رقم ماركوف

عدد ماركوف أو عدد ماركوف هو عدد صحيح موجب x أو y أو z يمثل جزءًا من حل معادلة ماركوف الديوفانتية 

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz,\,}$

تمت دراستها بواسطة أندريه ماركوف ( 1879 ، 1880 ) . 

الأرقام القليلة الأولى من ماركوف هي

1 ، 2 ، 5 ، 13 ، 29 ، 34 ، 89 ، 169 ، 194 ، 233 ، 433، 610، 985، 1325، ... (التسلسل A002559 في OEIS )

تظهر كإحداثيات لثلاثيات ماركوف

(1، 1، 1)، (1، 1، 2)، (1، 2، 5)، (1، 5، 13)، (2، 5، 29)، (1، 13، 34)، (1، 34، 89)، (2، 29، 169)، (5، 13، 194)، (1، 89، 233)، (5، 29، 433)، (1، 233، 610)، (2، 169، 985)، (13، 34، 1325)، ...

يوجد عدد لا نهائي من أعداد ماركوف وثلاثيات ماركوف.

هناك طريقتان بسيطتان للحصول على ثلاثية ماركوف جديدة من ثلاثية قديمة ( س ، ص ، ع ). أولاً، يمكن تبديل الأعداد الثلاثة س ، ص ، ع ، وبالتالي يمكن توحيد الثلاثيات بحيث يكون س ≤ ص ≤ ع . ثانياً، إذا كانت ( س ، ص، ع ) ثلاثية ماركوف، فإن ( س ، ص ، 3 س ص - ع ) هي أيضاً ثلاثية ماركوف . تطبيق هذه العملية مرتين يُعيد الثلاثية نفسها التي بدأنا بها. بربط كل ثلاثية ماركوف موحدة مع الثلاثيات الموحدة الأخرى (1، 2، أو 3) التي يمكن الحصول عليها من هذه الثلاثية، نحصل على رسم بياني يبدأ من (1 ، 1، 1) كما هو موضح في الرسم. هذا الرسم البياني متصل ؛ بمعنى آخر، يمكن ربط كل ثلاثية ماركوف بالثلاثية (1، 1، 1) من خلال سلسلة من هذه العمليات. ^{[ 1 ]} إذا بدأنا، على سبيل المثال، بالنقطة (1، 5، 13)، فسنحصل على جيرانها الثلاثة (5، 13، 194) ، و (1، 13، 34) ، و (1، 2، 5) في شجرة ماركوف إذا كانت قيمة z هي 1، و5، و13 على التوالي. على سبيل المثال، البدء بالنقطة (1، 1، 2) وتبديل قيمتي y و z قبل كل تكرار للتحويل يُنتج ثلاثيات ماركوف التي تحتوي على أعداد فيبوناتشي . والبدء بنفس الثلاثية وتبديل قيمتي x و z قبل كل تكرار يُنتج الثلاثيات التي تحتوي على أعداد بيل .            

جميع أعداد ماركوف في المناطق المجاورة لمنطقة العدد 2 هي أعداد بيل ذات فهرس فردي (أو أعداد n بحيث يكون 2 ^n - ²  ^  n مربعًا ، OEIS : A001653  )، وجميع أعداد ماركوف في المناطق المجاورة لمنطقة العدد 1 هي أعداد فيبوناتشي ذات فهرس فردي ( OEIS : A001519  ). وبالتالي، يوجد عدد لا نهائي من ثلاثيات ماركوف من الشكل التالي:

${\displaystyle (1,F_{2n-1},F_{2n+1}),\,}$

حيث Fk هو العدد k من متتالية فيبوناتشي . وبالمثل، يوجد عدد لا نهائي من ثلاثيات ماركوف من الشكل التالي _:

${\displaystyle (2,P_{2n-1},P_{2n+1}),\,}$

حيث P _k هو رقم بيل رقم k . ^{[ 2 ]}

باستثناء أصغر مجموعتين ثلاثيتين مفردتين (1، 1، 1) و (1، 1، 2)، تتكون كل مجموعة ثلاثية ماركوف من ثلاثة أعداد صحيحة مختلفة. ^{[ 3 ]}

تنصّ حدسية التفرد ، كما أشار إليها فروبينيوس عام 1913، ^{[ 4 ]} على أنه بالنسبة لعدد ماركوف مُعطى c ، يوجد حل مُعَيَّر واحد فقط يكون فيه c هو أكبر عنصر فيه: وقد طُرحت براهين لهذه الحدسية، ولكن لا يبدو أن أيًا منها صحيح. ^{[ 5 ]} درس مارتن أيغنر ^{[ 6 ]} عدة صيغ أضعف من حدسية التفرد. وقد أثبت رابيدو وشيفلر حدسية البسط الثابت عام 2020، ^{[ 7 ]} بينما أثبت لي ولي ورابيدو وشيفلر حدسية المقام الثابت وحدسية المجموع الثابت عام 2023. ^{[ 8 ]}

لا يوجد أي قاسم أولي لعدد ماركوف يطابق 3 بتردد 4، مما يعني أن عدد ماركوف الفردي يزيد بمقدار 1 عن مضاعفات العدد 4. ^{[ 9 ]} علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle m}$إذا كان عدد ماركوف، فلا يوجد أي من القواسم الأولية لـ${\displaystyle 9m^{2}-4}$يتطابق مع 3 بتردد 4. عدد ماركوف الزوجي يزيد بمقدار 2 عن مضاعف العدد 32. ^{[ 10 ]}

في بحثه المنشور عام 1982، افترض دون زاغير أن العدد الماركوفي النوني يُعطى تقاربياً بواسطة

${\displaystyle m_{n}={\tfrac {1}{3}}e^{C{\sqrt {n+o(1)}}}\quad {\text{مع }}C=2.3523414972\ldots \,.}$

الخطأ${\displaystyle o(1)=(\log(3m_{n})/C)^{2}-n}$تم رسمها أدناه.

وأشار كذلك إلى أن${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz+4/9}$، وهو تقريب للمعادلة الديوفانتية الأصلية، يكافئ ما يلي:${\displaystyle f(x)+f(y)=f(z)}$مع${\displaystyle f(t)=}$أركوش${\displaystyle (3t/2).}$^{[ 11 ]} تم إثبات هذه الفرضيةبواسطةجريج مكشينوإيجورريفينفي عام 1995 باستخدام تقنيات منالهندسة الزائدية. ^{[ 12 ]}

يمكن حساب عدد لاغرانج النوني من عدد ماركوف النوني باستخدام الصيغة التالية :

${\displaystyle L_{n}={\sqrt {9-{4 \over {m_{n}}^{2}}}}.\,}$

أعداد ماركوف هي مجموع أزواج (غير فريدة) من المربعات.

أظهر ماركوف ( 1879 ، 1880 ) أنه إذا 

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$

هي صيغة تربيعية ثنائية غير محددة ذات معاملات حقيقية ومميز${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$إذن، يوجد عددان صحيحان x و y بحيث تأخذ الدالة f قيمة غير صفرية، وقيمتها المطلقة على الأكثر 

${\displaystyle {\frac {\sqrt {D}}{3}}}$

إلا إذا كانت f صيغة ماركوف : ^{[ 13 ]} ثابت مضروب في صيغة

${\displaystyle px^{2}+(3p-2a)xy+(b-3a)y^{2}}$

بحيث

${\displaystyle {\begin{cases}0<a<p/2,\\aq\equiv \pm r{\pmod {p}},\\bp-a^{2}=1,\end{cases}}}$

حيث ( p , q , r ) عبارة عن ثلاثية ماركوف.  

لنفترض أن tr ترمز إلى دالة الأثر على المصفوفات . إذا كانت X و Y تنتميان إلى SL ₂ (${\displaystyle \mathbb {C} }$)، ثم

${\displaystyle \operatorname {tr} (X)\operatorname {tr} (Y)\operatorname {tr} (XY)+\operatorname {tr} (XYX^{-1}Y^{-1})+2=\operatorname {tr} (X)^{2}+\operatorname {tr} (Y)^{2}+\operatorname {tr} (XY)^{2}}$

بحيث إذا${\textstyle \operatorname {tr} (XYX^{-1}Y^{-1})=-2}$ثم

${\displaystyle \operatorname {tr} (X)\operatorname {tr} (Y)\operatorname {tr} (XY)=\operatorname {tr} (X)^{2}+\operatorname {tr} (Y)^{2}+\operatorname {tr} (XY)^{2}}$

على وجه الخصوص، إذا كانت قيم X و Y صحيحة أيضًا، فإن tr( X )/3 و tr( Y )/3 و tr( XY )/3 تُشكل ثلاثية ماركوف. إذا كان X ⋅ Y ⋅ Z  = I ، فإن tr( XTY ) = tr( Z )، وبالتالي، وبشكل أكثر تناظرًا، إذا كانت X و Y و Z تنتمي إلى SL ₂ (   ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) مع X ⋅ Y ⋅ Z  =  I ويكون لمبدل اثنين منهما أثر −2، فإن آثارهما/3 تشكل ثلاثية ماركوف. ^{[ 14 ]}

• طيف ماركوف

• أيغنر، مارتن (29 يوليو 2013). نظرية ماركوف ومئة عام على حدسية التفرد: رحلة رياضية من الأعداد غير النسبية إلى التطابقات الكاملة . شام هايدلبرغ: سبرينغر. ISBN 978-3-319-00887-5MR 3098784 .​ 
• كاسيلز، جيه دبليو إس (1957). مقدمة في التقريب الديوفانتي . سلسلة كامبريدج في الرياضيات والفيزياء الرياضية. المجلد  45. مطبعة جامعة كامبريدج . Zbl 0077.04801 . 
• كوسيك، توماس؛ فلاهيف، ماري (1989). أطياف ماركوف ولاغرانج . دراسات وبحوث رياضية. المجلد  30. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية . ISBN 0-8218-1531-8. Zbl 0685.10023 . 
• جاي، ريتشارد ك. (2004). مسائل غير محلولة في نظرية الأعداد . سبرينغر-فيرلاغ . ص 263-265 . ISBN  0-387-20860-7. Zbl 1058.11001 . 
• مالشيف، أ. ف. (2001) [1994]، "مسألة طيف ماركوف" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• ماركوف، أ. “Sur les Formes Quadratiques Binaires indéfinies”. الرياضيات أنالن . ISSN 0025-5831 . 

ماركوف، أ. (1879). "المذكرات الأولى" . الرياضيات أنالن . 15 ( 3 – 4): 381 – 406. دوى : 10.1007 / BF02086269 . S2CID 179177894 . 

ماركوف، أ. (1880). "المذكرات الثانية" . الرياضيات أنالن . 17 (3): 379-399 . دوى : 10.1007 / BF01446234 . S2CID 121616054 .