المشكلة الثالثة لهيلبرت

كانت المسألة الثالثة من مسائل هيلبرت، التي عُرضت عام 1900، أول مسألة يتم حلها. وتطرح المسألة السؤال التالي:

بالنظر إلى أي شكلين متعددي الأوجه متساويين في الحجم ، هل من الممكن دائمًا تقطيع الأول إلى عدد محدود من القطع متعددة الأوجه التي يمكن إعادة تجميعها للحصول على الشكل الثاني؟

استنادًا إلى كتابات سابقة لكارل فريدريش غاوس ، ^{[ 1 ]} افترض ديفيد هيلبرت أن هذا لم يكن ممكنًا دائمًا. وقد أكد تلميذه ماكس دين هذا الافتراض بمثال مضاد. ^{[ 2 ]}

كانت صيغة حجم الهرم ، التي تساوي ثلث حاصل ضرب مساحة القاعدة في الارتفاع، معروفةً لإقليدس . ومع ذلك، فإن جميع البراهين على هذه الصيغة تتضمن شكلاً من أشكال العمليات الحسابية أو التفاضلية ، ولا سيما طريقة الاستنفاد أو، بصيغتها الحديثة، مبدأ كافالييري . ويمكن إثبات صيغ مماثلة في الهندسة المستوية بوسائل أبسط. وقد أعرب غاوس عن أسفه لهذا القصور في رسالتين له إلى كريستيان لودفيج جيرلينج ، الذي أثبت أن رباعيي الأوجه المتناظرين قابلان للتحليل إلى أجزاء متساوية . ^{[ 3 ]}

كانت رسائل غاوس هي الدافع وراء بحث ديفيد هيلبرت : هل من الممكن إثبات تساوي الحجم باستخدام طرق "القص واللصق" البسيطة، لأي متعدد السطوح أو للحالات المحددة التي درسها إقليدس؟ ^{[ 4 ]} ويعود دافع آخر لهيلبرت إلى نظرية والاس-بولياي-جيروين في أوائل القرن التاسع عشر، والتي تنص على أنه يمكن تقطيع أي مضلعين متساويين في المساحة إلى أجزاء مضلعة وإعادة تجميعها معًا. وقد استخدمها هيلبرت كطريقة لوضع بديهيات مساحة المضلعات ثنائية الأبعاد، وذلك بالربط مع بديهيات هيلبرت في الهندسة الإقليدية . ^{[ 5 ]} وفي وقت لاحق، صاغ هيلبرت مجموعة مؤثرة من 23 مسألة رياضية في القرن العشرين ، وتحديدًا في عام 1900، في المؤتمر الدولي للرياضيات . في مجموعته، تناول المشكلة الثالثة المتعلقة بوضع بديهيات حجم المجسمات، وهي ما إذا كان من الممكن دائمًا تقسيم أي مجسمين متعددي السطوح متساويي الحجم إلى أجزاء متعددة السطوح وإعادة تجميعها معًا. ^{[ 6 ] [ أ ]}

يُطلق على مجسمين اسم "مجسمين متطابقين بالمقص" إذا أمكن تقطيع أحدهما إلى عدد محدود من القطع التي يمكن إعادة تجميعها لتكوين الآخر. أي مجسمين متطابقين بالمقص لهما نفس الحجم. يسأل هيلبرت عن العكس .

لكل متعدد السطوح${\displaystyle P}$يُعرّف ماكس دين قيمةً تُعرف الآن باسم ثابت دين.${\displaystyle \operatorname {D} (P)}$، مع الخاصية التي، إذا${\displaystyle P}$يتم تقطيعها إلى قطع متعددة الأوجه${\displaystyle P_{1},P_{2},\dots P_{n}}$، ثم $${\displaystyle \operatorname {D} (P)=\operatorname {D} (P_{1})+\operatorname {D} (P_{2})+\cdots +\operatorname {D} (P_{n}).}$$ على وجه الخصوص، إذا كان شكلان متعددا السطوح متطابقين في عملية المقص، فإنهما يمتلكان نفس ثابت دين. ومن ثم، يُبين دين أن كل مكعب له ثابت دين يساوي صفرًا، بينما كل رباعي سطوح منتظم له ثابت دين غير صفري. لذلك، لا يمكن أن يكون هذان الشكلان متطابقين في عملية المقص. ^{[ 2 ] [ 8 ]} وهذا يعني أنه لا يمكن تقسيم جميع الأشكال متعددة السطوح إلى مكعبات، وبالتالي فإن الإجابة سلبية. ^{[ 6 ]}

يُعرَّف ثابت متعدد السطوح بناءً على أطوال حوافه والزوايا بين أوجهه. إذا قُطِع متعدد السطوح إلى نصفين، فإن بعض الحواف تُقسَّم إلى نصفين، وبالتالي يجب أن تكون المساهمات المقابلة في ثوابت دين جمعية بالنسبة لأطوال الحواف. وبالمثل، إذا قُطِع متعدد السطوح على طول حافة، فإن الزاوية المقابلة تُقسَّم إلى نصفين. عادةً ما يُدخِل قطع متعدد السطوح حوافًا وزوايا جديدة؛ يجب أن تلغي مساهماتها بعضها بعضًا. تُضاف الزوايا الناتجة عن القطع الذي يمر عبر وجه إلى${\displaystyle \pi }$وتضيف الزوايا المُدخلة حول حافة داخلية للمجسم متعدد السطوح إلى${\displaystyle 2\pi }$لذلك، يُعرَّف ثابت دين بطريقة تجعل مضاعفات الزوايا الصحيحة${\displaystyle \pi }$^{[ 9 ]}​

يمكن تلبية جميع المتطلبات المذكورة أعلاه من خلال تحديد${\displaystyle \operatorname {D} (P)}$كعنصر من عناصر حاصل الضرب الموتري للأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$(تمثل أطوال الحواف) وفضاء القسمة${\displaystyle \mathbb {R} /(\mathbb {Q} \pi )}$(تمثيل الزوايا، مع جميع المضاعفات النسبية لـ${\displaystyle \pi }$(مستبدلة بصفر). ^{[ 9 ]} ولبعض الأغراض، يمكن صياغة هذا التعريف باستخدام حاصل الضرب الموتري للوحدات على${\displaystyle \mathbb {Z} }$(أو ما يعادلها من الزمر الأبيلية )، بينما تستخدم جوانب أخرى من هذا الموضوع بنية فضاء متجهي على الثوابت، والتي يتم الحصول عليها من خلال النظر في العاملين${\displaystyle \mathbb {R} }$و${\displaystyle \mathbb {R} /(\mathbb {Q} \pi )}$لتكون فضاءات متجهة على${\displaystyle \mathbb {Q} }$وأخذ حاصل الضرب الموتري للفضاءات المتجهة على${\displaystyle \mathbb {Q} }$إن اختيار هذا الهيكل في التعريف لا يحدث فرقًا فيما إذا كان ثابتان من ثوابت ديهن، المعرفان بأي من الطريقتين، متساويين أم غير متساويين.

لأي شيء${\displaystyle e}$متعدد السطوح${\displaystyle P}$، يترك${\displaystyle \ell (e)}$ليكن طوله وليكن${\displaystyle \theta (e)}$تشير إلى الزاوية ثنائية السطوح للوجهين لـ${\displaystyle P}$يجتمعون في${\displaystyle e}$، مقاسة بالراديان وتعتبر مضاعفات نسبية معيارية لـ${\displaystyle \pi }$ثم يُعرَّف ثابت دين على النحو التالي: $${\displaystyle \operatorname {D} (P)=\sum _{e}\ell (e)\otimes \theta (e)}$$ حيث يتم حساب المجموع على جميع الحواف${\displaystyle e}$متعدد السطوح${\displaystyle P}$[ ^{9 ]} إنه تقييم .^​

في ضوء نظرية دين المذكورة أعلاه، قد يتساءل المرء: "ما هي المجسمات متعددة الأوجه المتطابقة وفقًا لنظرية المقص؟". في عام 1965، أثبت جان بيير سيدلر أن مجسمين متعددي الأوجه متطابقان وفقًا لنظرية المقص إذا وفقط إذا كان لهما نفس الحجم ونفس ثابت دين. ^{[ 10 ]} لاحقًا، وسّع بورغ جيسن نتائج سيدلر لتشمل أربعة أبعاد. ^{[ 11 ]} في عام 1990، قدّم دوبون وساه برهانًا أبسط لنتيجة سيدلر من خلال إعادة تفسيرها كنظرية حول تماثل بعض المجموعات الكلاسيكية . ^{[ 12 ]}

أظهر ديبرونر في عام 1980 أن ثابت دين لأي متعدد السطوح يمكن تبليط الفضاء ثلاثي الأبعاد به بشكل دوري يساوي صفرًا. ^{[ 13 ]}

طرح جيسن أيضًا سؤالًا حول ما إذا كانت نتائج جيسن المماثلة تنطبق على الهندسة الكروية والهندسة الزائدية . في هاتين الهندستين، تستمر طريقة دين في العمل، وتُظهر أنه عندما يكون مجسمان متعددا السطوح متطابقين وفقًا لقانون المقص، فإن ثوابتهما لدين تكون متساوية. ومع ذلك، يبقى السؤال مطروحًا حول ما إذا كانت أزواج المجسمات متعددة السطوح التي لها نفس الحجم ونفس ثابت دين، في هاتين الهندستين، متطابقة دائمًا وفقًا لقانون المقص. ^{[ 14 ]}

طُرحت المسألة الثالثة لهيلبرت بشكل مستقل من قِبل فلاديسلاف كريتكوفسكي لمسابقة رياضية أقامتها أكاديمية الفنون والعلوم في كراكوف عام 1882 ، وحلّها لودفيك أنطوني بيركنماير باستخدام طريقة مختلفة عن طريقة دين. لم ينشر بيركنماير النتيجة، وأُعيد اكتشاف المخطوطة الأصلية التي تحتوي على حله بعد سنوات. ^{[ 3 ]}

• رباعي الأوجه هيل
• أونوراتو نيكوليتي

• بينكو، د. (2007). "مقاربة جديدة لمسألة هيلبرت الثالثة". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 114 (8): 665-676 . doi : 10.1080/00029890.2007.11920458 . S2CID 7213930 . 
• شوارتز، ريتش (2010). "شرح نظرية دين-سيدلر" (PDF) .
• كوجي، شيجا؛ توشيكازو سونادا (2005). هدية رياضية، الثالث: التفاعل بين الطوبولوجيا والوظائف والهندسة والجبر . جمعية الرياضيات الأمريكية.

• برهان نظرية دين في موقع Everything2
• وايسشتاين، إريك دبليو. "ثابت دين" . عالم الرياضيات .
• دين إنفاريانت في إيفريثينج تو
• هازوينكل، م. (2001) [1994]، "ثابت دين" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS