قيم محددة لدالة غاما

دالة غاما دالة خاصة مهمة في الرياضيات . يمكن التعبير عن قيمها المحددة بصيغة مغلقة للأعداد الصحيحة ، وأنصاف الأعداد الصحيحة ، وبعض القيم الكسرية الأخرى، ولكن لا توجد صيغ بسيطة معروفة لقيمها عند الأعداد الكسرية بشكل عام. أما القيم الكسرية الأخرى، فيمكن تقريبها باستخدام جداءات لانهائية فعالة، ومتسلسلات لانهائية ، وعلاقات تكرارية.

بالنسبة للوسائط الصحيحة الموجبة، تتطابق دالة غاما مع دالة المضروب . أي،

${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!,}$

وبالتالي

${\displaystyle {\begin{align}\Gamma (1)&=1,\\\Gamma (2)&=1,\\\Gamma (3)&=2,\\\Gamma (4)&=6,\\\Gamma (5)&=24,\end{محاذاة}}}$

وهكذا دواليك. بالنسبة للأعداد الصحيحة غير الموجبة، فإن دالة غاما غير معرفة.

للأعداد النصفية الموجبة${\displaystyle {\frac {k}{2}}}$أين${\displaystyle k\in 2\mathbb {N} ^{*}+1}$هو عدد فردي أكبر من أو يساوي${\displaystyle 3}$، تُعطى قيم الدالة بدقة بواسطة

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {k}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}{\frac {(k-2)!!}{2^{\frac {k-1}{2}}}}\,,}$

أو بصورة مكافئة، بالنسبة للقيم الصحيحة غير السالبة لـ n : 

$// {1}{2}}-n\right)&={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi }}={\frac {(-4)^{n}n!}{(2n)!}}{\sqrt {\pi }}\end{محاذاة}}}$

حيث يرمز n !! إلى المضروب المزدوج . على وجه الخصوص،

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle ={\sqrt {\pi }}\,}$	${\displaystyle \approx 1.772\,453\,850\,905\,516\,0273\,,}$	OEIS : A002161
${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\,}$	${\displaystyle \approx 0.886\,226\,925\,452\,758\,0137\,,}$	OEIS : A019704
${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle ={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}\,}$	${\displaystyle \approx 1.329\,340\,388\,179\,137\,0205\,,}$	OEIS : A245884
${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle ={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}\,}$	${\displaystyle \approx 3.323\,350\,970\,447\,842\,5512\,,}$	OEIS : A245885

وبواسطة صيغة الانعكاس ،

${\displaystyle \Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle =-2{\sqrt {\pi }}\,}$	${\displaystyle \approx -3.544\,907\,701\,811\,032\,0546\,,}$	OEIS : A019707
${\displaystyle \Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle ={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}\,}$	${\displaystyle \approx 2.363\,271\,801\,207\,354\,7031\,,}$	OEIS : A245886
${\displaystyle \Gamma \left(-{\tfrac {5}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle =-{\tfrac {8}{15}}{\sqrt {\pi }}\,}$	${\displaystyle \approx -0.945\,308\,720\,482\,941\,8812\,,}$	OEIS : A245887

قياساً على صيغة نصف العدد الصحيح،

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{3}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right){\frac {(3n-2)!!!}{3^{n}}}\\\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{4}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right){\frac {(4n-3)!!!!}{4^{n}}}\\\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{q}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{q}}\right){\frac {{\big (}qn-(q-1){\big )}!^{(q)}}{q^{n}}}\\\Gamma \left(n+{\tfrac {p}{q}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {p}{q}}\right){\frac {1}{q^{n}}}\prod _{k=1}^{n}(kq+p-q)\end{aligned}}}$

حيث يرمز n ! ^{( q )} إلى العامل المتعدد من الرتبة q للعدد n . عدديًا،

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 2.678\,938\,534\,707\,747\,6337}$OEIS : A073005 

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\approx 3.625\,609\,908\,221\,908\,3119}$OEIS : A068466 

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{5}}\right)\approx 4.590\,843\,711\,998\,803\,0532}$OEIS : A175380 

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{6}}\right)\approx 5.566\,316\,001\,780\,235\,2043}$OEIS : A175379 

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{7}}\right)\approx 6.548\,062\,940\,247\,824\,4377}$OEIS : A220086 

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{8}}\right)\approx 7.533\,941\,598\,797\,611\,9047}$OEIS : A203142  .

بالإضافة إلى ذلك،

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(n-\Gamma \left({\tfrac {1}{n}}\right)\right)=\gamma }$

أين${\displaystyle \gamma }$هو ثابت أويلر-ماسكيروني .

من غير المعروف ما إذا كانت هذه الثوابت متسامية بشكل عام، ولكن أثبت جي في تشودنوفسكي أن Γ( ⁠ 1 / 3 ⁠ ) و Γ( ⁠ 1 / 4 ⁠ ) متساميتان . كما عُرف منذ زمن طويل أن Γ( ⁠ 1 / 4 ⁠ ) / ⁴ √ π متسامي، وقد أثبت يوري نيستيرينكو في عام 1996 أن Γ( ⁠ 1 / 4 ⁠ ) و π و e ^π مستقلة جبريًا .

ل${\displaystyle n\geq 2}$ واحد على الأقل من الرقمين ${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{n}}\right)}$و${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {2}{n}}\right)}$ هو متعالٍ. ^{[ 1 ]}

الرقم${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)}$يرتبط بثابت اللمنيسكات${\displaystyle \varpi }$بواسطة

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2\varpi {\sqrt {2\pi }}}}}$

وجد بورواين وزوكر أن Γ ( n / 24 ) يمكن التعبير عنها جبريًا بدلالة π و K ( k (1)) و K ( k (2)) و K ( k (3)) و K ( k (6))، حيث K ( k ( N ) ) هو تكامل إهليلجي كامل من النوع الأول . وهذا يسمح بتقريب دالة غاما ذات الوسائط النسبية بدقة عالية باستخدام تكرارات المتوسط ​​الحسابي الهندسي المتقاربة تربيعيًا . على سبيل المثال:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left({\tfrac {1}{6}}\right)&={\frac {{\sqrt {\frac {3}{\pi }}}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{2}}{\sqrt[{3}]{2}}}\\\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)&=2{\sqrt {K\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right){\sqrt {\pi }}}}\\\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)&={\frac {2^{7/9}{\sqrt[{3}]{\pi K\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}}}{\sqrt[{12}]{3}}}\\\Gamma \left({\tfrac {1}{8}}\right)\Gamma \left({\tfrac {3}{8}}\right)&=8{\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {\left({\sqrt {2}}-1\right)\pi }}K\left(3-2{\sqrt {2}}\right)\\{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)}{\Gamma \left({\frac {3}{8}}\right)}}&={\frac {2{\sqrt {\left(1+{\sqrt {2}}\right)K\left({\frac {1}{2}}\right)}}}{\sqrt[{4}]{\pi }}}\end{aligned}}}$

لا توجد علاقات مماثلة معروفة لـ Γ( ⁠ 1 / 5 ⁠ ) أو المقامات الأخرى.

على وجه الخصوص، عندما يكون AGM() هو المتوسط ​​الحسابي الهندسي ، لدينا ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)={\frac {2^{\frac {1}{9}}(2\pi )^{\frac {2}{3}}}{3^{\frac {1}{12}}\cdot \operatorname {AGM} \left(2,{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}}}}$

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {\frac {(2\pi )^{\frac {3}{2}}}{\operatorname {AGM} \left({\sqrt {2}},1\right)}}}}$

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{6}}\right)={\frac {2^{\frac {14}{9}}\cdot 3^{\frac {1}{3}}\cdot \pi ^{\frac {5}{6}}}{\operatorname {AGM} \left(1+{\sqrt {3}},{\sqrt {8}}\right)^{\frac {2}{3}}}}.}$

وتشمل الصيغ الأخرى المنتجات اللانهائية

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)=(2\pi )^{\frac {3}{4}}\prod _{k=1}^{\infty }\tanh \left({\frac {\pi k}{2}}\right)}$

و

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)=A^{3}e^{-{\frac {G}{\pi }}}2^{\frac {1}{6}}{\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2k}}\right)^{k(-1)^{k}}}$

حيث A هو ثابت جلايشر-كينكلين و G هو ثابت كاتالان .

تم تقديم التمثيلين التاليين لـ Γ( ⁠ 3 / 4 ⁠ ) بواسطة I. Mező ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi }}}}{2}}}{\frac {1}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)^{2}}}=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi (k-2k^{2})}\theta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right),}$

و

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)^{2}}}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\theta _{4}(ik\pi ,e^{-\pi })}{e^{2\pi k^{2}}}},}$

حيث أن θ ₁ و θ ₄ هما اثنتان من دوال جاكوبي ثيتا .

يوجد أيضًا عدد من تكاملات مالمستين لقيم معينة لدالة جاما: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\ln \ln t}{1+t^{2}}}={\frac {\pi }{4}}\left(2\ln 2+3\ln \pi -4\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\right)}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\ln \ln t}{1+t+t^{2}}}={\frac {\pi }{6{\sqrt {3}}}}\left(8\ln 2\pi -3\ln 3-12\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)\right)}$

تتضمن بعض هويات المنتجات ما يلي:

${\displaystyle \prod _{r=1}^{2}\Gamma \left({\tfrac {r}{3}}\right)={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\approx 3.627\,598\,728\,468\,435\,7012}$OEIS : A186706 

${\displaystyle \prod _{r=1}^{3}\Gamma \left({\tfrac {r}{4}}\right)={\sqrt {2\pi ^{3}}}\approx 7.874\,804\,972\,861\,209\,8721}$OEIS : A220610 

${\displaystyle \prod _{r=1}^{4}\Gamma \left({\tfrac {r}{5}}\right)={\frac {4\pi ^{2}}{\sqrt {5}}}\approx 17.655\,285\,081\,493\,524\,2483}$

${\displaystyle \prod _{r=1}^{5}\Gamma \left({\tfrac {r}{6}}\right)=4{\sqrt {\frac {\pi ^{5}}{3}}}\approx 40.399\,319\,122\,003\,790\,0785}$

${\displaystyle \prod _{r=1}^{6}\Gamma \left({\tfrac {r}{7}}\right)={\frac {8\pi ^{3}}{\sqrt {7}}}\approx 93.754\,168\,203\,582\,503\,7970}$

${\displaystyle \prod _{r=1}^{7}\Gamma \left({\tfrac {r}{8}}\right)=4{\sqrt {\pi ^{7}}}\approx 219.828\,778\,016\,957\,263\,6207}$

على العموم:

${\displaystyle \prod _{r=1}^{n}\Gamma \left({\tfrac {r}{n+1}}\right)={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{n+1}}}}$

يمكن استنتاج قيم أخرى من هذه المنتجات، على سبيل المثال، من المعادلات السابقة لـ${\displaystyle \prod _{r=1}^{3}\Gamma \left({\tfrac {r}{4}}\right)}$،${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)}$و${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {2}{4}}\right)}$، ويمكن استنتاج ذلك:

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)=\left({\tfrac {\pi }{2}}\right)^{\tfrac {1}{4}}{\operatorname {AGM} \left({\sqrt {2}},1\right)}^{\tfrac {1}{2}}}$

تشمل العلاقات العقلانية الأخرى ما يلي:

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{5}}\right)\Gamma \left({\tfrac {4}{15}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)\Gamma \left({\tfrac {2}{15}}\right)}}={\frac {{\sqrt {2}}\,{\sqrt[{20}]{3}}}{{\sqrt[{6}]{5}}\,{\sqrt[{4}]{5-{\frac {7}{\sqrt {5}}}+{\sqrt {6-{\frac {6}{\sqrt {5}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{20}}\right)\Gamma \left({\tfrac {9}{20}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {3}{20}}\right)\Gamma \left({\tfrac {7}{20}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}{2}}}$^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{5}}\right)^{2}}{\Gamma \left({\frac {1}{10}}\right)\Gamma \left({\frac {3}{10}}\right)}}={\frac {\sqrt {1+{\sqrt {5}}}}{2^{\tfrac {7}{10}}{\sqrt[{4}]{5}}}}}$

والعديد من العلاقات الأخرى لـ Γ( ⁠ n / d ⁠ ) حيث يقسم المقام d العدد 24 أو 60. ^{[ 6 ]}

يجب أن تكون معاملات جاما ذات القيم الجبرية "متوازنة" بمعنى أن مجموع الوسائط هو نفسه (modulo 1) بالنسبة للمقام والبسط.

مثال أكثر تعقيداً:

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {11}{42}}\right)\Gamma \left({\frac {2}{7}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{21}}\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}}={\frac {8\sin \left({\frac {\pi }{7}}\right){\sqrt {\sin \left({\frac {\pi }{21}}\right)\sin \left({\frac {4\pi }{21}}\right)\sin \left({\frac {5\pi }{21}}\right)}}}{2^{\frac {1}{42}}3^{\frac {9}{28}}7^{\frac {1}{3}}}}}$^{[ 7 ]}

دالة غاما عند الوحدة التخيلية i = √ −1 تعطي OEIS : A212877  ، OEIS : A212878  :

${\displaystyle \Gamma (i)=(-1+i)!\approx -0.1549-0.4980i.}$

ويمكن أيضًا التعبير عنها بدلالة دالة بارنز G :

${\displaystyle \Gamma (i)={\frac {G(1+i)}{G(i)}}=e^{-\log G(i)+\log G(1+i)}.}$

${\displaystyle \Gamma (i)}$يظهر في التقييم التكاملي أدناه: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\{\cot(x)\}\,dx=1-{\frac {\pi }{2}}+{\frac {i}{2}}\log \left({\frac {\pi }{\sinh(\pi )\Gamma (i)^{2}}}\right).}$

هنا${\displaystyle \{\cdot \}}$يشير إلى الجزء الكسري .

بسبب صيغة انعكاس أويلر ، وحقيقة أن${\displaystyle \Gamma ({\bar {z}})={\bar {\Gamma }}(z)}$لدينا تعبير لمربع القيمة المطلقة لدالة جاما المحسوبة على المحور التخيلي:

${\displaystyle \left|\Gamma (i\kappa )\right|^{2}={\frac {\pi }{\kappa \sinh(\pi \kappa )}}}$

وبالتالي، يرتبط التكامل أعلاه بطور${\displaystyle \Gamma (i)}$.

دالة جاما مع وسائط مركبة أخرى تُرجع

${\displaystyle \Gamma (1+i)=i\Gamma (i)\approx 0.498-0.155i}$

${\displaystyle \Gamma (1-i)=-i\Gamma (-i)\approx 0.498+0.155i}$

${\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i)\approx 0.818\,163\,9995-0.763\,313\,8287\,i}$

${\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}i)\approx 0.818\,163\,9995+0.763\,313\,8287\,i}$

${\displaystyle \Gamma (5+3i)\approx 0.016\,041\,8827-9.433\,293\,2898\,i}$

${\displaystyle \Gamma (5-3i)\approx 0.016\,041\,8827+9.433\,293\,2898\,i.}$

دالة غاما لها قيمة صغرى محلية على المحور الحقيقي الموجب

${\displaystyle x_{\min }=1.461\,632\,144\,968\,362\,341\,262\,659\,5423\ldots \,}$OEIS : A030169 

بقيمة

${\displaystyle \Gamma \left(x_{\min }\right)=0.885\,603\,194\,410\,888\,700\,278\,815\,9005\ldots \,}$OEIS : A030171  .

كما أن تكامل دالة غاما المقلوبة على طول المحور الحقيقي الموجب يعطي ثابت فرانسين-روبنسون .

على المحور الحقيقي السالب، تكون القيم العظمى والصغرى المحلية الأولى (أصفار دالة ديغاما ) هي:

القيمتان الوحيدتان لـ x > 0 اللتان تحققان Γ( x ) = x هما x = 1 و x ≈3.562 382 285 390 897 691 415 644 3427 ... أويس : A218802  .

• صيغة تشاولا-سيلبرغ

• غرامين، ف. (1981). "Sur le théorème de Fukagawa-Gel'fond". اخترع. الرياضيات . 63 (3): 495– 506. بيب كود : 1981InMat..63..495G . دوى : 10.1007/BF01389066 . S2CID 123079859 . 
• بورواين، ج.م.؛ زوكر، إ.ج. (1992). "التقييم السريع لدالة غاما للكسور النسبية الصغيرة باستخدام التكاملات الإهليلجية الكاملة من النوع الأول". مجلة IMA للتحليل العددي . 12 (4): 519-526 . doi : 10.1093/imanum/12.4.519 . MR 1186733 . 
• اكس جوردون و بي صباح. مقدمة إلى وظيفة جاما
• وايسشتاين، إريك دبليو. "دالة غاما" . عالم الرياضيات .
• فيدوناس، رايمونداس (2005). “تعبيرات لقيم دالة جاما”. مجلة كيوشو للرياضيات . 59 (2): 267– 283. أرخايف : math.CA/0403510 . دوى : 10.2206/kyushujm.59.267 . S2CID 119623635 . 
• فيدوناس، رايمونداس (2005). “تعبيرات لقيم دالة جاما”. كيوشو ج. الرياضيات . 59 (2): 267– 283. أرخايف : math/0403510 . دوى : 10.2206/kyushujm.59.267 . السيد 2188592 . S2CID 119623635 .  
• آدمتشيك، ف. س. (2005). "دالة غاما المتعددة وتطبيقها في حساب المتسلسلات" (ملف PDF) . مجلة رامانوجان . 9 (3): 271-288 . arXiv : math/0308074 . doi : 10.1007/ s11139-005-1868-3 . MR 2173489. S2CID 15670340 .  
• ديوك، دبليو؛ إمام أوغلو، O. (2006). “القيم الخاصة لوظائف جاما المتعددة” (PDF) . جورنال دي Théorie des Nombres de Bordeaux . 18 (1): 113-123 . دوى : 10.5802/jtnb.536 . السيد 2245878 .