حلقة قفل الطور

يمكن أن تكون المرحلة متناسبة مع الوقت ، ^{[ أ ]} لذلك يمكن أن يتوافق فرق المرحلة مع فرق الوقت.

إذا تُركت الساعات دون ضبط، فإنها ستُشير إلى الوقت بمعدلات مختلفة قليلاً. على سبيل المثال، قد تتقدم الساعة الميكانيكية أو تتأخر بضع ثوانٍ في الساعة مقارنةً بساعة ذرية مرجعية (مثل NIST-F2 ). يصبح هذا الفارق الزمني كبيرًا بمرور الوقت. بدلاً من ذلك، يمكن للمستخدم مزامنة ساعته الميكانيكية (بدرجات متفاوتة من الدقة) عن طريق تثبيت طورها مع ساعة مرجعية. تتضمن إحدى طرق المزامنة غير الفعالة إعادة ضبط الساعة إلى وقت تلك الساعة الأكثر دقة كل أسبوع. ولكن، إذا تُركت الساعة دون ضبط، فستستمر في الانحراف عن الساعة المرجعية بنفس المعدل الذي يبلغ بضع ثوانٍ في الساعة.

تعتمد طريقة مزامنة أكثر كفاءة (مشابهة لدائرة PLL البسيطة في الشكل 1) على التحكم في ضبط التوقيت السريع/البطيء (مشابه لكيفية ضبط تردد مذبذب VCO) المتوفر في بعض الساعات. وكما هو الحال في مقارن الطور، يمكن للمستخدم ملاحظة أي انحراف في ساعته، وإجراء تعديل بسيط متناسب لضبط التوقيت، إما لإبطاء تردد الساعة قليلاً (إذا كانت سريعة) أو تسريعه (إذا كانت بطيئة). إذا لم يبالغ المستخدم في التعديل، فستكون ساعته أكثر دقة من ذي قبل. ومع تكرار هذه التعديلات الأسبوعية، سيتوافق مفهوم الثانية في الساعة بشكل كافٍ مع الساعة المرجعية، بحيث يمكن القول إنهما متزامنتان في التردد والطور.

تم استخدام نسخة مبكرة كهروميكانيكية من حلقة قفل الطور في عام 1921 في ساعة Shortt-Synchronome .

توجد عدة أنواع من حلقات قفل الطور (PLLs). ومن المصطلحات المستخدمة: "حلقة قفل الطور التناظرية" (APLL)، والتي تُعرف أيضاً باسم "حلقة قفل الطور الخطية" (LPLL)، و"حلقة قفل الطور الرقمية" (DPLL)، و"حلقة قفل الطور الرقمية بالكامل" (ADPLL)، و"حلقة قفل الطور البرمجية" (SPLL). ^{[ 11 ]}

PLL التناظري أو الخطي (APLL)

كاشف الطور هو مضاعف تناظري . مرشح الحلقة إما نشط أو سلبي . يستخدم مذبذبًا متحكمًا بالجهد (VCO). يُقال إن APLL من النوع الثاني إذا كان لمرشح الحلقة الخاص به دالة نقل بقطب واحد فقط عند نقطة الأصل (انظر أيضًا تخمين إيغان حول نطاق الانجذاب لـ APLL من النوع الثاني ).

نظام PLL الرقمي (DPLL)

دائرة قفل الطور التناظرية مزودة بكاشف طور رقمي (مثل XOR ، أو قلاب JK ذو الحافة المُشغَّلة ، أو كاشف تردد الطور). قد تحتوي على مُقسِّم رقمي في الدائرة.

جميع حلقات PLL الرقمية (ADPLL)

كاشف الطور والمرشح والمذبذب كلها رقمية. يستخدم مذبذبًا يتم التحكم فيه رقميًا (NCO).

PLL العصبي (NPLL)

يتم تنفيذ كاشف الطور بواسطة اللاخطية العصبية، ويتم تنفيذ المذبذب بواسطة الخلايا العصبية المتذبذبة التي يتم التحكم في معدلها. ^{[ 12 ]}

برنامج PLL (SPLL)

يتم تنفيذ الوحدات الوظيفية بواسطة البرمجيات بدلاً من الأجهزة المتخصصة.

نظام PLL ذو مضخة الشحن (CP-PLL)

يُعدّ CP-PLL تعديلاً لحلقات الطور المقفلة، حيث يستخدم كاشف الطور والتردد وإشارات الموجة المربعة. انظر أيضاً إلى فرضية غاردنر حول CP-PLL .

• اكتب ورتب.
• نطاقات التردد : نطاق التثبيت (نطاق التتبع)، نطاق الالتقاط (نطاق الاستحواذ)، نطاق التزامن. ^{[ 13 ]} انظر أيضًا مسألة غاردنر حول نطاق التزامن ، وتخمين إيغان حول نطاق الالتقاط لـ APLL من النوع الثاني ، ومسألة فيتربي حول تطابق نطاقات PLL .
• عرض نطاق الحلقة: تحديد سرعة حلقة التحكم.
• الاستجابة العابرة : مثل التجاوز ووقت الاستقرار إلى دقة معينة (مثل 50 جزءًا في المليون).
• أخطاء الحالة المستقرة: مثل خطأ الطور المتبقي أو خطأ التوقيت.
• نقاء طيف الخرج: مثل النطاقات الجانبية المتولدة من تموج جهد ضبط مذبذب التحكم بالجهد (VCO) معين.
• ضوضاء الطور: تُعرَّف بطاقة الضوضاء في نطاق تردد معين (مثل  إزاحة 10 كيلوهرتز عن الموجة الحاملة). وتعتمد بشكل كبير على ضوضاء طور مذبذب التحكم بالجهد، وعرض نطاق دائرة قفل الطور، وما إلى ذلك.
• المعايير العامة: مثل استهلاك الطاقة، ونطاق جهد الإمداد، وسعة الخرج، وما إلى ذلك.

تُرسل بعض تدفقات البيانات، وخاصةً تدفقات البيانات التسلسلية عالية السرعة (مثل تدفق البيانات الخام من رأس القراءة/الكتابة في محرك الأقراص)، بدون إشارة ساعة. يقوم جهاز الاستقبال بتوليد إشارة ساعة من مرجع تردد تقريبي، ثم يستخدم حلقة قفل الطور (PLL) لمواءمتها مع حواف إشارة تدفق البيانات . تُعرف هذه العملية باستعادة إشارة الساعة . لكي تنجح هذه الآلية، يجب أن يحتوي تدفق البيانات على حواف متكررة بما يكفي لتصحيح أي انحراف في مذبذب حلقة قفل الطور. لذلك، يُستخدم عادةً ترميز خطي ذو حد أقصى ثابت للوقت بين الحواف (مثل ترميز 8 بت/10 بت ) لترميز البيانات.

إذا أُرسلت إشارة الساعة بالتوازي مع البيانات، فيمكن استخدامها لأخذ عينات من البيانات. ولأن إشارة الساعة يجب استقبالها وتضخيمها قبل أن تتمكن من تشغيل القلابات التي تأخذ عينات البيانات، فسيكون هناك تأخير محدود، يعتمد على العملية ودرجة الحرارة والجهد، بين حافة إشارة الساعة المكتشفة ونافذة البيانات المستلمة. هذا التأخير يحد من تردد إرسال البيانات. إحدى طرق التخلص من هذا التأخير هي تضمين حلقة قفل الطور (PLL) ذات انحراف مصحح على جانب الاستقبال، بحيث تتطابق طور إشارة الساعة عند كل قلاب بيانات مع طور إشارة الساعة المستلمة. في هذا النوع من التطبيقات، يُستخدم غالبًا شكل خاص من حلقات قفل الطور يُسمى حلقة قفل التأخير (DLL). ^{[ 15 ]}

تتضمن العديد من الأنظمة الإلكترونية معالجات متنوعة تعمل بترددات تتراوح بين مئات الميغاهرتز والجيجاهرتز، وهي أعلى بكثير من الترددات العملية لمذبذبات الكريستال . عادةً، تُستمد إشارات الساعة لهذه المعالجات من دوائر PLL لتوليد إشارات الساعة ، والتي تُضاعف تردد إشارة ساعة مرجعية منخفضة التردد (عادةً 50 أو 100  ميغاهرتز) ليصل إلى تردد تشغيل المعالج. قد يكون عامل المضاعفة كبيرًا جدًا في الحالات التي يكون فيها تردد التشغيل عدة جيجاهرتز بينما يكون تردد الكريستال المرجعي عشرات أو مئات الميغاهرتز فقط.

تُصدر جميع الأنظمة الإلكترونية طاقة ترددات لاسلكية غير مرغوب فيها. وتفرض هيئات تنظيمية مختلفة (مثل لجنة الاتصالات الفيدرالية في الولايات المتحدة) قيودًا على الطاقة المنبعثة وأي تداخل ناتج عنها. يظهر التشويش المنبعث عادةً عند ذروات طيفية حادة (عادةً عند تردد تشغيل الجهاز وبعض التوافقيات). يمكن لمصمم النظام استخدام حلقة قفل الطور ذات الطيف المنتشر (PLL) لتقليل التداخل مع أجهزة الاستقبال عالية الجودة (Q) عن طريق توزيع الطاقة على جزء أكبر من الطيف. على سبيل المثال، بتغيير تردد التشغيل صعودًا وهبوطًا بمقدار ضئيل (حوالي 1%)، يمكن لجهاز يعمل بتردد مئات الميغاهرتز توزيع تداخله بالتساوي على بضعة ميغاهرتز من الطيف، مما يقلل بشكل كبير من كمية التشويش المرصودة على قنوات راديو FM ، التي يبلغ عرض نطاقها الترددي عشرات الكيلوهرتز.

عادةً، تدخل إشارة الساعة المرجعية إلى الشريحة وتُشغّل مُذبذب الحلقة المُغلقة (PLL)، الذي بدوره يُشغّل توزيع الساعة في النظام. يكون توزيع الساعة متوازنًا عادةً بحيث تصل الساعة إلى جميع نقاط النهاية في وقت واحد. إحدى هذه النقاط هي مدخل التغذية الراجعة لمُذبذب الحلقة المُغلقة. تتمثل وظيفة مُذبذب الحلقة المُغلقة في مُقارنة الساعة المُوزّعة بإشارة الساعة المرجعية الواردة، وتغيير طور وتردد خرجها حتى تتطابق إشارة الساعة المرجعية مع إشارة التغذية الراجعة من حيث الطور والتردد.

تُستخدم دوائر PLL على نطاق واسع، فهي تُستخدم لضبط ترددات الساعة في أنظمة يبلغ قطرها عدة أقدام، وكذلك في أجزاء صغيرة من الرقاقات الفردية. في بعض الأحيان، قد لا تكون إشارة الساعة المرجعية إشارة ساعة نقية على الإطلاق، بل قد تكون عبارة عن تدفق بيانات يحتوي على عدد كافٍ من التحولات التي تُمكّن دائرة PLL من استعادة إشارة ساعة منتظمة من هذا التدفق. أحيانًا تكون إشارة الساعة المرجعية بنفس تردد إشارة الساعة المُوزّعة، وفي أحيان أخرى قد تكون إشارة الساعة المُوزّعة مضاعفًا نسبيًا لإشارة الساعة المرجعية.

يمكن استخدام حلقة قفل الطور (PLL) لإزالة التضمين المتزامن لإشارات التضمين السعوي (AM). تستعيد حلقة قفل الطور طور وتردد الموجة الحاملة لإشارة التضمين السعوي الواردة. يختلف الطور المستعاد عند مذبذب التحكم بالجهد (VCO) عن الموجة الحاملة بمقدار 90 درجة، لذا يتم إزاحته طوريًا لمطابقته ثم يُغذى إلى مضاعف. يحتوي خرج المضاعف على إشارتي تردد الجمع والفرق، ويتم الحصول على الخرج المُزال التضمين عن طريق ترشيح الترددات المنخفضة . نظرًا لأن حلقة قفل الطور تستجيب فقط لترددات الموجة الحاملة القريبة جدًا من خرج مذبذب التحكم بالجهد، فإن كاشف التضمين السعوي باستخدام حلقة قفل الطور يتميز بدرجة عالية من الانتقائية ومقاومة الضوضاء، وهو أمر غير ممكن مع أجهزة إزالة التضمين السعوي التقليدية من نوع الذروة. مع ذلك، قد تفقد الحلقة التزامن عندما تصل إشارات التضمين السعوي إلى عمق تضمين 100%. ^{[ 16 ]}

من الخصائص المرغوبة في جميع دوائر PLL أن حواف إشارة الساعة المرجعية وإشارة التغذية الراجعة تكون متطابقة بدقة عالية. يُطلق على متوسط ​​الفرق الزمني بين طوري الإشارتين عند استقرار إشارة PLL اسم إزاحة الطور الثابتة (وتُسمى أيضًا خطأ الطور في الحالة المستقرة ). ويُسمى التباين بين هذين الطورين ارتعاش التتبع . من الناحية المثالية، يجب أن تكون إزاحة الطور الثابتة صفرًا، وأن يكون ارتعاش التتبع في أدنى مستوى ممكن.

يُعدّ تشويش الطور نوعًا آخر من أنواع الارتعاش التي تُلاحظ في دوائر PLL، وينتج عن المذبذب نفسه وعن العناصر المستخدمة في دائرة التحكم بتردده. ومن المعروف أن بعض التقنيات تتفوق على غيرها في هذا الصدد. تُصنع أفضل دوائر PLL الرقمية باستخدام عناصر منطق اقتران الباعث ( ECL )، على حساب استهلاك عالٍ للطاقة. وللحفاظ على انخفاض تشويش الطور في دوائر PLL، يُفضّل تجنّب استخدام عائلات المنطق المشبعة مثل منطق الترانزستور-الترانزستور ( TTL ) أو CMOS . ^{[ 17 ]}

من الخصائص المرغوبة الأخرى لجميع دوائر PLL أن طور وتردد الساعة المُولَّدة لا يتأثران بالتغيرات السريعة في جهد خطوط التغذية الكهربائية والأرضية، وكذلك جهد الركيزة التي تُصنَّع عليها دوائر PLL. يُطلق على هذه الخاصية اسم رفض ضوضاء الركيزة والتغذية . وكلما زاد رفض الضوضاء، كان ذلك أفضل.

لتحسين ضوضاء الطور للإخراج بشكل أكبر، يمكن استخدام مذبذب مقفل بالحقن بعد مذبذب التحكم بالجهد في حلقة قفل الطور.

في أنظمة الاتصالات اللاسلكية الرقمية (GSM، CDMA، وغيرها)، تُستخدم دوائر PLL لتوفير تحويل التردد التصاعدي للمذبذب المحلي أثناء الإرسال، وتحويل التردد التنازلي أثناء الاستقبال. في معظم الهواتف المحمولة، دُمجت هذه الوظيفة بشكل كبير في دائرة متكاملة واحدة لتقليل تكلفة الهاتف وحجمه. مع ذلك، ونظرًا للأداء العالي المطلوب من محطات القاعدة، تُبنى دوائر الإرسال والاستقبال بمكونات منفصلة لتحقيق مستويات الأداء المطلوبة. تتكون وحدات المذبذب المحلي في GSM عادةً من دائرة متكاملة لتوليف التردد ومذبذبات VCO منفصلة.

تقوم محولات الربط بالشبكة، القائمة على محولات مصدر الجهد، بتغذية أو سحب الطاقة الفعالة من شبكة التيار المتردد الكهربائية، وذلك تبعًا لزاوية طور الجهد الذي تولده بالنسبة لزاوية طور جهد الشبكة، والتي تُقاس باستخدام حلقة قفل الطور (PLL). في تطبيقات الطاقة الشمسية الكهروضوئية ، كلما تقدمت الموجة الجيبية المولدة على موجة جهد الشبكة، زادت الطاقة المحقونة في الشبكة. أما في تطبيقات البطاريات، فكلما تأخرت الموجة الجيبية المولدة عن موجة جهد الشبكة، زادت شحنة البطارية من الشبكة، وكلما تقدمت الموجة الجيبية المولدة على موجة جهد الشبكة، زادت كمية الطاقة التي تُفرغها البطارية في الشبكة.

يُولّد كاشف الطور (PD) جهدًا يُمثّل فرق الطور بين إشارتين. في حلقة قفل الطور (PLL)، يكون مدخلا كاشف الطور هما المدخل المرجعي والتغذية الراجعة من مذبذب التحكم بالجهد (VCO). يُستخدم جهد خرج كاشف الطور للتحكم في مذبذب التحكم بالجهد بحيث يبقى فرق الطور بين المدخلين ثابتًا، مما يجعله نظام تغذية راجعة سالبة. ^{[ 19 ]}

تختلف أنواع كاشفات الطور في خصائص أدائها.

على سبيل المثال، يُنتج مُخالِط التردد توافقيات تُزيد من تعقيد التطبيقات التي تتطلب نقاءً طيفيًا لإشارة مُذبذب التحكم بالجهد (VCO). قد تُهيمن النطاقات الجانبية غير المرغوب فيها (الزائفة)، والتي تُسمى أيضًا " الزائف المرجعية "، على متطلبات المرشح، مما يُقلل نطاق الالتقاط إلى ما دون الحد الأدنى المطلوب أو يزيد زمن التزامن إلى ما يتجاوزه. في هذه التطبيقات، تُستخدم كاشفات الطور الرقمية الأكثر تعقيدًا، والتي لا تحتوي على مُكوّن زائف مرجعي حاد على مُخرجاتها. كذلك، عند التزامن، يكون فرق الطور في حالة الاستقرار عند المدخلات باستخدام هذا النوع من كاشفات الطور قريبًا من 90 درجة.

في تطبيقات PLL، غالباً ما يكون من الضروري معرفة متى تكون الحلقة خارجة عن التزامن. عادةً ما تحتوي كاشفات الطور والتردد الرقمية الأكثر تعقيداً على مخرج يسمح بمؤشر موثوق لحالة عدم التزامن.

تُستخدم بوابة XOR غالبًا في دوائر PLL الرقمية ككاشف طور فعال وبسيط. ويمكن استخدامها أيضًا في الدوائر التناظرية، مع تعديل طفيف فقط على الدائرة.

تحتوي الكتلة التي تسمى عادةً مرشح حلقة PLL (عادةً مرشح تمرير منخفض) بشكل عام على وظيفتين متميزتين.

تتمثل الوظيفة الأساسية في تحديد ديناميكيات الحلقة، والتي تُسمى أيضًا بالاستقرار . وهذا يعني كيفية استجابة الحلقة للاضطرابات، مثل التغيرات في التردد المرجعي، أو تغيرات مُقسِّم التغذية الراجعة، أو عند بدء التشغيل. تشمل الاعتبارات الشائعة النطاق الذي يمكن للحلقة أن تحقق فيه التزامن (نطاق التزامن، أو نطاق التزامن، أو نطاق الالتقاط)، وسرعة تحقيق التزامن (زمن التزامن، أو زمن الاستقرار ) ، وسلوك التخميد . اعتمادًا على التطبيق، قد يتطلب ذلك واحدًا أو أكثر مما يلي: تناسب بسيط (كسب أو تخميد)، أو تكامل (مرشح تمرير منخفض)، أو تفاضل ( مرشح تمرير عالي ). من معلمات الحلقة التي يتم فحصها عادةً لهذا الغرض هامش كسب الحلقة وهامش الطور . تُستخدم مفاهيم شائعة في نظرية التحكم ، بما في ذلك وحدة التحكم PID ، لتصميم هذه الوظيفة.

أما الاعتبار الشائع الثاني فهو الحد من كمية طاقة التردد المرجعي (التموج) التي تظهر عند مخرج كاشف الطور والتي تُطبق بعد ذلك على مدخل التحكم في مذبذب التحكم بالجهد (VCO). يقوم هذا التردد بتعديل مذبذب التحكم بالجهد (VCO) وينتج نطاقات جانبية للتردد المعدل (FM) تُعرف عادةً باسم "الترددات المرجعية".

يمكن أن يهيمن أحد هذين الاعتبارين على تصميم هذه الوحدة، أو قد يكون عملية معقدة تُوازن بين تفاعلاتهما. عادةً ما يكون المقابل لزيادة عرض النطاق الترددي هو انخفاض الاستقرار. في المقابل، يكون المقابل لزيادة التخميد لتحسين الاستقرار هو انخفاض السرعة وزيادة زمن الاستقرار. غالبًا ما يتأثر ضجيج الطور أيضًا. ^{[ 14 ]}

تستخدم جميع حلقات الطور المقفلة عنصر مذبذب بتردد متغير. قد يكون هذا العنصر مذبذبًا تناظريًا مُتحكمًا بالجهد (VCO)، إما مُشغلًا بدوائر تناظرية كما في حالة حلقة الطور المقفلة التناظرية (APLL)، أو مُشغلًا رقميًا باستخدام مُحول رقمي تناظري كما هو الحال في بعض تصميمات حلقات الطور المقفلة الرقمية (DPLL). ^{[ 20 ]} تُستخدم المذبذبات الحلقية عادةً في تقنية CMOS للتطبيقات ذات المساحة الصغيرة، بينما تُفضل مذبذبات LC المتقاطعة في التطبيقات ذات الضوضاء الطورية المنخفضة. ^{[ 21 ]} تُستخدم المذبذبات الرقمية البحتة، مثل المذبذب المُتحكم به رقميًا، في حلقات الطور المقفلة الرقمية التناظرية (ADPLL).

قد تتضمن دوائر PLL مقسمًا بين المذبذب ومدخل التغذية الراجعة لكاشف الطور لإنتاج مُركِّب تردد . يُعد المقسم القابل للبرمجة مفيدًا بشكل خاص في تطبيقات أجهزة الإرسال اللاسلكية ولتوقيت الحواسيب، حيث يمكن إنتاج عدد كبير من الترددات من مذبذب مرجعي واحد مستقر ودقيق يتم التحكم فيه بواسطة بلورة كوارتز (والتي كانت باهظة الثمن قبل أن يوفر التخليق الحراري المائي على نطاق تجاري كوارتزًا صناعيًا رخيصًا).

تتضمن بعض دوائر PLL أيضًا مقسمًا بين إشارة الساعة المرجعية وإشارة الإدخال المرجعية لكاشف الطور. إذا كان المقسم في مسار التغذية الراجعة يقسم بـ${\displaystyle N}$ويقسم مُقسِّم الإدخال المرجعي على${\displaystyle M}$يسمح ذلك لدائرة PLL بضرب التردد المرجعي بـ${\displaystyle N/M}$قد يبدو من الأسهل تغذية PLL بتردد أقل، ولكن في بعض الحالات، قد يكون تردد المرجع مقيدًا بمشاكل أخرى، وعندها يكون مقسم المرجع مفيدًا.

يمكن أيضًا تحقيق مضاعفة التردد عن طريق تثبيت خرج مذبذب التحكم بالجهد (VCO) على التوافقي رقم N لإشارة المرجع. وبدلًا من كاشف طور بسيط، يستخدم التصميم خلاطًا توافقيًا (خلاط أخذ عينات). يحوّل الخلاط التوافقي إشارة المرجع إلى سلسلة نبضات غنية بالتوافقيات. ^{[ ب ]} يُضبط خرج مذبذب التحكم بالجهد (VCO) بشكل تقريبي ليكون قريبًا من أحد هذه التوافقيات. وبالتالي، يقع خرج الخلاط التوافقي المطلوب (الذي يمثل الفرق بين التوافقي N وخرج مذبذب التحكم بالجهد (VCO)) ضمن نطاق تمرير مرشح الحلقة.

تجدر الإشارة أيضًا إلى أن التغذية الراجعة لا تقتصر على مُقسِّم التردد. يمكن أن يكون هذا العنصر عناصر أخرى، مثل مُضاعِف التردد أو الخلاط. يجعل المُضاعِف خرج مُذبذب التحكم بالجهد (VCO) مُضاعفًا فرعيًا (بدلًا من مُضاعف) للتردد المرجعي. يُمكن للخلاط تغيير تردد مُذبذب التحكم بالجهد (VCO) بمقدار إزاحة ثابتة. وقد يكون الأمر مزيجًا من هذين العنصرين. على سبيل المثال، يسمح مُقسِّم التردد الذي يلي الخلاط له بالعمل بتردد أقل بكثير من تردد مُذبذب التحكم بالجهد (VCO) دون فقدان في كسب الحلقة.

يمكن اشتقاق المعادلات التي تحكم حلقة قفل الطور مع مضاعف تناظري ككاشف طور ومرشح خطي كما يلي. لنفترض أن مدخل كاشف الطور هو${\displaystyle f_{1}(\theta _{1}(t))}$ويكون ناتج مذبذب التحكم بالجهد (VCO) هو${\displaystyle f_{2}(\theta _{2}(t))}$مع مراحل${\displaystyle \theta _{1}(t)}$و${\displaystyle \theta _{2}(t)}$الوظائف${\displaystyle f_{1}(\theta )}$و${\displaystyle f_{2}(\theta )}$وصف أشكال موجات الإشارات. ثم مخرج كاشف الطور${\displaystyle \varphi (t)}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle \varphi (t)=f_{1}(\theta _{1}(t))f_{2}(\theta _{2}(t))}$

عادةً ما يتم اعتبار تردد مذبذب التحكم بالجهد (VCO) كدالة لتردد مدخل مذبذب التحكم بالجهد. ${\displaystyle g(t)}$مثل

${\displaystyle {\dot {\theta }}_{2}(t)=\omega _{2}(t)=\omega _{\text{free}}+g_{v}g(t)\,}$

أين${\displaystyle g_{v}}$هي حساسية مذبذب التحكم بالجهد ويتم التعبير عنها بوحدة هرتز / فولت؛ ${\displaystyle \omega _{\text{free}}}$هو تردد التشغيل الحر لمذبذب التحكم بالجهد (VCO).

يمكن وصف مرشح الحلقة بواسطة نظام من المعادلات التفاضلية الخطية

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}{\dot {x}}&=&Ax+b\varphi (t),\\g(t)&=&c^{*}x,\end{array}}\right.\quad x(0)=x_{0},}$

أين${\displaystyle \varphi (t)}$هو أحد مدخلات المرشح، ${\displaystyle g(t)}$هو ناتج المرشح،${\displaystyle A}$يكون ${\displaystyle n}$-بواسطة-${\displaystyle n}$مصفوفة، ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n},\quad b\in \mathbb {R} ^{n},\quad c\in \mathbb {C} ^{n},\quad }$.${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {C} ^{n}}$يمثل الحالة الابتدائية للمرشح. رمز النجمة هو منقول مترافق .

وبالتالي، يصف النظام التالي نظام PLL

$\displaystyle \left\{\begin{array}{rcl}{\dot {x}}&=&Ax+bf_{1}(\theta _{1}(t))f_{2}(\theta _{2}(t)),\\{\dot {\theta }}_{2}&=&g_{v}c^{*}x+\omega _{\text{free}}\\\end{array}}\right.\quad x(0)=x_{0},\quad \theta _{2}(0)=\theta _{0}.}$

أين${\displaystyle \theta _{0}}$هو تحول طوري أولي.

ضع في اعتبارك مدخل PLL${\displaystyle f_{1}(\theta _{1}(t))}$ومخرج VCO ${\displaystyle f_{2}(\theta _{2}(t))}$هي إشارات عالية التردد. إذن، لأي دالة قابلة للتفاضل على أجزاء${\displaystyle 2\pi }$الدوال الدورية ${\displaystyle f_{1}(\theta )}$و${\displaystyle f_{2}(\theta )}$هناك وظيفة${\displaystyle \varphi (\theta )}$بحيث يكون الناتج${\displaystyle G(t)}$من المرشح

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}{\dot {x}}&=&Ax+b\varphi (\theta _{1}(t)-\theta _{2}(t)),\\G(t)&=&c^{*}x,\end{array}}\right.\quad x(0)=x_{0},}$

في مجال الطور يكون متساوياً تقاربياً (الفرق${\displaystyle G(t)-g(t)}$(صغيرة بالنسبة للترددات) إلى مخرج المرشح في نموذج المجال الزمني. ^{[ 22 ] [ 23 ]} هنا الدالة${\displaystyle \varphi (\theta )}$هي خاصية من خصائص كاشف الطور .

يرمز بـ${\displaystyle \theta _{\Delta }(t)}$فرق الطور

${\displaystyle \theta _{\Delta }=\theta _{1}(t)-\theta _{2}(t).}$

ثم يصف النظام الديناميكي التالي سلوك PLL

$\begin{array}{rcl}{\dot {x}}&=&Ax+b\varphi (\theta _{\Delta }),\\{\dot {\theta }}_{\Delta }&=&-g_{v}c^{*}x+\omega _{\Delta }.\\\end{array}}\right.\quad x(0)=x_{0},\quad \theta _{\Delta }(0)=\theta _{1}(0)-\theta _{2}(0).}$

هنا${\displaystyle \omega _{\Delta }=\omega _{1}-\omega _{\text{free}}}$؛${\displaystyle \omega _{1}}$يمثل تردد المذبذب المرجعي (نفترض أن${\displaystyle \omega _{\text{free}}}$(ثابت).

يمكن أيضًا تحليل حلقات التزامن الطوري كنظم تحكم بتطبيق تحويل لابلاس . ويمكن كتابة استجابة الحلقة على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {\theta _{o}}{\theta _{i}}}={\frac {K_{p}K_{v}F(s)}{s+K_{p}K_{v}F(s)}}}$

أين

• ${\displaystyle \theta _{o}}$هي طور الخرج بالراديان
• ${\displaystyle \theta _{i}}$هي طور الإدخال بالراديان
• ${\displaystyle K_{p}}$يمثل كسب كاشف الطور بالفولت لكل راديان
• ${\displaystyle K_{v}}$يمثل كسب مذبذب التحكم بالجهد (VCO) بالراديان لكل فولت ثانية
• ${\displaystyle F(s)}$هي دالة نقل مرشح الحلقة (بدون أبعاد)

يمكن التحكم في خصائص الحلقة بإدخال أنواع مختلفة من مرشحات الحلقة. أبسط مرشح هو دائرة RC أحادية القطب . دالة نقل الحلقة في هذه الحالة هي

${\displaystyle F(s)={\frac {1}{1+sRC}}}$

تصبح استجابة الحلقة كالتالي:

${\displaystyle {\frac {\theta _{o}}{\theta _{i}}}={\frac {\frac {K_{p}K_{v}}{RC}}{s^{2}+{\frac {s}{RC}}+{\frac {K_{p}K_{v}}{RC}}}}}$

هذا هو شكل المذبذب التوافقي الكلاسيكي . ويمكن ربط المقام بمقام نظام من الدرجة الثانية:

${\displaystyle s^{2}+2s\zeta \omega _{n}+\omega _{n}^{2}}$

أين${\displaystyle \zeta }$هو عامل التخميد و${\displaystyle \omega _{n}}$هو التردد الطبيعي للحلقة.

بالنسبة لمرشح RC أحادي القطب،

${\displaystyle \omega _{n}={\sqrt {\frac {K_{p}K_{v}}{RC}}}}$

${\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2{\sqrt {K_{p}K_{v}RC}}}}}$

يُعد التردد الطبيعي للحلقة مقياسًا لزمن استجابتها، بينما يُعد معامل التخميد مقياسًا للتجاوز والرنين. من الناحية المثالية، ينبغي أن يكون التردد الطبيعي مرتفعًا وأن يكون معامل التخميد قريبًا من 0.707 (التخميد الحرج). مع مرشح أحادي القطب، لا يمكن التحكم في تردد الحلقة ومعامل التخميد بشكل مستقل. في حالة التخميد الحرج،

${\displaystyle RC={\frac {1}{2K_{p}K_{v}}}}$

${\displaystyle \omega _{c}=K_{p}K_{v}{\sqrt {2}}}$

يُعد مرشح التأخير والتقدم مرشحًا أكثر فعاليةً بعض الشيء، إذ يتضمن قطبًا واحدًا وصفرًا واحدًا. ويمكن تحقيقه باستخدام مقاومتين ومكثف واحد. ودالة النقل لهذا المرشح هي

${\displaystyle F(s)={\frac {1+sCR_{2}}{1+sC(R_{1}+R_{2})}}}$

يحتوي هذا المرشح على ثابتين زمنيين

${\displaystyle \tau _{1}=C(R_{1}+R_{2})}$

${\displaystyle \tau _{2}=CR_{2}}$

بالتعويض أعلاه نحصل على التردد الطبيعي ومعامل التخميد التاليين

${\displaystyle \omega _{n}={\sqrt {\frac {K_{p}K_{v}}{\tau _{1}}}}}$

${\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2\omega _{n}\tau _{1}}}+{\frac {\omega _{n}\tau _{2}}{2}}}$

يمكن حساب مكونات مرشح الحلقة بشكل مستقل لتردد طبيعي معين ومعامل تخميد معين

${\displaystyle \tau _{1}={\frac {K_{p}K_{v}}{\omega _{n}^{2}}}}$

${\displaystyle \tau _{2}={\frac {2\zeta }{\omega _{n}}}-{\frac {1}{K_{p}K_{v}}}}$

قد يكون تصميم مرشحات الحلقة في الواقع العملي أكثر تعقيدًا، على سبيل المثال، استخدام مرشحات ذات رتبة أعلى لتقليل أنواع أو مصادر مختلفة من ضوضاء الطور. (انظر مرجع د. بانيرجي أدناه)

