البنية السببية

لو${\displaystyle \,(M,g)}$هو متعدد الشعب لورنتزي (للمترية )${\displaystyle g}$على مشعب${\displaystyle M}$ثم يمكن تصنيف متجهات المماس غير الصفرية عند كل نقطة في المتشعب إلى ثلاثة أنواع منفصلة . متجه المماس${\displaystyle X}$يكون:

• إذا كان الوقت مناسبًا${\displaystyle \,g(X,X)<0}$
• فارغ أو خفيف إذا${\displaystyle \,g(X,X)=0}$
• إذا كان فضائيًا${\displaystyle \,g(X,X)>0}$

هنا نستخدم${\displaystyle (-,+,+,+,\cdots )}$التوقيع المتري . نقول إن متجه المماس غير مكاني إذا كان معدومًا أو زمنيًا.

الفضاء اللورنتزي المتعارف عليه هو فضاء مينكوفسكي ، حيث${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{4}}$و${\displaystyle g}$هو مقياس مينكوفسكي المسطح . أسماء متجهات المماس مستمدة من فيزياء هذا النموذج. تتخذ العلاقات السببية بين النقاط في فضاء مينكوفسكي شكلاً بسيطاً للغاية لأن فضاء المماس هو أيضاً${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$وبالتالي، يمكن تحديد متجهات المماس بنقاط في الفضاء. المتجه رباعي الأبعاد${\displaystyle X=(t,r)}$يتم تصنيفها وفقًا لعلامة${\displaystyle g(X,X)=-c^{2}t^{2}+\|r\|^{2}}$، أين${\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{3}}$هي إحداثية ديكارتية في الفضاء ثلاثي الأبعاد،${\displaystyle c}$يمثل الثابت الحد الأقصى للسرعة العالمية، و${\displaystyle t}$هو الزمن. سيكون تصنيف أي متجه في الفضاء هو نفسه في جميع أطر المرجعية المرتبطة بتحويل لورنتز (ولكن ليس بتحويل بوانكاريه العام لأن الأصل قد يتم إزاحته حينها) بسبب ثبات المقياس.

في كل نقطة من${\displaystyle M}$يمكن تقسيم متجهات المماس الزمنية في فضاء المماس للنقطة إلى فئتين. وللقيام بذلك، نُعرّف أولاً علاقة تكافؤ بين أزواج متجهات المماس الزمنية.

لو${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$إذا كان لدينا متجهان مماسان زمنيان عند نقطة ما، فإننا نقول إن${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$متكافئتان (مكتوبتان)${\displaystyle X\sim Y}$) لو${\displaystyle \,g(X,Y)<0}$.

يوجد إذًا فئتان متكافئتان تحتويان معًا على جميع متجهات المماس الزمنية عند النقطة. يمكننا (بشكل اعتباطي) تسمية إحدى هاتين الفئتين بـ" المتجهة نحو المستقبل" والأخرى بـ" المتجهة نحو الماضي" . فيزيائيًا، يتوافق هذا التصنيف لفئتي متجهات الزمن المتجهة نحو المستقبل والمتجهة نحو الماضي مع اختيار سهم الزمن عند النقطة. ويمكن تعميم تصنيفي "المتجهة نحو المستقبل" و"المتجهة نحو الماضي" ليشمل المتجهات الصفرية عند النقطة عن طريق الاستمرارية.

تكون المتشعبات اللورنتزية قابلة للتوجيه الزمني ^{[ 1 ]} إذا كان من الممكن إجراء تعيين مستمر للمتجهات الموجهة نحو المستقبل والمتجهة نحو الماضي للمتجهات غير المكانية على كامل المتشعب.

مسار في​${\displaystyle M}$هي خريطة متصلة${\displaystyle \mu$ :\Sigma \to M} حيث${\displaystyle \Sigma }$هي فترة غير متدهورة (أي مجموعة متصلة تحتوي على أكثر من نقطة واحدة) في${\displaystyle \mathbb {R} }$المسار السلس​${\displaystyle \mu }$قابلة للتفاضل عددًا مناسبًا من المرات (عادةً)${\displaystyle C^{\infty }}$)، والمسار المنتظم له مشتقة غير معدومة.

منحنى في​${\displaystyle M}$هي صورة مسار، أو بشكل أدق، فئة تكافؤ من المسارات المرتبطة بإعادة التحديد، أي التشاكلات المتماثلة أو التشاكلات التفاضلية لـ${\displaystyle \Sigma }$. متى${\displaystyle M}$إذا كان المنحنى قابلاً للتوجيه الزمني، فإنه يكون موجهاً إذا كان مطلوباً أن يكون تغيير المعلمة دالة رتيبة متزايدة تماماً .

المنحنيات المنتظمة الملساء (أو المسارات) في${\displaystyle M}$يمكن تصنيف المنحنيات بناءً على متجهات المماس الخاصة بها. هذا المنحنى هو

• يكون المنحنى زمنيًا (أو شبيهًا بالزمن ) إذا كان متجه المماس شبيهًا بالزمن عند جميع النقاط في المنحنى. ويُسمى أيضًا خط العالم . ^{[ 2 ]}
• تكون القيمة فارغة إذا كان متجه المماس فارغًا عند جميع النقاط في المنحنى.
• يكون متجه المماس فضائيًا إذا كان متجه المماس فضائيًا عند جميع النقاط في المنحنى.
• سببي (أو غير مكاني ) إذا كان متجه المماس زمنيًا أو معدومًا عند جميع النقاط في المنحنى.

متطلبات الانتظام وعدم الانحطاط لـ${\displaystyle \Sigma }$التأكد من أن المنحنيات السببية المغلقة (مثل تلك التي تتكون من نقطة واحدة) لا يتم قبولها تلقائيًا بواسطة جميع الزمكانات.

إذا كان التشعب قابلاً للتوجيه الزمني، فيمكن تصنيف المنحنيات غير المكانية بشكل أكبر اعتمادًا على اتجاهها بالنسبة للزمن.

منحنى زمني أو صفري أو سببي في${\displaystyle M}$يكون

• موجه نحو المستقبل إذا كان متجه المماس موجهًا نحو المستقبل لكل نقطة في المنحنى.
• يكون متجه المماس متجهًا نحو الماضي إذا كان متجه المماس متجهًا نحو الماضي لكل نقطة في المنحنى.

لا تنطبق هذه التعريفات إلا على المنحنيات السببية (الزمنية أو الصفرية) لأنه لا يمكن تعيين اتجاه للمتجهات المماسية الزمنية أو الصفرية بالنسبة للوقت.

• المنحنى الزمني المغلق هو منحنى مغلق يكون في كل مكان زمنيًا موجهًا نحو المستقبل (أو زمنيًا موجهًا نحو الماضي في كل مكان).
• المنحنى الصفري المغلق هو منحنى مغلق يكون في كل مكان صفريًا موجهًا نحو المستقبل (أو صفريًا موجهًا نحو الماضي في كل مكان).
• إن تجانس نسبة معدل تغير المعامل الأفيني حول مسار جيوديسي مغلق هو عامل الانزياح الأحمر .

توجد عدة علاقات سببية بين النقاط${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$في المشعب${\displaystyle M}$.

• ${\displaystyle x}$يسبق زمنيًا${\displaystyle y}$(يشار إليه غالبًا بـ${\displaystyle \,x\ll y}$) إذا كان هناك منحنى زمني (شبيه بالزمن) موجه نحو المستقبل من${\displaystyle x}$ل${\displaystyle y}$.
• ${\displaystyle x}$يسبق السبب بشكل قاطع${\displaystyle y}$(يشار إليه غالبًا بـ${\displaystyle x<y}$) إذا كان هناك منحنى سببي (غير مكاني) موجه نحو المستقبل من${\displaystyle x}$ل${\displaystyle y}$.
• ${\displaystyle x}$يسبق السببي${\displaystyle y}$(يشار إليه غالبًا بـ${\displaystyle x\prec y}$أو${\displaystyle x\leq y}$) لو${\displaystyle x}$يسبق السبب بشكل قاطع${\displaystyle y}$أو${\displaystyle x=y}$.
• ${\displaystyle x}$هوريزموس${\displaystyle y}$^{[ 3 ]} (يشار إليه غالبًا بـ${\displaystyle x\to y}$أو${\displaystyle x\nearrow y}$) لو${\displaystyle x=y}$أو يوجد منحنى صفري موجه نحو المستقبل من${\displaystyle x}$ل${\displaystyle y}$^{[ 4 ]} (أو ما يعادلها،${\displaystyle x\prec y}$و${\displaystyle x\not \ll y}$يشير إلى${\displaystyle x\prec y}$(وهذا يتبع بشكل بديهي من التعريف)) ^{[ 5 ]}
• ${\displaystyle x\ll y}$،${\displaystyle y\prec z}$يشير إلى${\displaystyle x\ll z}$^{[ 5 ]}
• ${\displaystyle x\prec y}$،${\displaystyle y\ll z}$يشير إلى${\displaystyle x\ll z}$^{[ 5 ]}
• ${\displaystyle \ll }$،${\displaystyle <}$،${\displaystyle \prec }$هي متعدية . ^{[ 5 ]}${\displaystyle \to }$ليست علاقة متعدية. العلاقة السببية${\displaystyle \prec }$هو أصغر امتداد متعدٍ لعلاقة هوريزموس${\displaystyle \to }$[ ^{6 ]​}
• ${\displaystyle \prec }$،${\displaystyle \to }$هي انعكاسية ^{[ 4 ]}

من أجل نقطة${\displaystyle x}$في المشعب${\displaystyle M}$نُعرّف ^{[ 5 ]}

• المستقبل الزمني لـ${\displaystyle x}$، المشار إليه${\displaystyle \,I^{+}(x)}$، باعتبارها مجموعة جميع النقاط${\displaystyle y}$في${\displaystyle M}$بحيث${\displaystyle x}$يسبق زمنيًا${\displaystyle y}$:

${\displaystyle \,I^{+}(x)=\{y\in M|x\ll y\}}$

• الماضي الزمني لـ${\displaystyle x}$، المشار إليه${\displaystyle \,I^{-}(x)}$، باعتبارها مجموعة جميع النقاط${\displaystyle y}$في${\displaystyle M}$بحيث${\displaystyle y}$يسبق زمنيًا${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \,I^{-}(x)=\{y\in M|y\ll x\}}$

ونحن نعرّف بالمثل

• المستقبل السببي ( ويسمى أيضًا المستقبل المطلق ) لـ${\displaystyle x}$، المشار إليه${\displaystyle \,J^{+}(x)}$، باعتبارها مجموعة جميع النقاط${\displaystyle y}$في${\displaystyle M}$بحيث${\displaystyle x}$يسبق السببي${\displaystyle y}$:

${\displaystyle \,J^{+}(x)=\{y\in M|x\prec y\}}$

• الماضي السببي ( ويسمى أيضًا الماضي المطلق ) لـ${\displaystyle x}$، المشار إليه${\displaystyle \,J^{-}(x)}$، باعتبارها مجموعة جميع النقاط${\displaystyle y}$في${\displaystyle M}$بحيث${\displaystyle y}$يسبق السببي${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \,J^{-}(x)=\{y\in M|y\prec x\}}$

• المخروط الصفري المستقبلي لـ${\displaystyle x}$باعتبارها مجموعة جميع النقاط${\displaystyle y}$في${\displaystyle M}$بحيث${\displaystyle x\to y}$.
• المخروط الصفري الماضي لـ${\displaystyle x}$باعتبارها مجموعة جميع النقاط${\displaystyle y}$في${\displaystyle M}$بحيث${\displaystyle y\to x}$.
• مخروط الضوء​${\displaystyle x}$باعتبارها المخاريط الصفرية المستقبلية والماضية لـ${\displaystyle x}$معًا. ^{[ 7 ]}
• في أماكن أخرى كنقاط ليست في مخروط الضوء، أو المستقبل السببي، أو الماضي السببي. ^{[ 7 ]}

النقاط الواردة في${\displaystyle \,I^{+}(x)}$على سبيل المثال، يمكن الوصول إليه من${\displaystyle x}$بواسطة منحنى زمني موجه نحو المستقبل. النقطة${\displaystyle x}$يمكن الوصول إليها، على سبيل المثال، من النقاط الموجودة في${\displaystyle \,J^{-}(x)}$بواسطة منحنى غير فضائي موجه نحو المستقبل.

في فضاء مينكوفسكي، المجموعة${\displaystyle \,I^{+}(x)}$الجزء الداخلي من مخروط الضوء المستقبلي عند${\displaystyle x}$المجموعة${\displaystyle \,J^{+}(x)}$هل مخروط الضوء المستقبلي الكامل عند${\displaystyle x}$، بما في ذلك المخروط نفسه.

هذه المجموعات${\displaystyle \,I^{+}(x),I^{-}(x),J^{+}(x),J^{-}(x)}$ محدد للجميع${\displaystyle x}$في${\displaystyle M}$تُسمى مجتمعةً بالبنية السببية لـ${\displaystyle M}$.

ل${\displaystyle S}$مجموعة فرعية من${\displaystyle M}$نُعرّف ^{[ 5 ]}

${\displaystyle I^{\pm }[S]=\bigcup _{x\in S}I^{\pm }(x)}$

${\displaystyle J^{\pm }[S]=\bigcup _{x\in S}J^{\pm }(x)}$

ل${\displaystyle S,T}$مجموعتان فرعيتان من${\displaystyle M}$نحن نحدد

• المستقبل الزمني لـ${\displaystyle S}$بالنسبة إلى${\displaystyle T}$،${\displaystyle I^{+}[S;T]}$، هو المستقبل الزمني لـ${\displaystyle S}$يُعتبر بمثابة فضاء فرعي من${\displaystyle T}$لاحظ أن هذا مفهوم مختلف تمامًا عن${\displaystyle I^{+}[S]\cap T}$مما يعطي مجموعة النقاط في${\displaystyle T}$والتي يمكن الوصول إليها من خلال منحنيات زمنية موجهة نحو المستقبل تبدأ من${\displaystyle S}$في الحالة الأولى، يجب أن تقع المنحنيات في${\displaystyle T}$أما في الحالة الثانية، فلا. انظر هوكينج وإيليس.
• مستقبل السببية${\displaystyle S}$بالنسبة إلى${\displaystyle T}$،${\displaystyle J^{+}[S;T]}$، هو المستقبل السببي لـ${\displaystyle S}$يُعتبر بمثابة فضاء فرعي من${\displaystyle T}$لاحظ أن هذا مفهوم مختلف تمامًا عن${\displaystyle J^{+}[S]\cap T}$مما يعطي مجموعة النقاط في${\displaystyle T}$والتي يمكن الوصول إليها من خلال منحنيات سببية موجهة نحو المستقبل تبدأ من${\displaystyle S}$في الحالة الأولى، يجب أن تقع المنحنيات في${\displaystyle T}$أما في الحالة الثانية، فلا. انظر هوكينج وإيليس.
• مجموعة المستقبل هي مجموعة مغلقة تحت مفهوم المستقبل الزمني.
• مجموعة الماضي هي مجموعة مغلقة تحت الماضي الزمني.
• مجموعة الماضي غير القابلة للتحليل (IP) هي مجموعة ماضية ليست اتحاد مجموعتين فرعيتين مختلفتين مفتوحتين من الماضي.
• عنوان IP لا يتطابق مع ماضي أي نقطة في${\displaystyle M}$يُطلق عليها اسم مجموعة الماضي غير القابلة للتحليل النهائية (TIP).
• مجموعة الماضي غير القابلة للتحليل الصحيحة (PIP) هي مجموعة IP وليست مجموعة TIP.${\displaystyle I^{-}(x)}$هي مجموعة ماضية غير قابلة للتحليل (PIP).
• تطوير كوشي المستقبلي لـ${\displaystyle S}$،${\displaystyle D^{+}(S)}$هي مجموعة جميع النقاط${\displaystyle x}$والتي من أجلها كل منحنى سببي غير قابل للتمديد موجه في الماضي${\displaystyle x}$يتقاطع${\displaystyle S}$مرة واحدة على الأقل. وينطبق الأمر نفسه على تطورات كوشي السابقة. تطور كوشي هو اتحاد تطورات كوشي المستقبلية والسابقة. تُعد تطورات كوشي مهمة لدراسة الحتمية .
• مجموعة فرعية${\displaystyle S\subset M}$يكون غير متزامن إذا لم يكن موجودًا${\displaystyle q,r\in S}$بحيث${\displaystyle r\in I^{+}(q)}$أو ما يعادل ذلك، إذا${\displaystyle S}$منفصل عن${\displaystyle I^{+}[S]}$.

• السطح الكوشي هو مجموعة مغلقة غير متزامنة يكون تطورها الكوشي هو${\displaystyle M}$.
• يكون المقياس زائديًا عالميًا إذا كان من الممكن تقسيمه إلى طبقات بواسطة أسطح كوشي.
• مجموعة النقاط التي تنتهك التسلسل الزمني هي مجموعة النقاط التي تمر بها المنحنيات الزمنية المغلقة.
• مجموعة انتهاك السببية هي مجموعة النقاط التي تمر بها المنحنيات السببية المغلقة.
• حدود المجموعة التي تنتهك السببية هي أفق كوشي . إذا تم توليد أفق كوشي بواسطة مسارات جيوديسية مغلقة صفرية، فسيكون هناك عامل انزياح أحمر مرتبط بكل منها.
• بالنسبة للمنحنى السببي${\displaystyle \gamma }$، الألماس السببي هو${\displaystyle J^{+}(\gamma (t_{1}))\cap J^{-}(\gamma (t_{2}))}$(هنا نستخدم التعريف الأوسع لـ "المنحنى" حيث يكون مجرد مجموعة من النقاط)، وهي النقطة${\displaystyle \gamma (t_{1})}$في الماضي السببي لـ${\displaystyle \gamma (t_{2})}$لفظاً: المعين السببي لخط عالم الجسيم${\displaystyle \gamma }$هي مجموعة جميع الأحداث التي تقع في الماضي أو في نقطة ما في${\displaystyle \gamma }$ومستقبل نقطة ما في${\displaystyle \gamma }$في النسخة المنفصلة، ​​يمثل المعين السببي مجموعة جميع المسارات السببية التي تربط${\displaystyle \gamma (t_{2})}$من${\displaystyle \gamma (t_{1})}$.

انظر بنروز (1972)، ص 13.

• نقطة${\displaystyle x}$هو في${\displaystyle \,I^{-}(y)}$إذا وفقط إذا${\displaystyle y}$هو في${\displaystyle \,I^{+}(x)}$.
• ${\displaystyle x\prec y\implies I^{-}(x)\subset I^{-}(y)}$
• ${\displaystyle x\prec y\implies I^{+}(y)\subset I^{+}(x)}$
• ${\displaystyle I^{+}[S]=I^{+}[I^{+}[S]]\subset J^{+}[S]=J^{+}[J^{+}[S]]}$
• ${\displaystyle I^{-}[S]=I^{-}[I^{-}[S]]\subset J^{-}[S]=J^{-}[J^{-}[S]]}$
• يتم توليد الخط الأفقي بواسطة تطابقات جيوديسية صفرية.

الخصائص الطوبولوجية :

• ${\displaystyle I^{\pm }(x)}$مفتوح لجميع النقاط${\displaystyle x}$في${\displaystyle M}$.
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]}$مفتوح لجميع المجموعات الفرعية${\displaystyle S\subset M}$.
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]=I^{\pm }[{\overline {S}}]}$لجميع المجموعات الفرعية${\displaystyle S\subset M}$. هنا${\displaystyle {\overline {S}}}$هو إغلاق مجموعة جزئية${\displaystyle S}$.
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]\subset {\overline {J^{\pm }[S]}}}$