استمرارية ليبشيتز

في التحليل الرياضي ، يُعدّ استمرار ليبشيتز ، نسبةً إلى عالم الرياضيات الألماني رودولف ليبشيتز ، شكلاً قوياً من أشكال الاستمرار المنتظم للدوال . وبشكلٍ بديهي، تكون الدالة المستمرة وفقًا لشرط ليبشيتز محدودة في سرعة تغيرها: يوجد عدد حقيقي بحيث لا تتجاوز القيمة المطلقة لميل الخط الواصل بين أي نقطتين على منحنى هذه الدالة هذا العدد الحقيقي؛ ويُسمى أصغر حدٍّ من هذا القبيل ثابت ليبشيتز للدالة (ويرتبط بمعامل الاستمرار المنتظم ). على سبيل المثال، كل دالة مُعرَّفة على فترة ولها مشتقة أولى محدودة هي دالة مستمرة وفقًا لشرط ليبشيتز. ^{[ 1 ]}

في نظرية المعادلات التفاضلية ، يُعدّ شرط استمرارية ليبشيتز الشرط الأساسي لنظرية بيكارد-ليندلوف ، التي تضمن وجود حل فريد لمسألة القيمة الابتدائية . ويُستخدم نوع خاص من استمرارية ليبشيتز، يُسمى الانكماش ، في نظرية باناش للنقطة الثابتة . ^{[ 2 ]}

لدينا سلسلة التضمينات الصارمة التالية للدوال على فترة مغلقة ومحدودة وغير تافهة من خط الأعداد الحقيقية:

قابلة للتفاضل باستمرار ⊂ متصلة وفقًا لشرط ليبشيتز ⊂${\displaystyle \alpha }$- هولدر مستمر ،

أين${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$لدينا أيضًا

متصل ليبشيتز ⊂ متصل مطلقًا ⊂ متصل بانتظام ⊂ متصل .

بالنظر إلى فضاءين متريين ( X ، dX ) و( _{Y ،} dY ) _، حيث _{يرمز dX} إلى المقياس على المجموعة X و dY إلى المقياس على المجموعة Y ، فإن الدالة f : X → Y تسمى متصلة ليبشيتز إذا كان هناك ثابت حقيقي K ≥ 0 بحيث، لجميع x1 و _x2 في X _، 

${\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Kd_{X}(x_{1},x_{2}).}$^{[ 3 ]}

يُشار إلى أي قيمة لـ K من هذا القبيل باسم ثابت ليبشيتز للدالة f، ويمكن أيضًا الإشارة إلى f باسم K-ليبشيتز . يُطلق على أصغر ثابت أحيانًا اسم ثابت ليبشيتز (الأفضل) [ ^{4 ] للدالة} f أو تمددها [ ^{5 ] [ 6 ] .} تُسمى الدالة f نفسها أحيانًا "خريطة ليبشيتز". إذا كانت K = 1 ، تُسمى الدالة خريطة قصيرة ، وإذا كانت 0 ≤ K < 1 وكانت f تُسقط فضاءً متريًا على نفسه، تُسمى الدالة انكماشًا .

على وجه الخصوص، تُسمى الدالة الحقيقية f  : R → R متصلة ليبشيتز إذا وُجد ثابت حقيقي موجب K بحيث يكون، لجميع القيم الحقيقية x ₁ و x ₂ ،

${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|\leq K|x_{1}-x_{2}|.}$

في هذه الحالة، Y هي مجموعة الأعداد الحقيقية R مع المقياس القياسي d _Y ( y ₁ , y ₂ ) = | y ₁ − y ₂ | ، و X هي مجموعة جزئية من R.

_{بشكل عام ،} تتحقق المتباينة (بشكل بديهي) إذا كان _x1 = x2 . _وإلا ، يمكن تعريف دالة ما بأنها متصلة ليبشيتز إذا وفقط إذا وُجد ثابت K ≥ 0 بحيث، لجميع x1 ≠ x2 _،

${\displaystyle {\frac {d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))}{d_{X}(x_{1},x_{2})}}\leq K.}$

بالنسبة للدوال الحقيقية ذات المتغيرات الحقيقية المتعددة، يتحقق هذا الشرط إذا وفقط إذا كانت القيمة المطلقة لميول جميع الخطوط القاطعة محدودة بالقيمة K. تشكل مجموعة الخطوط ذات الميل K التي تمر بنقطة على منحنى الدالة مخروطًا دائريًا، وتكون الدالة ليبشيتز إذا وفقط إذا كان منحنى الدالة يقع بالكامل خارج هذا المخروط (انظر الشكل).

تُسمى الدالة متصلة محليًا وفقًا لشرط ليبشيتز إذا كان لكل x في X توجد جوار U لـ x بحيث تكون f ، عند تقييدها على U، متصلة وفقًا لشرط ليبشيتز. وبصورة مكافئة، إذا كان X فضاءً متريًا متراصًا محليًا ، فإن f تكون متصلة محليًا وفقًا لشرط ليبشيتز إذا وفقط إذا كانت متصلة وفقًا لشرط ليبشيتز على كل مجموعة جزئية متراصة من X. في الفضاءات غير المتراصة محليًا، يُعد هذا شرطًا ضروريًا ولكنه غير كافٍ.

وبشكل أعم، يُقال إن الدالة f المعرفة على X متصلة هولدر أو أنها تحقق شرط هولدر من الرتبة α > 0 على X إذا وُجد ثابت M ≥ 0 بحيث

${\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Md_{X}(x_{1},x_{2})^{\alpha }}$

لكل x ₁ و x ₂ في X. أحيانًا يُطلق على شرط هولدر من الرتبة α أيضًا اسم شرط ليبشيتز المنتظم من الرتبة α > 0.

بالنسبة لعدد حقيقي K ≥ 1، إذا

${\displaystyle {\frac {1}{K}}d_{X}(x_{1},x_{2})\leq d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Kd_{X}(x_{1},x_{2})\quad {\text{ for all }}x_{1},x_{2}\in X,}$

عندئذٍ تُسمى الدالة f دالة ثنائية الليبشيتز من النوع K (أو ثنائية الليبشيتز من النوع K ). نقول إن f ثنائية الليبشيتز أو ثنائية الليبشيتز لنعني وجود K يحقق هذا الشرط . الدالة ثنائية الليبشيتز هي دالة أحادية ، وهي في الواقع تماثل شكلي على صورتها. الدالة ثنائية الليبشيتز هي نفسها دالة ليبشيتز أحادية التي تكون دالتها العكسية أيضًا ليبشيتز.

الدوال المتصلة بشرط ليبشيتز والتي يمكن تفاضلها في كل مكان

• الوظيفة${\displaystyle f(x)={\sqrt {x^{2}+5}}}$الدالة المعرفة لجميع الأعداد الحقيقية هي دالة ليبشيتز متصلة بثابت ليبشيتز K  =  1، لأنها قابلة للتفاضل في كل مكان والقيمة المطلقة للمشتقة محدودة من الأعلى بـ 1. انظر الخاصية الأولى المدرجة أدناه تحت " الخصائص ".
• وبالمثل، فإن دالة الجيب متصلة وفقًا لشرط ليبشيتز لأن مشتقتها، دالة جيب التمام، محدودة من الأعلى بالقيمة المطلقة 1.

الدوال المتصلة بشرط ليبشيتز والتي لا يمكن تفاضلها في كل مكان

• الوظيفة${\displaystyle f(x)=|x|}$تكون الدالة المعرفة على الأعداد الحقيقية متصلة ليبشيتز، وثابت ليبشيتز يساوي 1، وذلك وفقًا لمتباينة المثلث العكسية . وبشكل أعم، يكون المعيار على فضاء متجهي متصلًا ليبشيتز بالنسبة للمقياس المرتبط به، وثابت ليبشيتز يساوي 1.

الدوال المتصلة وفقًا لشرط ليبشيتز، وهي دوال قابلة للتفاضل في كل مكان ولكنها غير قابلة للتفاضل بشكل مستمر.

• الوظيفة${\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$، والتي يوجد مشتقها ولكن بها انقطاع جوهري عند${\displaystyle x=0}$.

الدوال المتصلة التي لا تكون متصلة (عالميًا) وفقًا لشرط ليبشيتز

• الدالة f ( x )  = √x المعرفة على الفترة [0, 1] ليست متصلة وفقًا لشرط ليبشيتز. تصبح هذه الدالة شديدة الانحدار إلى ما لا نهاية عندما تقترب x من الصفر ، لأن مشتقتها تصبح لانهائية. مع ذلك، فهي متصلة بانتظام، ^{[ 7 ]} وهي متصلة وفقًا لشرط هولدر من الفئة C ^{0, α} حيث α ≤ 1/2، كما أنها متصلة اتصالًا مطلقًا على الفترة [0, 1] (وكلاهما يستلزم الشرط الأول).     

الدوال القابلة للتفاضل التي ليست متصلة (محليًا) وفقًا لشرط ليبشيتز

• الدالة f المعرفة بـ f (0)  =  0 و f ( x )  = x³ ^/² sin(1/ x ) حيث 0 < x ≤ 1، تُعطي مثالاً على دالة قابلة للتفاضل على مجموعة مضغوطة، ولكنها ليست دالة ليبشيتز محلية لأن مشتقتها غير محدودة. انظر أيضاً الخاصية الأولى أدناه. 

الدوال التحليلية التي لا تكون متصلة (عالميًا) وفقًا لشرط ليبشيتز

• تصبح الدالة الأسية شديدة الانحدار بشكل تعسفي عندما x → ∞ ، وبالتالي فهي ليست متصلة عالميًا وفقًا لشرط ليبشيتز، على الرغم من كونها دالة تحليلية .
• الدالة f ( x )  = x² ^، مجالها جميع الأعداد الحقيقية، ليست دالة متصلة وفقًا لشرط ليبشيتز. تصبح هذه الدالة شديدة الانحدار بشكل تعسفي عندما يقترب x من اللانهاية. ومع ذلك، فهي متصلة محليًا وفقًا لشرط ليبشيتز. 

• تكون الدالة g  : R → R القابلة للتفاضل في كل مكان متصلة ليبشيتز (حيث K = sup | g ′( x )|) إذا وفقط إذا كانت مشتقتها الأولى محدودة ؛ ويتضح أحد اتجاهات ذلك من نظرية القيمة المتوسطة . وعلى وجه الخصوص، فإن أي دالة قابلة للتفاضل باستمرار تكون ليبشيتز محلية، لأن الدوال المتصلة محدودة محليًا، وبالتالي فإن تدرجها محدود محليًا أيضًا.      
• الدالة ليبشيتزية g  : R → R متصلة اتصالاً مطلقاً ، وبالتالي فهي قابلة للتفاضل تقريباً في كل مكان ، أي قابلة للتفاضل عند كل نقطة خارج مجموعة قياس ليبيغ الصفري. مشتقتها محدودة أساساً في قيمتها المطلقة بثابت ليبشيتز، وبالنسبة لـ a < b ، فإن الفرق g ( b ) − g ( a ) يساوي تكامل المشتقة g ′ على الفترة [ a , b ].        
  • وعلى العكس من ذلك، إذا كانت f  : I  → R متصلة بشكل مطلق وبالتالي قابلة للتفاضل في كل مكان تقريبًا، وتفي بـ | f ′ ( x )|  ≤ K لجميع x تقريبًا في I ، فإن f متصلة ليبشيتز بثابت ليبشيتز على الأكثر K.
  • بشكل أعم، تُعمم نظرية رادماخر نتيجة قابلية التفاضل لتشمل تطبيقات ليبشيتز بين الفضاءات الإقليدية: تطبيق ليبشيتز f  : U → R ^m ، حيث U مجموعة مفتوحة في R ⁿ ، يكون قابلاً للتفاضل في كل مكان تقريبًا . علاوة على ذلك، إذا كان K هو أفضل ثابت ليبشيتز لـ f ، فإن   ${\displaystyle \|Df(x)\|\leq K}$كلما وُجدت المشتقة الكلية Df .
• للحصول على خريطة ليبشيتز قابلة للتفاضل${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}$عدم المساواة${\displaystyle \|Df\|_{L^{\infty }(U)}\leq K}$ينطبق هذا على أفضل ثابت ليبشيتز${\displaystyle K}$ل${\displaystyle f}$إذا كان النطاق${\displaystyle U}$إذن فهو محدب في الواقع${\displaystyle \|Df\|_{L^{\infty }(U)}=K}$.
• لنفترض أن { f_{_n} } متتالية من الدوال المتصلة ليبشيتز بين فضاءين متريين، وأن جميع الدوال f _{_n} لها ثابت ليبشيتز محدود بقيمة K. إذا تقاربت f _{_n} إلى دالة f _n بانتظام ، فإن f _n تكون أيضًا ليبشيتز، وثابت ليبشيتز فيها محدود بنفس قيمة K. وبالتحديد، هذا يعني أن مجموعة الدوال الحقيقية على فضاء متري متراص، ذات حد معين لثابت ليبشيتز، هي مجموعة فرعية مغلقة ومحدبة من فضاء باناخ للدوال المتصلة. مع ذلك، لا تنطبق هذه النتيجة على المتتاليات التي قد تكون فيها ثوابت ليبشيتز غير محدودة . في الواقع، فضاء جميع دوال ليبشيتز على فضاء متري متراص هو جبر فرعي من فضاء باناخ للدوال المتصلة، وبالتالي فهو كثيف فيه، وهي نتيجة مباشرة لنظرية ستون -فايرشتراس (أو كنتيجة لنظرية تقريب فايرشتراس ، لأن كل متعددة حدود متصلة ليبشيتز محليًا).
• كل دالة متصلة وفقًا لشرط ليبشيتز هي دالة متصلة بانتظام ، وبالتالي فهي متصلة . وبشكل أعم، تُشكل مجموعة الدوال ذات ثابت ليبشيتز المحدود مجموعة متساوية الاتصال . تنص نظرية أرزيلا-أسكولي على أنه إذا كانت { f_n _} متتالية دوال محدودة بانتظام ذات ثابت ليبشيتز محدود، فإنها تمتلك متتالية جزئية متقاربة. وبناءً على نتيجة الفقرة السابقة، فإن دالة النهاية هي أيضًا دالة ليبشيتز، بنفس الحد لثابت ليبشيتز. على وجه الخصوص، فإن مجموعة جميع دوال ليبشيتز الحقيقية على فضاء متري متراص X، والتي يكون ثابت ليبشيتز فيها ≤ K ، هي مجموعة جزئية محدبة متراصة محليًا من فضاء باناخ C ( X ). 
• بالنسبة لمجموعة من الدوال المتصلة ليبشيتز f _α ذات الثابت المشترك، فإن الدالة${\displaystyle \sup _{\alpha }f_{\alpha }}$(و${\displaystyle \inf _{\alpha }f_{\alpha }}$) متصلة ليبشيتز أيضًا، بنفس ثابت ليبشيتز، بشرط أن تأخذ قيمة محدودة على الأقل عند نقطة ما.
• إذا كانت U مجموعة جزئية من الفضاء المتري M ، وكانت f  : U  → R دالة متصلة ليبشيتز، فإنه توجد دائمًا تطبيقات متصلة ليبشيتز من M  إلى R تُمدد f ولها نفس ثابت ليبشيتز الخاص بـ f (انظر أيضًا نظرية كيرزبراون ). ويتم توفير التمديد بواسطة

${\displaystyle {\tilde {f}}(x):=\inf _{u\in U}\{f(u)+k\,d(x,u)\},}$

حيث k هو ثابت ليبشيتز للدالة f على U.

يُعرَّف هيكل ليبشيتز على مشعب طوبولوجي باستخدام أطلس من المخططات التي تكون خرائط انتقالها ثنائية ليبشيتز؛ وهذا ممكن لأن خرائط ثنائية ليبشيتز تُشكِّل زمرة زائفة . يسمح هذا الهيكل بتعريف خرائط ليبشيتز محليًا بين هذه المشعبات، على غرار كيفية تعريف الخرائط الملساء بين المشعبات الملساء : إذا كان M و N مشعبين ليبشيتز، فإن دالة${\displaystyle f:M\to N}$تكون ليبشيتز محلية إذا وفقط إذا كان لكل زوج من مخططات الإحداثيات${\displaystyle \phi :U\to M}$و${\displaystyle \psi :V\to N}$حيث U و V مجموعتان مفتوحتان في الفضاءات الإقليدية المقابلة، التركيب $${\displaystyle \psi ^{-1}\circ f\circ \phi :U\cap (f\circ \phi )^{-1}(\psi (V))\to V}$$ هي محلية ليبشيتز. لا يعتمد هذا التعريف على تحديد مقياس ^على M أو N. [ ^{8 ]}

يُعدّ هذا التركيب وسيطًا بين تركيب المتشعب الخطي القطعي والمتشعب الطوبولوجي : إذ يُنتج تركيب المتشعب الخطي القطعي تركيبًا فريدًا من نوع ليبشيتز. ^{[ 9 ]} وبينما ترتبط متشعبات ليبشيتز ارتباطًا وثيقًا بالمتشعبات الطوبولوجية، فإن نظرية رادماخر تُتيح إجراء التحليل، مما يُؤدي إلى تطبيقات متنوعة. ^{[ 8 ]}

لتكن F ( x ) دالة شبه متصلة من الأعلى لـ x ، ولتكن F ( x ) مجموعة مغلقة ومحدبة لجميع قيم x . عندئذٍ تكون F دالة ليبشيتز أحادية الجانب ^{[ 10 ]} إذا

${\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{T}(F(x_{1})-F(x_{2}))\leq C\Vert x_{1}-x_{2}\Vert ^{2}}$

لبعض قيم C ولجميع قيم x ₁ و x ₂ .

من الممكن أن يكون للدالة F ثابت ليبشيتز كبير جدًا، ولكن ثابت ليبشيتز أحادي الجانب متوسط ​​الحجم، أو حتى سالب. على سبيل المثال، الدالة

${\displaystyle {\begin{cases}F:\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ,\\F(x,y)=-50(y-\cos(x))\end{cases}}}$

لها ثابت ليبشيتز K = 50 وثابت ليبشيتز أحادي الجانب C = 0. مثال على دالة ليبشيتز أحادية الجانب ولكنها ليست متصلة ليبشيتز هو F ( x ) = e ^{− x} ، حيث C = 0.

• رسم الخرائط الانكماشية – دالة تقلل المسافة بين جميع النقاط 
• استمرارية ديني
• معامل الاستمرارية
• شبه التساوي
• مبرهنة جونسون-ليندنشتراوس – لأي عدد صحيح${\displaystyle n\geq 0}$، أي مجموعة جزئية منتهية X ⊆ R ⁿ ، وأي عدد حقيقي${\displaystyle 0<\epsilon <1}$توجد دالة ثنائية ليبشيتز من النوع (1+ε)${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{d},}$أين${\displaystyle d=\lceil 15(\ln |X|)/\varepsilon ^{2}\rceil .}$