طريقة تفكيك أدوميان

📅 آخر تحديث: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 69 صور
الموسوعة الحرة

طريقة تفكيك أدوميان (ADM) هي طريقة شبه تحليلية لحل المعادلات التفاضلية غير الخطية العادية والجزئية . وقد طُوّرت هذه الطريقة في الفترة من سبعينيات إلى تسعينيات القرن العشرين على يد جورج أدوميان ، رئيس مركز الرياضيات التطبيقية في جامعة جورجيا . [ 1 ]

يمكن توسيع نطاق هذه الطريقة لتشمل الأنظمة العشوائية باستخدام تكامل إيتو . [ 2 ] يهدف هذا الأسلوب إلى وضع نظرية موحدة لحل المعادلات التفاضلية الجزئية ، وهو هدف تجاوزته نظرية تحليل التماثل الأكثر عمومية . [ 3 ] يتمثل الجانب الحاسم في هذا الأسلوب في استخدام "متعددات حدود أدوميان" التي تسمح بتقارب حل الجزء غير الخطي من المعادلة، دون الحاجة إلى تبسيط النظام. تُعمم هذه المتعددات الحدود رياضيًا إلى متسلسلة ماكلورين حول أي وسيط خارجي، مما يمنح أسلوب الحل مرونة أكبر من توسيع متسلسلة تايلور المباشر . [ 4 ]

المعادلات التفاضلية العادية

تُعد طريقة أدوميان مناسبة تمامًا لحل مسائل كوشي ، وهي فئة مهمة من المسائل التي تشمل مسائل الشروط الأولية .

تطبيق على نظام غير خطي من الدرجة الأولى

فيما يلي مثال على مشكلة الشروط الابتدائية لمعادلة تفاضلية عادية:

y′(ت)+y2(ت)=-1،{\displaystyle y^{\prime }(t)+y^{2}(t)=-1,}
y(0)=0.{\displaystyle y(0)=0.}

لحل المشكلة، يتم وضع عامل التفاضل ذو الدرجة الأعلى (المكتوب هنا بـ L ) على الجانب الأيسر، بالطريقة التالية:

لy=-1-y2،{\displaystyle Ly=-1-y^{2},}

مع L = d/d t ول-1=∫0ت(){\displaystyle L^{-1}=\int _{0}^{t}()}والآن يُفترض أن الحل عبارة عن سلسلة لا نهائية من المساهمات:

y=y0+y1+y2+y3+⋯.{\displaystyle y=y_{0}+y_{1}+y_{2}+y_{3}+\cdots .}

وباستبدال المعادلة في التعبير السابق، نحصل على:

(y0+y1+y2+y3+⋯)=y(0)+ل-1[-1-(y0+y1+y2+y3+⋯)2].{\displaystyle (y_{0}+y_{1}+y_{2}+y_{3}+\cdots )=y(0)+L^{-1}[-1-(y_{0}+y_{1}+y_{2}+y_{3}+\cdots )^{2}].}

الآن نُعرّف y₀ بتعبير صريح على اليمين، و yᵢ، حيث i = 1 ، 2، 3، ...، بتعبير على اليمين يحتوي على حدود من رتبة أقل من i . على سبيل المثال:

y0= y(0)+ل-1(-1)=-تy1=-ل-1(y02)=-ل-1(ت2)=-ت3/3y2=-ل-1(2y0y1)=-2ت5/15y3=-ل-1(y12+2y0y2)=-17ت7/315.\begin{aligned} y_{0} = y(0) + L^{-1}(-1) = -t \\ y_{1} = -L^{-1}(y_{0}^{2}) = -L^{-1}(t^{2}) = -t^{3}/3 \\ y_{2} = -L^{-1}(2y_{0}y_{1}) = -2t^{5}/15 \\ y_{3} = -L^{-1}(y_{1}^{2} + 2y_{0}y_{2}) = -17t^{7}/315 \end{aligned}

وبهذه الطريقة، يمكن حساب أي مساهمة بشكل صريح عند أي رتبة. إذا اقتصرنا على الحدود الأربعة الأولى، فإن التقريب يكون كما يلي:

y=y0+y1+y2+y3+⋯=-[ت+13ت3+215ت5+17315ت7+⋯]{\displaystyle {\begin{aligned}y&=y_{0}+y_{1}+y_{2}+y_{3}+\cdots \\&=-\left[t+{\frac {1}{3}}t^{3}+{\frac {2}{15}}t^{5}+{\frac {17}{315}}t^{7}+\cdots \right]\end{aligned}}}

تطبيق على معادلة بلاسيوس

مثال ثانٍ، مع شروط حدودية أكثر تعقيدًا، هو معادلة بلاسيوس لتدفق في طبقة حدودية :

د3uدx3+12uد2uدx2=0{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{3}u}{\mathrm {d} x^{3}}}+{\frac {1}{2}}u{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} x^{2}}}=0}

مع مراعاة الشروط التالية على الحدود:

u(0)=0u′(0)=0u′(x)→1،x→∞{\displaystyle {\begin{aligned}u(0)&=0\\u^{\prime }(0)&=0\\u^{\prime }(x)&\to 1,\qquad x\to \infty \end{aligned}}}

تُسمى الآن المؤثرات الخطية وغير الخطيةل=د3دx3{\displaystyle L={\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}}وشمال=12uد2دx2{\displaystyle N={\frac {1}{2}}u{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}}على التوالي. عندئذٍ، يصبح التعبير كالتالي:

لu+شمالu=0{\displaystyle Lu+Nu=0}

ويمكن التعبير عن الحل، في هذه الحالة، بالطريقة البسيطة التالية:

u=α+βx+γx2/2-ل-1شمالu{\displaystyle u=\alpha +\beta x+\gamma x^{2}/2-L^{-1}نو}

أين:ل-1ξ(x)=∫دx∫دx∫دxξ(x){\displaystyle L^{-1}\xi (x)=\int dx\int \mathrm {d} x\int \mathrm {d} x\;\;\xi (x)} لو:

u=u0+u1+u2+⋯+uشمال=α+βx+γx2/2-12ل-1(u0+u1+u2+⋯+uشمال)د2دx2(u0+u1+u2+⋯+uشمال){\displaystyle {\begin{align}u&=u^{0}+u^{1}+u^{2}+\cdots +u^{N}\\&=\alpha +\beta x+\gamma x^{2}/2-{\frac {1}{2}}L^{-1}(u^{0}+u^{1}+u^{2}+\cdots +u^{N}){\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}(u^{0}+u^{1}+u^{2}+\cdots +u^{N})\end{محاذاة}}}

و:

u0=α+βx+γx2/2u1=-12ل-1(u0u0")=-ل-1أ0u2=-12ل-1(u1u0"+u0u1")=-ل-1أ1u3=-12ل-1(u2u0"+u1u1"+u0u2")=-ل-1أ2⋯{\displaystyle {\begin{align}u^{0}&={}\alpha +\beta x+\gamma x^{2}/2\\u^{1}&=-{\frac {1}{2}}L^{-1}(u^{0}u^{0''})&=&-L^{-1}A_{0}\\u^{2}&=-{\frac {1}{2}}L^{-1}(u^{1}u^{0''}+u^{0}u^{1''})&=&-L^{-1}A_{1}\\u^{3}&=-{\frac {1}{2}}L^{-1}(u^{2}u^{0''}+u^{1}u^{1''}+u^{0}u^{2''})&=&-L^{-1}A_{2}\\&\cdots \end{aligned}}}

يمكن الحصول على كثيرات حدود أدوميان لتخطيط الحد غير الخطي بشكل منهجي باستخدام القاعدة التالية:

أن=1ن!دندλنو(u(λ))|λ=0،{\displaystyle A_{n}={\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} \lambda ^{n}}}f(u(\lambda ))\mid _{\lambda =0},}

أين:دندλنu(λ)|λ=0=ن!uن{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} \lambda ^{n}}}u(\lambda )\mid _{\lambda =0}=n!u_{n}}

يجب تطبيق الشروط الحدية، بشكل عام، في نهاية كل عملية تقريب. في هذه الحالة، يجب تجميع ثوابت التكامل في ثلاثة ثوابت مستقلة نهائية. مع ذلك، في مثالنا، تظهر الثوابت الثلاثة مجمعة منذ البداية بالشكل الموضح في الحل الرسمي أعلاه. بعد تطبيق الشرطين الحديين الأولين، نحصل على ما يُسمى متسلسلة بلازيوس.

u=γ2x2-γ22(x55!)+11γ34(x88!)-375γ48(x1111!)+⋯{\displaystyle u={\frac {\gamma }{2}}x^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{2}}\left({\frac {x^{5}}{5!}}\right)+{\frac {11\gamma ^{3}}{4}}\left({\frac {x^{8}}{8!}}\right)-{\frac {375\gamma ^{4}}{8}}\left({\frac {x^{11}}{11!}}\right)+\cdots }

للحصول على γ، علينا تطبيق الشروط الحدية عند ∞، والتي يمكن القيام بها عن طريق كتابة السلسلة كتقريب باديه :

و(z)=∑ن=0ل+مجنzن=أ0+أ1z+⋯+ألzلب0+ب1z+⋯+بمzم{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{L+M}c_{n}z^{n}={\frac {a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\cdots +b_{M}z^{M}}}}

حيث L = M. النهاية عند∞{\displaystyle \infty }جزء من هذا التعبير هو L / b M .

إذا اخترنا b 0 = 1، فسيتم الحصول على M معادلة خطية لمعاملات b :

[جل-م+1جل-م+2⋯جلجل-م+2جل-م+3⋯جل+1⋮⋮⋮جلجل+1⋯جل+م-1][بمبم-1⋮ب1]=-[جل+1جل+2⋮جل+م]{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}c_{L-M+1}&c_{L-M+2}&\cdots &c_{L}\\c_{L-M+2}&c_{L-M+3}&\cdots &c_{L+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\c_{L}&c_{L+1}&\cdots &c_{L+M-1}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}b_{M}\\b_{M-1}\\\vdots \\b_{1}\end{array}}\right]=-\left[{\begin{array}{c}c_{L+1}\\c_{L+2}\\\vdots \\c_{L+M}\end{array}}\right]}

ثم نحصل على معاملات a باستخدام التسلسل التالي:

أ0=ج0أ1=ج1+ب1ج0أ2=ج2+ب1ج1+ب2ج0⋯أل=جل+∑أنا=1مين(ل،م)بأناجل-أنا.{\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=c_{0}\\a_{1}&=c_{1}+b_{1}c_{0}\\a_{2}&=c_{2}+b_{1}c_{1}+b_{2}c_{0}\\&\cdots \\a_{L}&=c_{L}+\sum _{i=1}^{\min(L,m)}b_{i}c_{L-i}.\end{aligned}}}

في مثالنا:

u′(x)=γx-γ22(x44!)+11γ34(x77!)-375γ48(x1010!){\displaystyle u'(x)=\gamma x-{\frac {\gamma ^{2}}{2}}\left({\frac {x^{4}}{4!}}\right)+{\frac {11\gamma ^{3}}{4}}\left({\frac {x^{7}}{7!}}\right)-{\frac {375\gamma ^{4}}{8}}\left({\frac {x^{10}}{10!}}\right)}

والتي تصبح عند γ = 0.0408:

u′(x)=0.0204+0.0379z-0.0059z2-0.00004575z3+6.357⋅10-6z4-1.291⋅10-6z51-0.1429z-0.0000232z2+0.0008375z3-0.0001558z4-1.2849⋅10-6z5،{\displaystyle u'(x)={\frac {0.0204+0.0379\,z-0.0059\,z^{2}-0.00004575\,z^{3}+6.357\cdot 10^{-6}z^{4}-1.291\cdot 10^{-6}z^{5}}{1-0.1429\,z-0.0000232\,z^{2}+0.0008375\,z^{3}-0.0001558\,z^{4}-1.2849\cdot 10^{-6}z^{5}}},}

مع الحد الأقصى:

ليمx→∞u′(x)=1.004.{\displaystyle \lim _{x\to \infty }u'(x)=1.004.}

وهو ما يساوي تقريبًا 1 (من شرط الحدود (3)) بدقة 4/1000.

المعادلات التفاضلية الجزئية

تطبيق على نظام مستطيل ذي خصائص غير خطية

من أكثر المسائل شيوعًا في العلوم الفيزيائية إيجاد حل لمعادلة تفاضلية جزئية (خطية أو غير خطية) تحقق مجموعة من القيم الوظيفية على حدود مستطيلة. مثال على ذلك المسألة التالية:

∂2u∂x2+∂2u∂y2-ب∂u2∂x=ρ(x،y)(1){\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}-b{\frac {\partial u^{2}}{\partial x}}=\rho (x,y)\qquad (1)}

مع تحديد الشروط الحدية التالية على مستطيل:

u(x=0)=و1(y)وu(x=xل)=و2(y)(1-أ){\displaystyle u(x=0)=f_{1}(y)\quad {\text{and}}\quad u(x=x_{l})=f_{2}(y)\qquad {\text{(1-a)}}}
u(y=-yل)=ز1(x)وu(y=yل)=ز2(x)(1-ب){\displaystyle u(y=-y_{l})=g_{1}(x)\quad {\text{and}}\quad u(y=y_{l})=g_{2}(x)\qquad {\text{(1-b)}}}

يظهر هذا النوع من المعادلات التفاضلية الجزئية بشكل متكرر مقترناً بمعادلات أخرى في العلوم والهندسة . على سبيل المثال، في مسألة تدفق الموائع غير القابلة للانضغاط ، يجب حل معادلات نافيير-ستوكس بالتوازي مع معادلة بواسون للضغط.

تفكيك النظام

لنستخدم الرموز التالية للمسألة (1):

لxu+لyu+شمالu=ρ(x،y)(2){\displaystyle L_{x}u+L_{y}u+Nu=\rho (x,y)\qquad (2)}

حيث L x و L y هما عاملان مشتقان مزدوجان و N هو عامل غير خطي.

الحل الرسمي للمعادلة (2) هو:

u=أ(y)+ب(y)x+لx-1ρ(x،y)-لx-1لyu-لx-1شمالu(3){\displaystyle u=a(y)+b(y)x+L_{x}^{-1}\rho (x,y)-L_{x}^{-1}L_{y}u-L_{x}^{-1}Nu\qquad (3)}

توسيع نطاق u الآن كمجموعة من المساهمات في الحل الذي لدينا:

u=u0+u1+u2+u3+⋯{\displaystyle u=u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots }

عن طريق التعويض في (3) وإجراء تطابق واحد لواحد بين المساهمات على الجانب الأيسر والحدود على الجانب الأيمن، نحصل على المخطط التكراري التالي:

u0=أ0(y)+ب0(y)x+لx-1ρ(x،y)u1=أ1(y)+ب1(y)x-لx-1لyu0+ب∫دxأ0⋯uن=أن(y)+بن(y)x-لx-1لyuن-1+ب∫دxأن-10<ن<∞{\displaystyle {\begin{aligned}u_{0}&=a_{0}(y)+b_{0}(y)x+L_{x}^{-1}\rho (x,y)\\u_{1}&=a_{1}(y)+b_{1}(y)x-L_{x}^{-1}L_{y}u_{0}+b\int dxA_{0}\\&\cdots \\u_{n}&=a_{n}(y)+b_{n}(y)x-L_{x}^{-1}L_{y}u_{n-1}+b\int dxA_{n-1}\quad 0<n<\infty \end{aligned}}}

حيث يمثل الزوج { a n ( y ), b n ( y )} حلاً لنظام المعادلات التالي:

φن(x=0)=و1(y)φن(x=xل)=و2(y)،{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}(x=0)&=f_{1}(y)\\\varphi ^{n}(x=x_{l})&=f_{2}(y),\end{aligned}}}

هناφن≡∑أنا=0نuأنا{\displaystyle \varphi ^{n}\equiv \sum _{i=0}^{n}u_{i}}هو التقريب من الرتبة n للحل، وقد تم توسيع N u باستمرار في كثيرات حدود أدوميان:

شمالu=-ب∂xu2=-ب∂x(u0+u1+u2+u3+⋯)(u0+u1+u2+u3+⋯)=-ب∂x(u0u0+2u0u1+u1u1+2u0u2+⋯)=-ب∂x∑ن=1∞أ(ن-1)،{\displaystyle {\begin{aligned}Nu&=-b\partial _{x}u^{2}=-b\partial _{x}(u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots )(u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots )\\&=-b\partial _{x}(u_{0}u_{0}+2u_{0}u_{1}+u_{1}u_{1}+2u_{0}u_{2}+\cdots )\\&=-b\partial _{x}\sum _{n=1}^{\infty }A(n-1),\end{aligned}}}

أينأن=∑ν=1نج(ν،ن)و(ν)(u0){\displaystyle A_{n}=\sum _{\nu =1}^{n}C(\nu ,n)f^{(\nu )}(u_{0})}و f ( u ) = u 2 في المثال (1).

هنا ، C ( ν , n ) هي نواتج (أو مجموع نواتج) ν من مكونات u التي مجموع مؤشراتها السفلية يساوي n مقسومًا على مضروب عدد المؤشرات السفلية المتكررة. إنها مجرد قاعدة عامة لترتيب عملية التفكيك بشكل منهجي لضمان استخدام جميع التركيبات الظاهرة عاجلاً أم آجلاً.

ال∑ن=0∞أن{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }A_{n}}يساوي مجموع متسلسلة تايلور المعممة حول u 0 . [ 1 ]

بالنسبة للمثال (1)، فإن كثيرات حدود أدوميان هي:

أ0=u02أ1=2u0u1أ2=u12+2u0u2أ3=2u1u2+2u0u3⋯{\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}&=u_{0}^{2}\\A_{1}&=2u_{0}u_{1}\\A_{2}&=u_{1}^{2}+2u_{0}u_{2}\\A_{3}&=2u_{1}u_{2}+2u_{0}u_{3}\\&\cdots \end{aligned}}}

توجد خيارات أخرى ممكنة للتعبير عن A n .

حلول متسلسلة

أثبت شيرولت أن حدود المتسلسلة التي تم الحصول عليها بطريقة أدوميان تقترب من الصفر عندما 1/( mn )! إذا كانت m هي رتبة أعلى مؤثر تفاضلي خطي، وأنليمن→∞φن=u{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\varphi ^{n}=u}[ 5 ] باستخدام هذه الطريقة ، يمكن إيجاد الحل عن طريق التكامل المنهجي على طول أي من الاتجاهين: في اتجاه x نستخدم التعبير (3)؛ وفي اتجاه y البديل نستخدم التعبير التالي:

u=ج(x)+د(x)y+لy-1ρ(x،y)-لy-1لxu-لy-1شمالu{\displaystyle u=c(x)+d(x)y+L_{y}^{-1}\rho (x,y)-L_{y}^{-1}L_{x}u-L_{y}^{-1}Nu}

حيث: يتم الحصول على c ( x ), d ( x ) من الشروط الحدية عند y = - y l و y = y l :

u(y=-yل)=ز1(x)u(y=yل)=ز2(x){\displaystyle {\begin{aligned}u(y=-y_{l})&=g_{1}(x)\\u(y=y_{l})&=g_{2}(x)\end{aligned}}}

إذا أطلقنا على الحلين المعنيين اسم الحل الجزئي x والحل الجزئي y ، فإن إحدى أهم نتائج هذه الطريقة هي أن الحل الجزئي x يستخدم فقط شرطي الحدود (1-أ) والحل الجزئي y يستخدم فقط الشروط (1-ب).

وبالتالي، فإن إحدى مجموعتي دوال الحدود { f 1 , f 2 } أو { g 1 , g 2 } زائدة عن الحاجة، وهذا يعني أن المعادلة التفاضلية الجزئية ذات الشروط الحدودية على مستطيل لا يمكن أن يكون لها شروط حدودية عشوائية على الحدود، لأن الشروط عند x = x 1 , x = x 2 يجب أن تكون متسقة مع تلك المفروضة عند y = y 1 و y = y 2 .

ومن الأمثلة لتوضيح هذه النقطة حل مسألة بواسون مع الشروط الحدية التالية:

u(x=0)=و1(y)=0u(x=xل)=و2(y)=0{\displaystyle {\begin{aligned}u(x=0)&=f_{1}(y)=0\\u(x=x_{l})&=f_{2}(y)=0\end{aligned}}}

باستخدام طريقة أدوميان ومعالج رمزي (مثل Mathematica أو Maple ) ، يسهل الحصول على تقريب من الدرجة الثالثة للحل. يتميز هذا التقريب بخطأ أقل من 5×10⁻¹⁶ عند أي نقطة، ويمكن إثبات ذلك بالتعويض في المسألة الأصلية وعرض القيمة المطلقة للباقي كدالة لـ ( x , y ). [ 6 ]

يُعطى الحل عند y = -0.25 و y = 0.25 بواسطة دوال محددة، وهي في هذه الحالة:

ز1(x)=0.0520833x-0.347222x3+9.25186×10-17x4+0.833333x5-0.555556x6{\displaystyle g_{1}(x)=0.0520833\,x-0.347222\,x^{3}+9.25186\times 10^{-17}x^{4}+0.833333\,x^{5}-0.555556\,x^{6}}

و g 2 ( x ) = g 1 ( x ) على التوالي.

إذا تم إجراء التكامل (المزدوج) الآن في اتجاه y باستخدام دالتي الحدود هاتين، فسيتم الحصول على نفس الحل، والذي يحقق u ( x =0, y ) = 0 و u ( x =0.5, y ) = 0 ولا يمكنه تحقيق أي شرط آخر على هذه الحدود.

قد يستغرب البعض هذه النتائج؛ إذ يبدو غريباً عدم ضرورة استخدام جميع الشروط الابتدائية والحدودية صراحةً لحل نظام تفاضلي. مع ذلك، من الحقائق الراسخة أن أي معادلة إهليلجية لها حل واحد فقط لأي شروط دالية على أضلاع مستطيل، شريطة عدم وجود انقطاع على الحواف. يكمن سبب هذا التصور الخاطئ في أن العلماء والمهندسين عادةً ما يفكرون في الشروط الحدودية من منظور التقارب الضعيف في فضاء هيلبرت (حيث تكون المسافة إلى دالة الحدود صغيرة بما يكفي للأغراض العملية). في المقابل، تفرض مسائل كوشي تقارباً نقطياً إلى دالة حدودية معينة وإلى جميع مشتقاتها (وهذا شرط قوي جداً!). بالنسبة للمسائل الأولى، تحقق الدالة شرطاً حدودياً عندما تكون المساحة (أو أي مسافة دالية أخرى) بينها وبين الدالة الحقيقية المفروضة على الحدود صغيرة بالقدر المطلوب؛ أما بالنسبة للمسائل الثانية، فيجب أن تؤول الدالة إلى الدالة الحقيقية المفروضة في أي نقطة من الفترة.

لا يوجد حل لمسألة بواسون المذكورة لأي شروط حدودية وظيفية f₁ , f₂ , g₁ , g₂ ؛ ومع ذلك ، بمعرفة f₁ , f₂ ، من الممكن دائمًا إيجاد دوال حدودية g₁ * , g₂ * قريبة جدًا من g₁ , g₂ بالقدر المطلوب (بمعنى التقارب الضعيف) بحيث يكون للمسألة حل. هذه الخاصية تُمكّن من حل مسألة بواسون والعديد من المسائل الأخرى بشروط حدودية اختيارية ، ولكن ليس للدوال التحليلية المحددة بدقة على الحدود. يمكن للقارئ أن يتأكد من حساسية حلول المعادلات التفاضلية الجزئية للتغيرات الطفيفة في الشروط الحدودية من خلال حل هذه المسألة بالتكامل على طول المحور x ، باستخدام دوال حدودية مختلفة قليلاً، حتى وإن لم تكن قابلة للتمييز بصريًا. على سبيل المثال، الحل مع الشروط الحدودية التالية:

و1،2(y)=0.00413682-0.0813801y2+0.260416y4-0.277778y6{\displaystyle f_{1,2}(y)=0.00413682-0.0813801\,y^{2}+0.260416\,y^{4}-0.277778\,y^{6}}

عند x = 0 و x = 0.5، والحل مع الشروط الحدية:

و1،2(y)=0.00413683-0.00040048y-0.0813802y2+0.0101279y3+0.260417y4-0.0694455y5-0.277778y6+0.15873y7+⋯{\displaystyle {\begin{aligned}f_{1,2}(y)=0.00413683&-0.00040048\,y-0.0813802\,y^{2}+0.0101279\,y^{3}+0.260417\,y^{4}\\&-0.0694455\,y^{5}-0.277778\,y^{6}+0.15873\,y^{7}+\cdots \end{aligned}}}

عند x = 0 و x = 0.5، ينتج عن ذلك دوال جانبية ذات تحدب مختلف الإشارة على الرغم من أن كلا الدالتين غير قابلتين للتمييز بصريًا.

تتأثر حلول المسائل الإهليلجية وغيرها من المعادلات التفاضلية الجزئية بشدة بالتغيرات الطفيفة في دالة الحدود المفروضة عند استخدام طرفين فقط. ولا تتوافق هذه الحساسية بسهولة مع النماذج التي يُفترض أنها تُمثل أنظمة حقيقية، والتي تُوصف بواسطة قياسات تحتوي على أخطاء تجريبية، وعادةً ما تُعبَّر عنها كمسائل قيم ابتدائية وحدودية في فضاء هيلبرت.

تحسينات على طريقة التفكيك

تم الإبلاغ عن ثلاث طرق على الأقل [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] للحصول على دوال الحدود g1 * و g2 * المتوافقة مع أي مجموعة جانبية من الشروط { f1, f2 } المفروضة . وهذا يُتيح إيجاد الحل التحليلي لأي مسألة حدودية لمعادلات تفاضلية جزئية على مستطيل مغلق بالدقة المطلوبة، مما يسمح بحل نطاق واسع من المسائل التي لم تتمكن طريقة أدوميان القياسية من معالجتها.

تُحدث الطريقة الأولى اضطرابًا في دالتي الحدود المفروضتين عند x = 0 و x = x1 (الشرط 1-أ) باستخدام متعددة حدود من الدرجة N في y : p1 ، p2 ، ​​بحيث يكون: f1 ' = f1 + p1 ، f2 ' = f2 + p2 ، حيث يكون معيار دالتي الاضطراب أصغر من الدقة المطلوبة عند الحدود. وتعتمد هاتان الدالتان p1 و p2 على مجموعة من معاملات متعددة الحدود c1 ، حيث i = 1 ، ...، N. بعد ذلك ، تُطبق طريقة أدوميان ، ويتم الحصول على الدوال عند الحدود الأربعة التي تعتمد على مجموعة c1، حيث i = 1 ، ... ، N. أخيرًا ، تُعرَّف دالة حدودية F ( c1 , c2 , ..., cN ) على أنها مجموع هذه الدوال الأربع، ويتم تقليل المسافة بين F ( c1 , c2 , ..., cN ) والدوال الحدودية الحقيقية (( 1 -a) و(1- b )). وبهذا، اختُزلت المسألة إلى إيجاد القيمة الصغرى المطلقة للدالة F ( c1 , c2 , ..., cN ) التي لها قيمة صغرى مطلقة عند توليفة معينة من المعاملات cᵢ ، حيث i = 1, ..., N. ويمكن إيجاد هذه القيمة الصغرى باستخدام خوارزمية جينية أو أي طريقة تحسين أخرى، مثل تلك التي اقترحها شيرولت (1999) . [ 9 ]

ثمة طريقة ثانية للحصول على تقريبات تحليلية لمسائل الحدود الأولية وهي الجمع بين تحليل أدوميان والطرق الطيفية. [ 7 ]

وأخيرًا، تعتمد الطريقة الثالثة التي اقترحها غارسيا-أوليفاريس على فرض حلول تحليلية عند الحدود الأربعة، ولكن مع تعديل المؤثر التفاضلي الأصلي بحيث يختلف عن المؤثر الأصلي فقط في منطقة ضيقة قريبة من الحدود، مما يجبر الحل على استيفاء الشروط التحليلية بدقة عند الحدود الأربعة. [ 8 ]

المعادلات التكاملية

يمكن أيضًا تطبيق طريقة تفكيك أدوميان على المعادلات التكاملية الخطية وغير الخطية للحصول على حلول. [ 10 ] وهذا يتوافق مع حقيقة أنه يمكن تحويل العديد من المعادلات التفاضلية إلى معادلات تكاملية. [ 10 ]

طريقة تحلل أدوميان

طريقة تفكيك أدوميان لمعادلة فريدهولم التكاملية غير المتجانسة من النوع الثاني هي كما يلي: [ 10 ]

بفرض وجود معادلة تكاملية على الصورة التالية:

u(x)=و(x)+λ∫أبك(x،ت)u(ت)دت{\displaystyle u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)u(t)dt}

نفترض أنه يمكننا التعبير عن الحل في شكل متسلسلة:

u(x)=∑ن=0∞uن(x){\displaystyle u(x)=\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}(x)}

وبإدخال صيغة المتسلسلة في المعادلة التكاملية نحصل على:

∑ن=0∞uن(x)=و(x)+λ∫أبك(x،ت)(∑ن=0∞uن(ت))دت{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)(\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}(t))dt}

بافتراض أن المجموع يتقارب تقاربًا مطلقًا إلىu(x){\displaystyle u(x)}يمكننا تبديل المجموع والتكامل إلى أعداد صحيحة كما يلي:

∑ن=0∞uن(x)=و(x)+λ∫أب∑ن=0∞ك(x،ت)uن(ت)دت{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}\sum _{n=0}^{\infty }K(x,t)u_{n}(t)dt}
∑ن=0∞uن(x)=و(x)+λ∑ن=0∞∫أبك(x،ت)uن(ت)دت{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}(x)=f(x)+\lambda \sum _{n=0}^{\infty }\int _{a}^{b}K(x,t)u_{n}(t)dt}

بتوسيع المجموع على كلا الجانبين نحصل على:

u0(x)+u1(x)+u2(x)+...=و(x)+λ∫أبك(x،ت)u0(ت)دت+λ∫أبك(x،ت)u1(ت)دت+λ∫أبك(x،ت)u2(ت)دت+...{\displaystyle u_{0}(x)+u_{1}(x)+u_{2}(x)+...=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)u_{0}(t)dt+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)u_{1}(t)dt+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)u_{2}(t)dt+...}

وبالتالي يمكننا ربط كل منهماuأنا(x){\displaystyle u_{i}(x)}على النحو المتكرر التالي:

u0(x)=و(x){\displaystyle u_{0}(x)=f(x)}
uأنا(x)=λ∫أبك(x،ت)uأنا-1دت،أنا≥1{\displaystyle u_{i}(x)=\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)u_{i-1}dt,\,\,\,\,\,\,\,\,i\geq 1}

وهذا ما يعطينا الحلu(x){\displaystyle u(x)}في صيغة الحل أعلاه. مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن هذه التكرارات، المعروفة أيضًا باسم متسلسلة ليوفيل-نيومان وتقريب بورن التكراري ، لا تتقارب دائمًا. الشرط الكافي للتقارب هو أن يكون معيار المؤثر التكاملي أقل من واحد. وبالتالي، بينما يكون المجموع متقاربًا تقاربًا مطلقًاu(x)=∑نuن(x){\displaystyle u(x)=\sum _{n}u_{n}(x)}يمكن تمثيلها بالفعل بهذه التكرارات، لكن هذه التكرارات لا تنتج دائمًا مجموعًا متقاربًا بشكل مطلق.

مثال

بالنظر إلى معادلة فريدهولم التكاملية:

u(x)=كوس⁡(x)+2x+∫0πxت⋅u(ت)دت{\displaystyle u(x)=\cos(x)+2x+\int _{0}^{\pi }xt\cdot u(t)dt}

منذو(x)=كوس⁡(x)+2x{\displaystyle f(x)=\cos(x)+2x}، يمكننا تحديد:

u0(x)=كوس⁡(x)+2x{\displaystyle u_{0}(x)=\cos(x)+2x}
u1(x)=∫0πxت⋅u0دت=∫0πxت⋅(جosx+2x)دت=(-2+2π33)x{\displaystyle u_{1}(x)=\int _{0}^{\pi }xt\cdot u_{0}dt=\int _{0}^{\pi }xt\cdot (cosx+2x)dt=(-2+{\frac {2\pi ^{3}}{3}})x}
u2(x)=∫0πxت⋅u1دت=∫0πxت⋅(-2+2π33)تدت=(-2π33+2π69)x{\displaystyle u_{2}(x)=\int _{0}^{\pi }xt\cdot u_{1}dt=\int _{0}^{\pi }xt\cdot (-2+{\frac {2\pi ^{3}}{3}})t\,dt=({\frac {-2\pi ^{3}}{3}}+{\frac {2\pi ^{6}}{9}})x}
...

ومن ثم الحلu(x){\displaystyle u(x)}يمكن كتابتها على النحو التالي:

u(x)=كوس⁡(x)+2x+(-2+2π33)x+(-2π33+2π69)x+...{\displaystyle u(x)=\cos(x)+2x+(-2+{\frac {2\pi ^{3}}{3}})x+({\frac {-2\pi ^{3}}{3}}+{\frac {2\pi ^{6}}{9}})x+...}

بما أن هذه متسلسلة متداخلة ، يمكننا أن نرى أن كل حد بعدجos(x){\displaystyle cos(x)}[ 10 ] وبالتالي، يتم إلغاء هذه الإشارات ويمكن اعتبارها "ضوضاء".u(x){\displaystyle u(x)}يصبح:

u(x)=كوس⁡(x){\displaystyle u(x)=\cos(x)}

مخطط أدوميان لمعادلة ديممخطط أدوميان لمعادلة برجر-فيشرمعادلة كوراموتو-سيفاشينسكي، حل أدوميان، رسم بياني للجيب

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 أدوميان، ج. (1994). حل مسائل الفيزياء الحدودية: طريقة التفكيك . دار نشر كلوير الأكاديمية.
  2. ↑ أدوميان، ج. (1986). معادلات المؤثرات العشوائية غير الخطية . دار نشر كلوير الأكاديمية. ISBN 978-0-12-044375-8.
  3. ↑ لياو، إس جيه (2012)، طريقة تحليل التماثل في المعادلات التفاضلية غير الخطية ، برلين وبكين: سبرينغر ودار النشر للتعليم العالي، رقم ISBN 978-3642251313
  4. ↑ وزواز، عبد المجيد (2009). المعادلات التفاضلية الجزئية ونظرية الموجات الانفرادية . دار النشر للتعليم العالي. ص 15. ISBN  978-90-5809-369-1.
  5. ^ Cherruault، Y. (1989)، “Convergence of Adomian’s Method”، كيبرنيتس ، 18 (2): 31–38 ، دوى : 10.1108 / eb005812
  6. 1 2 غارسيا-أوليفاريس، أ. (2003)، "الحل التحليلي للمعادلات التفاضلية الجزئية باستخدام تحليل أدوميان"، كيبرنيتيس ، 32 (3): 354-368 ، doi : 10.1108/03684920310458584
  7. 1 2 غارسيا-أوليفاريس، أ. (2002)، "التقريبات التحليلية للمعادلات التفاضلية الجزئية المعتمدة على الزمن باستخدام طرق تاو"، الرياضيات والحاسبات في المحاكاة ، 61 : 35-45 ، doi : 10.1016/s0378-4754(02)00133-7 ، hdl : 10261/51182
  8. 1 2 غارسيا-أوليفاريس، أ. (2003)، "الحل التحليلي للمعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية في الفيزياء"، كيبرنيتيس ، 32 (4): 548-560 ، doi : 10.1108/03684920310463939 ، hdl : 10261/51176[DOI: 10.1108/03684920310463939]
  9. ^ شيرولت، ي. (1999). التحسين والطرق المحلية والعالمية . مطابع الجامعات الفرنسية. رقم ISBN 978-2-13-049910-7.
  10. 1 2 3 4 وازواز، عبد المجيد (2015). مدخل إلى المعادلات التكاملية، أ . شركة النشر العالمية العلمية. ISBN 978-981-4675-16-1. OCLC 1020691303 .