مجموعة ويت

في الرياضيات ، مجموعة ويت للحقل ، سميت على اسم إرنست ويت ، هي مجموعة أبيلية يتم تمثيل عناصرها بأشكال ثنائية خطية متناظرة على الحقل.

لنفترض حقلاً k ذا خاصية لا تساوي 2. جميع الفضاءات المتجهة ستكون ذات أبعاد منتهية . الفضاءان المزودان بأشكال ثنائية خطية متناظرة متكافئان إذا أمكن الحصول على أحدهما من الآخر بإضافة فضاء تربيعي استقلابي ، أي صفر أو أكثر من نسخ المستوى الزائدي ، وهو الشكل الثنائي الخطي المتناظر غير المنحط ثنائي الأبعاد ذو متجه معياره صفر. ^{[ 1 ]} يتم تمثيل كل فئة بالشكل الأساسي لتحليل ويت . ^{[ 2 ]}

زمرة ويت لـ k هي الزمرة الأبيلية W ( k ) لفئات التكافؤ للأشكال الثنائية الخطية المتناظرة غير المنحلة، حيث تتوافق عملية الزمرة مع المجموع المباشر المتعامد للأشكال. وهي مُولَّدة جمعيًا بواسطة فئات الأشكال أحادية البعد. ^{[ 3 ]} على الرغم من أن الفئات قد تحتوي على فضاءات ذات أبعاد مختلفة، فإن زوجية البعد ثابتة عبر الفئة، وبالتالي فإن rk: W ( k ) → Z / 2Z هو تشاكل . ^{[ 4 ]}

عناصر المجموعة ويت ذات الرتبة المحدودة لها رتبة قوة للعدد 2؛ ^{[ 5 ] [ 6 ]} المجموعة الفرعية للالتواء هي نواة التطبيق الوظيفي من W ( k ) إلى W ( k ^py )، حيث k ^py هو الإغلاق الفيثاغورسي لـ k ؛ ^{[ 7 ]} وهي مُولَّدة بواسطة أشكال بفايستر.${\displaystyle \langle \!\langle w\rangle \!\rangle =\langle 1,-w\rangle }$مع${\displaystyle w}$مجموع مربعات غير صفري. ^{[ 8 ]} إذا لم يكن k عددًا حقيقيًا رسميًا ، فإن زمرة ويت تكون زمرة التواء ، وأسها قوة للعدد 2. ^{[ 9 ]} ارتفاع الحقل k هو أس الالتواء في زمرة ويت، إذا كان هذا الأس محدودًا، أو ∞ فيما عدا ذلك. ^{[ 8 ]}

يمكن إعطاء زمرة ويت للعدد k بنية حلقة تبديلية ، وذلك باستخدام حاصل الضرب الموتري للأشكال التربيعية لتعريف حاصل الضرب الحلقي. يُطلق على هذه الحلقة أحيانًا اسم حلقة ويت W ( k )، مع أن مصطلح "حلقة ويت" يُستخدم غالبًا للإشارة إلى حلقة مختلفة تمامًا من متجهات ويت .

لمناقشة بنية هذه الحلقة، يفترض المرء أن k لها خاصية لا تساوي 2، بحيث يمكن للمرء تحديد الأشكال الثنائية الخطية المتناظرة والأشكال التربيعية.

نواة التشاكل ذي الرتبة modulo 2 هي مثالي أولي ، I ، من حلقة ويت ^{[ 4 ]} يُسمى المثالي الأساسي . ^{[ 10 ]} تتوافق تشاكلات الحلقة من W ( k ) إلى Z مع ترتيبات الحقول في k ، وذلك بأخذ التوقيع بالنسبة للترتيب. ^{[ 10 ]} حلقة ويت هي حلقة جاكوبسون . ^{[ 9 ]} وهي حلقة نوثرية إذا وفقط إذا كان هناك عدد محدود من فئات المربعات ؛ أي إذا كانت المربعات في k تُشكل زمرة جزئية ذات دليل محدود في الزمرة الضربية لـ k . ^{[ 11 ]}

إذا لم يكن k حقيقيًا رسميًا، فإن المثالي الأساسي هو المثالي الأولي الوحيد لـ W ^{[ 12 ]} ويتكون تحديدًا من العناصر العديمة القوة ؛ ^{[ 9 ]} W هي حلقة محلية ولها بُعد كرول 0. ^{[ 13 ]}

إذا كان k حقيقيًا، فإن العناصر العديمة القوة هي تحديدًا تلك ذات الرتبة الجمعية المحدودة، وهذه بدورها هي الأشكال التي تكون جميع توقيعاتها 0؛ ^{[ 14 ]} W لها بُعد كرول 1. ^{[ 13 ]}

إذا كان k حقلاً فيثاغورسياً حقيقياً ، فإن قواسم الصفر لـ W هي العناصر التي يكون توقيعها صفراً؛ وإلا، فإن قواسم الصفر هي بالضبط المثالي الأساسي. ^{[ 5 ] [ 15 ]}

إذا كان k حقلاً مرتباً بمخروط موجب P، فإن قانون سيلفستر للقصور الذاتي ينطبق على الأشكال التربيعية على k ، وتُعرّف الإشارة تشاكلاً حلقياً من W ( k ) إلى Z ، بنواة مثالية أولية K _{∈ P.} هذه المثاليات الأولية متناظرة مع ترتيبات X _{_k} لـ k ، وتشكل طيف المثاليات الأولية الأدنى MinSpec_W( k ) لـ W ( k ). هذا التناظر هو تماثل شكلي بين MinSpec_W ( k ) ذي طوبولوجيا زاريسكي ومجموعة الترتيبات X_{_k} ذات طوبولوجيا هاريسون . ^{[ 16 ]}

يتم توليد القوة n للمثالي الأساسي بشكل إضافي بواسطة أشكال بفايستر n -fold . ^{[ 17 ]}

• حلقة ويت لـ C ، وفي الواقع أي حقل مغلق جبريًا أو حقل مغلق تربيعيًا ، هي Z /2 Z . ^{[ 18 ]}
• حلقة ويت ^لـ R هي Z. ^{[ 18} ]
• حلقة ويت لحقل منتهٍ F _q حيث q فردي هي Z /4 Z إذا كان q ≡ 3 mod 4 ومتماثلة مع حلقة المجموعة ( Z /2 Z )[ F* / F* ² ] إذا كان q ≡ 1 mod 4. ^{[ 19 ]}
• حلقة ويت لحقل محلي ذي مثالي أقصى معياري متطابق مع 1 modulo 4 متماثلة مع حلقة المجموعة ( Z /2Z ) [ V ] حيث V هي مجموعة كلاين الرباعية . ^{[ 20 ]}
• حلقة ويت لحقل محلي ذي مثالي أقصى معياري متطابق مع 3 modulo 4 هي ( _Z / 4Z ) [ C2 _] حيث C2 هي مجموعة دورية من الرتبة 2. ^{[ 20 ]}
• حلقة ويت لـ Q ₂ هي من الرتبة 32 ويتم إعطاؤها بواسطة ^{[ 21 ]}

${\displaystyle \mathbf {Z} _{8}[s,t]/\langle 2s,2t,s^{2},t^{2},st-4\rangle }$.

يمكن اعتبار بعض ثوابت الصيغة التربيعية دوالًا على فئات ويت. البعد modulo 2 هو دالة على الفئات: المميز أيضًا مُعرَّف جيدًا. ثابت هاس للصيغة التربيعية هو أيضًا دالة مُعرَّفة جيدًا على فئات ويت بقيم في زمرة براور لحقل التعريف. ^{[ 22 ]}

ليكن K حقلاً محلياً كاملاً بتقييم v ، وموحد π، وحقل متبقٍ k ذي خاصية لا تساوي 2. يوجد تطبيق حقني W ( k ₎ → W ( K ) يرفع الشكل القطري ⟨a₁ , ... _, an⟩ إلى _⟨u₁ , ... , _un⟩ حيث uᵢ وحدة من K وصورتها aᵢ في k . ينتج _{عن هذا}

${\displaystyle W(K)=W(k)\oplus \langle \pi \rangle \cdot W(k)}$

تحديد W ( k ) مع صورتها في W ( K ). ^{[ 26 ]}

ليكن K حقلًا عدديًا . بالنسبة للأشكال التربيعية على K ، يوجد ثابت هاس ±1 لكل خانة منتهية تُقابل رموز هيلبرت . ثوابت الشكل على حقل عددي هي تحديدًا البُعد، والمميز، وجميع ثوابت هاس المحلية، والتوقيعات المُستمدة من التضمينات الحقيقية. ^{[ 27 ]}

تُعرَّف حلقة الرموز على K ، Sym ( K )، كمجموعة من الثلاثيات ( d , e , f ) حيث d ينتمي إلى K* / K* ^² ، و e ينتمي إلى Z /2، و f متتالية من العناصر ±1 مُفهرسة بمواضع K ، بشرط أن تكون جميع حدود f ، باستثناء عدد محدود منها ، تساوي +1، وأن تكون القيمة في المواضع المركبة +1، وأن يكون حاصل ضرب جميع حدود f يساوي +1. لنفترض أن [ a , b ] هي متتالية رموز هيلبرت: فهي تُحقق الشروط المذكورة على f . ^{[ 28 ]}

