عدد عناصر السلسلة المتصلة

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 61 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية المجموعات ، تُعرف قوة المتصل بأنها قوة أو "حجم" مجموعة الأعداد الحقيقيةR{\displaystyle \mathbb {R} }ويُطلق عليه أحيانًا اسم المتصل . وهو عدد أصلي لانهائي ويُرمز له بـج{\displaystyle {\mathbf {\mathfrak {c}}}}( حرف فراكتورا صغير " c ") أو|R|.{\displaystyle {\mathbf {|}}{\mathbf {\mathbb {R} }}{\mathbf {|}}.}[ 1 ]

الأرقام الحقيقيةR{\displaystyle \mathbb {R} }هي أكثر عدداً من الأعداد الطبيعيةشمال{\displaystyle \mathbb {N} }. علاوة على ذلك،R{\displaystyle \mathbb {R} }يحتوي على نفس عدد العناصر الموجودة في مجموعة القوى لـشمال{\displaystyle \mathbb {N} }. رمزياً، إذا كانت قيمة عدديةشمال{\displaystyle \mathbb {N} }يُشار إليه بـℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}، عدد عناصر المتصل هو

ج=2ℵ0>ℵ0.{\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}.}

أثبت جورج كانتور ذلك في برهانه على عدم إمكانية العد عام 1874، والذي كان جزءًا من دراسته الرائدة حول اللانهائيات المختلفة. وقد صِيغَت المتباينة لاحقًا بشكل أبسط في حجته القطرية عام 1891. عرّف كانتور العدد الأصلي بدلالة الدوال التقابلية : تتساوى مجموعتان في العدد الأصلي إذا وفقط إذا وُجدت دالة تقابلية بينهما.

بين أي عددين حقيقيين a  < b ، مهما تقاربا، يوجد دائمًا عدد لا نهائي من الأعداد الحقيقية الأخرى، وقد أثبت كانتور أن عددها يساوي عدد الأعداد الموجودة في مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها. بعبارة أخرى، الفترة المفتوحة ( a , b ) متساوية في العدد مع R{\displaystyle \mathbb {R} }وكذلك مع العديد من المجموعات اللانهائية الأخرى، مثل أي فضاء إقليدي ذي n بُعدRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}(انظر منحنى ملء الفراغ ). أي،

|(أ،ب)|=|R|=|Rن|.{\displaystyle |(a,b)|=|\mathbb {R} |=|\mathbb {R} ^{n}|.}

أصغر عدد أصلي لانهائي هوℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}( أليف-لا شيء ). ثاني أصغرها هوℵ1{\displaystyle \aleph _{1}}( ألف-واحد ). فرضية الاستمرارية ، التي تنص على أنه لا توجد مجموعات يكون عدد عناصرها بينℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}وج{\displaystyle {\mathfrak {c}}}، يعني أنج=ℵ1{\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}[ 2 ] هذه الفرضية مستقلة عن نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل المستخدمة على نطاق واسع مع بديهية الاختيار (ZFC)؛ أي أن ZFC لا يمكنها إثبات أنها صحيحة ولا أنها خاطئة.

ملكيات

عدم العد

قدّم جورج كانتور مفهوم العددية لمقارنة أحجام المجموعات اللانهائية. وقد أثبت بشكل قاطع أن مجموعة الأعداد الحقيقية لانهائية بشكل لا يمكن عدّه . أي،ج{\displaystyle {\mathfrak {c}}}أكبر بكثير من عدد عناصر الأعداد الطبيعية ،ℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}:

ℵ0<ج.{\displaystyle \aleph _{0}<{\mathfrak {c}}.}

عمليًا، هذا يعني أن عدد الأعداد الحقيقية يفوق عدد الأعداد الصحيحة. وقد برهن كانتور على هذه الحقيقة بعدة طرق مختلفة. لمزيد من المعلومات حول هذا الموضوع، انظر برهان كانتور الأول على عدم قابلية العد، وحجة كانتور القطرية .

