الوجه (الهندسة)

في الهندسة الفراغية ، الوجه هو سطح مستوٍ ( منطقة مستوية ) يشكل جزءًا من حدود جسم صلب. على سبيل المثال، للمكعب ستة أوجه بهذا المعنى.

في المعالجات الحديثة لهندسة المجسمات متعددة الأوجه والمجسمات متعددة السطوح ذات الأبعاد الأعلى ، يُعرَّف "الوجه" بحيث يمكن أن يكون له أي بُعد. رؤوس المجسم متعدد الأوجه وحوافه ووجوهه (ثنائية الأبعاد) كلها وجوه بهذا المعنى الأكثر عمومية. ^{[ 1 ]}

في الهندسة الابتدائية، تُعرَّف المجسمات متعددة الأوجه بطرق مختلفة على أنها أشكال تُحدَّد بأنظمة من الرؤوس (النقاط) والحواف (القطع المستقيمة) والوجوه (المضلعات)، والتي يُشترط في كثير من هذه التعريفات، وليس كلها، أن تُشكِّل سطحًا يُحيط بحجم صلب؛ والوجوه هي المضلعات ثنائية الأبعاد في هذه التعريفات. ^{[ أ ] [ 1 ] [ 2 ]} ومن الأسماء الأخرى للوجه المضلع: جانب المجسم متعدد الأوجه وبلاطة المستوى الإقليدي .

على سبيل المثال، أي مربع من المربعات الستة التي تُحيط بالمكعب يُعتبر وجهًا من أوجهه. يُستخدم مصطلح "وجه" أحيانًا للإشارة إلى الخصائص ثنائية الأبعاد لمتعدد السطوح رباعي الأبعاد . وبهذا المعنى، فإن المكعب الفائق رباعي الأبعاد له 24 وجهًا مربعًا، يشترك كل منها في خليتين من أصل 8 خلايا مكعبة .

أمثلة منتظمة بواسطة رمز Schläfli

متعدد الأوجه	متعدد السطوح النجمي	التبليط الإقليدي	التبليط الزائدي	4-متعدد الوجوه
{4,3}	{5/2,5}	{4,4}	{4,5}	{4,3,3}
يحتوي المكعب على 3 أوجه مربعة لكل رأس .	يحتوي المجسم النجمي الصغير ذو الاثني عشر وجهاً على 5 أوجه خماسية لكل رأس.	يحتوي التبليط المربع في المستوى الإقليدي على 4 أوجه مربعة لكل رأس.	يحتوي التبليط المربع من الرتبة 5 على 5 أوجه مربعة لكل رأس.	يحتوي المكعب الفائق على 3 أوجه مربعة لكل حافة.

في الهندسة متعددة الأبعاد، تُعدّ أوجه متعدد السطوح سماتٍ ذات أبعادٍ متعددة. ^{[ 3 ] [ 4 ]} يُطلق على الوجه ذي البُعد k أحيانًا اسم الوجه k- . على سبيل المثال، تُعدّ الأوجه المضلعة لمتعدد السطوح العادي أوجهًا ثنائية الأبعاد. يختلف تعريف كلمة "وجه" باختلاف فروع الرياضيات. فعلى سبيل المثال، يسمح العديد من المؤلفين، وليس جميعهم، بأن يكون متعدد السطوح نفسه والمجموعة الفارغة وجهين لمتعدد السطوح، حيث تُعطى المجموعة الفارغة، من أجل الاتساق، "بُعدًا" يساوي -1. بالنسبة لأي متعدد سطوح ذي بُعد n ، فإن للأوجه بُعدًا${\displaystyle k}$مع${\displaystyle -1\leq k\leq n}$.

على سبيل المثال، بهذا المعنى، تتكون أوجه المكعب من المكعب نفسه (وجه ثلاثي)، ووجوهه المربعة (وجهان)، وحوافه المستقيمة (وجه واحد)، ورؤوسه النقطية (صفر)، والمجموعة الفارغة.

في بعض فروع الرياضيات، مثل التوافقية متعددة الأوجه ، يكون متعدد الأوجه محدبًا بحكم التعريف . وفي هذا السياق، يوجد تعريف دقيق: وجه متعدد الأوجه P في الفضاء الإقليدي.${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$هو تقاطع P مع أي نصف فضاء مغلق تكون حدوده منفصلة عن الجزء الداخلي النسبي لـ P. [ ^{5 ] وفقًا} لهذا التعريف، تشمل مجموعة أوجه متعدد السطوح متعدد السطوح نفسه والمجموعة الفارغة. ^{[ 3 ] [ 4 ]} بالنسبة لمتعددات السطوح المحدبة، يكافئ هذا التعريف التعريف العام لوجه مجموعة محدبة، الموضح أدناه .

في مجالات أخرى من الرياضيات، مثل نظريات المجسمات المجردة والمجسمات النجمية ، يُخفف شرط التحدب. ومن المفاهيم التوافقية الدقيقة التي تعمم بعض الأنواع السابقة من المجسمات مفهوم المركب التبسيطي . وبشكل أعم، يوجد مفهوم المركب متعدد الأوجه .

المجسم البسيط ذو البعد n (قطعة مستقيمة ( n = 1 )، مثلث ( n = 2 )، رباعي الأوجه ( n = 3 )، إلخ)، المحدد بـ n + 1 رأسًا، له وجه لكل مجموعة جزئية من الرؤوس، بدءًا من المجموعة الفارغة وصولًا إلى مجموعة جميع الرؤوس. وبالتحديد، يوجد 2n ^{+ 1} وجهًا إجمالًا. عدد الوجوه ذات البعد k ، حيث k ∈ {−1, 0, ..., n } ، هو معامل ذات الحدين ^.${\displaystyle {\binom {n+1}{k+1}}}$.

توجد أسماء محددة للوجوه ذات البعد k اعتمادًا على قيمة k ، وفي بعض الحالات، مدى قرب k من البعد n للمضلع.

خلية أو 3 أوجه

الخلية هي عنصر متعدد الأوجه ( ثلاثي الأوجه ) لمتعدد السطوح رباعي الأبعاد أو تبليط ثلاثي الأبعاد، أو أعلى من ذلك. الخلايا هي أوجه لمتعددات السطوح رباعية الأبعاد وخلايا النحل ثلاثية الأبعاد.

أمثلة:

أمثلة منتظمة بواسطة رمز Schläfli

4-متعددات الوجوه		3- خلايا النحل
{4,3,3}	{5,3,3}	{4,3,4}	{5,3,4}
يحتوي المكعب الفائق على 3 خلايا مكعبة (3 أوجه) لكل حافة.	تحتوي الخلية المكونة من 120 خلية على 3 خلايا اثني عشرية الأوجه (3 وجوه) لكل حافة.	يملأ قرص العسل المكعب الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد بالمكعبات، مع 4 خلايا (3 أوجه) لكل حافة.	يملأ قرص العسل ذو الشكل الاثني عشري من الرتبة الرابعة الفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد بأشكال اثني عشرية، 4 خلايا (3 وجوه) لكل حافة.

يمكن تعميم مفهوم الوجه من متعددات الوجوه المحدبة إلى جميع المجموعات المحدبة ، كما يلي.${\displaystyle C}$لتكن مجموعة محدبة في فضاء متجهي حقيقي${\displaystyle V}$وجه من​${\displaystyle C}$هي مجموعة جزئية محدبة${\displaystyle F\subseteq C}$بحيث كلما كانت النقطة${\displaystyle p\in F}$يقع تمامًا بين نقطتين${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$في${\displaystyle C}$، كلاهما${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$يجب أن يكون في${\displaystyle F}$وبالمثل، بالنسبة لأي${\displaystyle x,y\in C}$وأي عدد حقيقي${\displaystyle 0<\theta <1}$بحيث${\displaystyle \theta x+(1-\theta )y}$هو في${\displaystyle F}$،${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$يجب أن يكون في${\displaystyle F}$[ ^{8 ]​}

وفقًا لهذا التعريف،${\displaystyle C}$نفسها والمجموعة الفارغة هما وجهان لـ${\displaystyle C}$وتسمى هذه أحيانًا بالوجوه التافهة لـ${\displaystyle C}$.

An extreme point of ${\displaystyle C}$ is a point ${\displaystyle p\in C}$ such that ${\displaystyle \{p\}}$ is a face of ${\displaystyle C}$.^[8] That is, if ${\displaystyle p}$ lies between two points ${\displaystyle x,y\in C}$, then ${\displaystyle x=y=p}$.

For example:

• A triangle in the plane (including the region inside) is a convex set. Its nontrivial faces are the three vertices and the three edges. (So the only extreme points are the three vertices.)
• The only nontrivial faces of the closed unit disk${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}\leq 1\}}$ are its extreme points, namely the points on the unit circle${\displaystyle S^{1}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\}}$.

Let ${\displaystyle C}$ be a convex set in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ that is compact (or equivalently, closed and bounded). Then ${\displaystyle C}$ is the convex hull of its extreme points.^[9] More generally, each compact convex set in a locally convex topological vector space is the closed convex hull of its extreme points (the Krein–Milman theorem).

An exposed face of ${\displaystyle C}$ is the subset of points of ${\displaystyle C}$ where a linear functional achieves its minimum on ${\displaystyle C}$. Thus, if ${\displaystyle f}$ is a linear functional on ${\displaystyle V}$ and ${\displaystyle \alpha =\inf\{f(c)\ \colon c\in C\}>-\infty }$, then ${\displaystyle \{c\in C\ \colon f(c)=\alpha \}}$ is an exposed face of ${\displaystyle C}$.

An exposed point of ${\displaystyle C}$ is a point ${\displaystyle p\in C}$ such that ${\displaystyle \{p\}}$ is an exposed face of ${\displaystyle C}$. That is, ${\displaystyle f(p)>f(c)}$ for all ${\displaystyle c\in C\setminus \{p\}}$. See the figure for examples of extreme points that are not exposed.

• Face lattice
• Polyhedral combinatorics
• Discrete geometry

• غرونباوم، برانكو (2003)، متعددات الوجوه المحدبة ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  221 (  الطبعة الثانية)، سبرينغر، ISBN 0-387-00424-6، MR 1976856 
• Matoušek، Jiří (2002)، محاضرات في الهندسة المنفصلة ، ​​نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد.  212، سبرينغر، ISBN 9780387953748MR 1899299​ 
• روكافيلر، آر تي (1997) [1970]. التحليل المحدب . برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون. ISBN 1-4008-7317-7MR 0274683​​ 
• زيغلر، غونتر م. (1995)، محاضرات في متعددات الوجوه ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  152، سبرينغر، ISBN 9780387943657MR 1311028​ 

• وايسشتاين، إريك دبليو. "الوجه" . عالم الرياضيات .
• فايستين، إريك دبليو. "الوجه" . عالم الرياضيات .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "الجانب" . عالم الرياضيات .