إحصائيات بوز-أينشتاين

لنفترض أن لدينا عددًا من مستويات الطاقة، مصنفة حسب المؤشر${\displaystyle i}$، كل مستوى يمتلك طاقة${\displaystyle \varepsilon _{i}}$وتحتوي على ما مجموعه${\displaystyle n_{i}}$لنفترض أن كل مستوى يحتوي على جسيمات.${\displaystyle g_{i}}$مستويات فرعية متميزة، جميعها لها نفس الطاقة، ويمكن تمييزها. على سبيل المثال، قد يكون لجسيمين زخم مختلف، وفي هذه الحالة يمكن تمييزهما عن بعضهما البعض، ومع ذلك قد يظل لهما نفس الطاقة. قيمة${\displaystyle g_{i}}$مرتبط بالمستوى${\displaystyle i}$يُطلق على ذلك اسم "انحلال" مستوى الطاقة هذا. يمكن لأي عدد من البوزونات أن تشغل نفس المستوى الفرعي.

يترك${\displaystyle w(n,g)}$ليكن عدد طرق التوزيع${\displaystyle n}$الجسيمات بين${\displaystyle g}$مستويات فرعية لمستوى الطاقة. لا توجد سوى طريقة واحدة لتوزيعها.${\displaystyle n}$لذلك، الجسيمات ذات المستوى الفرعي الواحد${\displaystyle w(n,1)=1}$من السهل أن نرى أن هناك${\displaystyle (n+1)}$طرق التوزيع${\displaystyle n}$الجسيمات في مستويين فرعيين سنكتبهما على النحو التالي: $${\displaystyle w(n,2)={\frac {(n+1)!}{n!1!}}.}$$

بالتفكير قليلاً (انظر الملاحظات أدناه)، يمكن ملاحظة أن عدد طرق التوزيع${\displaystyle n}$الجسيمات في ثلاثة مستويات فرعية هي $${\displaystyle w(n,3)=w(n,2)+w(n-1,2)+\cdots +w(1,2)+w(0,2)}$$ لهذا السبب. $${\displaystyle w(n,3)=\sum _{k=0}^{n}w(n-k,2)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n-k+1)!}{(n-k)!1!}}={\frac {(n+2)!}{n!2!}}}$$ حيث استخدمنا النظرية التالية التي تتضمن معاملات ذات الحدين : $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {(k+a)!}{k!a!}}={\frac {(n+a+1)!}{n!(a+1)!}}.}$$

بمواصلة هذه العملية، يمكننا أن نرى أن${\displaystyle w(n,g)}$هو مجرد معامل ذي حدين (انظر الملاحظات أدناه) $${\displaystyle w(n,g)={\frac {(n+g-1)!}{n!(g-1)!}}.}$$

على سبيل المثال، أعداد السكان لجسيمين في ثلاثة مستويات فرعية هي 200، 110، 101، 020، 011، أو 002، أي ما مجموعه ستة، وهو ما يساوي 4!/(2!2!). عدد الطرق الممكنة لتكوين مجموعة من أعداد السكان${\displaystyle n_{i}}$إن ما يمكن تحقيقه هو نتاج الطرق التي يمكن من خلالها ملء كل مستوى طاقة فردي: $${\displaystyle W=\prod _{i}w(n_{i},g_{i})=\prod _{i}{\frac {(n_{i}+g_{i}-1)!}{n_{i}!(g_{i}-1)!}}\approx \prod _{i}{\frac {(n_{i}+g_{i})!}{n_{i}!(g_{i})!}}}$$ حيث يفترض التقريب أن${\displaystyle n_{i}\gg 1}$.

باتباع نفس الإجراء المستخدم في اشتقاق إحصائيات ماكسويل-بولتزمان ، نرغب في إيجاد مجموعة ${\displaystyle n_{i}}$حيث تكون قيمة W في أقصى حد لها، مع مراعاة القيد المتمثل في وجود عدد إجمالي ثابت من الجسيمات، وطاقة إجمالية ثابتة. القيم القصوى لـ${\displaystyle W}$و${\displaystyle \ln(W)}$يحدث ذلك عند نفس قيمة ${\displaystyle n_{i}}$ولأنّ تحقيق ذلك رياضيًا أسهل، سنقوم بتعظيم الدالة الأخيرة بدلًا من ذلك. ونُقيّد حلّنا باستخدام مُضاعِفات لاغرانج التي تُشكّل الدالة: $${\displaystyle f(n_{i})=\ln(W)+\alpha (N-\sum n_{i})+\beta (E-\sum n_{i}\varepsilon _{i})}$$

