معادلة خطية

في الرياضيات ، المعادلة الخطية هي معادلة يمكن كتابتها على الصورة التالية: ${\displaystyle a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+b=0,}$أين${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$هي المتغيرات (أو المجاهيل )، و${\displaystyle b,a_{1},\ldots ,a_{n}}$المعاملات هي ، وغالبًا ما تكون أعدادًا حقيقية . يمكن اعتبار المعاملات بمثابة معلمات للمعادلة، وقد تكون تعابير اختيارية ، بشرط ألا تحتوي على أي من المتغيرات. وللحصول على معادلة ذات معنى، يجب أن تكون المعاملات${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$يشترط ألا تكون جميعها صفراً.

بدلاً من ذلك، يمكن الحصول على معادلة خطية عن طريق مساواة كثير الحدود الخطي بالصفر على حقل ما ، والذي يتم أخذ المعاملات منه.

حلول هذه المعادلة هي القيم التي، عند استبدالها بالمجاهيل، تجعل المساواة صحيحة.

في حالة وجود متغير واحد فقط، يوجد حل واحد فقط (بشرط أن${\displaystyle a_{1}\neq 0}$). غالبًا ما يشير مصطلح المعادلة الخطية ضمنيًا إلى هذه الحالة الخاصة، حيث يُطلق على المتغير اسم المجهول .

في حالة متغيرين، يمكن تفسير كل حل على أنه الإحداثيات الديكارتية لنقطة في المستوى الإقليدي . تشكل حلول المعادلة الخطية خطًا مستقيمًا في المستوى الإقليدي، وبالعكس، يمكن اعتبار كل خط مستقيم مجموعة جميع حلول المعادلة الخطية في متغيرين. هذا هو أصل مصطلح "خطي" لوصف هذا النوع من المعادلات. وبشكل أعم، تشكل حلول المعادلة الخطية في n متغيرًا مستوىً فائقًا (فضاءً جزئيًا ذو بُعد n - 1 ) في الفضاء الإقليدي ذي البُعد n .

تظهر المعادلات الخطية بشكل متكرر في جميع فروع الرياضيات وتطبيقاتها في الفيزياء والهندسة ، ويرجع ذلك جزئيًا إلى أن الأنظمة غير الخطية غالبًا ما يتم تقريبها بشكل جيد بواسطة المعادلات الخطية.

تتناول هذه المقالة حالة معادلة واحدة بمعاملات من حقل الأعداد الحقيقية ، حيث تُدرس حلولها الحقيقية. ينطبق محتواها بالكامل على الحلول المركبة ، وبشكل أعم، على المعادلات الخطية ذات المعاملات والحلول في أي حقل . للاطلاع على حالة عدة معادلات خطية آنية، انظر نظام المعادلات الخطية .

يمكن كتابة المعادلة الخطية في متغير واحد x على النحو التالي:${\displaystyle ax+b=0,}$مع${\displaystyle a\neq 0}$.

الحل هو${\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}}$.

يمكن كتابة المعادلة الخطية في متغيرين x و y على النحو التالي:${\displaystyle ax+by+c=0,}$حيث لا يكون كل من a و b يساوي صفرًا . ^{[ 1 ]}

إذا كان a و b عددين حقيقيين، فإن للمعادلة عددًا لا نهائيًا من الحلول.

التفسير الهندسي

كل حل ( س ، ص ) لمعادلة خطية

${\displaystyle ax+by+c=0}$

يمكن اعتبارها الإحداثيات الديكارتية لنقطة في المستوى الإقليدي . وفقًا لهذا التفسير، تشكل جميع حلول المعادلة خطًا مستقيمًا ، بشرط ألا يكون كل من a و b مساويًا للصفر. وعلى العكس، يمثل كل خط مستقيم مجموعة جميع حلول المعادلة الخطية.

إن عبارة "المعادلة الخطية" تستمد أصلها من هذا التوافق بين الخطوط والمعادلات: المعادلة الخطية في متغيرين هي معادلة تشكل حلولها خطًا مستقيمًا.

