مثال ليفي

في الدراسة الرياضية للمعادلات التفاضلية الجزئية ، يُعد مثال ليفي ، الذي يعود الفضل فيه إلى هانز ليفي ، مثالاً شهيراً لمعادلة تفاضلية جزئية خطية ليس لها حلول. ويُبين هذا المثال أن نظير نظرية كوشي-كوفاليفسكايا لا ينطبق على الفئة الملساء.

المثال الأصلي ليس صريحًا، لأنه يستخدم نظرية هان-باناخ ، ولكن منذ ذلك الحين تم العثور على العديد من الأمثلة الصريحة من نفس النوع بواسطة هوارد جاكوبويتز . ^{[ 1 ]}

تنص نظرية مالغرانج -إهرنبريس (تقريبًا) على أن المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية ذات المعاملات الثابتة لها دائمًا حل واحد على الأقل؛ يوضح مثال ليفي أن هذه النتيجة لا يمكن تعميمها على المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية ذات المعاملات متعددة الحدود .

البيان كالتالي

على${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {C} }$يوجد سطح أملس (أي،${\displaystyle C^{\infty }}$دالة ذات قيم مركبة${\displaystyle F(t,z)}$بحيث تكون المعادلة التفاضلية

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial {\bar {z}}}}-iz{\frac {\partial u}{\partial t}}=F(t,z)}$

لا يقبل أي حل على أي مجموعة مفتوحة . لاحظ أنه إذا${\displaystyle F}$إذا كانت الدالة تحليلية، فإن نظرية كوشي-كوفاليفسكايا تشير إلى وجود حل.

يقوم ليفي ببناء هذا${\displaystyle F}$باستخدام النتيجة التالية:

على${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {C} }$لنفترض أن${\displaystyle u(t,z)}$هي دالة تحقق الشرط التالي في جوار نقطة الأصل ،

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial {\bar {z}}}}-iz{\frac {\partial u}{\partial t}}=\varphi ^{\prime }(t)}$

بالنسبة لدالة C 1 ^φ . إذن يجب أن تكون φ تحليلية حقيقية في جوار (ربما أصغر) من الأصل.

يمكن تفسير ذلك على أنه نظرية عدم وجود بافتراض أن φ مجرد دالة ملساء. يأخذ مثال ليفي هذه المعادلة الأخيرة، وبمعنى ما يترجم عدم قابليتها للحل إلى كل نقطة من${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {C} }$. تستخدم طريقة البرهان حجة فئة باير ، لذلك بمعنى دقيق معين، فإن جميع المعادلات من هذا الشكل تقريبًا غير قابلة للحل.

وجد ميزوهاتا (1962) لاحقًا أن المعادلة الأبسط

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+ix{\frac {\partial u}{\partial y}}=F(x,y)}$

تعتمد هذه المعادلة أحيانًا على متغيرين حقيقيين x و y، ولا يوجد لها حلول. وهي تقريبًا أبسط معادلة تفاضلية جزئية ممكنة بمعاملات غير ثابتة.

تأتي مشعبة CR مزودة بسلسلة معقدة من المؤثرات التفاضلية، تشبه شكليًا معقد دولبو على مشعبة معقدة ، وتسمى${\displaystyle \scriptstyle {\bar {\partial }}_{b}}$مُركّب. يقبل مُركّب دولبو صيغةً من مبرهنة بوانكاريه . بلغة الحزم ، هذا يعني أن مُركّب دولبو دقيق. مع ذلك، يُبيّن مثال ليفي أن${\displaystyle \scriptstyle {\bar {\partial }}_{b}}$-complex نادراً ما يكون دقيقاً.

• ليفي، هانز (1957)، "مثال على معادلة تفاضلية جزئية خطية سلسة بدون حل"، حوليات الرياضيات ، 66 (1): 155-158 ، doi : 10.2307/1970121 ، JSTOR 1970121 ، MR 0088629 ، Zbl 0078.08104   .
• ميزوهاتا، سيغيرو (1962)، "الحلول الصفرية والحلول غير التحليلية" ، مجلة الرياضيات بجامعة كيوتو (بالفرنسية)، 1 (2): 271-302 ، MR 0142873 ، Zbl 0106.29601  .
• روزاي، جان بيير (2001) [1994]، "مؤثر ليفي ومؤثر ميزوهاتا" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS