مقياس بيانو-جوردان

في الرياضيات ، يعتبر مقياس بيانو-جوردان (المعروف أيضًا باسم محتوى جوردان ) امتدادًا لمفهوم الحجم ( الطول ، المساحة ، الحجم ) إلى أشكال أكثر تعقيدًا من، على سبيل المثال، المثلث أو القرص أو متوازي المستطيلات .

اتضح أنه لكي تمتلك مجموعة ما قياس جوردان، يجب أن تكون ذات سلوك جيد بمعنى تقييدي معين. لهذا السبب، أصبح من الشائع الآن استخدام قياس لوبيغ ، وهو امتداد لقياس جوردان ليشمل فئة أكبر من المجموعات. تاريخيًا، ظهر قياس جوردان أولًا، في أواخر القرن التاسع عشر. ولأسباب تاريخية، أصبح مصطلح قياس جوردان شائعًا الآن لهذه الدالة ، على الرغم من أنه ليس قياسًا حقيقيًا بتعريفه الحديث، لأن المجموعات القابلة لقياس جوردان لا تُشكل جبر سيجما . على سبيل المثال، مجموعات العناصر المفردة${\displaystyle \{x\}_{x\in \mathbb {R} }}$في${\displaystyle \mathbb {R} }$لكل منهما مقياس جوردان يساوي صفرًا، بينما${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}$إنّ اتحادها القابل للعد ليس قابلاً للقياس وفقًا لمعيار الأردن. ^{[ 1 ]} ولهذا السبب، يفضل بعض المؤلفين ^{[ 2 ]} استخدام مصطلح " محتوى الأردن" .

سُميت مقياس بيانو-جوردان نسبة إلى مبتكريه، وهما عالم الرياضيات الفرنسي كاميل جوردان ، وعالم الرياضيات الإيطالي جوزيبي بيانو . ^{[ 3 ]}

لنأخذ الفضاء الإقليدي كمثال${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$يُعرَّف مقياس جوردان أولاً على حاصل الضرب الديكارتي لفترات نصف مفتوحة محدودة$${\displaystyle C=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})}$$ مغلقة من اليسار ومفتوحة من اليمين مع جميع نقاط النهاية${\displaystyle a_{i}}$و${\displaystyle b_{i}}$الأعداد الحقيقية المنتهية (الفترات نصف المفتوحة هي اختيار تقني؛ كما سنرى لاحقًا، يمكن استخدام فترات مغلقة أو مفتوحة إذا رغبنا في ذلك). ستُسمى هذه المجموعة بـ${\displaystyle n}$مستطيل ذو أبعاد n ، أو ببساطة مستطيل . يُعرَّف مقياس جوردان لمثل هذا المستطيل بأنه حاصل ضرب أطوال الفترات: $${\displaystyle m(C)=(b_{1}-a_{1})(b_{2}-a_{2})\cdots (b_{n}-a_{n}).}$$

بعد ذلك، يتم النظر في المجموعات البسيطة ، والتي تسمى أحيانًا بالمستطيلات المتعددة ، وهي عبارة عن اتحادات محدودة من المستطيلات. $${\displaystyle S=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{k}}$$ لأي${\displaystyle k\geq 1.}$

لا يمكن تعريف مقياس جوردان لـ${\displaystyle S}$باعتبارها ببساطة مجموع قياسات المستطيلات الفردية، لأن مثل هذا التمثيل لـ${\displaystyle S}$وهي ليست فريدة من نوعها على الإطلاق، وقد يكون هناك تداخل كبير بين المستطيلات.

لحسن الحظ، أي مجموعة بسيطة من هذا القبيل${\displaystyle S}$يمكن إعادة كتابتها كاتحاد لعائلة أخرى محدودة من المستطيلات، وهي مستطيلات منفصلة هذه المرة ، ثم يتم تعريف مقياس جوردان${\displaystyle m(S)}$كمجموع قياسات المستطيلات المنفصلة.

يمكن إثبات أن هذا التعريف لمقياس جوردان لـ${\displaystyle S}$مستقل عن تمثيل${\displaystyle S}$باعتبارها اتحادًا محدودًا لمستطيلات منفصلة. وفي خطوة "إعادة الكتابة" يتم استخدام افتراض أن المستطيلات تتكون من فترات نصف مفتوحة.

لاحظ أن المجموعة التي هي عبارة عن حاصل ضرب فترات مغلقة، $${\displaystyle [a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]}$$ ليست مجموعة بسيطة، وكذلك الكرة . لذا، لا تزال مجموعة المجموعات القابلة للقياس وفقًا لجوردان محدودة للغاية. وتتمثل الخطوة الأساسية في تعريف مجموعة محدودة بأنها قابلة للقياس وفقًا لجوردان إذا كانت "مُقَرَّبة جيدًا" بمجموعات بسيطة، تمامًا كما تكون الدالة قابلة للتكامل وفقًا لريمان إذا كانت مُقَرَّبة جيدًا بدوال ثابتة جزئيًا.

بصورة رسمية، بالنسبة لمجموعة محدودة${\displaystyle B,}$حددهاقياسات الأردن الداخلية$${\displaystyle m_{*}(B)=\sup _{S\subseteq B}m(S)}$$ وقياسات الأردن الخارجي$${\displaystyle m^{*}(B)=\inf _{S\supseteq B}m(S)}$$ حيث يتم أخذ الحد الأدنى والحد الأعلى على مجموعات بسيطة${\displaystyle S.}$المجموعة${\displaystyle B}$يقال إنهمجموعة قياس الأردن إذا كان القياس الداخلي لـ${\displaystyle B}$يساوي المقياس الخارجي. وتُسمى القيمة المشتركة للمقياسين ببساطة مقياس جوردان.${\displaystyle B}$. المقياس جوردان هودالة المجموعةالتي ترسل المجموعات القابلة للقياس وفقًا لمقياس جوردان إلى مقياس جوردان الخاص بها.

اتضح أن جميع المستطيلات (المفتوحة والمغلقة)، وكذلك جميع الكرات والمجسمات البسيطة ، وما إلى ذلك، قابلة للقياس وفقًا لمقياس جوردان. كذلك، إذا نظرنا إلى دالتين متصلتين ، فإن مجموعة النقاط الواقعة بين منحنيات هاتين الدالتين قابلة للقياس وفقًا لمقياس جوردان طالما أن هذه المجموعة محدودة وأن المجال المشترك للدالتين قابل للقياس وفقًا لمقياس جوردان. أي اتحاد وتقاطع منتهيين لمجموعات قابلة للقياس وفقًا لمقياس جوردان قابل للقياس وفقًا لمقياس جوردان، وكذلك الفرق بين أي مجموعتين قابلتين للقياس وفقًا لمقياس جوردان. المجموعة المتراصة ليست بالضرورة قابلة للقياس وفقًا لمقياس جوردان. على سبيل المثال، مجموعة ε-Cantor ليست كذلك. قياس جوردان الداخلي لها يساوي صفرًا، لأن مكملتها كثيفة ؛ ومع ذلك، فإن قياس جوردان الخارجي لها لا يساوي صفرًا، لأنه لا يمكن أن يكون أقل من (في الواقع، يساوي) قياس ليبيغ الخاص بها. كذلك، المجموعة المفتوحة المحدودة ليست بالضرورة قابلة للقياس وفقًا لمقياس جوردان. على سبيل المثال، مكمل مجموعة Cantor السمينة (ضمن الفترة) ليست كذلك. تكون المجموعة المحدودة قابلة للقياس وفقًا لجوردان إذا وفقط إذا كانت دالة المؤشر الخاصة بها قابلة للتكامل وفقًا لريمان ، وقيمة التكامل هي قياس جوردان الخاص بها.

بصورة مكافئة، بالنسبة لمجموعة محدودة${\displaystyle B}$مقياس الأردن الداخلي${\displaystyle B}$هو مقياس ليبيغ للداخل الطوبولوجي لـ${\displaystyle B}$والمقياس الخارجي لجوردان هو مقياس ليبيغ للإغلاق . [ ^{4 ] ومن} هذا يترتب أن المجموعة المحدودة قابلة للقياس وفقًا لمقياس جوردان إذا وفقط إذا كان مقياس ليبيغ لحدودها الطوبولوجية يساوي صفرًا. (أو بصورة مكافئة، إذا كان مقياس جوردان للحدود يساوي صفرًا؛ ويتحقق هذا التكافؤ نظرًا لتراص الحدود).

تُقيّد هذه الخاصية الأخيرة بشكل كبير أنواع المجموعات القابلة للقياس وفقًا لمقياس جوردان. على سبيل المثال، لا تُعتبر مجموعة الأعداد النسبية الموجودة في الفترة [0,1] قابلة للقياس وفقًا لمقياس جوردان، لأن حدودها هي [0,1] التي لا تساوي صفرًا في مقياس جوردان. مع ذلك، وبشكل بديهي، تُعتبر مجموعة الأعداد النسبية مجموعة "صغيرة"، لأنها قابلة للعد ، وينبغي أن يكون "حجمها" صفرًا. هذا صحيح بالفعل، ولكن فقط إذا استبدلنا مقياس جوردان بمقياس ليبيغ . مقياس ليبيغ لمجموعة ما هو نفسه مقياس جوردان الخاص بها طالما أن تلك المجموعة لها مقياس جوردان. مع ذلك، يُعرَّف مقياس ليبيغ لفئة أوسع بكثير من المجموعات، مثل مجموعة الأعداد النسبية في الفترة المذكورة سابقًا، وكذلك للمجموعات التي قد تكون غير محدودة أو كسورية . أيضًا، فإن مقياس ليبيغ، على عكس مقياس جوردان، هو مقياس حقيقي ، أي أن أي اتحاد قابل للعد لمجموعات قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ يكون قابلاً للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ، في حين أن الاتحادات القابلة للعد لمجموعات قابلة للقياس وفقًا لمقياس جوردان لا يلزم أن تكون قابلة للقياس وفقًا لمقياس جوردان.

• إيمانويل دي بينيديتو (2002). التحليل الحقيقي . بازل، سويسرا: بيركهاوزر. ISBN 0-8176-4231-5.
• ريتشارد كوران؛ فريتز جون (1999). مقدمة في حساب التفاضل والتكامل والتحليل، المجلد الثاني/1: الفصول 1-4 (سلسلة كلاسيكيات في الرياضيات) . برلين: سبرينغر. ISBN 3-540-66569-2.

• ديرونت، جون. "مقياس الأردن" . عالم الرياضيات .
• تيريخين، أ.ب. (2001) [1994]، "مقياس الأردن" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS