التحكم الأمثل

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 59 صور
الموسوعة الحرة
معيار مشكلة التحكم الأمثل (Luus) مع هدف تكاملي، ومتباينة، وقيد تفاضلي

نظرية التحكم الأمثل هي فرع من نظرية التحكم يُعنى بإيجاد نظام تحكم ديناميكي على مدى فترة زمنية معينة، بحيث يتم تحقيق أفضل أداء لدالة الهدف . [ 1 ] ولها تطبيقات عديدة في العلوم والهندسة وبحوث العمليات. على سبيل المثال، قد يكون النظام الديناميكي مركبة فضائية مزودة بأنظمة تحكم تُحاكي محركات الصواريخ، ويكون الهدف هو الوصول إلى القمر بأقل استهلاك للوقود. [ 2 ] أو قد يكون النظام الديناميكي اقتصاد دولة ما ، بهدف تقليل البطالة ؛ وفي هذه الحالة، قد تكون أنظمة التحكم هي السياسات المالية والنقدية . [ 3 ] كما يُمكن استخدام النظام الديناميكي لدمج مسائل بحوث العمليات ضمن إطار نظرية التحكم الأمثل. [ 4 ] [ 5 ]

يُعدّ التحكم الأمثل امتدادًا لحساب التفاضل والتكامل ، وهو أسلوب رياضي لتحسين اشتقاق سياسات التحكم . [ 6 ] ويعود الفضل في هذا الأسلوب إلى حد كبير إلى أعمال ليف بونترياغين وريتشارد بيلمان في خمسينيات القرن العشرين، بعد إسهامات إدوارد ج . مكشين في حساب التفاضل والتكامل. [ 7 ] ويمكن اعتبار التحكم الأمثل استراتيجية تحكم في نظرية التحكم . [ 1 ]

الطريقة العامة

يتناول التحكم الأمثل مشكلة إيجاد قانون تحكم لنظام معين يحقق معيارًا محددًا للأمثلية . تتضمن مسألة التحكم دالة تكلفة تعتمد على متغيرات الحالة والتحكم. يُعرَّف التحكم الأمثل بأنه مجموعة من المعادلات التفاضلية التي تصف مسارات متغيرات التحكم التي تُقلل دالة التكلفة. يمكن اشتقاق التحكم الأمثل باستخدام مبدأ بونترياجين الأقصى ( شرط ضروري يُعرف أيضًا بمبدأ بونترياجين الأدنى أو ببساطة مبدأ بونترياجين)، [ 8 ] أو بحل معادلة هاميلتون-جاكوبي-بيلمان ( شرط كافٍ ).

نبدأ بمثال بسيط. تخيل سيارة تسير في خط مستقيم على طريق جبلي. السؤال هو: كيف ينبغي للسائق الضغط على دواسة الوقود لتقليل زمن الرحلة الإجمالي؟ في هذا المثال، يشير مصطلح "قانون التحكم" تحديدًا إلى طريقة ضغط السائق على دواسة الوقود وتغيير التروس. يتكون النظام من السيارة والطريق، ومعيار الأمثلية هو تقليل زمن الرحلة الإجمالي. عادةً ما تتضمن مسائل التحكم قيودًا إضافية ، مثل: محدودية كمية الوقود المتاحة، وعدم إمكانية الضغط على دواسة الوقود من خلال أرضية السيارة، وحدود السرعة، وما إلى ذلك.

تُعرَّف دالة التكلفة المناسبة بأنها تعبير رياضي يُعطي زمن السفر كدالة للسرعة، والاعتبارات الهندسية، والشروط الابتدائية للنظام. وغالبًا ما تكون القيود قابلة للتبادل مع دالة التكلفة.

قد تتمثل إحدى مسائل التحكم الأمثل ذات الصلة في إيجاد طريقة لقيادة السيارة لتقليل استهلاكها للوقود، مع الأخذ في الاعتبار أنها يجب أن تُكمل مسارًا محددًا في زمن لا يتجاوز حدًا معينًا. كما قد تتمثل مسألة تحكم أخرى ذات صلة في تقليل التكلفة النقدية الإجمالية لإتمام الرحلة، مع افتراض أسعار نقدية للوقت والوقود.

يُمكن تقديم إطار عمل أكثر تجريدًا على النحو التالي: [ 1 ] تقليل دالة التكلفة في الزمن المستمر ج[x(⋅)،u(⋅)،ت0،تو]:=هـ[x(ت0)،ت0،x(تو)،تو]+∫ت0توF[x(ت)،u(ت)،ت]دت{\displaystyle J[{\textbf {x}}(\cdot ),{\textbf {u}}(\cdot ),t_{0},t_{f}]:=E\,[{\textbf {x}}(t_{0}),t_{0},{\textbf {x}}(t_{f}),t_{f}]+\int _{t_{0}}^{t_{f}}F\,[{\textbf {x}}(t),{\textbf {u}}(t),t]\,\mathrm {d} t} مع مراعاة القيود الديناميكية من الدرجة الأولى ( معادلة الحالة ) x˙(ت)=و[x(ت)،u(ت)،ت]،{\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}(t)={\textbf {f}}\,[\,{\textbf {x}}(t),{\textbf {u}}(t),t],}قيود المسار الجبريح[x(ت)،u(ت)،ت]≤0،{\displaystyle {\textbf {h}}\,[{\textbf {x}}(t),{\textbf {u}}(t),t]\leq {\textbf {0}},} وشروط نقطة النهايةهـ[x(ت0)،ت0،x(تو)،تو]=0{\displaystyle {\textbf {e}}[{\textbf {x}}(t_{0}),t_{0},{\textbf {x}}(t_{f}),t_{f}]=0} أينx(ت){\displaystyle {\textbf {x}}(t)}هي الدولة ،u(ت){\displaystyle {\textbf {u}}(t)}التحكم ،​ت{\displaystyle t}المتغير المستقل (بشكل عام، الوقت)،ت0{\displaystyle t_{0}}هو الوقت الأولي، وتو{\displaystyle t_{f}}هو وقت الانتهاء. الشروطهـ{\displaystyle E}وF{\displaystyle F}تُسمى هذه التكاليف تكلفة نقطة النهاية وتكلفة التشغيل على التوالي. في حساب التفاضل والتكامل،هـ{\displaystyle E}وF{\displaystyle F}يُشار إليهما على التوالي بمصطلح ماير ودالة لاغرانج . علاوة على ذلك، تجدر الإشارة إلى أن قيود المسار هي عمومًا قيود متباينة ، وبالتالي قد لا تكون فعّالة (أي تساوي صفرًا) عند الحل الأمثل. كما تجدر الإشارة إلى أن مسألة التحكم الأمثل، كما ذُكر أعلاه، قد يكون لها حلول متعددة (أي أن الحل قد لا يكون فريدًا). ​​لذا، غالبًا ما يكون أي حل[x*(ت)،u*(ت)،ت0*،تو*]{\displaystyle [{\textbf {x}}^{*}(t),{\textbf {u}}^{*}(t),t_{0}^{*},t_{f}^{*}]}تتمثل مشكلة التحكم الأمثل في تقليل القيمة محليًا .

التحكم الخطي التربيعي

تُعدّ مسألة التحكم الأمثل الخطي التربيعي (LQ) حالةً خاصةً من مسألة التحكم الأمثل غير الخطي العامة المذكورة في القسم السابق . وتُصاغ مسألة LQ على النحو التالي: تقليل دالة التكلفة التربيعية المستمرة في الزمن.ج=12xتي(تو)Sوx(تو)+12∫ت0تو[xتي(ت)سؤال(ت)x(ت)+uتي(ت)R(ت)u(ت)]دت{\displaystyle J={\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}(t_{f})\mathbf {S} _{f}\mathbf {x} (t_{f})+{\tfrac {1}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{f}}[\,\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}(t)\mathbf {Q} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}(t)\mathbf {R} (t)\mathbf {u} (t)]\,\mathrm {d} t}

مع مراعاة القيود الديناميكية الخطية من الدرجة الأولى x˙(ت)=أ(ت)x(ت)+ب(ت)u(ت)،{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t),} والشرط الأولي x(ت0)=x0{\displaystyle \mathbf {x} (t_{0})=\mathbf {x} _{0}}

يُعدّ شكل منظم التربيع الخطي (LQR) أحد الأشكال الخاصة لمسألة LQ التي تظهر في العديد من مسائل أنظمة التحكم، حيث تكون جميع المصفوفات (أيأ{\displaystyle \mathbf {A} }،ب{\displaystyle \mathbf {B} }،سؤال{\displaystyle \mathbf {Q} }، وR{\displaystyle \mathbf {R} }تكون هذه القيم ثابتة ، ويتم ضبط الوقت الابتدائي بشكل تعسفي على الصفر، ويتم أخذ الوقت النهائي في النهاية.تو→∞{\displaystyle t_{f}\rightarrow \infty }(هذا الافتراض الأخير هو ما يُعرف بالأفق الزمني اللانهائي ). تُصاغ مسألة LQR على النحو التالي: تقليل دالة التكلفة التربيعية المستمرة ذات الأفق الزمني اللانهائي. ج=12∫0∞[xتي(ت)سؤالx(ت)+uتي(ت)Ru(ت)]دت{\displaystyle J={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }[\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}(t)\mathbf {Q} \mathbf {x} (t)+\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}(t)\mathbf {R} \mathbf {u} (t)]\,\mathrm {d} t}

مع مراعاة القيود الديناميكية الخطية الثابتة مع الزمن من الدرجة الأولى x˙(ت)=أx(ت)+بu(ت)،{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t),} والشرط الأولي x(ت0)=x0{\displaystyle \mathbf {x} (t_{0})=\mathbf {x} _{0}}

في حالة الأفق المحدود، تكون المصفوفات مقيدة في ذلكسؤال{\displaystyle \mathbf {Q} }وR{\displaystyle \mathbf {R} }تكون المصفوفات شبه موجبة وموجبة تمامًا على التوالي. أما في حالة الأفق اللانهائي، فإن المصفوفاتسؤال{\displaystyle \mathbf {Q} }وR{\displaystyle \mathbf {R} }ليست فقط شبه موجبة وموجبة تمامًا على التوالي، بل هي أيضًا ثابتة . هذه القيود الإضافية على سؤال{\displaystyle \mathbf {Q} }وR{\displaystyle \mathbf {R} }في حالة الأفق اللانهائي، تُفرض شروط لضمان بقاء دالة التكلفة موجبة. علاوة على ذلك، ولضمان أن تكون دالة التكلفة محدودة ، يُفرض قيد إضافي يتمثل في أن الزوج(أ،ب){\displaystyle (\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}يمكن التحكم فيه . لاحظ أنه يمكن اعتبار دالة التكلفة LQ أو LQR فيزيائيًا بمثابة محاولة لتقليل طاقة التحكم (المقاسة كشكل تربيعي ).

قد تبدو مشكلة الأفق اللانهائي (أي LQR) مقيدة للغاية وغير مجدية عمليًا لأنها تفترض أن المؤثر يدفع النظام إلى حالة الصفر، وبالتالي يدفع خرج النظام إلى الصفر. وهذا صحيح بالفعل. مع ذلك، يمكن حل مشكلة دفع الخرج إلى مستوى غير صفري مرغوب فيه بعد حل مشكلة الخرج الصفري. في الواقع، يمكن إثبات أن مشكلة LQR الثانوية هذه قابلة للحل بطريقة مباشرة للغاية. وقد ثبت في نظرية التحكم الأمثل الكلاسيكية أن التحكم الأمثل LQ (أو LQR) له شكل التغذية الراجعة. u(ت)=-ك(ت)x(ت){\displaystyle \mathbf {u} (t)=-\mathbf {K} (t)\mathbf {x} (t)} أينك(ت){\displaystyle \mathbf {K} (t)}هي مصفوفة ذات أبعاد مناسبة، معطاة على النحو التالي: ك(ت)=R-1بتيS(ت)،{\displaystyle \mathbf {K} (t)=\mathbf {R} ^{-1}\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {S} (t),} وS(ت){\displaystyle \mathbf {S} (t)}يمثل حل معادلة ريكاتي التفاضلية . تُعطى معادلة ريكاتي التفاضلية على النحو التالي: S˙(ت)=-S(ت)أ-أتيS(ت)+S(ت)بR-1بتيS(ت)-سؤال{\displaystyle {\dot {\mathbf {S} }}(t)=-\mathbf {S} (t)\mathbf {A} -\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {S} (t)+\mathbf {S} (t)\mathbf {B} \mathbf {R} ^{-1}\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {S} (t)-\mathbf {Q} }

بالنسبة لمسألة LQ ذات الأفق الزمني المحدود، يتم تكامل معادلة ريكاتي عكسيًا في الزمن باستخدام شرط الحدود النهائي S(تو)=Sو{\displaystyle \mathbf {S} (t_{f})=\mathbf {S} _{f}}

بالنسبة لمسألة LQR ذات الأفق اللانهائي، يتم استبدال معادلة ريكاتي التفاضلية بمعادلة ريكاتي الجبرية (ARE) المعطاة على النحو التالي 0=-Sأ-أتيS+SبR-1بتيS-سؤال{\displaystyle \mathbf {0} =-\mathbf {S} \mathbf {A} -\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {S} +\mathbf {S} \mathbf {B} \mathbf {R} ^{-1}\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {S} -\mathbf {Q} }

انطلاقاً من فهم أن مشكلة ARE تنشأ من مشكلة الأفق اللانهائي، فإن المصفوفاتأ{\displaystyle \mathbf {A} }،ب{\displaystyle \mathbf {B} }،سؤال{\displaystyle \mathbf {Q} }، وR{\displaystyle \mathbf {R} }جميعها ثابتة . تجدر الإشارة إلى وجود حلول متعددة لمعادلة ريكاتي الجبرية ، ويُستخدم الحل الموجب المحدد (أو شبه الموجب المحدد) لحساب كسب التغذية الراجعة. وقد حلّ رودولف إي. كالمان مسألة LQ (LQR) ببراعة . [ 9 ]

الأساليب العددية للتحكم الأمثل

تُعدّ مسائل التحكم الأمثل عمومًا مسائل غير خطية، وبالتالي، لا تمتلك حلولًا تحليلية في الغالب (مثل مسألة التحكم الأمثل الخطي التربيعي). ونتيجةً لذلك، من الضروري استخدام الطرق العددية لحلّ مسائل التحكم الأمثل. في السنوات الأولى لعلم التحكم الأمثل ( من خمسينيات إلى ثمانينيات القرن العشرين تقريبًا )، كان النهج المُفضّل لحلّ مسائل التحكم الأمثل هو الطرق غير المباشرة . في هذه الطرق، يُستخدم حساب التفاضل والتكامل للحصول على شروط الأمثلية من الدرجة الأولى. تُنتج هذه الشروط مسألة قيمة حدية ثنائية النقاط (أو متعددة النقاط في حالة المسائل المعقدة) . تتميز مسألة القيمة الحدية هذه ببنية خاصة لأنها تنشأ من اشتقاق دالة هاميلتونية . وبالتالي، يكون النظام الديناميكي الناتج نظامًا هاميلتونيًا على الصورة [ 1 ].x˙=∂ح∂λλ˙=-∂ح∂x{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\textbf {x}}}&={\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {\lambda }}}}\\[1.2ex]{\dot {\boldsymbol {\lambda }}}&=-{\frac {\partial H}{\partial {\textbf {x}}}}\end{aligned}}} أين ح=F+λتيو-μتيح{\displaystyle H=F+{\boldsymbol {\lambda }}^{\mathsf {T}}{\textbf {f}}-{\boldsymbol {\mu }}^{\mathsf {T}}{\textbf {h}}} هو الهاميلتوني المُعزز ، وفي طريقة غير مباشرة، تُحل مسألة القيمة الحدية (باستخدام شروط الحدود أو شروط التعامد المناسبة ). تكمن ميزة استخدام الطريقة غير المباشرة في أن الحالة والمرافق (أي،λ{\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}يتم حل المعادلات لإيجاد قيمها، ويمكن التحقق بسهولة من أن الحل الناتج يمثل مسارًا متطرفًا. يتمثل عيب الطرق غير المباشرة في صعوبة حل مسألة القيمة الحدية في كثير من الأحيان (خاصةً للمسائل التي تمتد على فترات زمنية طويلة أو المسائل ذات القيود الداخلية). يُعد برنامج BNDSCO أحد البرامج المعروفة التي تُنفذ الطرق غير المباشرة. [ 10 ]

يُعدّ أسلوب الطرق المباشرة من أبرز الأساليب التي برزت في مجال التحكم الأمثل العددي منذ ثمانينيات القرن الماضي . في هذه الطرق، يتم تقريب حالة النظام أو التحكم، أو كليهما، باستخدام دالة تقريبية مناسبة (مثل التقريب متعدد الحدود أو المعامل الثابت القطعي). في الوقت نفسه، يتم تقريب دالة التكلفة كدالة تكلفة . بعد ذلك، تُعامل معاملات التقريبات كمتغيرات تحسين، ويتم تحويل المسألة إلى مسألة تحسين غير خطية على النحو التالي:

التقليل F(z){\displaystyle F(\mathbf {z} )} مع مراعاة القيود الجبرية ز(z)=0ح(z)≤0{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {g} (\mathbf {z} )&=\mathbf {0} \\\mathbf {h} (\mathbf {z} )&\leq \mathbf {0} \end{aligned}}}

بحسب نوع الطريقة المباشرة المستخدمة، قد يكون حجم مسألة التحسين غير الخطي صغيرًا جدًا (كما في طريقة التصويب المباشر أو طريقة شبه الخطية )، أو متوسطًا (كما في التحكم الأمثل الطيفي الزائف [ 11 ] )، أو كبيرًا جدًا (كما في طريقة التجميع المباشر [ 12 ] ). في الحالة الأخيرة (أي طريقة التجميع)، قد تحتوي مسألة التحسين غير الخطي على آلاف أو حتى عشرات الآلاف من المتغيرات والقيود. ونظرًا لحجم العديد من مسائل البرمجة غير الخطية الناتجة عن الطريقة المباشرة، قد يبدو من غير البديهي أن حل مسألة التحسين غير الخطي أسهل من حل مسألة القيمة الحدية. إلا أن الواقع يُشير إلى أن حل مسألة البرمجة غير الخطية أسهل من حل مسألة القيمة الحدية. يعود السبب في سهولة الحساب النسبية، وخاصةً طريقة التجميع المباشر، إلى أن مسائل البرمجة غير الخطية (NLP) متفرقة ، ووجود العديد من البرامج المعروفة (مثل SNOPT [ 13 ] ) لحل مسائل البرمجة غير الخطية المتفرقة الكبيرة. ونتيجةً لذلك، فإن نطاق المسائل التي يمكن حلها باستخدام الطرق المباشرة (وخاصةً طرق التجميع المباشر الشائعة جدًا هذه الأيام) أكبر بكثير من نطاق المسائل التي يمكن حلها باستخدام الطرق غير المباشرة. في الواقع، أصبحت الطرق المباشرة شائعة جدًا لدرجة أن العديد من المطورين قاموا بكتابة برامج متطورة تستخدم هذه الطرق. ومن هذه البرامج على وجه الخصوص: DIRCOL [ 14 ] ، وSOCS [ 15 ] ، وOTIS [ 16 ] ، وGESOP/ ASTOS [ 17 ] ، و DITAN [ 18 ] ، وPyGMO/PyKEP [ 19 ] . في السنوات الأخيرة، ومع ظهور لغة برمجة MATLAB ، أصبح استخدام برامج التحكم الأمثل في MATLAB أكثر شيوعًا. من أمثلة أدوات برمجيات MATLAB المطورة أكاديمياً والتي تنفذ الطرق المباشرة RIOTS ، [ 20 ] و DIDO ، [ 21 ] وDIRECT ، [ 22 ] و FALCON.m، [ 23 ] و GPOPS، [ 24 ] بينما من أمثلة أدوات MATLAB المطورة صناعياً PROPT . [ 25 ]لقد ساهمت هذه الأدوات البرمجية بشكل كبير في زيادة فرص استكشاف مسائل التحكم الأمثل المعقدة، سواءً لأغراض البحث الأكاديمي أو التطبيقات الصناعية. [ 26 ] وأخيرًا، تجدر الإشارة إلى أن بيئات التحسين العامة في MATLAB، مثل TOMLAB، قد سهّلت برمجة مسائل التحكم الأمثل المعقدة بشكل ملحوظ مقارنةً بما كان ممكنًا سابقًا في لغات مثل C و FORTRAN .

التحكم الأمثل في الزمن المتقطع

أظهرت الأمثلة السابقة أنظمة وحلول تحكم متصلة الزمن . في الواقع، نظرًا لأن حلول التحكم الأمثل تُنفذ رقميًا في أغلب الأحيان ، فإن نظرية التحكم المعاصرة تُعنى بشكل أساسي بأنظمة وحلول الزمن المتقطع . تُقدم نظرية التقريبات المتسقة [ 27 ] [ 28 ] شروطًا تتقارب بموجبها حلول سلسلة من مسائل التحكم الأمثل المتقطعة ذات الدقة المتزايدة مع حل المسألة الأصلية المتصلة الزمن. لا تتمتع جميع طرق التقطيع بهذه الخاصية، حتى تلك التي تبدو بديهية. [ 29 ] على سبيل المثال، قد يؤدي استخدام روتين ذي حجم خطوة متغير لتكامل المعادلات الديناميكية للمسألة إلى توليد تدرج لا يتقارب إلى الصفر (أو لا يشير إلى الاتجاه الصحيح) عند الاقتراب من الحل. تعتمد طريقة RIOTS المباشرة على نظرية التقريب المتسق.

أمثلة

تتمثل إحدى استراتيجيات الحل الشائعة في العديد من مسائل التحكم الأمثل في إيجاد الحالة المرافقة (والتي تسمى أحيانًا السعر الظلي ).λ(ت){\displaystyle \lambda (t)}يلخص المتغير التابع القيمة الحدية لتوسيع أو تقليص متغير الحالة في الدور التالي برقم واحد. لا تقتصر القيمة الحدية على المكاسب المتراكمة في الدور التالي فحسب، بل تشمل أيضًا مدة البرنامج. من الجيد عندماλ(ت){\displaystyle \lambda (t)}يمكن حلها تحليليًا، ولكن عادةً، أقصى ما يمكن فعله هو وصفها بشكل جيد بما يكفي بحيث يمكن للحدس أن يفهم طبيعة الحل ويمكن لبرنامج حل المعادلات أن يحلها عدديًا للحصول على القيم.

بعد الحصولλ(ت){\displaystyle \lambda (t)}يمكن عادةً حل القيمة المثلى للدوران t للتحكم كمعادلة تفاضلية مشروطة بمعرفةλ(ت){\displaystyle \lambda (t)}ومرة أخرى، من النادر، خاصة في مسائل الزمن المستمر، الحصول على قيمة التحكم أو الحالة بشكل صريح. عادةً، تتمثل الاستراتيجية في إيجاد العتبات والمناطق التي تميز التحكم الأمثل، واستخدام برنامج حل عددي لعزل قيم الاختيار الفعلية مع مرور الوقت.

وقت محدود

لنفترض مشكلة مالك منجم عليه أن يقرر معدل استخراج الخام من منجمه. يمتلك حقوق الخام من تاريخ0{\displaystyle 0}حتى الآنتي{\displaystyle T}في التاريخ0{\displaystyle 0}هنالكx0{\displaystyle x_{0}}الخام الموجود في الأرض، وكمية الخام التي تعتمد على الوقتx(ت){\displaystyle x(t)}يتناقص ما تبقى في الأرض بمعدلu(ت){\displaystyle u(t)}يستخرجها صاحب المنجم. ويستخرج صاحب المنجم الخام بتكلفة التكلفة.u(ت)2/x(ت){\displaystyle u(t)^{2}/x(t)}(تزداد تكلفة الاستخراج مع مربع سرعة الاستخراج ومعكوس كمية الخام المتبقية) ويبيع الخام بسعر ثابتص{\displaystyle p}أي خام متبقٍ في الأرض في ذلك الوقتتي{\displaystyle T}لا يمكن بيعها وليس لها قيمة (لا توجد "قيمة خردة"). يختار المالك معدل الاستخراج الذي يتغير مع مرور الوقتu(ت){\displaystyle u(t)}لتحقيق أقصى قدر من الأرباح على مدار فترة الملكية دون خصم زمني.

  1. نسخة الزمن المنفصل

    يسعى المدير إلى تحقيق أقصى قدر من الربحΠ{\displaystyle \Pi }: Π=∑ت=0تي-1[صuت-uت2xت]{\displaystyle \Pi =\sum _{t=0}^{T-1}\left[pu_{t}-{\frac {u_{t}^{2}}{x_{t}}}\right]} مع مراعاة قانون الحركة لمتغير الحالةxت{\displaystyle x_{t}}xت+1-xت=-uت{\displaystyle x_{t+1}-x_{t}=-u_{t}}

    قم بتكوين الهاميلتوني واشتقاقه: ح=صuت-uت2xت-λت+1uت∂ح∂uت=ص-λت+1-2uتxت=0λت+1-λت=-∂ح∂xت=-(uتxت)2{\displaystyle {\begin{aligned}H&=pu_{t}-{\frac {u_{t}^{2}}{x_{t}}}-\lambda _{t+1}u_{t}\\{\frac {\partial H}{\partial u_{t}}}&=p-\lambda _{t+1}-2{\frac {u_{t}}{x_{t}}}=0\\\lambda _{t+1}-\lambda _{t}&=-{\frac {\partial H}{\partial x_{t}}}=-\left({\frac {u_{t}}{x_{t}}}\right)^{2}\end{aligned}}}

    لأن مالك المنجم لا يقدر قيمة الخام المتبقي في ذلك الوقتتي{\displaystyle T}، λتي=0{\displaystyle \lambda _{T}=0}

    باستخدام المعادلات المذكورة أعلاه، من السهل إيجاد الحل لـxت{\displaystyle x_{t}}وλت{\displaystyle \lambda _{t}}مسلسل λت=λت+1+(ص-λت+1)24xت+1=xت2-ص+λت+12{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{t}&=\lambda _{t+1}+{\frac {\left(p-\lambda _{t+1}\right)^{2}}{4}}\\x_{t+1}&=x_{t}{\frac {2-p+\lambda _{t+1}}{2}}\end{aligned}}}

    وباستخدام الشروط الابتدائية وشروط الانعطاف T،xت{\displaystyle x_{t}}يمكن حل المتسلسلات بشكل صريح، مما يعطيuت{\displaystyle u_{t}}.
  2. نسخة الوقت المستمر

    يسعى المدير إلى تحقيق أقصى قدر من الربحΠ{\displaystyle \Pi }: Π=∫0تي[صu(ت)-u(ت)2x(ت)]دت{\displaystyle \Pi =\int _{0}^{T}\left[pu(t)-{\frac {u(t)^{2}}{x(t)}}\right]dt} حيث متغير الحالةx(ت){\displaystyle x(t)}يتطور الأمر على النحو التالي: x˙(ت)=-u(ت){\displaystyle {\dot {x}}(t)=-u(t)}

    قم بتكوين الهاميلتوني واشتقاقه: ح=صu(ت)-u(ت)2x(ت)-λ(ت)u(ت)∂ح∂u=ص-λ(ت)-2u(ت)x(ت)=0λ˙(ت)=-∂ح∂x=-(u(ت)x(ت))2{\displaystyle {\begin{aligned}H&=pu(t)-{\frac {u(t)^{2}}{x(t)}}-\lambda (t)u(t)\\{\frac {\partial H}{\partial u}}&=p-\lambda (t)-2{\frac {u(t)}{x(t)}}=0\\{\dot {\lambda }}(t)&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}=-\left({\frac {u(t)}{x(t)}}\right)^{2}\end{aligned}}}

    لأن مالك المنجم لا يقدر قيمة الخام المتبقي في ذلك الوقتتي{\displaystyle T}، λ(تي)=0{\displaystyle \lambda (T)=0}

    باستخدام المعادلات المذكورة أعلاه، من السهل حل المعادلات التفاضلية التي تحكمu(ت){\displaystyle u(t)}وλ(ت){\displaystyle \lambda (t)}λ˙(ت)=-(ص-λ(ت))24u(ت)=x(ت)ص-λ(ت)2{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\lambda }}(t)&=-{\frac {(p-\lambda (t))^{2}}{4}}\\u(t)&=x(t){\frac {p-\lambda (t)}{2}}\end{aligned}}} وباستخدام الشروط الابتدائية وشروط الدوران T، يمكن حل الدوال للحصول على

    x(ت)=(4-صت+صتي)2(4+صتي)2x0{\displaystyle x(t)={\frac {\left(4-pt+pT\right)^{2}}{\left(4+pT\right)^{2}}}x_{0}}

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 3 4 روس، إسحاق (2015). مدخل إلى مبدأ بونترياغين في التحكم الأمثل . سان فرانسيسكو: دار النشر الجامعية. ISBN 978-0-9843571-0-9. OCLC 625106088 . 
  2. ↑ لونبرغر، ديفيد ج. (1979). "التحكم الأمثل". مقدمة في الأنظمة الديناميكية . نيويورك: جون وايلي وأولاده. ص 393-435 . ISBN  0-471-02594-1.
  3. ↑ كامين، مورتون آي. (2013). التحسين الديناميكي: حساب التفاضل والتكامل والتحكم الأمثل في الاقتصاد والإدارة . منشورات دوفر. ISBN 978-1-306-39299-0. OCLC 869522905 . 
  4. ↑ روس، آي إم؛ برولكس، آر جيه؛ كاربينكو، إم. (6 مايو 2020). "نظرية التحكم الأمثل لمسألة البائع المتجول ومتغيراتها". arXiv : 2005.03186 [ math.OC ].
  5. ↑ روس، إسحاق م.؛ كاربينكو، مارك؛ برولكس، رونالد ج. (1 يناير 2016). "حساب تفاضلي غير أملس لحل بعض مسائل التحكم القائمة على نظرية الرسم البياني**. رُعي هذا البحث من قِبل البحرية الأمريكية" . أوراق IFAC الإلكترونية . الندوة العاشرة للاتحاد الدولي للتحكم الآلي حول أنظمة التحكم غير الخطية NOLCOS 2016. 49 (18): 462-467 . doi : 10.1016/j.ifacol.2016.10.208 . ISSN 2405-8963 . 
  6. ↑ سارجنت، ر. و. هـ. (2000). "التحكم الأمثل" . مجلة الرياضيات الحسابية والتطبيقية . 124 ( 1-2 ): 361-371 . Bibcode : 2000JCoAM.124..361S . doi : 10.1016/S0377-0427(00)00418-0 .
  7. ↑ برايسون، أ. إي. (1996). "التحكم الأمثل - من 1950 إلى 1985". مجلة أنظمة التحكم التابعة لمعهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات . 16 (3): 26-33 . doi : 10.1109/37.506395 .
  8. ↑ روس، آي إم (2009). مدخل إلى مبدأ بونترياغين في التحكم الأمثل . دار النشر الجامعية. رقم ISBN 978-0-9843571-0-9.
  9. ↑ كالمان، رودولف. منهج جديد لمشاكل الترشيح والتنبؤ الخطي . معاملات الجمعية الأمريكية للمهندسين الميكانيكيين، مجلة الهندسة الأساسية، 82: 34-45، 1960
  10. ↑ أوبرلي، إتش جيه وغريم، دبليو، "BNDSCO- برنامج للحل العددي لمشاكل التحكم الأمثل"، معهد ديناميكيات أنظمة الطيران، DLR، أوبربفافنهوفن، 1989
  11. ↑ روس، آي إم ؛ كاربينكو، إم. (2012). "مراجعة للتحكم الأمثل الطيفي الزائف: من النظرية إلى التطبيق" . المراجعات السنوية في التحكم . 36 (2): 182-197 . arXiv : 2511.20843 . doi : 10.1016/j.arcontrol.2012.09.002 .
  12. ↑ بيتس، جيه تي (2010). الأساليب العملية للتحكم الأمثل باستخدام البرمجة غير الخطية ( الطبعة الثانية). فيلادلفيا، بنسلفانيا: مطبعة SIAM. ISBN  978-0-89871-688-7.
  13. ↑ جيل، بي إي، موراي، دبليو إم، وساوندرز، إم إيه، دليل المستخدم لبرنامج SNOPT الإصدار 7: برنامج للبرمجة غير الخطية واسعة النطاق ، تقرير جامعة كاليفورنيا، سان دييغو، 24 أبريل 2007
  14. ↑ O. von Stryk، دليل مستخدم DIRCOL (الإصدار 2.1): طريقة التجميع المباشر للحل العددي لمشاكل التحكم الأمثل ، Fachgebiet Simulation und Systemoptimierung (SIM)، Technische Universität Darmstadt (2000، إصدار نوفمبر 1999).
  15. ↑ بيتس، جيه تي وهوفمان، دبليو بي، برنامج التحكم الأمثل المتفرق، SOCS ، خدمات المعلومات والدعم لشركة بوينغ، سياتل، واشنطن، يوليو 1997
  16. ↑ هارجريفز، سي آر؛ باريس، إس دبليو (1987). "تحسين المسار المباشر باستخدام البرمجة غير الخطية والتجميع". مجلة التوجيه والتحكم والديناميكا . 10 (4): 338-342 . Bibcode : 1987JGCD...10..338H . doi : 10.2514/3.20223 .
  17. ↑ غاث، بي إف، ويل، كيه إتش، "تحسين المسار باستخدام مزيج من التصوير المتعدد المباشر والتجميع"، AIAA 2001–4047، مؤتمر AIAA للتوجيه والملاحة والتحكم، مونتريال، كيبيك، كندا، 6-9 أغسطس 2001
  18. ↑ فاسيل م.، بيرنيلي-زازيرا ف.، فورناساري ن.، ماساراتي ب.، "تصميم مهمات بين الكواكب والقمر تجمع بين الدفع المنخفض والمساعدة بالجاذبية"، التقرير النهائي لعقد دراسة وكالة الفضاء الأوروبية/مركز عمليات الفضاء الأوروبي رقم 14126/00/D/CS، سبتمبر 2002
  19. ↑ إيزو، داريو. "PyGMO وPyKEP: أدوات مفتوحة المصدر للتحسين المتوازي على نطاق واسع في ديناميكيات الفضاء (حالة تحسين مسار الفضاء بين الكواكب)." وقائع المؤتمر الدولي الخامس لأدوات وتقنيات ديناميكيات الفضاء، ICATT. 2012.
  20. ↑ أعمال شغب مؤرشفة في 16 يوليو 2011 على موقع Wayback Machine ، استنادًا إلى شوارتز، آدم (1996). نظرية وتطبيق الطرق القائمة على تكامل رونج-كوتا لحل مسائل التحكم الأمثل (أطروحة دكتوراه). جامعة كاليفورنيا في بيركلي. OCLC 35140322 . 
  21. ↑ روس، آي إم، تحسينات على مجموعة أدوات التحكم الأمثل DIDO، arXiv 2020. https://arxiv.org/abs/2004.13112
  22. ↑ ويليامز، ب.، دليل المستخدم لبرنامج DIRECT، الإصدار 2.00، ملبورن، أستراليا، 2008
  23. ↑ FALCON.m ، الموصوف في Rieck, M., Bittner, M., Grüter, B., Diepolder, J., and Piprek, P., FALCON.m - دليل المستخدم ، معهد ديناميكيات أنظمة الطيران، جامعة ميونخ التقنية، أكتوبر 2019
  24. ↑ GPOPS مؤرشف في 24 يوليو 2011 في Wayback Machine ، موصوف في Rao, AV, Benson, DA, Huntington, GT, Francolin, C., Darby, CL, and Patterson, MA, دليل المستخدم لـ GPOPS: حزمة MATLAB للتحسين الديناميكي باستخدام طريقة جاوس الطيفية الزائفة ، تقرير جامعة فلوريدا، أغسطس 2008.
  25. ↑ Rutquist, P. and Edvall, M. M, PROPT – MATLAB Optimal Control Software , 1260 SE Bishop Blvd Ste E, Pullman, WA 99163, USA: Tomlab Optimization, Inc.
  26. ↑ آي إم روس، التحكم الأمثل الحسابي ، ورشة العمل الثالثة حول القضايا الحسابية في التحكم غير الخطي، 8 أكتوبر 2019، مونتيري، كاليفورنيا
  27. ↑ E. Polak, On the use of consistent approximations in the solution of semi-infinite optimization and optimotic control problems Math. Prog. 62 pp. 385–415 (1993).
  28. ↑ روس، آي إم. (1 ديسمبر 2005). "خارطة طريق للتحكم الأمثل: الطريق الصحيح للتنقل" . حوليات أكاديمية نيويورك للعلوم . 1065 (1): 210-231 . Bibcode : 2005NYASA1065..210R . doi : 10.1196 / annals.1370.015 . ISSN 0077-8923 . PMID 16510411. S2CID 7625851 .   
  29. ↑ فاهرو، فريبا؛ روس، آي. مايكل (سبتمبر 2008). "تقارب المتغيرات المساعدة لا يعني بالضرورة تقارب التحكم" . مجلة التوجيه والتحكم والديناميكا . 31 (5): 1492-1497 . Bibcode : 2008JGCD...31.1492F . doi : 10.2514/1.37331 . hdl : 10945/57005 . ISSN 0731-5090 . S2CID 756939 .  

للمزيد من القراءة