مجموعة التبديل

في الرياضيات ، زمرة التبديلات هي زمرة G عناصرها تباديل مجموعة معينة M ، وعملية زمرتها هي تركيب التبديلات في G (والتي تُعتبر دوالًا تقابلية من المجموعة M إلى نفسها). زمرة جميع تباديل المجموعة M هي الزمرة المتناظرة لـ M ، والتي تُكتب غالبًا Sym( M ). ^{[ 1 ]} وبالتالي، فإن مصطلح زمرة التبديلات يعني زمرة جزئية من الزمرة المتناظرة . إذا كانت M = {1, 2, ..., n }، فإن Sym( M ) يُرمز لها عادةً بـ Sn _، ويمكن تسميتها الزمرة المتناظرة على n حرفًا .

بحسب نظرية كايلي ، فإن كل مجموعة متماثلة مع مجموعة تبديل ما.

تُسمى الطريقة التي تُبدّل بها عناصر زمرة التبديل عناصر المجموعة بفعل الزمرة . ولأفعال الزمر تطبيقات في دراسة التناظرات ، والتوافقية ، والعديد من فروع الرياضيات والفيزياء والكيمياء الأخرى .

مجموعة التبديلات هي مجموعة جزئية من مجموعة متناظرة ؛ أي أن عناصرها عبارة عن تبديلات لمجموعة معينة. وبالتالي، فهي مجموعة جزئية من مجموعة متناظرة مغلقة تحت تركيب التبديلات، وتحتوي على التبديل المحايد ، وتحتوي على التبديل العكسي لكل عنصر من عناصرها. ^{[ 2 ]} تنص خاصية عامة للمجموعات المنتهية على أن أي مجموعة جزئية منتهية غير فارغة من مجموعة متناظرة هي مجموعة تبديلات إذا وفقط إذا كانت مغلقة تحت تركيب التبديلات. ^{[ 3 ]}

درجة مجموعة تباديل لمجموعة منتهية هي عدد عناصر تلك المجموعة. رتبة المجموعة (من أي نوع) هي عدد عناصرها (عدد عناصرها الأصلي). وبحسب نظرية لاغرانج ، فإن رتبة أي مجموعة تباديل منتهية من الدرجة n تقسم n !، لأن مضروب n هو رتبة المجموعة المتناظرة Sⁿ _.

بما أن التباديل هي تقابلات لمجموعة، فيمكن تمثيلها باستخدام ترميز كوشي ذي السطرين . ^{[ 4 ]} يسرد هذا الترميز كل عنصر من عناصر المجموعة M في الصف الأول، ولكل عنصر، صورته تحت التبديل الذي يليه في الصف الثاني.${\displaystyle \sigma }$هو تبديل للمجموعة${\displaystyle M=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}}$ثم،

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&\cdots &x_{n}\\\sigma (x_{1})&\sigma (x_{2})&\sigma (x_{3})&\cdots &\sigma (x_{n})\end{pmatrix}}.}$

على سبيل المثال، يمكن كتابة تبديل معين للمجموعة {1، 2، 3، 4، 5} على النحو التالي:

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}};}$

هذا يعني أن σ تحقق الشروط التالية : σ (1) = 2، σ (2) = 5، σ (3) = 4، σ (4) = 3، و σ (5) = 1. لا يشترط أن تظهر عناصر المصفوفة M بترتيب معين في الصف الأول، لذا يمكن كتابة التبديل نفسه على النحو التالي:

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}3&2&5&1&4\\4&5&1&2&3\end{pmatrix}}.}$

غالبًا ما تُكتب التباديل أيضًا باستخدام ترميز الدورة ( الصيغة الدورية ) ^{[ 5 ]} ، بحيث إذا كانت لدينا المجموعة M = {1, 2, 3, 4}، فإن التبديل g للمجموعة M حيث g (1) = 2، g (2) = 4، g (4) = 1، و g (3) = 3 يُكتب على النحو التالي: (1, 2, 4)(3)، أو بشكل أكثر شيوعًا، (1, 2, 4) لأن 3 يبقى دون تغيير. إذا رُمز للعناصر بأحرف أو أرقام مفردة، فيمكن الاستغناء عن الفواصل والمسافات، ونحصل على ترميز مثل (124). التبديل المكتوب أعلاه في ترميز السطرين يُكتب في ترميز الدورة على النحو التالي:${\displaystyle \sigma =(125)(34).}$

يُعرَّف حاصل ضرب تبديلين بأنه تركيبهما كدالتين، لذلك${\displaystyle \sigma \cdot \pi }$هي الدالة التي تربط أي عنصر x من المجموعة بـ${\displaystyle \sigma (\pi (x))}$لاحظ أن التبديل الأيمن يُطبق على الوسيط أولاً، وذلك بسبب طريقة كتابة تركيب الدوال. ^{[ 6 ] [ 7 ]} يفضل بعض المؤلفين أن يعمل العامل الأيسر أولاً، ولكن لتحقيق ذلك، يجب كتابة التبديلات على يمين وسيطها ، غالبًا كرمز علوي ، لذا فإن التبديل${\displaystyle \sigma }$التأثير على العنصر${\displaystyle x}$النتائج في الصورة${\displaystyle x^{\sigma }}$وفقًا لهذا الاصطلاح، يُعطى الناتج بواسطة${\displaystyle x^{\sigma \cdot \pi }=(x^{\sigma })^{\pi }}$[ ^{8 ] [ 9 ] [ 10 ]} ومع ذلك، فإن هذا يُعطي قاعدة مختلفة لضرب التباديل. يُستخدم هذا الاصطلاح عادةً في أدبيات مجموعات التباديل ^، لكن هذه المقالة تستخدم الاصطلاح الذي يُطبّق فيه التبديل الأيمن أولاً.

بما أن تركيب دالتين تقابليتين يُنتج دائمًا دالة تقابلية أخرى، فإن حاصل ضرب تبديلين هو تبديل أيضًا. في صيغة السطرين، يُحسب حاصل ضرب تبديلين بإعادة ترتيب أعمدة التبديل الثاني (الأيسر) بحيث يكون صفه الأول مطابقًا للصف الثاني من التبديل الأول (الأيمن). ويمكن كتابة حاصل الضرب حينها على أنه الصف الأول من التبديل الأول فوق الصف الثاني من التبديل الثاني المُعدَّل. على سبيل المثال، إذا كانت لدينا التبديلات التالية:

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&1&3&5\end{pmatrix}}\quad {\text{ و }}\quad Q={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\5&4&3&2&1\end{pmatrix}},}$

المنتج QP هو:

${\displaystyle QP={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\5&4&3&2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&1&3&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&4&1&3&5\\4&2&5&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&1&3&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&2&5&3&1\end{pmatrix}}.}$

يُحسب تركيب التباديل، عند كتابتها بصيغة الدورة، بوضع التبديلين جنبًا إلى جنب (مع كتابة الثاني على اليسار)، ثم تبسيطها إلى صيغة دورة منفصلة إذا لزم الأمر. وبالتالي، يُعطى الناتج أعلاه بالصيغة التالية:

${\displaystyle Q\cdot P=(15)(24)\cdot (1243)=(1435).}$

بما أن تركيب الدوال عملية تجميعية ، فإن عملية الضرب على التباديل هي أيضاً عملية تجميعية:${\displaystyle (\sigma \cdot \pi )\cdot \rho =\sigma \cdot (\pi \cdot \rho )}$لذلك، عادةً ما تُكتب نواتج تباديل متعددة أو أكثر دون إضافة أقواس للتعبير عن التجميع؛ كما تُكتب عادةً دون نقطة أو أي علامة أخرى للدلالة على الضرب (أُضيفت النقاط في المثال السابق للتأكيد، لذا ستُكتب ببساطة على النحو التالي:${\displaystyle \sigma \pi \rho }$).

التبديل المحايد، الذي يربط كل عنصر من عناصر المجموعة بنفسه، هو العنصر المحايد لهذا المنتج. في تدوين السطرين، يكون التبديل المحايد هو

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&\cdots &n\\1&2&3&\cdots &n\end{pmatrix}}.}$

في تدوين الدورة، e = (1)(2)(3)...( n ) والذي يُشار إليه اصطلاحًا أيضًا بـ (1) فقط أو حتى (). ^{[ 11 ]}

بما أن للتقابلات معكوسات ، فإن للتباديل معكوسات أيضًا، والمعكوس σ⁻¹ لـ σ هو تبديل. تحديدًا، عندما يكون σ ( x ) = y ^، يكون σ⁻¹ ( y ) = x أيضًا. في تدوين السطرين ^، يمكن الحصول على المعكوس بتبديل السطرين (وترتيب الأعمدة إذا رغبنا في أن يكون السطر الأول بترتيب معين). على سبيل المثال

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}2&5&4&3&1\\1&2&3&4&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\5&1&4&3&2\end{pmatrix}}.}$

للحصول على معكوس دورة واحدة، نعكس ترتيب عناصرها. وهكذا،

${\displaystyle (125)^{-1}=(521)=(152).}$

للحصول على معكوس حاصل ضرب دورات، نعكس أولاً ترتيب الدورات، ثم نأخذ معكوس كل دورة كما سبق. وهكذا،

${\displaystyle [(125)(34)]^{-1}=(34)^{-1}(125)^{-1}=(43)(521)=(34)(152).}$

إن امتلاك مجموعة من جميع تباديل M لعامل تجميعي وعنصر محايد ومعكوسات لجميع عناصرها، يجعل مجموعة جميع تباديل M مجموعة ، Sym( M )؛ مجموعة تبديل.

لنفترض المجموعة التالية G ₁ من تباديل المجموعة M = {1, 2, 3, 4}:

• e = (1)(2)(3)(4) = (1)
  • هذه هي الهوية، التبديل التافه الذي يثبت كل عنصر.
• أ = (1 2)(3)(4) = (1 2)
  • هذا التبديل يبدل بين 1 و 2، ويثبت 3 و 4.
• ب = (1)(2)(3 4) = (3 4)
  • مثل المثال السابق، ولكن مع تبديل الرقمين 3 و 4، وإصلاح الأرقام الأخرى.
• ab = (1 2)(3 4)
  • هذا التبديل، وهو عبارة عن تركيب التبديلين السابقين، يبدل في نفس الوقت 1 مع 2، و3 مع 4.

تشكل G ₁ زمرة، لأن aa = bb = e و ba = ab و abab = e . هذه الزمرة التبديلية، كزمرة مجردة ، هي زمرة كلاين V ₄ .

كمثال آخر، لننظر إلى مجموعة تناظرات المربع . لنفترض أن رؤوس المربع مُرقمة من 1 إلى 4 (عكس اتجاه عقارب الساعة حول المربع بدءًا من 1 في الزاوية العلوية اليسرى). تُحدد التناظرات بصور الرؤوس، والتي بدورها يمكن وصفها بالتباديل. الدوران بزاوية 90° (عكس اتجاه عقارب الساعة) حول مركز المربع يُوصف بالتبديل (1234). الدوران بزاوية 180° و270° يُعطى بالتبديلين (13)(24) و(1432) على التوالي. الانعكاس حول الخط الأفقي المار بالمركز يُعطى بالتبديل (12)(34)، والانعكاس المقابل حول الخط الرأسي يُعطى بالتبديل (14)(23). الانعكاس حول الخط القطري 1،3 يُعطى بالتبديل (24)، والانعكاس حول الخط القطري 2،4 يُعطى بالتبديل (13). التناظر المتبقي الوحيد هو التناظر المحايد (1)(2)(3)(4). تُعرف مجموعة التبديل هذه، كمجموعة مجردة، باسم المجموعة ثنائية السطوح من الرتبة 8.

في المثال السابق لمجموعة التناظر للمربع، تصف التبديلات حركة رؤوس المربع الناتجة عن مجموعة التناظرات. ومن الشائع القول إن عناصر هذه المجموعة "تؤثر" على مجموعة رؤوس المربع. ويمكن توضيح هذه الفكرة بدقة من خلال تعريف تأثير المجموعة تعريفًا رسميًا . ^{[ 12 ]}

ليكن G زمرة و M مجموعة غير فارغة . تأثير G على M هو دالة f : G × M → M بحيث

• f (1, x ) = x ، لكل x في M (حيث 1 هو العنصر المحايد للمجموعة G )، و
• f ( g , f ( h , x )) = f ( gh , x ), لجميع g , h في G وجميع x في M .

يمكن التعبير عن هذا الزوج من الشروط أيضًا بالقول إن الفعل يُحدث تشاكلًا زمرًا من G إلى Sym ( M ). ^{[ 12 ]} يُطلق على أي تشاكل من هذا القبيل اسم تمثيل (تبديل) لـ G على M.

في أي زمرة تبديل، يُسمى الفعل الذي يُرسل ( g , x ) → g ( x ) الفعل الطبيعي لـ G على M. وهذا هو الفعل المفترض ما لم يُذكر خلاف ذلك. ^{[ 12 ]} في مثال زمرة التناظر للمربع، يُعد فعل الزمرة على مجموعة الرؤوس هو الفعل الطبيعي. مع ذلك، تُحدث هذه الزمرة أيضًا فعلًا على مجموعة المثلثات الأربعة في المربع، وهي: t1 = 234، _t2 = 134، _{t3 = 124} ، و t4 = _123. كما تؤثر على القطرين: d1 ₌ 13 و d2 = 24 _.

يُقال إن تأثير المجموعة G على المجموعة M متعدٍّ إذا كان لكل عنصرين s و t من M ، يوجد عنصر g في المجموعة بحيث يكون g ( s ) = t . وبصورة مكافئة، تُشكّل المجموعة M مدارًا واحدًا تحت تأثير G. ^{[ 13 ]} من الأمثلة المذكورة أعلاه ، فإن مجموعة التباديل {e, (1 2), (3 4), (1 2)(3 4)} للمجموعة {1, 2, 3, 4} ليست متعدية (لا يوجد عنصر في المجموعة يأخذ القيم من 1 إلى 3)، ولكن مجموعة تناظرات المربع متعدية على رؤوسه.

يمكن لأي زمرة G أن تؤثر على نفسها (باعتبار عناصر الزمرة هي المجموعة M ) بطرق عديدة. على وجه الخصوص، يوجد تأثير منتظم يُعطى بالضرب (من اليسار) في الزمرة. أي أن f ( g , x ) = gx لكل g و x في G. لكل g ثابت ، تكون الدالة f ( _g , x ) = gx تقابلًا على G ، وبالتالي فهي تبديل لمجموعة عناصر G. يمكن اعتبار كل عنصر من G تبديلًا بهذه الطريقة، ولذا فإن G متماثلة مع زمرة تبديلات؛ هذا هو مضمون نظرية كايلي .

على سبيل المثال، لنفترض المجموعة G1 التي تؤثر على المجموعة {1، 2، 3، 4} المذكورة أعلاه. ولنرمز لعناصر هذه المجموعة بالرموز e ، a ، b، و c = ab = ba . يُعطي تأثير G1 على نفسها _، كما هو موضح في نظرية كايلي، تمثيل التبديل التالي _:

f _e ↦ ( e )( a )( b )( c )

f _a ↦ ( ea )( bc )

f _b ↦ ( eb )( Ac )

f _c ↦ ( ec )( ab ).

إذا كانت G و H مجموعتين تبديليتين على المجموعتين X و Y مع تأثيرات f ₁ و f ₂ على التوالي، فإننا نقول إن G و H متماثلتان تبديليًا (أو متماثلتان كمجموعات تبديلية ) إذا وُجد تطبيق تقابلي λ  : X → Y وتماثل زمر ψ  : G → H بحيث

λ ( f ₁ ( g , x )) = f ₂ ( ψ ( g ), λ ( x )) لجميع g في G و x في X . ^{[ 14 ]}

إذا كان X = Y، فإن هذا يكافئ كون G و H مترافقتين كمجموعتين جزئيتين من Sym( X ). ^{[ 15 ]} الحالة الخاصة حيث G = H و ψ هي دالة التطابق تُنتج مفهوم التأثيرات المتكافئة للمجموعة. ^{[ 16 ]}

في مثال تناظرات المربع المذكور أعلاه، يكون التأثير الطبيعي على المجموعة {1، 2، 3، 4} مكافئًا للتأثير على المثلثات. ويُعطى التقابل λ بين المجموعات بالعلاقة i ↦ ti _. إن التأثير الطبيعي للمجموعة G1 المذكورة أعلاه وتأثيرها على نفسها (عن طريق الضرب من اليسار) غير متكافئين _، لأن التأثير الطبيعي له نقاط ثابتة بينما التأثير الثاني ليس له نقاط ثابتة.

عندما تؤثر مجموعة G على مجموعة S ، يمكن تعميم هذا التأثير بشكل طبيعي على حاصل الضرب الديكارتي Sₙ للمجموعة S ، والذي يتكون من n- صفوف من عناصر S : يُعطى تأثير العنصر g على الصف n- الصفوف ( s₁ _, ..., _sₙ ) بالصيغة التالية ^:

g ( s ₁ , ..., s _n ) = ( g ( s ₁ ), ..., g ( s _n )).

يُقال إن المجموعة G قليلة الشكل إذا كان للفعل على S ⁿ عدد محدود فقط من المدارات لكل عدد صحيح موجب n . ^{[ 17 ] [ 18 ]} (هذا تلقائي إذا كانت S محدودة، لذا فإن هذا المصطلح يكون ذا أهمية عادةً عندما تكون S غير محدودة.)

يستند الاهتمام بالمجموعات قليلة الشكل جزئيًا إلى تطبيقها على نظرية النموذج ، على سبيل المثال عند النظر في التشاكلات الذاتية في النظريات القابلة للعد . ^{[ 19 ]}

نشأت دراسة المجموعات في الأصل من فهم مجموعات التبديل. ^{[ 20 ]} وقد درس لاغرانج التبديلات نفسها بشكل مكثف عام 1770 في عمله على الحلول الجبرية للمعادلات متعددة الحدود. ازدهر هذا الموضوع، وبحلول منتصف القرن التاسع عشر، كانت هناك نظرية متطورة لمجموعات التبديل، قام كاميل جوردان بتدوينها في كتابه "Traité des Substitutions et des Équations Algébriques" عام 1870. واستند كتاب جوردان بدوره إلى الأوراق التي تركها إيفاريست غالوا عام 1832.

عندما قدّم كايلي مفهوم المجموعة المجردة ، لم يكن واضحًا على الفور ما إذا كانت هذه المجموعة أكبر من مجموعات التبديل المعروفة (التي كان تعريفها مختلفًا عن التعريف الحديث). ثمّ أثبت كايلي تكافؤ المفهومين في نظرية كايلي. ^{[ 21 ]}

ومن النصوص الكلاسيكية الأخرى التي تحتوي على عدة فصول حول مجموعات التبديل كتاب بيرنسايد " نظرية مجموعات ذات رتبة منتهية" الصادر عام 1911. ^{[ 22 ]} كان النصف الأول من القرن العشرين فترة ركود في دراسة نظرية المجموعات بشكل عام، ولكن الاهتمام بمجموعات التبديل قد انتعش في الخمسينيات من القرن العشرين على يد هـ. ويلاندت الذي أعيد طبع محاضراته الألمانية بعنوان " مجموعات التبديل المنتهية" في عام 1964. ^{[ 23 ]}

• 2- مجموعة متعدية
• مجموعة التبديل من الرتبة 3
• مجموعة ماثيو

• ارتين، مايكل (1991)، الجبر ، برنتيس هول، ISBN 0-13-004763-5
• كاميرون، بيتر ج. (1994)، التوافقية: مواضيع، تقنيات، خوارزميات ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 0-521-45761-0
• ديكسون، جون د.؛ مورتيمر، برايان (1996)، مجموعات التبديل ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات 163)، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 0-387-94599-7
• روتمان، جوزيف ج. (2006)، مدخل إلى الجبر المجرد مع تطبيقات (  الطبعة الثالثة)، بيرسون برنتيس هول، رقم ISBN 0-13-186267-7

• أكوس سيريس. خوارزميات مجموعة التبديل . سلسلة كامبريدج في الرياضيات، 152. مطبعة جامعة كامبريدج، كامبريدج، 2003.
• ميناكسي بهاتاشارجي، دوغالد ماكفيرسون، روغنفالدور جي. مولر، وبيتر إم. نيومان. ملاحظات حول مجموعات التبديل اللانهائية . العدد 1698 من سلسلة محاضرات في الرياضيات. سبرينغر-فيرلاغ، 1998.
• بيتر ج. كاميرون . مجموعات التبديل . نص الطالب LMS 45. مطبعة جامعة كامبريدج، كامبريدج، 1999.
• بيتر ج. كاميرون. مجموعات التبديل قليلة الشكل . مطبعة جامعة كامبريدج، كامبريدج، 1990.

• "مجموعة التبديل" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• ألكسندر هولبكي. مكتبة بيانات GAP "مجموعات التبديل المتعدية" مؤرشفة في 19 يناير 2021 على Wayback Machine .