المساواة الأساسية

يمكن استخدام صيغة معدلة من حجة كانتور القطرية لإثبات نظرية كانتور ، التي تنص على أن عدد عناصر أي مجموعة أقل تمامًا من عدد عناصر مجموعة القوى الخاصة بها . أي،|أ|<2|أ|{\displaystyle |A|<2^{|A|}}(وبذلك تكون مجموعة الطاقة℘(شمال){\displaystyle \wp (\mathbb {N} )}من الأعداد الطبيعيةشمال{\displaystyle \mathbb {N} }(غير معدود). [ 3 ] في الواقع، عدد عناصر℘(شمال){\displaystyle \wp (\mathbb {N} )}بحكم التعريف2ℵ0{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}، يساويج{\displaystyle {\mathfrak {c}}}يمكن إثبات ذلك من خلال توفير دوال تناظر أحادية في كلا الاتجاهين بين مجموعات جزئية من مجموعة غير منتهية قابلة للعد والأعداد الحقيقية، وتطبيق نظرية كانتور-بيرنشتاين-شرودر التي تنص على أن مجموعتين لهما دوال تناظر أحادية في كلا الاتجاهين لهما نفس العدد الأصلي. [ 4 ] [ 5 ] في اتجاه واحد، يمكن مساواة الأعداد الحقيقية مع قطوع ديديكيند ، أو مجموعات الأعداد النسبية، [ 4 ] أو مع تمثيلاتها الثنائية . [ 5 ] في الاتجاه الآخر، يمكن مساواة التمثيلات الثنائية للأعداد في الفترة نصف المفتوحة[0،1){\displaystyle [0,1)}عند النظر إلى الأعداد الحقيقية على أنها مجموعات من المواضع التي يكون فيها التوسع واحدًا، فإنها تُعطي تقريبًا تطابقًا تامًا بين المجموعات الجزئية لمجموعة قابلة للعد (مجموعة المواضع في التوسعات) والأعداد الحقيقية، لكن هذا التطابق لا يكون تامًا للأعداد ذات التوسعات الثنائية المنتهية، والتي يمكن تمثيلها أيضًا بتوسع غير منتهٍ ينتهي بتسلسل متكرر من الرقم 1. يمكن تحويل هذا إلى تطابق تام عن طريق إضافة واحد إلى التوسعات المتكررة غير المنتهية التي تحتوي على الرقم 1، مما يحولها إلى[1،2){\displaystyle [1,2)}[ 5 ] وبالتالي ، نستنتج أن [ 4 ] [ 5 ]

ج=|℘(شمال)|=2ℵ0.{\displaystyle {\mathfrak {c}}=|\wp (\mathbb {N} )|=2^{\aleph _{0}}.}

المساواة الأساسيةج2=ج{\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}={\mathfrak {c}}}يمكن إثبات ذلك باستخدام الحساب الأساسي :

ج2=(2ℵ0)2=22×ℵ0=2ℵ0=ج.{\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}=(2^{\aleph _{0}})^{2}=2^{2\times {\aleph _{0}}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}.}

باستخدام قواعد الحساب الأصلي، يمكن للمرء أيضًا أن يثبت أن

جℵ0=ℵ0ℵ0=نℵ0=جن=ℵ0ج=نج=ج{\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}={\aleph _{0}}^{\aleph _{0}}=n^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}^{n}=\aleph _{0}{\mathfrak {c}}=n{\mathfrak {c}}={\mathfrak {c}}}

حيث n أي عدد أصلي محدود ≥ 2 و

جج=(2ℵ0)ج=2ج×ℵ0=2ج{\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=(2^{\aleph _{0}})^{\mathfrak {c}}=2^{{\mathfrak {c}}\times \aleph _{0}}=2^{\mathfrak {c}}}

أين2ج{\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}يمثل عدد عناصر مجموعة القوى لـ R ، و2ج>ج{\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}>{\mathfrak {c}}}.

تفسير بديل لـ 𝔠 = 2 א ‎ 0

لكل عدد حقيقي تمثيل عشري غير منتهٍ واحد على الأقل . على سبيل المثال،

1/2 = 0.50000...
1/3 = 0.33333...
π = 3.14159....

(هذا صحيح حتى في حالة تكرار التوسع، كما هو الحال في المثالين الأولين.)

في أي حالة معينة، يكون عدد المنازل العشرية قابلاً للعد لأنه يمكن وضعها في تطابق واحد لواحد مع مجموعة الأعداد الطبيعيةشمال{\displaystyle \mathbb {N} }وهذا يجعل من المنطقي الحديث، على سبيل المثال، عن المنزلة العشرية الأولى، أو المئة، أو المليون من π. بما أن الأعداد الطبيعية لها عدد أصليℵ0،{\displaystyle \aleph _{0},}كل عدد حقيقي لهℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}الأرقام في توسعها.

بما أن كل عدد حقيقي يمكن تقسيمه إلى جزء صحيح وكسر عشري، فإننا نحصل على:

ج≤ℵ0⋅10ℵ0≤2ℵ0⋅(24)ℵ0=2ℵ0+4⋅ℵ0=2ℵ0{\displaystyle {\mathfrak {c}}\leq \aleph _{0}\cdot 10^{\aleph _{0}}\leq 2^{\aleph _{0}}\cdot {(2^{4})}^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}+4\cdot \aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}}

حيث استخدمنا حقيقة أن

ℵ0+4⋅ℵ0=ℵ0.{\displaystyle \aleph _{0}+4\cdot \aleph _{0}=\aleph _{0}\,.}

من ناحية أخرى، إذا قمنا برسم الخرائط2={0،1}{\displaystyle 2=\{0,1\}}ل{3،7}{\displaystyle \{3,7\}}وإذا أخذنا في الاعتبار أن الكسور العشرية التي تحتوي على 3 أو 7 فقط هي جزء من الأعداد الحقيقية، فسنحصل على

2ℵ0≤ج{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\leq {\mathfrak {c}}\,}

وبالتالي

ج=2ℵ0.{\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}\,.}

أرقام بيث

يتم تحديد تسلسل أرقام بيث عن طريق ضبطℶ0=ℵ0{\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0}}وℶك+1=2ℶك{\displaystyle \beth _{k+1}=2^{\beth _{k}}}. لذاج{\displaystyle {\mathfrak {c}}}هو رقم بيث الثاني، بيث-واحد :

ج=ℶ1.{\displaystyle {\mathfrak {c}}=\beth _{1}.}

العدد الثالث من أعداد بيث، وهو بيث-اثنان ، هو عدد عناصر مجموعة القوى لـR{\displaystyle \mathbb {R} }(أي مجموعة جميع المجموعات الجزئية من خط الأعداد الحقيقية ):

2ج=ℶ2.{\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}.}

فرضية الاستمرارية

تؤكد فرضية الاستمرارية أنج{\displaystyle {\mathfrak {c}}}وهو أيضاً الرقم الثاني في الألف ،ℵ1{\displaystyle \aleph _{1}}[ 2 ] بعبارة أخرى، تنص فرضية الاستمرارية على أنه لا توجد مجموعةأ{\displaystyle A}التي تقع رتبتها الأساسية بشكل صارم بينℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}وج{\displaystyle {\mathfrak {c}}}

∄أ:ℵ0<|أ|<ج.{\displaystyle \nexists A\quad :\quad \aleph _{0}<|A|<{\mathfrak {c}}.}

بات من المعروف الآن أن هذه العبارة مستقلة عن بديهيات نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات مع بديهية الاختيار (ZFC)، كما بيّن ذلك كورت غودل وبول كوهين . [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] أي أن كلًا من الفرضية ونفيها متسقان مع هذه البديهيات. في الواقع، لكل عدد طبيعي غير صفري n ، تكون المساواةج{\displaystyle {\mathfrak {c}}}=ℵن{\displaystyle \aleph _{n}}مستقل عن ZFC (حالة)ن=1{\displaystyle n=1}(باعتبارها فرضية الاستمرارية). وينطبق الأمر نفسه على معظم الأليفات الأخرى، على الرغم من أنه في بعض الحالات، يمكن استبعاد المساواة بموجب نظرية كونيغ على أساس التطابق النهائي (على سبيل المثال).ج≠ℵω{\displaystyle {\mathfrak {c}}\neq \aleph _{\omega }}). بخاصة،ج{\displaystyle {\mathfrak {c}}}قد يكون أيًا منهماℵ1{\displaystyle \aleph _{1}}أوℵω1{\displaystyle \aleph _{\omega _{1}}}، أينω1{\displaystyle \omega _{1}}هو أول عدد ترتيبي غير قابل للعد ، لذلك يمكن أن يكون إما عددًا أصليًا لاحقًا أو عددًا أصليًا نهائيًا ، وإما عددًا أصليًا منتظمًا أو عددًا أصليًا مفردًا .

مجموعات ذات عدد عناصر من نوع متصل

العديد من المجموعات التي تُدرس في الرياضيات لها عدد عناصر يساويج{\displaystyle {\mathfrak {c}}}بعض الأمثلة الشائعة هي التالية:

  • الأرقام الحقيقيةR{\displaystyle \mathbb {R} }
  • أي فترة ( غير متدهورة ) مغلقة أو مفتوحة فيR{\displaystyle \mathbb {R} }(مثل فترة الوحدة)[0،1]{\displaystyle [0,1]})
  • الأعداد غير النسبية
  • الأعداد المتسامية
    مجموعة الأعداد الجبرية الحقيقية غير منتهية قابلة للعد (نُسند لكل صيغة عدد غودل الخاص بها ). لذا فإن عدد عناصر مجموعة الأعداد الجبرية الحقيقية هوℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}علاوة على ذلك ، فإن الأعداد الجبرية الحقيقية والأعداد المتسامية الحقيقية هي مجموعات منفصلة اتحادها يساويR{\displaystyle \mathbb {R} }وبالتالي ، بما أن عدد عناصرR{\displaystyle \mathbb {R} }يكونج{\displaystyle {\mathfrak {c}}}عدد عناصر الأعداد الحقيقية المتسامية هوج-ℵ0=ج{\displaystyle {\mathfrak {c}}-\aleph _{0}={\mathfrak {c}}}وينطبق الأمر نفسه على الأعداد المركبة المتسامية، بمجرد أن نثبت ذلك .|ج|=ج{\displaystyle \left\vert \mathbb {C} \right\vert ={\mathfrak {c}}}.
  • مجموعة كانتور
  • الفضاء الإقليديRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}[ 9 ]
  • الأعداد المركبةج{\displaystyle \mathbb {C} }

    بحسب برهان كانتور على عدد عناصر الفضاء الإقليدي، [ 9 ]|R2|=ج{\displaystyle \left\vert \mathbb {R} ^{2}\right\vert ={\mathfrak {c}}}بحسب التعريف، أيج∈ج{\displaystyle c\in \mathbb {C} }يمكن التعبير عنها بشكل فريد على النحو التاليأ+بأنا{\displaystyle a+bi}بالنسبة للبعضأ،ب∈R{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }لذلك نُعرّف التقابل

    و:R2→ج(أ،ب)↦أ+بأنا{\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \mathbb {R} ^{2}&\to \mathbb {C} \\(a,b)&\mapsto a+bi\end{aligned}}}
  • مجموعة قوى الأعداد الطبيعيةP(شمال){\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}(مجموعة جميع المجموعات الجزئية للأعداد الطبيعية)
  • مجموعة متواليات الأعداد الصحيحة (أي جميع الدوال)شمال→Z{\displaystyle \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Z} }، وغالبًا ما يُشار إليهZشمال{\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }})
  • مجموعة متواليات الأعداد الحقيقية،Rشمال{\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}
  • مجموعة جميع الدوال المتصلة منR{\displaystyle \mathbb {R} }لR{\displaystyle \mathbb {R} }
  • الطوبولوجيا الإقليدية علىRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}(أي مجموعة جميع المجموعات المفتوحة فيRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}})
  • جبر سيجما بوريل علىR{\displaystyle \mathbb {R} }(أي مجموعة جميع مجموعات بوريل فيR{\displaystyle \mathbb {R} }).
  • مجموعة القسمة الأبيليةR/سؤال{\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }، بافتراض بديهية الاختيار

مجموعات ذات عدد أكبر من العناصر

مجموعات ذات عدد عناصر أكبر منج{\displaystyle {\mathfrak {c}}}يشمل:

جميع هذه الأشياء لها خاصية الأصل2ج=ℶ2{\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}}( بيث اثنان ).

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ "الأعداد المتسامية | الرياضيات" . موسوعة بريتانيكا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 أغسطس 2020 .
  2. 1 2 وايسشتاين، إريك دبليو. "المتصل" . mathworld.wolfram.com . تم الاسترجاع في 12 أغسطس 2020 .
  3. ↑ "نظرية كانتور" . موسوعة الرياضيات . دار نشر EMS. 2001 [1994].
  4. 1 2 3 ستيلويل، جون (2002). "مشكلة الاستمرارية". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 109 (3): 286-297 . doi : 10.1080/00029890.2002.11919865 . JSTOR 2695360. MR 1903582 .  
  5. 1 2 3 4 جونسون، د. ل. (1998). "الأعداد الأصلية". الفصل 6: الأعداد الأصلية . عناصر المنطق من خلال الأعداد والمجموعات. سلسلة سبرينغر للرياضيات الجامعية. سبرينغر لندن. الصفحات 113-130 . doi : 10.1007/978-1-4471-0603-6_6 . ISBN  9781447106036.
  6. ↑ غودل، كورت (31 ديسمبر 1940). اتساق فرضية الاستمرارية. (AM-3) . doi : 10.1515/9781400881635 . ISBN 9781400881635.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  7. ↑ كوهين، بول ج. (ديسمبر 1963). "استقلالية فرضية الاستمرارية" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 50 (6): 1143-1148 . Bibcode : 1963PNAS...50.1143C . doi : 10.1073 / pnas.50.6.1143 . ISSN 0027-8424 . PMC 221287. PMID 16578557 .   
  8. ↑ كوهين، بول ج. (يناير 1964). "استقلالية فرضية الاستمرارية، الجزء الثاني" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 51 (1): 105-110 . Bibcode : 1964PNAS...51..105C . doi : 10.1073 / pnas.51.1.105 . ISSN 0027-8424 . PMC 300611. PMID 16591132 .   
  9. 1 2 غوفيا، فرناندو كيو. "هل فوجئ كانتور؟" (ملف PDF) . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية (مارس 2011): 198-209 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 24-04-2014.

فهرس

  • بول هالموس ، نظرية المجموعات الساذجة . برينستون، نيوجيرسي: شركة دي. فان نوستراند، 1960. أعيد طبعه بواسطة سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك، 1974. ISBN 0-387-90092-6(طبعة سبرينغر-فيرلاغ).
  • جيتش، توماس ، 2003. نظرية المجموعات: طبعة الألفية الثالثة، منقحة وموسعة . سبرينغر. ISBN 3-540-44085-2.
  • كونين، كينيث ، 1980. نظرية المجموعات: مقدمة في براهين الاستقلال . إلسيفير. ISBN 0-444-86839-9.

تتضمن هذه المقالة مواد من عددية الاستمرارية على موقع PlanetMath ، المرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .