نموذج ديباي

في الديناميكا الحرارية وفيزياء الحالة الصلبة ، يُعدّ نموذج ديباي طريقةً طوّرها بيتر ديباي عام 1912 لتقدير مساهمة الفونونات في الحرارة النوعية ( السعة الحرارية ) في المواد الصلبة . ^{[ 2 ]} يتعامل هذا النموذج مع اهتزازات الشبكة الذرية (الحرارة) كفونونات في صندوق، على عكس نموذج أينشتاين للمواد الصلبة الذي يتعامل مع المادة الصلبة على أنها مجموعة من المذبذبات التوافقية الكمومية الفردية غير المتفاعلة . يتنبأ نموذج ديباي بدقة بتغير السعة الحرارية للمواد الصلبة عند درجات الحرارة المنخفضة، والتي تتناسب طرديًا مع مكعب درجة الحرارة - قانون ديباي T³ . وكما هو الحال في نموذج أينشتاين للإلكترونات الضوئية، فإنه يستعيد قانون دولونغ-بيتيت عند درجات الحرارة العالية. إلا ^أن دقته تتأثر سلبًا عند درجات الحرارة المتوسطة نظرًا لافتراضاته المبسطة.

يُعامل نموذج ديباي الاهتزازات الذرية كفونونات محصورة في حجم المادة الصلبة. وهو يُشابه قانون بلانك لإشعاع الجسم الأسود ، الذي يُعامل الإشعاع الكهرومغناطيسي كغاز فوتوني محصور في فراغ. تتشابه معظم خطوات الحساب، حيث أن كليهما مثالان على غاز بوز عديم الكتلة ذي علاقة تشتت خطية .

بالنسبة لمكعب طول ضلعه${\displaystyle L}$، أنماط الرنين للاضطرابات الصوتية (مع الأخذ في الاعتبار حاليًا فقط تلك المتراصفة مع محور واحد)، والتي تُعامل كجسيمات في صندوق ، لها أطوال موجية معطاة على النحو التالي

${\displaystyle \lambda _{n}={2L \over n}\,,}$

أين${\displaystyle n}$هو عدد صحيح. تُعطى طاقة الفونون على النحو التالي:

${\displaystyle E_{n}\ =h\nu _{n}\,,}$

أين${\displaystyle h}$هو ثابت بلانك و${\displaystyle \nu _{n}}$يمثل تردد الفونون. وبتقريب أن التردد يتناسب عكسياً مع الطول الموجي،

${\displaystyle E_{n}=h\nu _{n}={hc_{\rm {s}} \over \lambda _{n}}={hc_{s}n \over 2L}\,,}$

في أي${\displaystyle c_{s}}$هي سرعة الصوت داخل المادة الصلبة. في ثلاثة أبعاد، يمكن تعميم الطاقة على

${\displaystyle E_{n}^{2}={p_{n}^{2}c_{\rm {s}}^{2}}=\left({hc_{\rm {s}} \over 2L}\right)^{2}\left(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}\right)\,,}$

في أي${\displaystyle p_{n}}$يمثل مقدار الزخم ثلاثي الأبعاد للفونون، و${\displaystyle n_{x}}$،${\displaystyle n_{y}}$، و${\displaystyle n_{z}}$هي مكونات نمط الرنين على طول كل محور من المحاور الثلاثة.

يُعدّ التقريب القائل بأن التردد يتناسب عكسيًا مع الطول الموجي (مما يُعطي سرعة صوت ثابتة ) مناسبًا للفونونات منخفضة الطاقة، ولكنه غير مناسب للفونونات عالية الطاقة، وهذا أحد قيود نموذج ديباي. يؤدي هذا التقريب إلى نتائج غير دقيقة عند درجات الحرارة المتوسطة، بينما تكون النتائج دقيقة عند حدود درجات الحرارة المنخفضة والعالية.

إجمالي الطاقة في الصندوق،${\displaystyle U}$، يتم تحديده بواسطة

${\displaystyle U=\sum _{n}E_{n}\,{\bar {N}}(E_{n})\,,}$

أين${\displaystyle {\bar {N}}(E_{n})}$يمثل عدد الفونونات في الصندوق ذي الطاقة${\displaystyle E_{n}}$الطاقة الكلية تساوي مجموع الطاقات على جميع مستويات الطاقة، وتُحسب الطاقة عند مستوى معين بضرب طاقته في عدد الفونونات التي تحمل تلك الطاقة. في ثلاثة أبعاد، يتوافق كل تركيب من الأنماط في كل محور من المحاور الثلاثة مع مستوى طاقة، مما يعطي الطاقة الكلية على النحو التالي:

${\displaystyle U=\sum _{n_{x}}\sum _{n_{y}}\sum _{n_{z}}E_{n}\,{\bar {N}}(E_{n})\,.}$

يختلف نموذج ديباي وقانون بلانك لإشعاع الجسم الأسود هنا فيما يتعلق بهذا المجموع. فعلى عكس إشعاع الفوتونات الكهرومغناطيسي في صندوق، يوجد عدد محدود من مستويات طاقة الفونونات ، لأن تردد الفونون لا يمكن أن يكون عاليًا بشكل تعسفي. تردده محدود بوسط انتشاره - الشبكة الذرية للمادة الصلبة . يوضح الرسم التوضيحي التالي الفونونات المستعرضة في مادة صلبة مكعبة عند ترددات مختلفة:

من المعقول افتراض أن الحد الأدنى لطول موجة الفونون يساوي ضعف المسافة بين الذرات، كما هو موضح في المثال الأدنى.${\displaystyle N}$الذرات في جسم صلب مكعب، كل محور من محاور المكعب يقيس على أنه${\displaystyle {\sqrt[{3}]{N}}}$يبلغ طول الذرات. ويُعطى الفصل الذري حينها بالعلاقة التالية:${\displaystyle L/{\sqrt[{3}]{N}}}$، والحد الأدنى للطول الموجي هو

${\displaystyle \lambda _{\rm {min}}={2L \over {\sqrt[{3}]{N}}}\,,}$

صنع رقم الوضع الأقصى${\displaystyle n_{max}}$:

${\displaystyle n_{\rm {max}}={\sqrt[{3}]{N}}\,.}$

وهذا يختلف عن الفوتونات، التي يكون عدد أنماطها الأقصى لانهائيًا. هذا العدد يحدد الحد الأعلى لمجموع الطاقة الثلاثية.

$//$

لو${\displaystyle E_{n}}$هي دالة تتغير ببطء بالنسبة إلى${\displaystyle n}$، ويمكن تقريب المجاميع باستخدام التكاملات :${\displaystyle U\approx \int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}E(n)\,{\bar {N}}\left(E(n)\right)\,dn_{x}\,dn_{y}\,dn_{z}\,.}$

لتقييم هذا التكامل، الدالة${\displaystyle {\bar {N}}(E)}$عدد الفونونات ذات الطاقة${\displaystyle E\,,}$يجب معرفة ذلك أيضًا. تخضع الفونونات لإحصاءات بوز-أينشتاين ، ويتم تحديد توزيعها بواسطة صيغة إحصاءات بوز-أينشتاين:

${\displaystyle \langle N\rangle _{BE}={1 \over e^{E/kT}-1}\,.}$

لأن الفونون له ثلاث حالات استقطاب ممكنة ( حالة طولية واحدة ، وحالتان عرضيتان ، والتي لا تؤثر تقريبًا على طاقته)، يجب ضرب الصيغة أعلاه في 3.

${\displaystyle {\bar {N}}(E)={3 \over e^{E/kT}-1}\,.}$

إن أخذ حالات الاستقطاب الثلاث في الاعتبار معًا يعني أيضًا أن سرعة الصوت الفعالة${\displaystyle c_{\rm {eff}}}$يجب تحديدها واستخدامها كقيمة للسرعة الصوتية القياسية${\displaystyle c_{s}.}$درجة حرارة ديباي${\displaystyle T_{\rm {D}}}$التعريف المذكور أدناه يتناسب مع${\displaystyle c_{\rm {eff}}}$وبشكل أدق،${\displaystyle T_{\rm {D}}^{-3}\propto c_{\rm {eff}}^{-3}:={\frac {1}{3}}c_{\rm {long}}^{-3}+{\frac {2}{3}}c_{\rm {trans}}^{-3}}$حيث يتم حساب متوسط ​​سرعات الموجات الصوتية الطولية والعرضية ، مع مراعاة عدد حالات الاستقطاب. وتُعد درجة حرارة ديباي، أو السرعة الصوتية الفعالة، مقياسًا لصلابة البلورة.

الاستبدال${\displaystyle {\bar {N}}(E)}$يؤدي إدخال التكامل الطاقي إلى

${\displaystyle U=\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}E(n)\,{3 \over e^{E(n)/kT}-1}\,dn_{x}\,dn_{y}\,dn_{z}\,.}$

يسهل حساب هذه التكاملات للفوتونات لأن ترددها، على الأقل شبه الكلاسيكي، غير محدود. لكن الأمر ليس كذلك بالنسبة للفونونات، لذا استخدم بيتر ديباي الإحداثيات الكروية لتقريب هذا التكامل الثلاثي .

${\displaystyle \ (n_{x},n_{y},n_{z})=(n\sin \theta \cos \phi ,n\sin \theta \sin \phi ,n\cos \theta )\,,}$

وقرب المكعب بثمن كرة ،

${\displaystyle U\approx \int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{R}E(n)\,{3 \over e^{E(n)/kT}-1}n^{2}\sin \theta \,dn\,d\theta \,d\phi \,,}$

أين${\displaystyle R}$يمثل نصف قطر هذه الكرة. وبما أن دالة الطاقة لا تعتمد على أي من الزاويتين، فيمكن تبسيط المعادلة إلى

$// _ {0}^{R}E(n)\,{\frac {1}{e^{E(n)/kT}-1}}n^{2}dn\,}$

يجب أن يكون عدد الجسيمات في المكعب الأصلي مساوياً لعددها في ثمن الكرة. حجم المكعب هو${\displaystyle N}$أحجام الخلايا الوحدوية ،

${\displaystyle N={1 \over 8}{4 \over 3}\pi R^{3}\,,}$

بحيث يجب أن يكون نصف القطر

${\displaystyle R={\sqrt[{3}]{6N \over \pi }}\,.}$

إن استبدال التكامل على الكرة بالتكامل الصحيح على المكعب يُدخل مصدراً آخر لعدم الدقة في النموذج الناتج.