يُعرَّف الجمع والضرب على النحو التالي:

${\displaystyle (d_{1},e_{1},f_{1})+(d_{2},e_{2},f_{2})=((-1)^{e_{1}e_{2}}d_{1}d_{2},e_{1}+e_{2},[d_{1},d_{2}][-d_{1}d_{2},(-1)^{e_{1}e_{2}}]f_{1}f_{2})}$

${\displaystyle (d_{1},e_{1},f_{1})\cdot (d_{2},e_{2},f_{2})=(d_{1}^{e_{2}}d_{2}^{e_{1}},e_{1}e_{2},[d_{1},d_{2}]^{1+e_{1}e_{2}}f_{1}^{e_{2}}f_{2}^{e_{1}})}$.

ثم يوجد تماثل حلقي شامل من W ( K ) إلى Sym( K ) يتم الحصول عليه عن طريق إسقاط فئة على المميز، والرتبة modulo 2 ^، ومتتالية ثوابت هاس. النواة هي I3 . ^{[ 29 ]}

حلقة الرموز هي تجسيد لمجموعة براور-وول. ^{[ 30 ]}

ليكن k حقلاً مميزاً لا يساوي 2. قوى المثالي I للأشكال ذات البعد الزوجي ("المثالي الأساسي") في${\displaystyle W(k)}$يمكن تشكيل ترشيح تنازلي ، ويمكن للمرء أن ينظر في الحلقة المتدرجة المرتبطة به ، أي المجموع المباشر للقسمة.${\displaystyle I^{n}/I^{n+1}}$. يترك${\displaystyle \langle a\rangle }$لتكن الصيغة التربيعية${\displaystyle ax^{2}}$يُعتبر عنصرًا من عناصر حلقة ويت. ثم${\displaystyle \langle a\rangle -\langle 1\rangle }$هو عنصر من I وبالتالي ناتج من الشكل

${\displaystyle \langle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle =(\langle a_{1}\rangle -\langle 1\rangle )\cdots (\langle a_{n}\rangle -\langle 1\rangle )}$

هو عنصر من${\displaystyle I^{n}}$أثبت جون ميلنور في ورقة بحثية عام 1970 ^{[ 34 ]} أن عملية التعيين من${\displaystyle (k^{*})^{n}}$ل${\displaystyle I^{n}/I^{n+1}}$هذا يرسل${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ل${\displaystyle \langle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle }$هي متعددة الخطية وتُسقط عناصر شتاينبرغ (عناصر بحيث يكون لبعض${\displaystyle i}$و${\displaystyle j}$بحيث${\displaystyle i\neq j}$يمتلك المرء${\displaystyle a_{i}+a_{j}=1}$) إلى 0. هذا يعني أن هذا التطبيق يُعرّف تشاكلاً من حلقة ميلنور للحقل k إلى حلقة ويت المتدرجة. كما بيّن ميلنور أن هذا التشاكل يُحوّل العناصر القابلة للقسمة على 2 إلى 0، وأنه شامل. وفي الورقة البحثية نفسها، وضع تخمينًا مفاده أن هذا التشاكل هو تماثل لجميع الحقول k (ذات خاصية مختلفة عن 2). عُرف هذا التخمين باسم تخمين ميلنور حول الأشكال التربيعية.

تم إثبات هذه الفرضية من قبل ديمتري أورلوف، وألكسندر فيشيك، وفلاديمير فويفودسكي ^{[ 35 ]} في عام 1996 (ونُشرت في عام 2007) في الحالة${\displaystyle {\textrm {char}}(k)=0}$مما يؤدي إلى زيادة فهم بنية الأشكال التربيعية على الحقول العشوائية.

حلقة غروتينديك -ويت GW هي بنية مشابهة مُولَّدة بواسطة فئات التماثل للفضاءات التربيعية غير المنفردة، حيث يُعطى الجمع بالمجموع المتعامد والضرب بالضرب الموتري. ولأن فضاءين يختلفان بمستوى زائدي لا يُمكن تحديدهما في GW ، فإنه يلزم تعريف معكوس الجمع رسميًا من خلال البنية التي اكتشفها غروتينديك (انظر زمرة غروتينديك ). يوجد تشاكل طبيعي GW → Z مُعطى بالبعد: يكون الحقل مغلقًا تربيعيًا إذا وفقط إذا كان هذا تشاكلًا. ^{[ 18 ]} تُولِّد الفضاءات الزائدية مثاليًا في GW ، وحلقة ويت W هي خارج القسمة. ^{[ 36 ]} تُعطي القوة الخارجية حلقة غروتينديك-ويت البنية الإضافية لحلقة λ . ^{[ 37 ]}

أظهر فابيان موريل ^{[ 39 ] [ 40 ]} أن حلقة غروتينديك-ويت للحقل المثالي متماثلة مع مجموعة التماثل المستقرة للتحفيز للكرات π _0,0 (S ^0,0 ) (انظر " نظرية التماثل A¹ ").

يقال إن حقلين متكافئان من نوع ويت إذا كانت حلقات ويت الخاصة بهما متماثلة.

بالنسبة للحقول العامة، يوجد مبدأ التحويل من المحلي إلى العام: يكون حقلان عامان متكافئين وفقًا لمبدأ ويت إذا وفقط إذا كان هناك تقابل بين مواضعهما بحيث تكون الحقول المحلية المقابلة متكافئة وفقًا لمبدأ ويت. ^{[ 41 ]} على وجه الخصوص، يكون حقلا الأعداد K و L متكافئين وفقًا لمبدأ ويت إذا وفقط إذا كان هناك تقابل T بين مواضع K ومواضع L ، وتماثل زمر t بين زمر فئاتهما المربعة ، مع الحفاظ على رموز هيلبرت من الدرجة 2. في هذه الحالة ، يُطلق على الزوج ( T , t ) اسم تكافؤ التبادل أو تكافؤ رمز هيلبرت من الدرجة 2. ^{[ 42 ]} كما دُرست بعض الاختلافات والتوسعات لهذا الشرط، مثل "تكافؤ رمز هيلبرت من الدرجة l المُهذّب". ^{[ 43 ]}

يمكن أيضًا تعريف مجموعات ويت بنفس الطريقة للأشكال المتناظرة المائلة ، وللأشكال التربيعية ، وبشكل أكثر عمومية الأشكال التربيعية ε ، على أي حلقة * -R .

_{تُعرف المجموعات الناتجة (} وتعميماتها) باسم مجموعات L ^{المتناظرة ذات الأبعاد الزوجية} L₂k ( R ) ومجموعات L _{التربيعية} ذات الأبعاد الزوجية L₂k ( R ). تتميز مجموعات L التربيعية بدورية رباعية، حيث L₀ ( R ) هي مجموعة ويت للأشكال التربيعية من ^الرتبة _{( 1} ) (متناظرة)، و L₂ ( R ) هي مجموعة ويت للأشكال التربيعية من الرتبة ( _-1 ) (متناظرة عكسيًا). لا تتميز مجموعات L المتناظرة بدورية رباعية لجميع الحلقات، لذا فهي تُقدم تعميمًا أقل دقة.

تعتبر مجموعات L كائنات مركزية في نظرية الجراحة ، وتشكل أحد المصطلحات الثلاثة للمتتالية الجراحية الدقيقة .

• انخفاض ارتفاع الحقل

• كونر، بيير إي .؛ بيرليس، روبرت (1984). مسحٌ لأشكال الأثر لحقول الأعداد الجبرية . سلسلة في الرياضيات البحتة. المجلد  2. وورلد ساينتيفيك. ISBN 9971-966-05-0. Zbl 0551.10017 . 
• غاريبالدي، سكيب ؛ ميركورجيف، ألكسندر ؛ سير، جان بيير (2003). الثوابت الكوهومولوجية في كوهومولوجيا غالوا . سلسلة محاضرات جامعية. المجلد  28. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية . ISBN 0-8218-3287-5. Zbl 1159.12311 . 
• لام، تسيت-يوين (2005). مقدمة في الأشكال التربيعية على الحقول . دراسات عليا في الرياضيات . المجلد  67. الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 0-8218-1095-2. السيد 2104929 . زبل 1068.11023 .  
• لانغ، سيرج (2002)، الجبر ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  211 (الطبعة الثالثة المنقحة  )، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-95385-4، MR 1878556 ، Zbl 0984.00001  
• لورنز، فالكو (2008). الجبر. المجلد الثاني: الحقول ذات البنية، والجبر، والمواضيع المتقدمة . سبرينغر. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl 1130.12001 . 
• ميلنور, جون ; هوسمولر، ديل (1973). أشكال ثنائية الخطية متناظرة . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. المجلد.  73. سبرينغر-فيرلاغ . رقم ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016 . 
• ويت ، إرنست (1936)، “Theorie der Quadratischen Formen in beliebigen Korpern”، مجلة für die reine und angewandte Mathematik ، 176 (3): 31– 44، Zbl 0015.05701 

• بالمر، بول (2005). "مجموعات ويت". في: فريدلاندر، إريك م .؛ غرايسون، د. ر. (محرران). دليل نظرية K. المجلد  2. سبرينغر-فيرلاغ . الصفحات 539-579 . ISBN  3-540-23019-X. Zbl 1115.19004 . 

• ويت يرن في موسوعة سبرينغر للرياضيات