إذا كانت b ≠ 0 ، فإن الخط هو تمثيل بياني للدالة x التي تم تعريفها في القسم السابق. أما إذا كانت b = 0 ، فإن الخط هو خط رأسي (أي خط موازٍ لمحور y ) معادلته${\displaystyle x=-{\frac {c}{a}},}$وهو ليس رسمًا بيانيًا لدالة في x .

وبالمثل، إذا كانت قيمة a ≠ 0 ، فإن الخط يمثل تمثيلًا بيانيًا لدالة في y ، وإذا كانت قيمة a = 0 ، فإن المعادلة تكون على خط أفقي.${\displaystyle y=-{\frac {c}{b}}.}$

يمكن دائمًا افتراض أن المعادلة الخطية التي تحتوي على أكثر من متغيرين تأخذ الشكل التالي:

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0.}$

يُطلق على المعامل b ، الذي يُرمز إليه غالبًا بـ _a₀، اسم الحد الثابت (وأحيانًا الحد المطلق في الكتب القديمة ^{[ 4 ] [ 5 ]} ). وبحسب السياق، يمكن استخدام مصطلح المعامل للإشارة إلى aᵢ حيث _i > 0 .

عند التعامل مع${\displaystyle n=3}$من الشائع استخدام المتغيرات${\displaystyle x,\;y}$و${\displaystyle z}$بدلاً من المتغيرات المفهرسة.

إن حل هذه المعادلة هو عبارة عن مجموعة من n عنصر بحيث يؤدي استبدال كل عنصر من عناصر المجموعة بالمتغير المقابل إلى تحويل المعادلة إلى مساواة حقيقية.

لكي تكون المعادلة ذات معنى، يجب أن يكون معامل متغير واحد على الأقل غير صفري. إذا كان معامل كل متغير يساوي صفرًا، فكما ذُكر بالنسبة لمتغير واحد، تكون المعادلة إما غير متسقة (لأن b ≠ 0 ) لعدم وجود حل لها، أو أن جميع المجموعات المرتبة n هي حلول.

تمثل n - tuples حلولًا لمعادلة خطية في n متغيرًا ، وهي الإحداثيات الديكارتية لنقاط مستوى فائق ذي ( n -1) بُعد في فضاء إقليدي ذي n بُعد (أو فضاء أفيني إذا كانت المعاملات أعدادًا مركبة أو تنتمي إلى أي حقل). في حالة ثلاثة متغيرات، يكون هذا المستوى الفائق مستوىً .

إذا أُعطيت معادلة خطية حيث j ≠ 0 ، فإنه يمكن حل المعادلة لإيجاد قيمة _x j _، مما ينتج عنه

${\displaystyle x_{j}=-{\frac {b}{a_{j}}}-\sum _{i\in \{1,\ldots ,n\},i\neq j}{\frac {a_{i}}{a_{j}}}x_{i}.}$

إذا كانت المعاملات أعدادًا حقيقية ، فإن هذا يحدد دالة ذات قيم حقيقية لـ n متغيرات حقيقية .

• معادلة خطية على حلقة
• معادلة جبرية
• إحداثيات الخط
• المتباينة الخطية
• معادلة غير خطية

• بارنيت، آر إيه؛ زيغلر، إم آر؛ بايلين، كي إي (2008)، الرياضيات الجامعية للأعمال والاقتصاد وعلوم الحياة والعلوم الاجتماعية (  الطبعة الحادية عشرة)، أبر سادل ريفر، نيوجيرسي: بيرسون، رقم ISBN 978-0-13-157225-6
• لارسون، رون؛ هوستتلر، روبرت (2007)، حساب التفاضل والتكامل التمهيدي: دورة موجزة ، هوتون ميفلين، ISBN 978-0-618-62719-6
• ويلسون، واشنطن؛ تريسي، جي آي (1925)، الهندسة التحليلية (  طبعة منقحة)، دي سي هيث

• "المعادلة الخطية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]