متطابقات حساب المتجهات

لوظيفة${\displaystyle f(x,y,z)}$في متغيرات الإحداثيات الديكارتية ثلاثية الأبعاد ، يكون التدرج هو حقل المتجهات: $${\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} }$$ حيث i و j و k هي متجهات الوحدة القياسية للمحاور x و y و z . وبشكل أعم، بالنسبة لدالة ذات n متغيرًا${\displaystyle \psi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$، ويسمى أيضًا حقلًا قياسيًا ، أما التدرج فهو حقل متجه : $$\begin{pmatrix} \displaystyle \nabla \psi = \begin{pmatrix} \displaystyle \frac {\partial }{\partial x_{1}}}, \ldots , \frac {\partial }{\partial x_{n}}} \end{pmatrix} \psi = \frac {\partial \psi }{\partial x_{1}} \mathbf {e} _{1} + \dots + \frac {\partial \psi }{\partial x_{n}} \mathbf {e} _{n}}$$ أين${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,(i=1,2,...,n)}$هي متجهات وحدة متعامدة فيما بينها.

كما يوحي الاسم، فإن التدرج يتناسب مع التغير الأسرع (الإيجابي) للدالة، ويشير في اتجاهه.

بالنسبة لحقل متجهي${\displaystyle \mathbf {A} =\left(A_{1},\ldots ,A_{n}\right)}$، ويسمى أيضًا حقل موتر من الرتبة 1، فإن التدرج أو المشتق الكلي هو مصفوفة جاكوبي n × n : ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {A} }=d\mathbf {A} =(\nabla \!\mathbf {A} )^{\textsf {T}}=\left({\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{\!ij}.}$$

بالنسبة لحقل موتر${\displaystyle \mathbf {T} }$من أي رتبة k ، التدرج${\displaystyle \operatorname {grad} (\mathbf {T} )=d\mathbf {T} =(\nabla \mathbf {T} )^{\textsf {T}}}$هو حقل موتر من الرتبة k + 1.

بالنسبة لحقل موتر${\displaystyle \mathbf {T} }$حقل الموتر من الرتبة k > 0${\displaystyle \nabla \mathbf {T} }$يتم تعريف الرتبة k + 1 بواسطة العلاقة التكرارية $${\displaystyle (\nabla \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )}$$ أين${\displaystyle \mathbf {C} }$هو متجه ثابت اختياري.

في الإحداثيات الديكارتية، تباعد حقل متجه قابل للتفاضل باستمرار${\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} }$هي الدالة ذات القيمة العددية: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} &={\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial }{\partial x}},\ {\dfrac {\partial }{\partial y}},\ {\dfrac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}\\[1ex]&={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.\end{aligned}}}$$

كما يوحي الاسم، فإن التباعد هو مقياس (محلي) لدرجة تباعد المتجهات في المجال.

تباعد حقل الموتر${\displaystyle \mathbf {T} }$يُكتب العدد k من الرتبة غير الصفرية على النحو التالي:${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {T} )=\nabla \cdot \mathbf {T} }$، وهو انكماش حقل موتر من الرتبة k − 1. وبالتحديد، فإن تباعد المتجه هو كمية قياسية. ويمكن إيجاد تباعد حقل موتر من رتبة أعلى عن طريق تحليل حقل الموتر إلى مجموع جداءات خارجية واستخدام المتطابقة. $${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {T} \right)=\mathbf {T} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {T} }$$ أين${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla }$المشتق الاتجاهي في اتجاه${\displaystyle \mathbf {A} }$مضروبًا في مقداره. تحديدًا، بالنسبة للجداء الخارجي لمتجهين، ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} .}$$

بالنسبة لحقل موتر${\displaystyle \mathbf {T} }$حقل الموتر من الرتبة k > 1${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {T} }$يتم تعريف الرتبة k − 1 بواسطة العلاقة التكرارية $${\displaystyle (\nabla \cdot \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla \cdot (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )}$$ أين${\displaystyle \mathbf {C} }$هو متجه ثابت اختياري.

في الإحداثيات الديكارتية، لـ${\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} }$يمثل الالتفاف حقل المتجهات: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {F} &=\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}\\[1em]&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}\\[1em]&=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \end{aligned}}}$$ حيث i و j و k هي متجهات الوحدة للمحاور x و y و z على التوالي.

كما يوحي الاسم، فإن الالتفاف هو مقياس لمدى ميل المتجهات القريبة في اتجاه دائري.

في تدوين أينشتاين ، حقل المتجهات${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}F_{1},\ F_{2},\ F_{3}\end{pmatrix}}}$يتم تحديد التفافها بواسطة: $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\varepsilon ^{ijk}\mathbf {e} _{i}{\frac {\partial F_{k}}{\partial x_{j}}}}$$ أين${\displaystyle \varepsilon }$= ±1 أو 0 هو رمز التكافؤ ليفي-سيفيتا .

بالنسبة لحقل موتر${\displaystyle \mathbf {T} }$حقل الموتر من الرتبة k > 1${\displaystyle \nabla \times \mathbf {T} }$يتم تعريف الرتبة k بواسطة العلاقة التكرارية $${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla \times (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )}$$ أين${\displaystyle \mathbf {C} }$هو متجه ثابت اختياري.

يمكن تحليل حقل موتر من رتبة أكبر من واحد إلى مجموع من الضرب الخارجي ، ثم يمكن استخدام المتطابقة التالية: $${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {T} \right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\otimes \mathbf {T} -\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {T} ).}$$ وبالتحديد، بالنسبة للضرب الخارجي لمتجهين، ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\mathbf {B} ^{\textsf {T}}-\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {B} ).}$$

في الإحداثيات الديكارتية ، لابلاس الدالة${\displaystyle f(x,y,z)}$يكون $${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}\!f=(\nabla \cdot \nabla )f={\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial z^{2}}}.}$$

اللابلاس هو مقياس لمدى تغير الدالة على كرة صغيرة مركزها النقطة.

عندما تكون قيمة لابلاس تساوي صفرًا، تُسمى الدالة دالة توافقية . أي، $${\displaystyle \Delta f=0.}$$

بالنسبة لحقل موتر ،${\displaystyle \mathbf {T} }$، يُكتب المؤثر اللابلاسي عمومًا على النحو التالي: $${\displaystyle \Delta \mathbf {T} =\nabla ^{2}\mathbf {T} =(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {T} }$$ وهو حقل موتر من نفس الرتبة.

بالنسبة لحقل موتر${\displaystyle \mathbf {T} }$حقل الموتر من الرتبة k > 0${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {T} }$يتم تعريف الرتبة k بواسطة العلاقة التكرارية $${\displaystyle \left(\nabla ^{2}\mathbf {T} \right)\cdot \mathbf {C} =\nabla ^{2}(\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )}$$ أين${\displaystyle \mathbf {C} }$هو متجه ثابت اختياري.

في تدوين فاينمان السفلي ، $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {B} }\!\left(\mathbf {A{\cdot }B} \right)=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B} }$$حيث يشير الرمز ∇ _B إلى أن التدرج ذي الرمز السفلي يعمل فقط على العامل B. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

يُعدّ ترميز هيستينز ذو النقطة العلوية في الجبر الهندسي أكثر عمومية ولكنه مشابه . ^{[ 7 ] [ 8 ]} ويمكن التعبير عن المتطابقة المذكورة أعلاه على النحو التالي: $${\displaystyle {\dot {\nabla }}\left(\mathbf {A} {\cdot }{\dot {\mathbf {B} }}\right)=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B} }$$ حيث تحدد النقاط العلوية نطاق مشتقة المتجه. يتم اشتقاق المتجه المنقط، وهو B في هذه الحالة ، بينما يظل المتجه A (غير المنقط) ثابتًا.

تكمن فائدة تدوين فاينمان السفلي في استخدامه في اشتقاق متطابقات مشتقات المتجهات والموترات، كما في المثال التالي الذي يستخدم المتطابقة الجبرية C ⋅( A × B ) = ( C × A )⋅ B :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&=\nabla _{\mathbf {A} }\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\nabla _{\mathbf {B} }\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} +(\nabla _{\mathbf {B} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\mathbf {A} \times \nabla _{\mathbf {B} })\cdot \mathbf {B} \\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla _{\mathbf {B} }\times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )\end{aligned}}}$$

ثمة طريقة بديلة تتمثل في استخدام المكونات الديكارتية لعامل الحذف كما يلي (مع الجمع الضمني على المؤشر i ): 

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&=\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\\[2pt]&=\mathbf {e} _{i}\cdot \partial _{i}(\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\\[2pt]&=\mathbf {e} _{i}\cdot (\partial _{i}\mathbf {A} \times \mathbf {B} +\mathbf {A} \times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=\mathbf {e} _{i}\cdot (\partial _{i}\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\mathbf {e} _{i}\cdot (\mathbf {A} \times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} +(\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {A} )\cdot \partial _{i}\mathbf {B} \\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\mathbf {A} \times \mathbf {e} _{i})\cdot \partial _{i}\mathbf {B} \\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )\end{aligned}}}$$

هناك طريقة أخرى لاستنتاج متطابقات المشتقات المتجهة والموترية، وهي استبدال جميع حالات ظهور المتجه في متطابقة جبرية بالمؤثر del، بشرط ألا يظهر أي متغير داخل وخارج نطاق مؤثر واحد، أو داخل نطاق مؤثر واحد في حد ما وخارج نطاق مؤثر آخر في الحد نفسه (أي يجب أن تكون المؤثرات متداخلة). وتستند صحة هذه القاعدة إلى صحة طريقة فاينمان، إذ يمكن دائمًا استبدال del برمز سفلي ثم حذف الرمز السفلي مباشرةً وفقًا لشرط القاعدة. على سبيل المثال، من المتطابقة A ⋅( B × C ) = ( A × B )⋅C ، يمكننا استنتاج A ⋅(∇× C ) = ( A ×∇)⋅C ، ولكن ليس ∇⋅( B × C ) = (∇× B ) ⋅C ، ولا من A ⋅( B × A ) = 0 يمكننا استنتاج A ⋅(∇× A ) = 0. من جهة أخرى، يعمل الحذف ذو الدليل السفلي على جميع حالات الدليل السفلي في الحد، بحيث يكون A ⋅(∇A _× A ) = ∇A _⋅ ( A × A ) = ∇⋅( A × A ) = 0. كذلك، من A ×( A × C ) = A ( A ⋅ C ) − ( A ⋅ A ) C ، يمكننا استنتاج ∇×(∇× C ) = ∇(∇⋅ C ) − ∇ ² C ، ولكن من ( A ψ )⋅( A φ ) = ( A ⋅ A )( ψφ ) لا يمكننا اشتقاق (∇ ψ )⋅(∇ φ ) = ∇ ² ( ψφ ).

يشير الرمز السفلي c على الكمية إلى أنها تُعتبر مؤقتًا ثابتة. ولأن الثابت ليس متغيرًا، فعند استخدام قاعدة الاستبدال (انظر الفقرة السابقة)، يمكن نقله، على عكس المتغير، إلى نطاق عامل الحذف أو خارجه، كما في المثال التالي: ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&=\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} _{\mathrm {c} })+\nabla \cdot (\mathbf {A} _{\mathrm {c} }\times \mathbf {B} )\\[2pt]&=\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} _{\mathrm {c} })-\nabla \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {A} _{\mathrm {c} })\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} _{\mathrm {c} }-(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} _{\mathrm {c} }\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \end{aligned}}}$$

هناك طريقة أخرى للإشارة إلى أن الكمية ثابتة وهي إلحاقها كدليل سفلي لنطاق عامل الحذف، كما يلي: ^{[ 10 ]}$${\displaystyle \nabla \left(\mathbf {A{\cdot }B} \right)_{\mathbf {A} }=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B} }$$

فيما تبقى من هذه المقالة، سيتم استخدام تدوين فاينمان السفلي عند الاقتضاء.

لدينا التعميمات التالية لقاعدة الضرب في حساب التفاضل والتكامل ذي المتغير الواحد .

يترك${\displaystyle f(x)}$لتكن دالة ذات متغير واحد من الكميات القياسية إلى الكميات القياسية،${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t))}$منحنى ذو معلمات ،${\displaystyle \phi \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$دالة لتحويل المتجهات إلى كميات قياسية، و${\displaystyle \mathbf {A} \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$حقل متجهي. لدينا الحالات الخاصة التالية لقاعدة السلسلة متعددة المتغيرات .

لتحويل المتجهات${\displaystyle \mathbf {u} \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$لدينا:

$${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} \circ \mathbf {u} )=\mathrm {tr} \left((\nabla \mathbf {u} )\cdot (\nabla \mathbf {A} \circ \mathbf {u} )\right)}$$

هنا نأخذ أثر الضرب النقطي لموترين من الدرجة الثانية، والذي يتوافق مع ضرب مصفوفاتهما.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )&\ =\ (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} \,+\,(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {B} )\,+\,\mathbf {B} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} )\\&\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {B} }+\mathbf {B} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,+\,(\nabla \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \end{aligned}}}$$

أين${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {A} }=(\nabla \!\mathbf {A} )^{\textsf {T}}=(\partial A_{i}/\partial x_{j})_{ij}}$يرمز إلى مصفوفة جاكوبي لحقل المتجهات${\displaystyle \mathbf {A} =(A_{1},\ldots ,A_{n})}$.

أو باستخدام تدوين فاينمان السفلي،

$${\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\nabla _{\mathbf {A} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )+\nabla _{\mathbf {B} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\ .}$$

انظر هذه الملاحظات. ^{[ 11 ]}

كحالة خاصة، عندما يكون A = B ،

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ (\nabla \mathbf {A} )\cdot \mathbf {A} \ =\ (\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} )\ =\ A\nabla A.}$$

إن تعميم صيغة الضرب النقطي إلى مشعبات ريمان هو خاصية مميزة للاتصال الريماني ، الذي يفرق حقلًا متجهيًا لإعطاء شكل 1 ذي قيم متجهة .

لاحظ أن المصفوفة${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,\mathbf {J} _{\mathbf {B} }^{\textsf {T}}}$متناظر عكسيًا.

تباعد التفاف أي حقل متجه قابل للتفاضل مرتين بشكل مستمر A يساوي دائمًا صفرًا: $${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$$

هذه حالة خاصة من تلاشي مربع المشتق الخارجي في مركب سلسلة دي رام .

إن لابلاس الحقل القياسي هو تباعد تدرجه: $${\displaystyle \Delta \psi =\nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot (\nabla \psi )}$$ والنتيجة هي كمية قياسية.

تباعد حقل متجه A هو كمية قياسية، وتباعد الكمية القياسية غير مُعرَّف. لذلك، $${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {A} ){\text{ is undefined.}}}$$

التفاف تدرج أي حقل قياسي قابل للتفاضل مرتين بشكل مستمر${\displaystyle \varphi }$(أي فئة التفاضل)${\displaystyle C^{2}}$) هو دائماً المتجه الصفري : $${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )=\mathbf {0} .}$$

يمكن إثبات ذلك بسهولة من خلال التعبير عن${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )}$في نظام إحداثيات ديكارتية باستخدام نظرية شوارتز (المعروفة أيضًا بنظرية كليروت حول تساوي الدوال الجزئية المختلطة). هذه النتيجة هي حالة خاصة من انعدام مربع المشتقة الخارجية في مُركّب سلسلة دي رام .

$${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\ =\ \nabla (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,-\,\nabla ^{2\!}\mathbf {A} }$$

هنا ∇ ² هو لابلاس المتجه الذي يعمل على حقل المتجهات A.

تباعد حقل متجهي A هو كمية قياسية، ودوران الكمية القياسية غير مُعرَّف. لذلك، $${\displaystyle \nabla \times (\nabla \cdot \mathbf {A} ){\text{ is undefined.}}}$$

الشكل الموجود على اليمين هو وسيلة تذكيرية لبعض هذه الهويات. الاختصارات المستخدمة هي:

• د: التباعد،
• ج: تجعيد،
• G: التدرج،
• L: لابلاس،
• CC: تجعيد التجعيد.

يحمل كل سهم علامةً تُشير إلى نتيجة عملية حسابية، وتحديدًا نتيجة تطبيق المؤثر الموجود عند ذيل السهم على المؤثر الموجود عند رأسه. الدائرة الزرقاء في المنتصف تعني وجود عملية التفاف الدوران، بينما الدائرتان الحمراوان الأخريان (المتقطعتان) تعنيان عدم وجود عمليتي DD و GG.

فيما يلي، يرمز الرمز ∂ إلى " حدود " سطح أو جسم صلب.

تكاملات المنحنى والسطح

في نظريات التكامل بين المنحنى والسطح التالية، يرمز S إلى سطح مفتوح ثنائي الأبعاد مع حدود أحادية البعد مقابلة C = ∂ S ( منحنى مغلق ):

• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ \iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot d\mathbf {S} }$ ( نظرية ستوكس )
• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\psi \,d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ -\iint _{S}\nabla \psi \times d\mathbf {S} }$
• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {A} \times d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ -\iint _{S}\left(\nabla \mathbf {A} -(\nabla \cdot \mathbf {A} )\mathbf {1} \right)\cdot d\mathbf {S} \ =\ -\iint _{S}\left(d\mathbf {S} \times \nabla \right)\times \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times d{\boldsymbol {\ell }})\ =\ \iint _{S}\left(\nabla \times \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\right)\cdot d\mathbf {S} +\iint _{S}\left(\nabla \cdot \left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)\right)\times d\mathbf {S} }$^{[ 16 ]}
• ${\displaystyle \oint _{\partial S}(\mathbf {B} \cdot d{\boldsymbol {\ell }})\mathbf {A} =\iint _{S}(d\mathbf {S} \cdot \left[\nabla \times \mathbf {B} -\mathbf {B} \times \nabla \right])\mathbf {A} }$^{[ 17 ]}

التكامل حول منحنى مغلق في اتجاه عقارب الساعة هو معكوس التكامل الخطي نفسه في اتجاه عكس عقارب الساعة (على غرار تبديل النهايات في التكامل المحدد ):

${\displaystyle {\scriptstyle \partial S}}$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=-}$${\displaystyle {\scriptstyle \partial S}}$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}.}$