نظرية الأوتار البوزونية

يمكن القول ^{[ 2 ]} أن نظرية الأوتار البوزونية تُعرَّف من خلال التكميم التكاملي للمسار لفعل بولياكوف :

${\displaystyle I_{0}[g,X]={\frac {T}{8\pi }}\int _{M}d^{2}\xi {\sqrt {g}}g^{mn}\partial _{m}x^{\mu }\partial _{n}x^{\nu }G_{\mu \nu }(x)}$

${\displaystyle x^{\mu }(\xi )}$هو الحقل الموجود على ورقة العالم الذي يصف أقصى تضمين للوتر في فضاء الزمكان 25 + 1؛ في صيغة بولياكوف،${\displaystyle g}$لا ينبغي فهمها على أنها المقياس المستحث من التضمين، ولكن كحقل ديناميكي مستقل.${\displaystyle G}$يمثل هذا المقياس على الزمكان المستهدف، والذي يُعتبر عادةً مقياس مينكوفسكي في نظرية الاضطراب. وباستخدام دوران ويك ، يتحول هذا المقياس إلى مقياس إقليدي.${\displaystyle G_{\mu \nu }=\delta _{\mu \nu }}$M هي سطح العالم كمتشعب طوبولوجي مُعَلم بواسطة${\displaystyle \xi }$إحداثيات.${\displaystyle T}$يمثل شد الوتر ويرتبط بميل ريجي كما يلي:${\displaystyle T={\frac {1}{2\pi \alpha '}}}$.

${\displaystyle I_{0}}$يتمتع بخاصية التماثل التفاضلي وثبات فايل . ينكسر تناظر فايل عند التكميم ( شذوذ المطابقة )، وبالتالي يجب استكمال هذا الفعل بحد معاكس، إلى جانب حد طوبولوجي بحت افتراضي، يتناسب مع خاصية أويلر .

${\displaystyle I=I_{0}+\lambda \chi (M)+\mu _{0}^{2}\int _{M}d^{2}\xi {\sqrt {g}}}$

يمكن إلغاء الكسر الصريح لثبات فايل بواسطة الحد المضاد في البعد الحرج 26.

ثم يتم بناء الكميات الفيزيائية من دالة التقسيم (الإقليدية) ودالة النقاط N :

${\displaystyle Z=\sum _{h=0}^{\infty }\int {\frac {{\mathcal {D}}g_{mn}{\mathcal {D}}X^{\mu }}{\mathcal {N}}}\exp(-I[g,X])}$

${\displaystyle \left\langle V_{i_{1}}(k_{1}^{\mu })\cdots V_{i_{p}}(k_{p}^{\mu })\right\rangle =\sum _{h=0}^{\infty }\int {\frac {{\mathcal {D}}g_{mn}{\mathcal {D}}X^{\mu }}{\mathcal {N}}}\exp(-I[g,X])V_{i_{1}}(k_{1}^{\mu })\cdots V_{i_{p}}(k_{p}^{\mu })}$

المجموع المنفصل هو مجموع على الطوبولوجيات الممكنة، والتي بالنسبة للأوتار البوزونية الإقليدية المغلقة القابلة للتوجيه، تكون عبارة عن أسطح ريمانية مضغوطة قابلة للتوجيه ، وبالتالي يتم تحديدها بواسطة جنس.${\displaystyle h}$عامل التطبيع${\displaystyle {\mathcal {N}}}$تم إدخالها للتعويض عن التجاوز في العد الناتج عن التناظرات. في حين أن حساب دالة التقسيم يتوافق مع الثابت الكوني ، فإن دالة النقاط N، بما في ذلك${\displaystyle p}$تصف عوامل الرؤوس سعة تشتت الأوتار.

إن مجموعة التناظر للفعل تُقلل بشكل كبير من فضاء التكامل إلى فضاء متعدد الأبعاد محدود.${\displaystyle g}$التكامل المساري في دالة التقسيم هو، مبدئيًا، مجموع على البنى الريمانية الممكنة؛ ومع ذلك، فإن القسمة بالنسبة لتحويلات فايل تسمح لنا بالنظر فقط في البنى المطابقة ، أي فئات التكافؤ للمقاييس في ظل تعريفات المقاييس المرتبطة بـ

${\displaystyle g'(\xi )=e^{\sigma (\xi )}g(\xi )}$

بما أن سطح العالم ثنائي الأبعاد، فهناك تناظر أحادي بين البنى المطابقة والبنى المعقدة . ومع ذلك، لا يزال يتعين علينا قسمة التحويلات التفاضلية. وهذا يتركنا مع تكامل على فضاء جميع البنى المعقدة الممكنة بتردد التحويلات التفاضلية، وهو ببساطة فضاء المعاملات للسطح الطوبولوجي المعطى، وهو في الواقع متعدد شعب معقد محدود الأبعاد . وبالتالي، تصبح المشكلة الأساسية للأوتار البوزونية الاضطرابية هي تحديد معلمات فضاء المعاملات، وهو أمر غير بديهي بالنسبة للجنس${\displaystyle h\geq 4}$.

h = 1

النوع 1 هو الطارة، ويتوافق مع مستوى الحلقة الواحدة . دالة التقسيم هي:

${\displaystyle Z_{1}=\int _{{\mathcal {M}}_{1}}{\frac {d^{2}\tau }{8\pi ^{2}\tau _{2}^{2}}}{\frac {1}{(4\pi ^{2}\tau _{2})^{12}}}\left|\eta (\tau )\right|^{-48}}$

${\displaystyle \tau }$هو عدد مركب ذو جزء تخيلي موجب${\displaystyle \tau _{2}}$؛${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$، هولومورفي بالنسبة لفضاء المعاملات الخاص بالطارة، أي مجال أساسي للمجموعة المعيارية${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} )}$التأثير على النصف العلوي من المستوى ، على سبيل المثال${\displaystyle \left\{\tau _{2}>0,|\tau |^{2}>1,-{\frac {1}{2}}<\tau _{1}<{\frac {1}{2}}\right\}}$.${\displaystyle \eta (\tau )}$هي دالة إيتا ديديكيند . والدالة التكاملية ثابتة بالطبع تحت المجموعة النمطية: القياس${\displaystyle {\frac {d^{2}\tau }{\tau _{2}^{2}}}}$هي ببساطة مقياس بوانكاريه الذي يمتلك PSL(2,R) كمجموعة تماثل؛ وباقي الدالة التكاملية ثابت أيضًا بفضل${\displaystyle \tau _{2}\rightarrow |c\tau +d|^{2}\tau _{2}}$وحقيقة أن${\displaystyle \eta (\tau )}$هو شكل معياري بوزن 1/2.

هذا التكامل يتباعد. ويعود ذلك إلى وجود التاكيون ويرتبط بعدم استقرار الفراغ الاضطرابي.