بعد إجراء الاستبدال الكروي والتعويض في الدالة${\displaystyle E(n)\,}$يصبح التكامل الطاقي

${\displaystyle U={3\pi \over 2}\int _{0}^{R}\,{hc_{s}n \over 2L}{n^{2} \over e^{hc_{\rm {s}}n/2LkT}-1}\,dn}$.

تغيير متغير التكامل إلى${\displaystyle x={hc_{\rm {s}}n \over 2LkT}}$،

${\displaystyle U={3\pi \over 2}kT\left({2LkT \over hc_{\rm {s}}}\right)^{3}\int _{0}^{hc_{\rm {s}}R/2LkT}{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx.}$

لتبسيط شكل هذا التعبير، عرّف درجة حرارة ديباي${\displaystyle T_{\rm {D}}}$

${\displaystyle T_{\rm {D}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {hc_{\rm {s}}R \over 2Lk}={hc_{\rm {s}} \over 2Lk}{\sqrt[{3}]{6N \over \pi }}={hc_{\rm {s}} \over 2k}{\sqrt[{3}]{{6 \over \pi }{N \over V}}}}$

أين${\displaystyle V}$حجم الصندوق المكعب الذي طول ضلعه${\displaystyle L}$.

يصف بعض المؤلفين ^{[ 3 ] [ 4 ]} درجة حرارة ديباي بأنها اختصار لبعض الثوابت والمتغيرات التي تعتمد على المادة. ومع ذلك،${\displaystyle kT_{\rm {D}}}$تُعادل تقريبًا طاقة الفونون للنمط ذي الطول الموجي الأدنى، ولذا يُمكننا تفسير درجة حرارة ديباي على أنها درجة الحرارة التي يُثار عندها النمط ذو التردد الأعلى. إضافةً إلى ذلك، وبما أن جميع الأنماط الأخرى ذات طاقة أقل من النمط ذي التردد الأعلى، فإن جميع الأنماط تُثار عند هذه الدرجة.

يمكن حساب الطاقة الداخلية النوعية من إجمالي الطاقة :

${\displaystyle {\frac {U}{Nk}}=9T\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx=3TD_{3}\left({T_{\rm {D}} \over T}\right)\,,}$

أين${\displaystyle D_{3}(x)}$هي دالة ديباي الثالثة . اشتقاق هذه الدالة بالنسبة إلى${\displaystyle T}$ينتج عنه السعة الحرارية غير البعدية:

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}=9\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}{x^{4}e^{x} \over \left(e^{x}-1\right)^{2}}\,dx\,.}$

تُعالج هذه الصيغ نموذج ديباي عند جميع درجات الحرارة. أما الصيغ الأبسط الواردة لاحقًا فتُبين السلوك التقاربي في حالتي درجات الحرارة المنخفضة والعالية. والسبب الرئيسي لدقة هذه الصيغ عند الطاقات المنخفضة والعالية هو أن نموذج ديباي يُعطي علاقة التشتت الدقيقة.${\displaystyle E(\nu )}$عند الترددات المنخفضة، ويتوافق مع الكثافة الدقيقة للحالات${\textstyle (\int g(\nu )\,d\nu \equiv 3N)}$عند درجات الحرارة العالية، فيما يتعلق بعدد الاهتزازات لكل فاصل تردد.

اشتق ديباي معادلته بطريقة مختلفة وأبسط. باستخدام ميكانيكا الأوساط المتصلة ، وجد أن عدد حالات الاهتزاز ذات التردد الأقل من قيمة معينة يتقارب مع

${\displaystyle n\sim {1 \over 3}\nu ^{3}VF\,,}$

في أي${\displaystyle V}$هو الحجم و${\displaystyle F}$هو عامل قام بحسابه من معاملات المرونة والكثافة. بدمج هذه الصيغة مع الطاقة المتوقعة للمذبذب التوافقي عند درجة الحرارة${\displaystyle T}$(الذي استخدمه أينشتاين بالفعل في نموذجه) سيعطي طاقة مقدارها

${\displaystyle U=\int _{0}^{\infty }\,{h\nu ^{3}VF \over e^{h\nu /kT}-1}\,d\nu \,,}$

إذا استمرت الترددات الاهتزازية إلى ما لا نهاية. هذا الشكل يعطي${\displaystyle T^{3}}$سلوك صحيح في درجات الحرارة المنخفضة. لكن ديباي أدرك أنه لا يمكن أن يكون هناك أكثر من${\displaystyle 3N}$الحالات الاهتزازية لـ N ذرة. افترض أن طيف ترددات الحالات الاهتزازية في مادة صلبة ذرية سيستمر في اتباع القاعدة المذكورة أعلاه، حتى تردد أقصى .${\displaystyle \nu _{m}}$يتم اختيارها بحيث يكون العدد الإجمالي للولايات هو

${\displaystyle 3N={1 \over 3}\nu _{m}^{3}VF\,.}$

كان ديباي يعلم أن هذا الافتراض غير صحيح تمامًا ( فالترددات الأعلى متقاربة أكثر مما يُفترض)، ولكنه يضمن السلوك الصحيح عند درجات الحرارة العالية ( قانون دولونغ-بيتيت ). وتُعطى الطاقة حينها بالعلاقة التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=\int _{0}^{\nu _{m}}\,{h\nu ^{3}VF \over e^{h\nu /kT}-1}\,d\nu \,,\\&=VFkT(kT/h)^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}\,{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx\,.\end{aligned}}}$

الاستبدال${\displaystyle T_{\rm {D}}}$ل${\displaystyle h\nu _{m}/k}$،

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=9NkT(T/T_{\rm {D}})^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}\,{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx\,,\\&=3NkTD_{3}(T_{\rm {D}}/T)\,,\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle D_{3}}$هي الدالة التي ستُطلق عليها لاحقاً اسم دالة ديباي من الدرجة الثالثة .

أولاً، يتم اشتقاق توزيع التردد الاهتزازي من الملحق السادس من كتاب تيريل ل. هيل " مقدمة في الميكانيكا الإحصائية" . ^{[ 5 ]} لنفترض وجود جسم صلب مرن متجانس ثلاثي الأبعاد يحتوي على N ذرة على شكل متوازي مستطيلات بأطوال أضلاع .${\displaystyle L_{x},L_{y},L_{z}}$ستخضع الموجة المرنة لمعادلة الموجة وستكون موجات مستوية ؛ لنأخذ متجه الموجة في الاعتبار${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})}$وحدد${\displaystyle l_{x}={\frac {k_{x}}{|\mathbf {k} |}},l_{y}={\frac {k_{y}}{|\mathbf {k} |}},l_{z}={\frac {k_{z}}{|\mathbf {k} |}}}$بحيث

${\displaystyle l_{x}^{2}+l_{y}^{2}+l_{z}^{2}=1.}$

1

حلول معادلة الموجة هي

${\displaystyle u(x,y,z,t)=\sin(2\pi \nu t)\sin \left({\frac {2\pi l_{x}x}{\lambda }}\right)\sin \left({\frac {2\pi l_{y}y}{\lambda }}\right)\sin \left({\frac {2\pi l_{z}z}{\lambda }}\right)}$

ومع الشروط الحدية${\displaystyle u=0}$في${\displaystyle x,y,z=0,x=L_{x},y=L_{y},z=L_{z}}$،

${\displaystyle {\frac {2l_{x}L_{x}}{\lambda }}=n_{x};{\frac {2l_{y}L_{y}}{\lambda }}=n_{y};{\frac {2l_{z}L_{z}}{\lambda }}=n_{z}}$

2

أين${\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z}}$هي أعداد صحيحة موجبة . بالتعويض من ( 2 ) في ( 1 ) وباستخدام علاقة التشتت أيضًا${\displaystyle c_{s}=\lambda \nu }$،

${\displaystyle {\frac {n_{x}^{2}}{(2\nu L_{x}/c_{s})^{2}}}+{\frac {n_{y}^{2}}{(2\nu L_{y}/c_{s})^{2}}}+{\frac {n_{z}^{2}}{(2\nu L_{z}/c_{s})^{2}}}=1.}$

المعادلة أعلاه، لتردد ثابت${\displaystyle \nu }$يصف ثمن قطع ناقص في "فضاء الأنماط" (ثمن لأن${\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z}}$(موجبة). عدد الأنماط ذات التردد الأقل من${\displaystyle \nu }$وبالتالي، فإن عدد النقاط الصحيحة داخل القطع الناقص هو، والذي، في حالة الحد،${\displaystyle L_{x},L_{y},L_{z}\to \infty }$(أي بالنسبة لمتوازي مستطيلات كبير جدًا) يمكن تقريبه إلى حجم القطع الناقص. وبالتالي، فإن عدد الأنماط${\displaystyle N(\nu )}$بتردد في النطاق${\displaystyle [0,\nu ]}$يكون

${\displaystyle N(\nu )={\frac {1}{8}}{\frac {4\pi }{3}}\left({\frac {2\nu }{c_{\mathrm {s} }}}\right)^{3}L_{x}L_{y}L_{z}={\frac {4\pi \nu ^{3}V}{3c_{\mathrm {s} }^{3}}},}$

3

أين${\displaystyle V=L_{x}L_{y}L_{z}}$يمثل حجم متوازي المستطيلات. تختلف سرعة الموجة في الاتجاه الطولي عن سرعتها في الاتجاه العرضي، ويمكن استقطاب الموجات في اتجاه واحد في الاتجاه الطولي وفي اتجاهين في الاتجاه العرضي، ويمكن تعريفها على النحو التالي:${\displaystyle {\frac {3}{c_{s}^{3}}}={\frac {1}{c_{\text{long}}^{3}}}+{\frac {2}{c_{\text{trans}}^{3}}}}$.

استنادًا إلى الاشتقاق الوارد في كتاب "مقدمة في الديناميكا الحرارية" ^{[ 6 ]} ، يتم تحديد حد أعلى لتردد الاهتزاز.${\displaystyle \nu _{D}}$بما أن هناك${\displaystyle N}$الذرات في المادة الصلبة، هناك${\displaystyle 3N}$مذبذبات توافقية كمومية (3 لكل اتجاه من الاتجاهات س، ص، ع) تتذبذب ضمن نطاق الترددات${\displaystyle [0,\nu _{D}]}$.${\displaystyle \nu _{D}}$يمكن تحديد ذلك باستخدام

${\displaystyle 3N=N(\nu _{\rm {D}})={\frac {4\pi \nu _{\rm {D}}^{3}V}{3c_{\rm {s}}^{3}}}}$.

4

من خلال تحديد${\displaystyle \nu _{\rm {D}}={\frac {kT_{\rm {D}}}{h}}}$، حيث k هو ثابت بولتزمان و h هو ثابت بلانك ، وبالتعويض من ( 4 ) في ( 3 )،

${\displaystyle N(\nu )={\frac {3Nh^{3}\nu ^{3}}{k^{3}T_{\rm {D}}^{3}}},}$

5

هذا التعريف أكثر شيوعًا؛ مساهمة الطاقة لجميع المذبذبات التي تتذبذب بتردد${\displaystyle \nu }$يمكن العثور عليها. يمكن أن تمتلك المذبذبات التوافقية الكمومية طاقات.${\displaystyle E_{i}=(i+1/2)h\nu }$أين${\displaystyle i=0,1,2,\dotsc }$وباستخدام إحصاءات ماكسويل-بولتزمان ، عدد الجسيمات ذات الطاقة${\displaystyle E_{i}}$يكون

${\displaystyle n_{i}={\frac {1}{A}}e^{-E_{i}/(kT)}={\frac {1}{A}}e^{-(i+1/2)h\nu /(kT)}.}$

مساهمة الطاقة للمذبذبات ذات التردد${\displaystyle \nu }$ثم

${\displaystyle dU(\nu )=\sum _{i=0}^{\infty }E_{i}{\frac {1}{A}}e^{-E_{i}/(kT)}}$.

6

من خلال ملاحظة أن${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }n_{i}=dN(\nu )}$(لأن هناك${\displaystyle dN(\nu )}$أنماط تتذبذب بتردد${\displaystyle \nu }$)

${\displaystyle {\frac {1}{A}}e^{-1/2h\nu /(kT)}\sum _{i=0}^{\infty }e^{-ih\nu /(kT)}={\frac {1}{A}}e^{-1/2h\nu /(kT)}{\frac {1}{1-e^{-h\nu /(kT)}}}=dN(\nu ).}$

انطلاقاً مما سبق، يمكننا الحصول على تعبير لـ 1/A؛ وبالتعويض به في ( 6 )،

${\displaystyle {\begin{aligned}dU&=dN(\nu )e^{1/2h\nu /(kT)}(1-e^{-h\nu /(kT)})\sum _{i=0}^{\infty }h\nu (i+1/2)e^{-h\nu (i+1/2)/(kT)}\\\\&=dN(\nu )(1-e^{-h\nu /(kT)})\sum _{i=0}^{\infty }h\nu (i+1/2)e^{-h\nu i/(kT)}\\&=dN(\nu )h\nu \left({\frac {1}{2}}+(1-e^{-h\nu /(kT)})\sum _{i=0}^{\infty }ie^{-h\nu i/(kT)}\right)\\&=dN(\nu )h\nu \left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}}\right).\end{aligned}}}$

بإجراء التكامل بالنسبة إلى ν نحصل على

${\displaystyle U={\frac {9Nh^{4}}{k^{3}T_{\rm {D}}^{3}}}\int _{0}^{\nu _{D}}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}}\right)\nu ^{3}d\nu .}$

يُقال إن درجة حرارة مادة ديبي الصلبة منخفضة إذا${\displaystyle T\ll T_{\rm {D}}}$مما يؤدي إلى

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim 9\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}\int _{0}^{\infty }{x^{4}e^{x} \over \left(e^{x}-1\right)^{2}}\,dx.}$

يمكن حساب هذا التكامل المحدد بدقة:

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim {12\pi ^{4} \over 5}\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}.}$

في حد درجات الحرارة المنخفضة، لا تنطبق قيود نموذج ديباي المذكورة أعلاه، وهو يعطي علاقة صحيحة بين السعة الحرارية (الفونونية) ودرجة الحرارة ومعاملات المرونة والحجم لكل ذرة (الكميات الأخيرة موجودة في درجة حرارة ديباي).

يُقال إن درجة حرارة مادة ديبي الصلبة مرتفعة إذا${\displaystyle T\gg T_{\rm {D}}}$. استخدام${\displaystyle e^{x}-1\approx x}$لو${\displaystyle |x|\ll 1}$يؤدي إلى

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim 9\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}{x^{4} \over x^{2}}\,dx}$

والذي يعطي عند التكامل

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim 3\,.}$

هذا هو قانون دولونغ-بيتيت ، وهو دقيق إلى حد كبير رغم أنه لا يأخذ في الحسبان اللا توافقية ، التي تتسبب في زيادة السعة الحرارية . وقد تحتوي السعة الحرارية الكلية للمادة الصلبة، إذا كانت موصلة أو شبه موصلة ، على مساهمة ملحوظة من الإلكترونات.

يتوافق نموذجا ديباي وأينشتاين بشكل كبير مع البيانات التجريبية، إلا أن نموذج ديباي يكون صحيحًا عند درجات الحرارة المنخفضة، بينما لا يكون نموذج أينشتاين كذلك. ولتوضيح الفرق بين النموذجين، يُفترض رسمهما على نفس المحورين، لكن هذا غير ممكن مباشرةً لأن كلاً من نموذج أينشتاين ونموذج ديباي يُقدمان صيغةً داليةً للسعة الحرارية. وباعتبارهما نموذجين، فهما يحتاجان إلى مقاييس لربطهما بنظائرهما في العالم الحقيقي. ويمكن ملاحظة أن مقياس نموذج أينشتاين يُعطى بواسطة${\displaystyle \epsilon /k}$:

${\displaystyle C_{V}=3Nk\left({\epsilon \over kT}\right)^{2}{e^{\epsilon /kT} \over \left(e^{\epsilon /kT}-1\right)^{2}}.}$

مقياس نموذج ديباي هو${\displaystyle T_{\rm {D}}}$درجة حرارة ديباي. عادةً ما يتم إيجاد كليهما عن طريق مطابقة النماذج مع البيانات التجريبية. (يمكن نظريًا حساب درجة حرارة ديباي من سرعة الصوت وأبعاد البلورة). ولأن الطريقتين تتناولان المشكلة من زوايا وهندسات مختلفة، فإن مقياسي أينشتاين وديباي ليسا متطابقين ، أي

${\displaystyle {\epsilon \over k}\neq T_{\rm {D}}\,,}$

وهذا يعني أن تمثيلهما بيانيًا على نفس مجموعة المحاور لا معنى له. فهما نموذجان لنفس الشيء، ولكن بمقياسين مختلفين. إذا عرّفنا درجة حرارة تكثيف أينشتاين على النحو التالي:

${\displaystyle T_{\rm {E}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\epsilon \over k}\,,}$

عندها يمكن للمرء أن يقول

${\displaystyle T_{\rm {E}}\neq T_{\rm {D}}\,,}$

ولربط الاثنين، النسبة${\displaystyle {\frac {T_{\rm {E}}}{T_{\rm {D}}}}\,}$يتم استخدامه.

يتكون الجسم الصلب لأينشتاين من مذبذبات توافقية كمومية أحادية التردد ،${\displaystyle \epsilon =\hbar \omega =h\nu }$هذا التردد، إن وُجد بالفعل، سيكون مرتبطًا بسرعة الصوت في المادة الصلبة. إذا تخيلنا انتشار الصوت كسلسلة من الذرات تصطدم ببعضها، فإن تردد التذبذب يجب أن يتوافق مع الحد الأدنى للطول الموجي الذي يمكن أن تتحمله الشبكة الذرية.${\displaystyle \lambda _{min}}$، أين

${\displaystyle \nu ={c_{\rm {s}} \over \lambda }={c_{\rm {s}}{\sqrt[{3}]{N}} \over 2L}={c_{\rm {s}} \over 2}{\sqrt[{3}]{N \over V}}}$،

مما يجعل درجة حرارة أينشتاين${\displaystyle T_{\rm {E}}={\epsilon \over k}={h\nu \over k}={hc_{\rm {s}} \over 2k}{\sqrt[{3}]{N \over V}}\,,}$وبالتالي فإن النسبة المطلوبة هي

${\displaystyle {T_{\rm {E}} \over T_{\rm {D}}}={\sqrt[{3}]{\pi \over 6}}\ =0.805995977...}$

باستخدام هذه النسبة، يمكن تمثيل كلا النموذجين على نفس الرسم البياني. وهي الجذر التكعيبي لنسبة حجم ثمن كرة ثلاثية الأبعاد إلى حجم المكعب الذي يحتويها، وهو عامل التصحيح الذي استخدمه ديباي عند تقريب تكامل الطاقة المذكور أعلاه. وبدلاً من ذلك، يمكن اعتبار نسبة درجتي الحرارة هي نسبة تردد أينشتاين الأحادي الذي تتذبذب عنده جميع المذبذبات إلى تردد ديباي الأقصى. ويمكن اعتبار تردد أينشتاين الأحادي متوسط ​​الترددات المتاحة لنموذج ديباي. متوسط ​​التردد في نموذج ديباي هو

${\displaystyle {{\bar {\nu }}=3\int _{0}^{\nu _{\rm {D}}}{\frac {\nu ^{3}}{\nu _{\rm {D}}^{3}}}d\nu ={\frac {3}{4}}\nu _{\rm {D}}}}$

وبالتالي فإن العلاقة بين ترددات أينشتاين وديباي (وبالتالي العلاقة بين درجات الحرارة في كلا النموذجين) هي:

