أرقام جوسيت-إلتي

في الهندسة ، تُعرف أشكال جوسيت-إلت ، التي سمّاها كوكسيتر نسبةً إلى ثورولد جوسيت وإي إل إلت ، بأنها مجموعة من متعددات الوجوه المنتظمة غير المنتظمة ، والتي يتم توليدها بواسطة بناء ويثوف مع مرايا مرتبطة جميعها بزوايا ثنائية السطوح من الرتبة الثانية والثالثة. ويمكن اعتبارها مخططات كوكسيتر-دينكين ذات حلقة طرفية واحدة .

يُرمز لهذه الأشكال برمز كوكسيتر على الصورة k i , _j ، حيث يُمثل كل حرف طولًا لفروع من الرتبة 3 على مخطط كوكسيتر-دينكين، مع وجود حلقة واحدة على العقدة النهائية لتسلسل من الفروع بطول k . شكل الرأس k i _,j هو ( k − 1) _i,j ، ويتم تمثيل كل وجه من أوجهه بطرح واحد من أحد المؤشرات غير الصفرية، أي k _{i − 1 ,j} و k ⁱ _{,j − 1.} ^{[ 1} ]      

يتم تضمين الأشكال البسيطة المصححة في القائمة كحالات حدية مع k = 0. وبالمثل، يمثل 0 _i,j,k رسمًا بيانيًا متشعبًا مع عقدة مركزية محاطة بحلقة.

أطلق كوكسيتر على هذه الأرقام اسم k _i,j (أو k _ij ) اختصارًا ونسب الفضل في اكتشافها إلى جوسيت وإلت: ^{[ 2 ]}

• نشر ثورولد جوسيت لأول مرة قائمة بالأشكال المنتظمة وشبه المنتظمة في فضاء ذي n بُعد ^{[ 3 ]} عام 1900، مُحصيًا متعددات الوجوه التي تحتوي على نوع واحد أو أكثر من أوجه متعددات الوجوه المنتظمة . وشمل ذلك الشكل الخماسي المُقوّم 0 ₂₁ في الفضاء الرباعي، والمكعب نصف المركزي 1 ₂₁ في الفضاء الخماسي، و2 ₂₁ في الفضاء السداسي، و3 ₂₁ في الفضاء السباعي، و 4 ₂₁ في الفضاء الثماني، والتبليط اللانهائي 5 ₂₁ في الفضاء الثماني.
• قام إي إل إلتي بشكل مستقل بتعداد قائمة شبه منتظمة مختلفة في كتابه الصادر عام 1912 بعنوان " المضلعات شبه المنتظمة للفضاءات الفائقة" . ^{[ 4 ]} أطلق عليها اسم المضلعات شبه المنتظمة من النوع الأول ، وحصر بحثه في نوع واحد أو نوعين من الوجوه المنتظمة أو شبه المنتظمة من النوع k .

تضمن تعداد Elte جميع متعددات الوجوه k _ij باستثناء 1 ₄₂ الذي يحتوي على 3 أنواع من 6 وجوه.

تمتد مجموعة الأشكال إلى خلايا نحل من عائلات (2،2،2) و(3،3،1) و(5،4،1) في الفضاءات الإقليدية ذات الأبعاد 6 و7 و8 على التوالي. وقد تضمنت قائمة جوسيت خلية النحل 5 × ₂₁ باعتبارها خلية النحل شبه المنتظمة الوحيدة في تعريفه.

يمكن رؤية الأشكال متعددة الأوجه والأشكال الشبيهة بخلايا النحل في هذه العائلة ضمن تصنيف ADE .

يوجد متعدد السطوح المنتهي k _ij إذا

${\displaystyle {\frac {1}{i+1}}+{\frac {1}{j+1}}+{\frac {1}{k+1}}>1}$

أو مساوية لأقراص العسل الإقليدية، وأقل لأقراص العسل الزائدية.

يمكن لمجموعة كوكسيتر [3 ^i,j,k ] توليد ما يصل إلى 3 أشكال جوسيت-إلت موحدة فريدة باستخدام مخططات كوكسيتر-دينكين مع عقدة طرفية واحدة محاطة بحلقة. وفقًا لترميز كوكسيتر ، يُرمز لكل شكل بـ k _ij للدلالة على أن العقدة الطرفية في المتتالية ذات الطول k محاطة بحلقة.

يمكن اعتبار عائلة سيمبلكس حالة حدية مع k = 0، وجميع مخططات كوكسيتر-دينكين المعدلة (حلقة واحدة) .

تحتوي عائلة n - simplices على أشكال Gosset–Elte من الشكل 0 _ij كجميع الأشكال المصححة لـ n -simplex ( i  + j = n − 1).     

تم إدراجها أدناه، إلى جانب مخطط Coxeter–Dynkin الخاص بها ، مع رسم كل عائلة من الأبعاد كإسقاط متعامد بياني في مستوى مضلع بيتري للبسيط المنتظم.

مجموعة كوكسيتر	سيمبلكس	تم تصحيحه	ثنائي التصحيح	ثلاثي التصحيح	رباعي التوجيه
أ 1 [3 0 ]	= 0 00
A 2 [3 1 ]	= 0 10
A 3 [3 2 ]	= 0 20	= 0 11
A 4 [3 3 ]	= 0 30	= 0 21
A 5 [3 4 ]	= 0 40	= 0 31	= 0 22
A 6 [3 5 ]	= 0 50	= 0 41	= 0 32
A 7 [3 6 ]	= 0 60	= 0 51	= 0 42	= 0 33
A 8 [3 7 ]	= 0 70	= 0 61	= 0 52	= 0 43
A 9 [3 8 ]	= 0 80	= 0 71	= 0 62	= 0 53	= 0 44
أ 10 [3 9 ]	= 0 90	= 0 81	= 0 72	= 0 63	= 0 54
...	...

تحتوي كل مجموعة D _n على شكلين من أشكال جوسيت-إلت، وهما المكعب الفائق شبه n- الذي يُرمز له بـ 1 _{k 1} ، وشكل متناوب من المكعب المتعامد n- الذي يُرمز له بـ k ₁₁ ، والمُنشأ من أوجه بسيطة متناوبة. ويمكن أيضًا تمثيل المكعبات الفائقة شبه n- المُقوَّمة ، وهي شكل ذو تناظر أقل من المكعب n- المُقوَّم ثنائيًا، بالرمز 0 _{k 11} .

فصل	مكعبات نصفية	أورثوبليكس (عادي)	مكعبات نصفية معدلة
D 3 [3 1,1,0 ]	= 1 10		= 0 110
D 4 [3 1,1,1 ]	= 1 11		= 0 111
D 5 [3 2,1,1 ]	= 1 21	= 2 11	= 0 211
D 6 [3 3,1,1 ]	= 1 31	= 3 11	= 0 311
D 7 [3 4,1,1 ]	= 1 41	= 4 11	= 0 411
D 8 [3 5,1,1 ]	= 1 51	= 5 11	= 0 511
D 9 [3 6,1,1 ]	= 1 61	= 6 11	= 0 611
D 10 [3 7,1,1 ]	= 1 71	= 7 11	= 0 711
...	...	...
D n [3 n − 3,1,1 ]	... = 1 n − 3,1	... = ( ن - 3) 11	... = 0 n − 3,1,1

تحتوي كل مجموعة من مجموعات E _n من 4 إلى 8 على شكلين أو ثلاثة أشكال من أشكال جوسيت-إلت، ممثلة بإحدى العقد الطرفية المحاطة بحلقة: k ₂₁ ، 1 _{k 2} ، 2 _{k 1.} ويمكن أيضًا تمثيل سلسلة 1 _{k 2} المعدلة على أنها 0 _{k 21} .

	2 كيلو 1	1 كيلو 2	ك 21	0 كيلو 21
E 4 [3 0,2,1 ]	= 2 01	= 1 20	= 0 21
E 5 [3 1,2,1 ]	= 2 11	= 1 21	= 1 21	= 0 211
E 6 [3 2,2,1 ]	= 2 21	= 1 22	= 2 21	= 0 221
E 7 [3 3,2,1 ]	= 2 31	= 1 32	= 3 21	= 0 321
E 8 [3 4,2,1 ]	= 2 41	= 1 42	= 4 21	= 0 421

توجد ثلاث مجموعات كوكسيتر إقليدية ( تآلفية ) في الأبعاد 6 و7 و8: ^{[ 5 ]}

مجموعة كوكسيتر	خلايا النحل
${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$= [3 2,2,2 ]	= 2 22			= 0 222
${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$= [3 3,3,1 ]	= 3 31	= 1 33		= 0 331
${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$= [3 5,2,1 ]	= 2 51	= 1 52	= 5 21	= 0 521

توجد ثلاث مجموعات كوكسيتر زائدية ( متراصة ) في الأبعاد 7 و 8 و 9:

مجموعة كوكسيتر	خلايا النحل
${\displaystyle {\bar {T}}_{7}}$= [3 3,2,2 ]	= 3 22	= 2 32		= 0 322
${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$= [3 4,3,1 ]	= 4 31	= 3 41	= 1 43	= 0 431
${\displaystyle {\bar {T}}_{9}}$= [3 6,2,1 ]	= 2 61	= 1 62	= 6 21	= 0 621

كتعميم، يمكن التعبير عن المزيد من الفروع من الرتبة 3 بهذا الرمز. زمرة كوكسيتر الأفينية رباعية الأبعاد ،${\displaystyle {\tilde {Q}}_{4}}$، [3 ^1,1,1,1 ]، له أربعة فروع من الرتبة 3، ويمكنه التعبير عن خلية نحل واحدة، 1 ₁₁₁ ، يمثل شكلاً أقل تناظرًا لخلية النحل ذات 16 خلية ، و 0 ₁₁₁₁ ، لخلية النحل المعدلة ذات 16 خلية . مجموعة كوكسيتر الزائدية خماسية الأبعاد ،${\displaystyle {\bar {L}}_{4}}$، [3 ^1,1,1,1,1 ]، له خمسة فروع من الرتبة 3، ويمكنه التعبير عن قرص العسل، 1 ₁₁₁₁ ، وتصحيحه كـ 0 ₁₁₁₁₁ ، .

• جوسيت، ثورولد (1900). "حول الأشكال المنتظمة وشبه المنتظمة في فضاء ذي أبعاد ن ". رسول الرياضيات . 29 : 43-48 .
• إلتي، إي إل (2006)، متعددات الوجوه شبه المنتظمة للفضاءات الفائقة ، ميشيغان: مكتب النشر العلمي، مكتبة جامعة ميشيغان، رقم ISBN 1-4181-7968-X
• كوكسيتر، إتش إس إم (الطبعة الثالثة، 1973) متعددات الوجوه المنتظمة ، طبعة دوفر، رقم ISBN 0-486-61480-8
• نورمان جونسون، متعددات الوجوه المنتظمة ، مخطوطة (1991)
  • إن دبليو جونسون : نظرية متعددات الوجوه المنتظمة وخلايا النحل ، أطروحة دكتوراه، جامعة تورنتو، 1966