باستخدام${\displaystyle n_{i}\gg 1}$التقريب واستخدام تقريب ستيرلينغ للمضروب${\displaystyle \left(x!\approx x^{x}\,e^{-x}\,{\sqrt {2\pi x}}\right)}$أعطِ $${\displaystyle f(n_{i})=\sum _{i}(n_{i}+g_{i})\ln(n_{i}+g_{i})-n_{i}\ln(n_{i})+\alpha \left(N-\sum n_{i}\right)+\beta \left(E-\sum n_{i}\varepsilon _{i}\right)+K,}$$ حيث K هو مجموع عدد من الحدود التي ليست دوالًا لـ${\displaystyle n_{i}}$بأخذ المشتقة بالنسبة إلى${\displaystyle n_{i}}$ثمّ نُساوي النتيجة بالصفر ونحلّ المعادلة لإيجاد${\displaystyle n_{i}}$، مما ينتج عنه أعداد سكان بوز-أينشتاين: $${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\alpha +\beta \varepsilon _{i}}-1}}.}$$

من خلال عملية مماثلة لتلك الموضحة في مقالة إحصاءات ماكسويل-بولتزمان ، يمكن ملاحظة ما يلي: $${\displaystyle d\ln W=\alpha \,dN+\beta \,dE}$$ والذي، باستخدام علاقة بولتزمان الشهيرة${\displaystyle S=k_{\text{B}}\,\ln W}$يصبح ذلك بمثابة بيان للقانون الثاني للديناميكا الحرارية عند ثبات الحجم، ويترتب على ذلك أن${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\text{B}}T}}}$و${\displaystyle \alpha =-{\frac {\mu }{k_{\text{B}}T}}}$حيث S هي الإنتروبيا ،${\displaystyle \mu }$يمثل الجهد الكيميائي ، _{و kB} هو ثابت بولتزمان ، و T هي درجة الحرارة ، بحيث يكون في النهاية: $${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}-1}}.}$$

لاحظ أن الصيغة المذكورة أعلاه تُكتب أحيانًا على النحو التالي: $${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\varepsilon _{i}/k_{\text{B}}T}/z-1}},}$$ أين${\displaystyle z=\exp(\mu /k_{\text{B}}T)}$هو النشاط المطلق ، كما أشار إليه ماكواري. ^{[ 17 ]}

لاحظ أيضًا أنه عندما لا يتم الحفاظ على أعداد الجسيمات، فإن إزالة قيد الحفاظ على أعداد الجسيمات يعادل وضع${\displaystyle \alpha }$وبالتالي الكمون الكيميائي${\displaystyle \mu }$إلى الصفر. سيكون هذا هو الحال بالنسبة للفوتونات والجسيمات الضخمة في حالة توازن متبادل، وسيكون التوزيع الناتج هو توزيع بلانك .

هناك طريقة أبسط بكثير لفهم دالة توزيع بوز-أينشتاين، وهي اعتبار أن n جسيمًا تُمثَّل بكرات متطابقة، وأن g أغلفة تُمثَّل بـ g-1 تقسيمات خطية. من الواضح أن تباديل هذه الكرات n والتقسيمات g  −  1 ستُعطي طرقًا مختلفة لترتيب البوزونات في مستويات طاقة مختلفة. على سبيل المثال، بالنسبة لـ 3 جسيمات (= n ) و3 أغلفة (= g )، وبالتالي ( g − 1) = 2 ، قد يكون الترتيب |●●|● ، أو ||●●● ، أو |●|●● ، وهكذا. ومن ثم، فإن عدد التباديل المختلفة لـ n + ( g − 1) عنصرًا، والتي تحتوي على n عنصرًا متطابقًا و( g − 1) عنصرًا متطابقًا، سيكون:     $${\displaystyle {\frac {(g-1+n)!}{(g-1)!n!}}}$$

أو

تهدف هذه الملاحظات إلى توضيح بعض جوانب اشتقاق توزيع بوز-أينشتاين للمبتدئين. يمكن إعادة صياغة تعداد الحالات (أو الطرق) في توزيع بوز-أينشتاين على النحو التالي. لنفترض لعبة رمي النرد حيث يوجد${\displaystyle n}$النرد، حيث يأخذ كل نرد قيمًا في المجموعة${\displaystyle \{1,\dots ,g\}}$، ل${\displaystyle g\geq 1}$تتمثل قيود اللعبة في أن قيمة النرد${\displaystyle i}$، ويرمز إليه بـ${\displaystyle m_{i}}$يجب أن تكون القيمة أكبر من أو تساوي قيمة النرد${\displaystyle (i-1)}$، ويرمز إليه بـ${\displaystyle m_{i-1}}$، في الرمية السابقة، أي${\displaystyle m_{i}\geq m_{i-1}}$وبالتالي، يمكن وصف تسلسل صحيح لرميات النرد بواسطة مجموعة من n عنصرًا .${\displaystyle (m_{1},m_{2},\dots ,m_{n})}$بحيث${\displaystyle m_{i}\geq m_{i-1}}$. يترك${\displaystyle S(n,g)}$لنرمز إلى مجموعة هذه الأزواج الصحيحة المكونة من n عنصرًا:

$${\displaystyle S(n,g)=\left\{(m_{1},m_{2},\dots ,m_{n})\,{\Big |}\,m_{i}\geq m_{i-1},m_{i}\in \left\{1,\ldots ,g\right\},\forall i=1,\dots ,n\right\}.}$$

1

ثم الكمية${\displaystyle w(n,g)}$( المُعرَّف أعلاه بأنه عدد طرق التوزيع)${\displaystyle n}$الجسيمات بين${\displaystyle g}$المستويات الفرعية لمستوى الطاقة هي عدد العناصر${\displaystyle S(n,g)}$أي عدد العناصر (أو المجموعات الصحيحة المكونة من n عنصرًا) في${\displaystyle S(n,g)}$وبالتالي، فإن مشكلة إيجاد تعبير لـ${\displaystyle w(n,g)}$تصبح المشكلة هي عد العناصر في${\displaystyle S(n,g)}$.

مثال: ن = 4، ج = 3:$${\displaystyle S(4,3)=\left\{\underbrace {(1111),(1112),(1113)} _{(a)},\underbrace {(1122),(1123),(1133)} _{(b)},\underbrace {(1222),(1223),(1233),(1333)} _{(c)},\underbrace {(2222),(2223),(2233),(2333),(3333)} _{(d)}\right\}}$$$${\displaystyle w(4,3)=15}$$(هناك في${\displaystyle 15}$العناصر في${\displaystyle S(4,3)}$)

مجموعة فرعية${\displaystyle (a)}$يتم الحصول عليها بتثبيت جميع المؤشرات${\displaystyle m_{i}}$ل${\displaystyle 1}$باستثناء الفهرس الأخير،${\displaystyle m_{n}}$، والتي يتم زيادتها من${\displaystyle 1}$ل${\displaystyle g=3}$مجموعة فرعية${\displaystyle (b)}$يتم الحصول عليها عن طريق تثبيت${\displaystyle m_{1}=m_{2}=1}$، وزيادة${\displaystyle m_{3}}$من${\displaystyle 2}$ل${\displaystyle g=3}$بسبب القيد${\displaystyle m_{i}\geq m_{i-1}}$على المؤشرات في${\displaystyle S(n,g)}$، المؤشر${\displaystyle m_{4}}$يجب أن تأخذ القيم تلقائيًا في${\displaystyle \left\{2,3\right\}}$بناء المجموعات الجزئية${\displaystyle (c)}$و${\displaystyle (d)}$ويتبع ذلك بنفس الطريقة.

كل عنصر من${\displaystyle S(4,3)}$يمكن اعتبارها مجموعة متعددة من الكاردينالية${\displaystyle n=4}$تُؤخذ عناصر هذه المجموعة المتعددة من المجموعة${\displaystyle \left\{1,2,3\right\}}$من حيث العددية${\displaystyle g=3}$وعدد هذه المجموعات المتعددة هو معامل المجموعة المتعددة$${\displaystyle \left\langle {\begin{matrix}3\\4\end{matrix}}\right\rangle ={3+4-1 \choose 3-1}={3+4-1 \choose 4}={\frac {6!}{4!2!}}=15}$$

وبشكل أعم، كل عنصر من عناصر${\displaystyle S(n,g)}$هي مجموعة متعددة من العناصر${\displaystyle n}$(عدد النرد) بعناصر مأخوذة من المجموعة${\displaystyle \left\{1,\dots ,g\right\}}$من حيث العددية${\displaystyle g}$(عدد القيم الممكنة لكل نرد)، وعدد هذه المجموعات المتعددة، أي${\displaystyle w(n,g)}$معامل المجموعة المتعددة

وهو نفس صيغة${\displaystyle w(n,g)}$، كما تم استنتاجه أعلاه بمساعدة نظرية تتضمن معاملات ذات الحدين، وهي

لفهم التحلل

أو على سبيل المثال،${\displaystyle n=4}$و${\displaystyle g=3}$$${\displaystyle w(4,3)=w(4,2)+w(3,2)+w(2,2)+w(1,2)+w(0,2),}$$

لنقم بإعادة ترتيب عناصر${\displaystyle S(4,3)}$كما يلي $${\displaystyle S(4,3)=\left\{\underbrace {(1111),(1112),(1122),(1222),(2222)} _{(\alpha )},\underbrace {(111{\color {Red}{\underset {=}{3}}}),(112{\color {Red}{\underset {=}{3}}}),(122{\color {Red}{\underset {=}{3}}}),(222{\color {Red}{\underset {=}{3}}})} _{(\beta )},\underbrace {(11{\color {Red}{\underset {==}{33}}}),(12{\color {Red}{\underset {==}{33}}}),(22{\color {Red}{\underset {==}{33}}})} _{(\gamma )},\underbrace {(1{\color {Red}{\underset {===}{333}}}),(2{\color {Red}{\underset {===}{333}}})} _{(\delta )}\underbrace {({\color {Red}{\underset {====}{3333}}})} _{(\omega )}\right\}.}$$

من الواضح أن المجموعة الفرعية${\displaystyle (\alpha )}$ل${\displaystyle S(4,3)}$هو نفسه المجموعة $${\displaystyle S(4,2)=\left\{(1111),(1112),(1122),(1222),(2222)\right\}.}$$

عن طريق حذف الفهرس${\displaystyle m_{4}=3}$(موضح باللون الأحمر مع خطين تحته ) في المجموعة الفرعية${\displaystyle (\beta )}$ل${\displaystyle S(4,3)}$، ومن ثم نحصل على المجموعة $${\displaystyle S(3,2)=\left\{(111),(112),(122),(222)\right\}.}$$

بمعنى آخر، هناك تطابق تام بين المجموعة الفرعية${\displaystyle (\beta )}$ل${\displaystyle S(4,3)}$والمجموعة${\displaystyle S(3,2)}$نكتب $${\displaystyle (\beta )\longleftrightarrow S(3,2).}$$

وبالمثل، من السهل أن نرى أن $${\displaystyle (\gamma )\longleftrightarrow S(2,2)=\left\{(11),(12),(22)\right\}}$$$${\displaystyle (\delta )\longleftrightarrow S(1,2)=\left\{(1),(2)\right\}}$$$${\displaystyle (\omega )\longleftrightarrow S(0,2)=\{\}=\varnothing .}$$

وهكذا يمكننا أن نكتب $${\displaystyle S(4,3)=\bigcup _{k=0}^{4}S(4-k,2)}$$ أو بشكل أعم،

وبما أن المجموعات $${\displaystyle S(i,g-1),{\text{ for }}i=0,\dots ,n}$$ بما أنها غير متقاطعة، فإن لدينا

مع الاتفاق على أن

بمواصلة العملية، نصل إلى الصيغة التالية $${\displaystyle w(n,g)=\sum _{k_{1}=0}^{n}\sum _{k_{2}=0}^{n-k_{1}}w(n-k_{1}-k_{2},g-2)=\sum _{k_{1}=0}^{n}\sum _{k_{2}=0}^{n-k_{1}}\cdots \sum _{k_{g}=0}^{n-\sum _{j=1}^{g-1}k_{j}}w(n-\sum _{i=1}^{g}k_{i},0).}$$ باستخدام الاصطلاح (7) ₂ أعلاه، نحصل على الصيغة

مع الأخذ في الاعتبار أن${\displaystyle q}$و${\displaystyle p}$بما أنها ثوابت، لدينا

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{q}p=qp.}$$

9

ويمكن بعد ذلك التحقق من أن (8) و(2) تعطيان نفس النتيجة لـ${\displaystyle w(4,3)}$،${\displaystyle w(3,3)}$،${\displaystyle w(3,2)}$، إلخ.