${\displaystyle {{\frac {\nu _{\rm {E}}}{\nu _{\rm {D}}}}={\frac {T_{\rm {E}}}{T_{\rm {D}}}}=0.75}}$

على الرغم من أن نموذج ديباي ليس دقيقًا تمامًا، إلا أنه يُعطي تقريبًا جيدًا للسعة الحرارية عند درجات الحرارة المنخفضة للمواد الصلبة البلورية العازلة، حيث تكون المساهمات الأخرى (مثل إلكترونات التوصيل عالية الحركة) ضئيلة. بالنسبة للمعادن، تتناسب مساهمة الإلكترونات في الحرارة طرديًا مع${\displaystyle T}$، والتي تهيمن على ديباي عند درجات الحرارة المنخفضة${\displaystyle T^{3}}$نتيجة اهتزازات الشبكة البلورية. في هذه الحالة، يمكن القول إن نموذج ديباي يُقارب فقط مساهمة الشبكة البلورية في الحرارة النوعية. يسرد الجدول التالي درجات حرارة ديباي لعدة عناصر نقية ^{[ 3 ]} والياقوت:

غالبًا ما يتم تحسين ملاءمة نموذج ديباي للبيانات التجريبية بشكل ظاهري من خلال السماح لدرجة حرارة ديباي بأن تصبح معتمدة على درجة الحرارة؛ ^{[ 7 ]} على سبيل المثال، تزداد قيمة الجليد من حوالي 222 كلفن ^{[ 8 ]} إلى 300 كلفن ^{[ 9 ]} عندما تنتقل درجة الحرارة من الصفر المطلق إلى حوالي 100 كلفن.

بالنسبة للجسيمات شبه البوزونية الأخرى ، مثل الماغنونات (موجات الدوران الكمومية) في المواد المغناطيسية الحديدية بدلاً من الفونونات (موجات الصوت الكمومية)، يمكن استخلاص نتائج مماثلة. في هذه الحالة، عند الترددات المنخفضة، تكون لدينا علاقات تشتت مختلفة للزخم والطاقة، على سبيل المثال،${\displaystyle E(\nu )\propto k^{2}}$في حالة الماغنونات، بدلاً من${\displaystyle E(\nu )\propto k}$بالنسبة للفونونات (مع${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$كما أن لكل منهما كثافة حالات مختلفة (على سبيل المثال،${\displaystyle \int g(\nu ){\rm {d}}\nu \equiv N\,}$ونتيجة لذلك، في المواد المغناطيسية الحديدية، نحصل على مساهمة من الماغنونات في السعة الحرارية.${\displaystyle \Delta C_{\,{\rm {V|\,magnon}}}\,\propto T^{3/2}}$، والتي تهيمن على مساهمة الفونون عند درجات حرارة منخفضة بما فيه الكفاية،${\displaystyle \,\Delta C_{\,{\rm {V|\,phonon}}}\propto T^{3}}$أما في المعادن، على النقيض من ذلك، فإن المساهمة الرئيسية في السعة الحرارية عند درجات الحرارة المنخفضة،${\displaystyle \propto T}$، يأتي من الإلكترونات. وهو فرميوني ، ويتم حسابه بطرق مختلفة تعود إلى نموذج الإلكترون الحر لسومرفيلد .

لطالما ساد الاعتقاد بأن نظرية الفونونات عاجزة عن تفسير السعة الحرارية للسوائل، إذ لا تدعم السوائل سوى الفونونات الطولية، دون الفونونات المستعرضة، التي تُشكّل في المواد الصلبة ثلثي السعة الحرارية. مع ذلك، أثبتت تجارب تشتت بريلوين باستخدام النيوترونات والأشعة السينية ، مؤكدةً حدس ياكوف فرينكل [ ^{10 ] ،} وجود الفونونات المستعرضة في السوائل، وإن كانت محصورةً بترددات أعلى من عتبة تُسمى تردد فرينكل. ولأن معظم الطاقة تتركز في هذه الأنماط عالية التردد، يكفي تعديل بسيط لنموذج ديباي للحصول على تقريب جيد للسعات الحرارية التجريبية للسوائل البسيطة ^{[ 11 ]} . ومؤخرًا، تبيّن أن الأنماط الطبيعية الآنية المرتبطة بالاسترخاء من نقاط السرج في منحنى طاقة السائل، والتي تُهيمن على طيف تردد السوائل عند الترددات المنخفضة، قد تُحدد الحرارة النوعية للسوائل كدالة لدرجة الحرارة على نطاق واسع. ^{[ 12 ]}

تردد ديباي (الرمز:${\displaystyle \omega _{\rm {Debye}}}$أو${\displaystyle \omega _{\rm {D}}}$يُعدّ λ مُعاملًا في نموذج ديباي يُشير إلى تردد زاوي حرج لموجات سلسلة توافقية من الكتل، ويُستخدم لوصف حركة الأيونات في الشبكة البلورية ، وتحديدًا للتنبؤ بدقة بأن السعة الحرارية في هذه البلورات ثابتة عند درجات الحرارة العالية (قانون دولونغ-بيتيت). وقد طُرح هذا المفهوم لأول مرة من قِبل بيتر ديباي عام 1912. ^{[ 13 ]}

في هذا القسم، يتم افتراض شروط الحدود الدورية .

الاشتقاق باستخدام علاقة التشتت الفعلية

يمكن جعل هذه المشكلة أكثر قابلية للتطبيق من خلال تخفيف افتراض خطية علاقة التشتت. بدلاً من استخدام علاقة التشتت${\displaystyle \omega =v_{\rm {s}}k}$ويمكن استخدام علاقة تشتت أكثر دقة. في الميكانيكا الكلاسيكية، من المعروف أنه بالنسبة لسلسلة متساوية البعد من الكتل التي تتفاعل توافقياً مع بعضها البعض، فإن علاقة التشتت هي ^{[ 16 ]}

$${\displaystyle \omega (k)=2{\sqrt {\frac {\kappa }{m}}}\left|\sin \left({\frac {ka}{2}}\right)\right|,}$$

مع${\displaystyle m}$حيث تمثل كتلة كل ذرة،${\displaystyle \kappa }$ثابت الزنبرك للمذبذب التوافقي ، و${\displaystyle a}$لا تزال المسافة بين الذرات في الحالة الأرضية ثابتة. بعد رسم هذه العلاقة، يظل تقدير ديباي لطول الموجة الحدية، بناءً على الافتراض الخطي، دقيقًا، لأنه لكل عدد موجي أكبر من${\displaystyle \pi /a}$(أي، من أجل${\displaystyle \lambda }$أصغر من${\displaystyle 2a}$)، وهو عدد موجي أصغر من${\displaystyle \pi /a}$يمكن إيجادها بنفس التردد الزاوي. هذا يعني أن المظهر الفيزيائي الناتج للنمط ذي العدد الموجي الأكبر لا يمكن تمييزه عن النمط ذي العدد الموجي الأصغر. لذلك، يمكن حصر دراسة علاقة التشتت في منطقة بريلوين الأولى.${\textstyle k\in \left[-{\frac {\pi }{a}},{\frac {\pi }{a}}\right]}$دون أي فقدان للدقة أو المعلومات. ^{[ 18 ]} هذا ممكن لأن النظام يتكون من نقاط منفصلة ، ​​كما هو موضح في الصورة المتحركة. بقسمة علاقة التشتت على${\displaystyle k}$وإدخال${\displaystyle \pi /a}$ل${\displaystyle k}$، نجد سرعة الموجة باستخدام${\displaystyle k=\pi /a}$يكون $${\displaystyle v_{\rm {s}}(k=\pi /a)={\frac {2a}{\pi }}{\sqrt {\frac {\kappa }{m}}}.}$$

بمجرد إدخال${\displaystyle k=\pi /a}$في علاقة التشتت الأصلية نجد $${\displaystyle \omega (k=\pi /a)=2{\sqrt {\frac {\kappa }{m}}}=\omega _{\rm {D}}.}$$

وبدمج هذه النتائج، تم التوصل إلى النتيجة نفسها مرة أخرى. $${\displaystyle \omega _{\rm {D}}={\frac {\pi v_{\rm {s}}}{a}}.}$$

مع ذلك، بالنسبة لأي سلسلة ذات تعقيد أكبر، بما في ذلك السلاسل ثنائية الذرات، فإن تردد القطع وطول الموجة المرتبطين بها ليسا دقيقين للغاية، لأن طول موجة القطع يكون ضعف ما هو عليه في السلاسل ثنائية الذرات، كما أن علاقة التشتت تتكون من فرعين إضافيين. ولا يُمكن الجزم، بناءً على هذه النتيجة، ما إذا كان تردد القطع قد تم التنبؤ به بدقة من قِبل ديباي بالنسبة للأنظمة ذات الأبعاد الأعلى، عند الأخذ في الاعتبار علاقة التشتت الأكثر دقة.

اشتقاق بديل

بالنسبة للسلسلة أحادية البعد، يمكن أيضًا إعادة إنتاج صيغة تردد ديباي باستخدام نظرية لوصف التداخل . تُستخدم نظرية أخذ العينات لنايكويست-شانون لهذا الاشتقاق، والفرق الرئيسي هو أنه في حالة السلسلة أحادية البعد، لا يكون التقطيع زمنيًا، بل مكانيًا.

يمكن تحديد تردد القطع من طول موجة القطع. من نظرية أخذ العينات، نعلم أنه بالنسبة للأطوال الموجية الأصغر من${\displaystyle 2a}$أو ضعف مسافة أخذ العينات، كل نمط هو تكرار لنمط بطول موجي أكبر من${\displaystyle 2a}$لذا يجب أن يكون طول الموجة الحدية عند${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}=2a}$وهذا يؤدي مرة أخرى إلى${\displaystyle k_{\rm {D}}={\frac {2\pi }{\lambda _{D}}}=\pi /a}$، عرض $${\displaystyle \omega _{\rm {D}}={\frac {\pi v_{\rm {s}}}{a}}.}$$

لا يهم أي علاقة تشتت يتم استخدامها، حيث سيتم حساب نفس تردد القطع.