مثال مضاد

الموسوعة الحرة

المثال المضاد هو مثال محدد يناقض ادعاءً أو فرضية أو تعميمًا . في المنطق، يُفند المثال المضاد ادعاءً عامًا، ويُفند ادعاءً قاطعًا في مجالي الرياضيات والفلسفة . [ 1 ] على سبيل المثال، تُعدّ عبارة "الطالب جون سميث ليس كسولًا" مثالًا مضادًا للتعميم "الطلاب كسالى"، وهي في الوقت نفسه مثال مضاد ودحض للتعميم العام "جميع الطلاب كسالى". [ 2 ]

في الرياضيات

في الرياضيات، تُستخدم الأمثلة المضادة غالبًا لإثبات حدود النظريات الممكنة. وباستخدام هذه الأمثلة لإثبات خطأ بعض التخمينات، يستطيع الباحثون الرياضيون تجنب الوقوع في متاهات البحث، وتعلم كيفية تعديل التخمينات للوصول إلى نظريات قابلة للإثبات. ويُقال أحيانًا إن التطور الرياضي يرتكز أساسًا على إيجاد النظريات والأمثلة المضادة (وإثباتها). [ 3 ]

مثال على المستطيل

لنفترض أن عالمة رياضيات تدرس الهندسة والأشكال ، وترغب في إثبات بعض النظريات المتعلقة بها. تفترض أن "جميع المستطيلات مربعات "، وهي مهتمة بمعرفة ما إذا كانت هذه العبارة صحيحة أم خاطئة .

في هذه الحالة، يمكنها إما محاولة إثبات صحة العبارة باستخدام الاستدلال الاستنتاجي ، أو محاولة إيجاد مثال مضاد لها إذا شكت في خطئها. في الحالة الأخيرة، سيكون المثال المضاد مستطيلاً ليس مربعًا، مثل مستطيل طول ضلعين منه 5 وضلعين آخرين طول 7. مع ذلك، ورغم عثورها على مستطيلات ليست مربعات، فإن جميع المستطيلات التي وجدتها لها أربعة أضلاع. عندئذٍ تطرح الفرضية الجديدة: "جميع المستطيلات لها أربعة أضلاع". هذه الفرضية أضعف منطقيًا من فرضيتها الأصلية، لأن كل مربع له أربعة أضلاع، ولكن ليس كل شكل رباعي الأضلاع مربعًا.

يوضح المثال السابق - بطريقة مبسطة - كيف يمكن لعالمة الرياضيات أن تُضعف فرضيتها في مواجهة أمثلة مضادة، ولكن يمكن أيضًا استخدام الأمثلة المضادة لإثبات ضرورة بعض الافتراضات والفرضيات . على سبيل المثال، لنفترض أن عالمة الرياضيات المذكورة أعلاه استقرت بعد فترة على الفرضية الجديدة التالية: "جميع الأشكال المستطيلة ذات الأضلاع الأربعة المتساوية في الطول هي مربعات". تتكون هذه الفرضية من جزأين: يجب أن يكون الشكل "مستطيلًا" ويجب أن يكون له "أضلاع أربعة متساوية في الطول". ترغب عالمة الرياضيات بعد ذلك في معرفة ما إذا كان بإمكانها إزالة أي من الافتراضين مع الحفاظ على صحة فرضيتها. وهذا يعني أنها بحاجة إلى التحقق من صحة العبارتين التاليتين:

  1. "جميع الأشكال المستطيلة هي مربعات."
  2. "جميع الأشكال التي لها أربعة أضلاع متساوية الطول هي مربعات".

سبق ذكر مثال مضاد للفرضية (1)، ومثال مضاد للفرضية (2) هو المعين غير المربع . وبذلك، يدرك عالم الرياضيات الآن أن كل فرضية على حدة غير كافية.

أمثلة رياضية أخرى

يُعدّ العدد 2 مثالًا مضادًا لعبارة "جميع الأعداد الأولية أعداد فردية "، فهو عدد أولي ولكنه ليس عددًا فرديًا. [ 1 ] ولا يُعدّ كلٌّ من العددين 7 و10 مثالًا مضادًا، إذ لا يكفي أيٌّ منهما لدحض العبارة. في هذا المثال، يُعدّ العدد 2 في الواقع المثال المضاد الوحيد الممكن للعبارة، مع أنه كافٍ وحده لدحضها. وبالمثل، فإنّ عبارة "جميع الأعداد الطبيعية إما أولية أو مركبة " تحتوي على العدد 1 كمثال مضاد، لأنّ 1 ليس عددًا أوليًا ولا مركبًا.

تم دحض حدسية أويلر حول مجموع القوى بمثال مضاد. كانت هذه الحدسية تنص على أنه يلزم على الأقل n قوة من الرتبة n للوصول إلى مجموع قوة أخرى من الرتبة n . تم دحض هذه الحدسية في عام 1966، [ 4 ] بمثال مضاد يتضمن n = 5؛ وهناك أمثلة مضادة أخرى معروفة لـ n = 5، بالإضافة إلى بعض الأمثلة المضادة لـ n = 4. [ 5 ]      

يوضح المثال المضاد لـ Witsenhausen أنه ليس صحيحًا دائمًا (بالنسبة لمشاكل التحكم ) أن دالة الخسارة التربيعية ومعادلة التطور الخطية لمتغير الحالة تعني قوانين التحكم الأمثل الخطية.

جميع عمليات التماثل المستوي الإقليدي هي عمليات تحويل تحافظ على المساحة ، ولكن العكس غير صحيح كما يتضح من الأمثلة المضادة مثل تحويل القص وتحويل الضغط .

وتشمل الأمثلة الأخرى دحض حدسية سيفرت ، وحدسية بوليا ، وحدسية المسألة الرابعة عشرة لهيلبرت ، وحدسية تايت ، وحدسية غانيا .

في الفلسفة

في الفلسفة ، تُستخدم الأمثلة المضادة عادةً لإثبات خطأ موقف فلسفي معين من خلال إظهار عدم انطباقه في حالات محددة. وبدلاً من ذلك، يمكن للفيلسوف الأول تعديل ادعائه بحيث لا ينطبق عليه المثال المضاد؛ وهذا يُشابه تعديل عالم الرياضيات لفرضية ما بسبب وجود مثال مضاد.

على سبيل المثال، في محاورة جورجياس لأفلاطون ، يجادل كاليكليس بأن من هم أقوى بدنياً أو أكثر كفاءةً هم بطبيعتهم من يحق لهم حكم الأضعف. يرد سقراط باقتراح أن العدد الهائل من عامة الناس، بفضل قوتهم مجتمعة، يمكن اعتبارهم "أقوى" من قلة من الأرستقراطيين، حتى وإن كان عامة الناس، ظاهرياً، أقل كفاءة. يقدم هذا مثالاً مضاداً لادعاء كاليكليس، إذ يحوّل مفهوم القوة من التفوق الفردي إلى القوة الجماعية. وبالتالي، يفشل استدلال كاليكليس في ظل هذا التفسير البديل، ما لم يراجع ادعاءه. [ 6 ]

قد يعترض كاليكليس على مثال سقراط المضاد، مجادلاً ربما بأن عامة الناس أفضل من النبلاء، أو أنهم حتى مع كثرة عددهم، ليسوا أقوى. لكن إذا قبل كاليكليس المثال المضاد، فعليه إما أن يتراجع عن حجته، أو يعدلها بحيث لا ينطبق عليها المثال المضاد. على سبيل المثال، قد يعدل حجته لتقتصر على الأفراد، مما يتطلب منه أن ينظر إلى عامة الناس كمجموعة من الأفراد لا كحشد. في الواقع، عدّل كاليكليس حجته ليقول "أكثر حكمة" بدلاً من "أقوى"، مجادلاً بأن أي قدر من التفوق العددي لا يمكن أن يجعل الناس أكثر حكمة.

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 "كلمات الرياضيات: مثال مضاد" . www.mathwords.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 28-11-2019 .
  2. ↑ وايسشتاين، إريك و. "مثال مضاد" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 28-11-2019 .
  3. ↑ "ما هو المثال المضاد؟" . www.cut-the-knot.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 28-11-2019 .
  4. ↑ لاندر، باركين (1966). "مثال مضاد لتخمين أويلر حول مجموع القوى المتشابهة" (ملف PDF) . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 72 (6). الجمعية الرياضية الأمريكية: 1079. doi : 10.1090/s0002-9904-1966-11654-3 . ISSN 0273-0979 . تاريخ الاسترجاع: 2 أغسطس 2018 . 
  5. ↑ إلكيس، نوام (أكتوبر 1988). "حول A4 + B4 + C4 = D4" (ملف PDF) . رياضيات الحساب . 51 (184): 825-835 .
  6. ↑ أفلاطون (1952). جورجياس . كريتياس. نيويورك: دار نشر الفنون الليبرالية. الصفحات 488هـ - 489أ. 

للمزيد من القراءة

  • اقتباسات متعلقة بمفهوم "المثال المضاد" على موقع ويكي الاقتباسات