عزم القصور الذاتي

رياضيًا، يُعرَّف عزم القصور الذاتي للبندول البسيط بأنه نسبة عزم الدوران الناتج عن الجاذبية حول محور ارتكاز البندول إلى تسارعه الزاوي حول نقطة الارتكاز تلك. وبالنسبة للبندول البسيط، يُحسب هذا العزم بضرب كتلة الجسم.${\displaystyle m}$بمربع المسافة${\displaystyle r}$إلى نقطة الارتكاز، أي $${\displaystyle I=mr^{2}.}$$

ويمكن توضيح ذلك على النحو التالي:

قوة الجاذبية المؤثرة على كتلة البندول البسيط تولد عزم دوران${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} }$حول المحور العمودي على مستوى حركة البندول. هنا${\displaystyle \mathbf {r} }$يمثل متجه المسافة من محور عزم الدوران إلى مركز كتلة البندول، و${\displaystyle \mathbf {F} }$هي القوة المحصلة المؤثرة على الكتلة. ويصاحب هذا العزم تسارع زاوي .${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$، للخيط والكتلة حول هذا المحور. بما أن الكتلة محصورة في دائرة، فإن التسارع المماسي للكتلة هو${\displaystyle \mathbf {a} ={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} }$. منذ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$تصبح معادلة عزم الدوران كالتالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times (m{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} )\\&=m\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right){\boldsymbol {\alpha }}-\left(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}\right)\mathbf {r} \right)\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}=I\alpha \mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$هو متجه وحدة عمودي على مستوى البندول. (تستخدم الخطوة قبل الأخيرة توسيع الضرب الثلاثي للمتجهات مع خاصية التعامد لـ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$و${\displaystyle \mathbf {r} }$الكمية${\displaystyle I=mr^{2}}$هو عزم القصور الذاتي لهذه الكتلة المفردة حول نقطة الارتكاز.

الكمية${\displaystyle I=mr^{2}}$يظهر أيضًا في الزخم الزاوي للبندول البسيط، والذي يتم حسابه من السرعة.${\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$كتلة البندول حول محور الدوران، حيث${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$هي السرعة الزاوية للكتلة حول نقطة الارتكاز. ويُعطى الزخم الزاوي هذا بالعلاقة التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times \left(m{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \right)\\&=m\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right){\boldsymbol {\omega }}-\left(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\mathbf {r} \right)\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\omega }}=I\omega \mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}}$$ باستخدام اشتقاق مشابه للمعادلة السابقة.

وبالمثل، تُحدد الطاقة الحركية لكتلة البندول من خلال سرعة البندول حول محور الدوران لإنتاج $${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\left(mr^{2}\right)\omega ^{2}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}.}$$

هذا يدل على أن الكمية${\displaystyle I=mr^{2}}$تُعرّف الكتلة، من خلال تفاعلها مع شكل الجسم، عزم القصور الذاتي الدوراني. وعزم القصور الذاتي لجسم ذي شكل عشوائي هو مجموع القيمتين.${\displaystyle mr^{2}}$لجميع عناصر الكتلة في الجسم.

البندول المركب هو جسم يتكون من مجموعة من الجسيمات ذات الشكل المتصل، ويدور بشكل صلب حول محور ارتكاز. عزم قصوره الذاتي هو مجموع عزوم القصور الذاتي لكل جسيم من الجسيمات التي يتكون منها . ^{[ 15 ] [ 16 ] : 395-396 [ 17 ] : 51-53} التردد الطبيعي (${\displaystyle \omega _{\text{n}}}$يعتمد عزم القصور الذاتي للبندول المركب على عزم قصوره الذاتي.${\displaystyle I_{P}}$، $${\displaystyle \omega _{\text{n}}={\sqrt {\frac {mgr}{I_{P}}}},}$$ أين${\displaystyle m}$كتلة الجسم،${\displaystyle g}$هو التسارع الموضعي للجاذبية، و${\displaystyle r}$هي المسافة من نقطة الارتكاز إلى مركز كتلة الجسم. يوفر قياس تردد هذا التذبذب خلال الإزاحات الزاوية الصغيرة طريقة فعالة لقياس عزم القصور الذاتي للجسم. ^{[ 18 ] : 516-517}

وبالتالي، لتحديد عزم القصور الذاتي للجسم، ما عليك سوى تعليقه من نقطة ارتكاز مناسبة.${\displaystyle P}$بحيث يتأرجح بحرية في مستوى عمودي على اتجاه عزم القصور الذاتي المطلوب، ثم قم بقياس تردده الطبيعي أو فترة تذبذبه (${\displaystyle t}$) للحصول على $${\displaystyle I_{P}={\frac {mgr}{\omega _{\text{n}}^{2}}}={\frac {mgrt^{2}}{4\pi ^{2}}},}$$ أين${\displaystyle t}$هي فترة (مدة) التذبذب (عادة ما يتم حساب متوسطها على مدى فترات متعددة).

يتم حساب عزم القصور الذاتي حول محور الجسم عن طريق جمع${\displaystyle mr^{2}}$لكل جسيم في الجسم، حيث${\displaystyle r}$هي المسافة العمودية على المحور المحدد. لفهم كيفية نشوء عزم القصور الذاتي في دراسة حركة جسم ممتد، من المفيد النظر إلى مجموعة صلبة من الكتل النقطية. (يمكن استخدام هذه المعادلة للمحاور غير الرئيسية، مع العلم أن هذا لا يصف عزم القصور الذاتي وصفًا كاملًا. ^{[ 22 ]} )

لنفترض الطاقة الحركية لمجموعة من${\displaystyle N}$الجماهير${\displaystyle m_{i}}$التي تقع على مسافات${\displaystyle r_{i}}$من نقطة الارتكاز${\displaystyle P}$وهي أقرب نقطة على محور الدوران. وهي مجموع الطاقة الحركية للكتل الفردية، ^{[ 18 ] : 516-517 [ 23 ] : 1084-1085 [ 23 ] : 1296-1300}$${\displaystyle E_{\text{K}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}\left(\omega r_{i}\right)^{2}={\frac {1}{2}}\,\omega ^{2}\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.}$$

وهذا يدل على أن عزم القصور الذاتي للجسم هو مجموع كل من${\displaystyle mr^{2}}$الشروط، أي $${\displaystyle I_{P}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.}$$

لذا، فإن عزم القصور الذاتي خاصية فيزيائية تجمع بين كتلة الجسيمات وتوزيعها حول محور الدوران. لاحظ أن الدوران حول محاور مختلفة لنفس الجسم ينتج عنه عزوم قصور ذاتي مختلفة.

يُحسب عزم القصور الذاتي لجسم متصل يدور حول محور محدد بنفس الطريقة، باستثناء وجود عدد لا نهائي من الجسيمات النقطية. وبذلك تُزال حدود الجمع، ويُكتب المجموع على النحو التالي: $${\displaystyle I_{P}=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}}$$

يستبدل تعبير آخر عملية الجمع بالتكامل ، $${\displaystyle I_{P}=\iiint _{Q}\rho (x,y,z)\left\|\mathbf {r} \right\|^{2}dV}$$

هنا، الوظيفة${\displaystyle \rho }$يعطي كثافة الكتلة عند كل نقطة${\displaystyle (x,y,z)}$،${\displaystyle \mathbf {r} }$هو متجه عمودي على محور الدوران ويمتد من نقطة على محور الدوران إلى نقطة${\displaystyle (x,y,z)}$في المادة الصلبة، ويتم حساب التكامل على الحجم${\displaystyle V}$من الجسم${\displaystyle Q}$. إن عزم القصور الذاتي لسطح مستوٍ يكون مشابهاً مع استبدال كثافة الكتلة بكثافة الكتلة السطحية مع حساب التكامل على مساحتها.

ملاحظة حول عزم المساحة الثاني : غالبًا ما يُخلط بين عزم القصور الذاتي لجسم يتحرك في مستوى وعزم المساحة الثاني لمقطع عرضي لشعاع. عزم القصور الذاتي لجسم ذي شكل المقطع العرضي هو عزم المساحة الثاني لهذا المقطع حول محوره.${\displaystyle z}$المحور العمودي على المقطع العرضي، مُرجّحًا بكثافته. يُسمى هذا أيضًا العزم القطبي للمساحة ، وهو مجموع العزوم الثانية حول${\displaystyle x}$- و${\displaystyle y}$المحاور. ^{[ 24 ]} تُحسب الإجهادات في العارضة باستخدام العزم الثاني لمساحة المقطع العرضي حول إما${\displaystyle x}$المحور السالب أو${\displaystyle y}$المحور - اعتمادًا على الحمل.

أمثلة

يبدأ حساب عزم القصور الذاتي للبندول المركب المصنوع من قرص رقيق مثبت في نهاية قضيب رقيق يتأرجح حول محور في الطرف الآخر من القضيب، بحساب عزم القصور الذاتي للقضيب الرقيق والقرص الرقيق حول مركزي كتلتيهما. ^{[ 23 ]}

• عزم القصور الذاتي لقضيب رفيع ذي مقطع عرضي ثابت${\displaystyle s}$الكثافة${\displaystyle \rho }$وبطول${\displaystyle \ell }$يتم تحديد الدوران حول محور عمودي يمر بمركز كتلته عن طريق التكامل. ^{[ 23 ] : 1301} محاذاة${\displaystyle x}$قم بتحديد المحور السيني مع القضيب وحدد نقطة الأصل عند مركز كتلته في مركز القضيب، ثم$${\displaystyle I_{C,{\text{rod}}}=\iiint _{Q}\rho \,x^{2}\,dV=\int _{-{\frac {\ell }{2}}}^{\frac {\ell }{2}}\rho \,x^{2}s\,dx=\left.\rho s{\frac {x^{3}}{3}}\right|_{-{\frac {\ell }{2}}}^{\frac {\ell }{2}}={\frac {\rho s}{3}}\left({\frac {\ell ^{3}}{8}}+{\frac {\ell ^{3}}{8}}\right)={\frac {m\ell ^{2}}{12}},}$$أين${\displaystyle m=\rho s\ell }$كتلة القضيب.
• عزم القصور الذاتي لقرص رقيق ذي سمك ثابت${\displaystyle s}$، نصف القطر${\displaystyle R}$والكثافة${\displaystyle \rho }$يتم تحديد الإزاحة حول محور يمر بمركزها وعمودي على وجهها (موازٍ لمحور تناظرها الدوراني ) عن طريق التكامل. ^{[ 23 ] : 1301} محاذاة${\displaystyle z}$المحور - مع محور القرص، وتعريف عنصر حجم على النحو التالي:${\displaystyle dV=sr\,dr\,d\theta }$، ثم$${\displaystyle I_{C,{\text{disc}}}=\iiint _{Q}\rho \,r^{2}\,dV=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{R}\rho r^{2}sr\,dr\,d\theta =\pi \rho s{\frac {R^{4}}{2}}={\frac {1}{2}}mR^{2},}$$أين${\displaystyle m=\pi R^{2}\rho s}$كتلتها.
• يتم الآن الحصول على عزم القصور الذاتي للبندول المركب عن طريق جمع عزم القصور الذاتي للقضيب والقرص حول نقطة الارتكاز${\displaystyle P}$مثل،$${\displaystyle I_{P}=I_{C,{\text{rod}}}+M_{\text{rod}}\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}+I_{C,{\text{disc}}}+M_{\text{disc}}(L+R)^{2},}$$أين${\displaystyle L}$يمثل طول البندول. لاحظ أن نظرية المحاور المتوازية تُستخدم لنقل عزم القصور الذاتي من مركز الكتلة إلى نقطة ارتكاز البندول.

تُتيح قائمةٌ بصيغ عزم القصور الذاتي لأشكال الأجسام القياسية طريقةً لحساب عزم القصور الذاتي لجسمٍ مُعقّدٍ باعتباره مجموعةً من أجسامٍ ذات أشكالٍ أبسط. وتُستخدم نظرية المحاور المتوازية لنقل نقطة مرجعية الأجسام الفردية إلى نقطة مرجعية المجموعة.

كمثال آخر، لننظر إلى عزم القصور الذاتي لكرة صلبة ذات كثافة ثابتة حول محور يمر بمركز كتلتها. يُحدد هذا العزم بجمع عزوم القصور الذاتي للأقراص الرقيقة التي يمكن أن تُشكل الكرة، والتي تقع مراكزها على طول المحور المُختار للدراسة. إذا كان سطح الكرة مُعرّفًا بالمعادلة ^{[ 23 ] : 1301}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},}$$

ثم مربع نصف القطر${\displaystyle r}$من القرص عند المقطع العرضي${\displaystyle z}$على طول${\displaystyle z}$المحور - هو $${\displaystyle r(z)^{2}=x^{2}+y^{2}=R^{2}-z^{2}.}$$

لذلك، فإن عزم القصور الذاتي للكرة هو مجموع عزوم القصور الذاتي للأقراص على طول${\displaystyle z}$-محور، $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{C,{\text{sphere}}}&=\int _{-R}^{R}{\tfrac {1}{2}}\pi \rho r(z)^{4}\,dz=\int _{-R}^{R}{\tfrac {1}{2}}\pi \rho \left(R^{2}-z^{2}\right)^{2}\,dz\\[1ex]&={\tfrac {1}{2}}\pi \rho \left[R^{4}z-{\tfrac {2}{3}}R^{2}z^{3}+{\tfrac {1}{5}}z^{5}\right]_{-R}^{R}\\[1ex]&=\pi \rho \left(1-{\tfrac {2}{3}}+{\tfrac {1}{5}}\right)R^{5}\\[1ex]&={\tfrac {2}{5}}mR^{2},\end{aligned}}}$$ أين${\textstyle m={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho }$هي كتلة الكرة.

إذا كان النظام الميكانيكي مقيدًا بالحركة بالتوازي مع مستوى ثابت، فإن دوران الجسم في النظام يحدث حول محور.${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$عموديًا على هذا المستوى. في هذه الحالة، يكون عزم القصور الذاتي للكتلة في هذا النظام كمية قياسية تُعرف باسم عزم القصور الذاتي القطبي . يمكن الحصول على تعريف عزم القصور الذاتي القطبي من خلال دراسة الزخم والطاقة الحركية وقوانين نيوتن للحركة المستوية لنظام صلب من الجسيمات. ^{[ 15 ] [ 18 ] [ 25 ] [ 26 ]}

إذا كان نظام${\displaystyle n}$الجسيمات،${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$إذا تم تجميعها في جسم صلب، فيمكن كتابة زخم النظام بدلالة المواضع بالنسبة إلى نقطة مرجعية.${\displaystyle \mathbf {R} }$والسرعات المطلقة${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \mathbf {r} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ,\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\mathbf {V} ={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} ,\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$هي السرعة الزاوية للنظام و${\displaystyle \mathbf {V} }$هي سرعة${\displaystyle \mathbf {R} }$.

في الحركة المستوية، يكون متجه السرعة الزاوية موجهاً على طول متجه الوحدة${\displaystyle \mathbf {k} }$وهو عمودي على مستوى الحركة. أدخل متجهات الوحدة${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$من نقطة مرجعية${\displaystyle \mathbf {R} }$إلى حد ما${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$، ومتجه الوحدة${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}}$، لذا $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {e}} _{i}&={\frac {\Delta \mathbf {r} _{i}}{\Delta r_{i}}},\quad \mathbf {\hat {k}} ={\frac {\boldsymbol {\omega }}{\omega }},\quad \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i},\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} =\omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {V} =\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \end{aligned}}}$$

يحدد هذا متجه الموضع النسبي ومتجه السرعة للنظام الصلب للجسيمات المتحركة في مستوى.

ملاحظة حول الضرب الاتجاهي : عندما يتحرك جسم موازياً لمستوى أرضي، تقع مسارات جميع نقاط الجسم في مستويات موازية لهذا المستوى. هذا يعني أن أي دوران يخضع له الجسم يجب أن يكون حول محور عمودي على هذا المستوى. غالباً ما تُعرض الحركة المستوية على أنها إسقاط على هذا المستوى الأرضي بحيث يظهر محور الدوران كنقطة. في هذه الحالة، تكون السرعة الزاوية والتسارع الزاوي للجسم كميات قياسية، ويتم تجاهل كونهما متجهين على طول محور الدوران. يُفضل هذا الأسلوب عادةً في مقدمات الموضوع. ولكن في حالة عزم القصور الذاتي، يستفيد الجمع بين الكتلة والهندسة من الخصائص الهندسية للضرب الاتجاهي. لهذا السبب، في هذا القسم الخاص بالحركة المستوية، تكون السرعة الزاوية والتسارع الزاوي للجسم متجهين عموديين على المستوى الأرضي، وتكون عمليات الضرب الاتجاهي هي نفسها المستخدمة لدراسة حركة الأجسام الصلبة في الفضاء.

الطاقة الحركية

تُعطى الطاقة الحركية لنظام صلب من الجسيمات المتحركة في المستوى بواسطة ^{[ 15 ] [ 18 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i},\\&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right)\cdot \left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right),\\&={\frac {1}{2}}\omega ^{2}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\mathbf {\hat {t}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {t}} _{i}\right)+\omega \mathbf {V} \cdot \left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .\end{aligned}}}$$

لنفترض أن نقطة المرجع هي مركز الكتلة${\displaystyle \mathbf {C} }$من النظام بحيث يصبح الحد الثاني صفرًا، وإدخال عزم القصور الذاتي${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$إذن، تُعطى الطاقة الحركية بالمعادلة ^{[ 23 ] : 1084}$${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}I_{\mathbf {C} }\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .}$$

عزم القصور الذاتي${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$هو عزم القصور الذاتي القطبي للجسم.

قوانين نيوتن

قوانين نيوتن لنظام صلب من${\displaystyle n}$الجسيمات،${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$يمكن كتابة ذلك بدلالة القوة المحصلة وعزم الدوران عند نقطة مرجعية${\displaystyle \mathbf {R} }$، لتحقيق ^{[ 15 ] [ 18 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {A} _{i},\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}\Delta \mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {A} _{i},\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$يشير إلى مسار كل جسيم.

تُعطي حركية الجسم الصلب صيغة تسارع الجسيم${\displaystyle P_{i}}$فيما يتعلق بالوظيفة${\displaystyle \mathbf {R} }$والتسارع${\displaystyle \mathbf {A} }$للجسيم المرجعي بالإضافة إلى متجه السرعة الزاوية${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ومتجه التسارع الزاوي${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$من النظام الصلب للجسيمات، $${\displaystyle \mathbf {A} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {A} .}$$

بالنسبة للأنظمة المقيدة بالحركة المستوية، يتم توجيه متجهات السرعة الزاوية والتسارع الزاوي على طول${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$عموديًا على مستوى الحركة، مما يبسط معادلة التسارع هذه. في هذه الحالة، يمكن تبسيط متجهات التسارع بإدخال متجهات الوحدة.${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}}$من نقطة مرجعية${\displaystyle \mathbf {R} }$إلى حد ما${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ومتجهات الوحدة${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}}$، لذا $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} _{i}&=\alpha \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}-\omega \mathbf {\hat {k}} \times \omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} \\&=\alpha \Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}-\omega ^{2}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} .\end{aligned}}}$$

ينتج عن ذلك عزم الدوران الناتج على النظام كما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \left(\alpha \Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}-\omega ^{2}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} \right)\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\right)\alpha \mathbf {\hat {k}} +\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\right)\times \mathbf {A} ,\end{aligned}}}$$

أين${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {e}} _{i}=\mathbf {0} }$، و${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} }$يمثل متجه الوحدة العمودي على المستوى لجميع الجسيمات${\displaystyle P_{i}}$.

استخدم مركز الكتلة${\displaystyle \mathbf {C} }$كنقطة مرجعية، وحدد عزم القصور الذاتي بالنسبة لمركز الكتلة${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$ثم تُبسط معادلة عزم الدوران الناتج إلى ^{[ 23 ] : 1029}$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=I_{\mathbf {C} }\alpha \mathbf {\hat {k}} .}$$

لاحظ أن الضرب الاتجاهي يمكن كتابته بشكل مكافئ كضرب مصفوفات عن طريق دمج المعامل الأول والمؤثر في مصفوفة متناظرة معكوسة،${\displaystyle \left[\mathbf {b} \right]}$، مبنية من مكونات${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{x},b_{y},b_{z})}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} \times \mathbf {y} &\equiv \left[\mathbf {b} \right]\mathbf {y} \\\left[\mathbf {b} \right]&\equiv {\begin{bmatrix}0&-b_{z}&b_{y}\\b_{z}&0&-b_{x}\\-b_{y}&b_{x}&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

يتم إنشاء مصفوفة القصور الذاتي من خلال مراعاة الزخم الزاوي، مع نقطة مرجعية.${\displaystyle \mathbf {R} }$من الجسم الذي تم اختياره ليكون مركز الكتلة${\displaystyle \mathbf {C} }$: ^{[ 5 ] [ 8 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {R} }\right)\\&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left(\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {V} _{\mathbf {R} }\right),\end{aligned}}}$$ حيث تحتوي المصطلحات على${\displaystyle \mathbf {V_{R}} }$(${\displaystyle =\mathbf {C} }$) مجموعها يساوي صفرًا بحسب تعريف مركز الكتلة .

ثم، المصفوفة المتناظرة المائلة${\displaystyle [\Delta \mathbf {r} _{i}]}$تم الحصول عليها من متجه الموضع النسبي${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} }$، يمكن استخدامها لتعريف، $${\displaystyle \mathbf {L} =\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }},}$$ أين${\displaystyle \mathbf {I_{C}} }$محدد بواسطة $${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2},}$$ هي مصفوفة القصور الذاتي المتناظرة للنظام الصلب من الجسيمات، مقاسة بالنسبة إلى مركز الكتلة${\displaystyle \mathbf {C} }$.

يمكن صياغة الطاقة الحركية لنظام صلب من الجسيمات بدلالة مركز الكتلة ومصفوفة عزم القصور الذاتي للنظام. لنفترض أن النظام هو:${\displaystyle n}$الجسيمات${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$يقع عند الإحداثيات${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$بسرعات${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$إذن، الطاقة الحركية هي ^{[ 5 ] [ 8 ]}$${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right),}$$ أين${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} }$يمثل متجه موضع الجسيم بالنسبة إلى مركز الكتلة.

تتوسع هذه المعادلة لتنتج ثلاثة حدود $${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right).}$$

بما أن مركز الكتلة يُحدد بواسطة ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}=0}$ ، الحد الثاني في هذه المعادلة يساوي صفرًا. أدخل المصفوفة المتناظرة المائلة${\displaystyle [\Delta \mathbf {r} _{i}]}$فتصبح الطاقة الحركية $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\cdot \left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }.\end{aligned}}}$$

وبالتالي، تُعطى الطاقة الحركية للنظام الصلب من الجسيمات بالعلاقة التالية $${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} _{\mathbf {C} }^{2}.}$$ أين${\displaystyle \mathbf {I_{C}} }$هي مصفوفة القصور الذاتي بالنسبة لمركز الكتلة و${\displaystyle M}$هي الكتلة الكلية.

تظهر مصفوفة القصور الذاتي عند تطبيق قانون نيوتن الثاني على مجموعة صلبة من الجسيمات. عزم الدوران الناتج على هذا النظام هو ^{[ 5 ] [ 8 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {r_{i}} -\mathbf {R} \right)\times m_{i}\mathbf {a} _{i},}$$ أين${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$هو تسارع الجسيم${\displaystyle P_{i}}$تُعطي حركية الجسم الصلب صيغة تسارع الجسيم${\displaystyle P_{i}}$فيما يتعلق بالوظيفة${\displaystyle \mathbf {R} }$والتسارع${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {R} }}$نقطة المرجع، بالإضافة إلى متجه السرعة الزاوية${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ومتجه التسارع الزاوي${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$من النظام الصلب كما يلي: $${\displaystyle \mathbf {a} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+{\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)+\mathbf {A} _{\mathbf {R} }.}$$

استخدم مركز الكتلة${\displaystyle \mathbf {C} }$كنقطة مرجعية، وإدخال المصفوفة المتناظرة المائلة${\displaystyle \left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]=\left[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} \right]}$لتمثيل الضرب الاتجاهي${\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} )\times }$للحصول على $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}}$$

تستخدم العملية الحسابية الهوية $${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)=0,}$$ تم الحصول عليها من متطابقة جاكوبي للضرب الثلاثي كما هو موضح في البرهان أدناه: