في الواقع، مجموعة نقاط الانعطاف لمنحنى جبري مستوٍ هي تحديدًا نقاطه غير الشاذة التي تُمثل أصفارًا لمحدد هيسيان الإسقاطي الخاص به .

رسم بياني للدالة $f (x) = sin(2x) من$ -π $/$ 4 إلى 5π $/$ 4؛ المشتقة الثانية هي $f ″ (x) = -4sin(2x) ،$ وبالتالي إشارتها معاكسة لإشارة $f$ . المماس أزرق حيث يكون المنحنى محدبًا (أعلى مماسه )، وأخضر حيث يكون مقعرًا (أسفل مماسه)، وأحمر عند نقاط الانعطاف: 0، $π$ /2، و $π$

شروط

شرط ضروري ولكنه غير كافٍ

بالنسبة للدالة f ، إذا $كانت$ مشتقتها الثانية $f ″ (x)$ موجودة عند $x₀ ،$ وكانت $x₀$ نقطة انعطاف للدالة $f$ ، فإن $f ″ (x₀) = 0.$ لكن هذا الشرط غير كافٍ لوجود نقطة انعطاف، حتى لو وُجدت مشتقات من أي رتبة. في هذه الحالة، يجب أيضًا أن تكون المشتقة غير الصفرية ذات الرتبة الأدنى (أعلى من الثانية) فردية (الثالثة، الخامسة، إلخ). إذا كانت المشتقة غير الصفرية ذات الرتبة الأدنى زوجية، فإن النقطة ليست نقطة انعطاف، بل نقطة تموج . مع ذلك، في الهندسة الجبرية، تُسمى كل من نقاط الانعطاف ونقاط التموج عادةً بنقاط الانعطاف . مثال على نقطة تموج هو $x = 0$ للدالة $f$ المعطاة بالعلاقة $f (x$ ) $=$ $x⁴$ $.$

في العبارات السابقة، يُفترض أن للدالة $f$ مشتقة غير صفرية من رتبة أعلى عند $النقطة x$ ، وهو افتراض ليس بالضرورة صحيحًا. إذا كان هذا الافتراض صحيحًا، فإن شرط أن تكون المشتقة الأولى غير الصفرية من رتبة فردية يعني أن إشارة $f' (x)$ تكون متطابقة على جانبي $x$ في جوار x $.$ إذا كانت هذه الإشارة موجبة ، فإن النقطة هي نقطة انعطاف صاعدة ؛ وإذا كانت سالبة ، فإن النقطة هي نقطة انعطاف هابطة .

شروط كافية

الشرط الكافي لوجود نقطة انعطاف في حالة كون الدالة $f (x)$ قابلة للتفاضل $k$ مرة بشكل مستمر في جوار معين للنقطة $x₀ ،$ حيث $k$ عدد فردي و $k \geq 3$ ، هو أن $f (n) (x₀) = 0$ لـ $n$ $= 2، ...،$ k $-$ $1$ و $f$ $($ $k$ $)$ $($ $x₀$ $)$ $\neq 0.$ عندئذٍ، $يكون للدالة$ $f$ $($ $x$ $)$ نقطة انعطاف عند $x₀$ $.$
يتطلب شرط وجود كافٍ آخر أكثر عمومية أن يكون لـ $f ″ (x 0 + ε)$ و $f ″ (x 0 - ε)$ إشارات معاكسة في جوار $x$ $0$ ( Bronshtein and Semendyayev 2004, p. 231).

تصنيف نقاط الانعطاف

يمكن أيضًا تصنيف نقاط الانعطاف وفقًا لما إذا كانت $f' (x)$ تساوي صفرًا أم لا.

إذا كانت $f' (x)$ تساوي صفرًا، فإن النقطة هي نقطة انعطاف ثابتة
إذا كانت $f' (x)$ لا تساوي صفرًا، فإن النقطة هي نقطة انعطاف غير مستقرة

نقطة الانعطاف الثابتة ليست قيمة قصوى محلية . وبشكل أعم، في سياق الدوال ذات المتغيرات الحقيقية المتعددة ، تُسمى النقطة الثابتة التي لا تُعد قيمة قصوى محلية بنقطة سرجية .

من الأمثلة على نقطة الانعطاف الثابتة النقطة $(0، 0)$ على الرسم البياني للدالة $y = x³ .$ المماس هو المحور $x$ ، الذي يقطع الرسم البياني عند هذه النقطة.

من الأمثلة على نقطة الانعطاف غير الثابتة النقطة $(0، 0)$ على الرسم البياني للدالة $y = x³ + ax$ ، لأي قيمة غير صفرية $لـ$ $a$ . المماس عند نقطة الأصل هو الخط $y = ax$ ، الذي يقطع الرسم البياني عند هذه النقطة.

الدوال ذات الانقطاعات

بعض الدوال تغير تقعرها دون وجود نقاط انعطاف. بدلاً من ذلك، يمكنها تغيير تقعرها حول خطوط التقارب الرأسية أو نقاط عدم الاستمرارية. على سبيل المثال، الدالة $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ تكون مقعرة بالنسبة لـ $x$ السالبة ومحدبة بالنسبة لـ $x$ الموجبة ، ولكن ليس لها نقاط انعطاف لأن 0 ليس في مجال الدالة.

الدوال ذات نقاط الانعطاف التي لا تنعدم مشتقتها الثانية

بعض الدوال المتصلة لها نقطة انعطاف على الرغم من أن المشتقة الثانية لا تساوي صفرًا أبدًا. على سبيل المثال، دالة الجذر التكعيبي تكون مقعرة لأعلى عندما تكون قيمة x سالبة، ومقعرة لأسفل عندما تكون قيمة x موجبة، ولكن ليس لها مشتقات من أي رتبة عند نقطة الأصل.

انظر أيضاً

النقطة الحرجة (الرياضيات)
العتبة البيئية
تكوين هيس الذي يتكون من نقاط الانعطاف التسع لمنحنى إهليلجي
أوجي ، شكل معماري ذو نقطة انعطاف
الرأس (المنحنى) ، الحد الأدنى أو الحد الأقصى المحلي للانحناء

مراجع

↑ ستيوارت، جيمس (2015). حساب التفاضل والتكامل ( الطبعة الثامنة). بوسطن: سينجايج ليرنينج. ص 281. ISBN 978-1-285-74062-1.
↑ مسائل في التحليل الرياضي . بارانينكوف، جي إس. موسكو: دار نشر مير. 1976 [1964]. ISBN 5030009434. OCLC 21598952 . {{cite book}}صيانة CS1: أخرى ( رابط )
↑ برونشتاين؛ سيميندييف (2004). دليل الرياضيات ( الطبعة الرابعة). برلين: سبرينغر. ص 231. ISBN 3-540-43491-7.

مصادر

وايسشتاين، إريك دبليو. "نقطة التحول" . عالم الرياضيات .
"نقطة الانعطاف" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]

[1] ستيوارت، جيمس (2015). حساب التفاضل والتكامل ( الطبعة الثامنة). بوسطن: سينجايج ليرنينج. ص 281. ISBN 978-1-285-74062-1.

[2] مسائل في التحليل الرياضي . بارانينكوف، جي إس. موسكو: دار نشر مير. 1976 [1964]. ISBN 5030009434. OCLC 21598952 . {{cite book}}صيانة CS1: أخرى ( رابط )

[3] برونشتاين؛ سيميندييف (2004). دليل الرياضيات ( الطبعة الرابعة). برلين: سبرينغر. ص 231. ISBN 3-540-43491-7.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