يمكن تنفيذ حلقات الطور الرقمية المغلقة باستخدام الدوائر المتكاملة مثل CMOS 4046. مع ذلك، ومع ازدياد سرعة المتحكمات الدقيقة، قد يكون من الأنسب تنفيذ حلقة الطور المغلقة برمجياً للتطبيقات التي لا تتطلب تثبيت الإشارات في نطاق الميغاهرتز أو أعلى، مثل التحكم الدقيق في سرعات المحركات. يتميز التنفيذ البرمجي بعدة مزايا، منها سهولة تخصيص حلقة التغذية الراجعة، بما في ذلك تغيير نسبة الضرب أو القسمة بين الإشارة المراد تتبعها ومذبذب الخرج. علاوة على ذلك، يُعد التنفيذ البرمجي مفيداً للفهم والتجربة. يُعرض المثال التالي لحلقة طور مغلقة مُنفذة باستخدام كاشف تردد الطور في MATLAB. يتميز هذا النوع من كاشفات الطور بالمتانة وسهولة التنفيذ.

% هذا المثال مكتوب بلغة MATLAB% تهيئة المتغيرات vcofreq = zeros ( 1 , numiterations ); ervec = zeros ( 1 , numiterations ); % تتبع الحالات الأخيرة للمرجع والإشارة وإشارة الخطأ qsig = 0 ; qref = 0 ; lref = 0 ; lsig = 0 ; lersig = 0 ; phs = 0 ; freq = 0 ;ثوابت مرشح الحلقة (التناسبية والتفاضلية) % حاليًا قوى العدد اثنين لتسهيل الضرب بالإزاحات prop = 1 / 128 ; deriv = 64 ;for it = 1 : numiterations % محاكاة مذبذب محلي باستخدام عداد 16 بت phs = mod ( phs + floor ( freq / 2 ^ 16 ), 2 ^ 16 ); ref = phs < 32768 ; % الحصول على القيمة الرقمية التالية (0 أو 1) للإشارة المراد تتبعها sig = tracksig ( it ); % تنفيذ كاشف الطور والتردد rst = ~ ( qsig & qref ); % إعادة ضبط "القلاب" لكاشف الطور والتردد % عندما تكون كل من الإشارة والمرجع عاليتين qsig = ( qsig | ( sig & ~ lsig )) & rst ; % تشغيل قلاب الإشارة والحافة الصاعدة للإشارة qref = ( qref | ( ref & ~ lref )) & rst ; % تشغيل قلاب المرجع على الحافة الصاعدة للمرجع lref = ref ; lsig = sig ; % تخزين هذه القيم للتكرار التالي (لاكتشاف الحواف) ersig = qref - qsig ; % حساب إشارة الخطأ (ما إذا كان يجب زيادة التردد أو إنقاصه) % يتم إعطاء إشارة الخطأ بواسطة إحدى إشارتي القلاب % تنفيذ مرشح الأقطاب والأصفار عن طريق إدخال متناسب ومشتق للتردد filtered_ersig = ersig + ( ersig - lersig ) * deriv ; % الاحتفاظ بإشارة الخطأ للإخراج المتناسب lersig = ersig ; % تكامل تردد VCO باستخدام إشارة الخطأ freq = freq - 2 ^ 16 * filtered_ersig * prop ; % يتم تتبع التردد ككسر ثنائي ثابت النقطة % تخزين تردد VCO الحالي vcofreq ( 1 , it ) = freq / 2 ^ 16 ;% تخزين إشارة الخطأ لإظهار ما إذا كانت الإشارة أو المرجع ذات تردد أعلى ervec ( 1 , it ) = ersig ; end

في هذا المثال، يُفترض أن تحتوي المصفوفة tracksigعلى إشارة مرجعية يتم تتبعها. يُنفذ المذبذب بواسطة عداد، حيث تشير البتة الأكثر أهمية في العداد إلى حالة تشغيل/إيقاف المذبذب. يحاكي هذا الكود قلابين من النوع D يشكلان مُقارن الطور والتردد. عندما تكون الحافة الصاعدة لأي من الإشارة المرجعية أو إشارة الطور مُفعّلة، ينتقل القلاب المُناسب إلى حالة عالية. بمجرد أن تكون كلتا الإشارتين عاليتين، تتم إعادة ضبط كلا القلابين. يُحدد القلاب المُفعّل في تلك اللحظة ما إذا كانت الإشارة المرجعية أو إشارة الطور تسبق الأخرى. إشارة الخطأ هي الفرق بين قيمتي هذين القلابين. يُنفذ مُرشح الأقطاب والأصفار بإضافة إشارة الخطأ ومشتقتها إلى إشارة الخطأ المُرشحة. يتم تكامل هذا الناتج لإيجاد تردد المذبذب.

عمليًا، من المرجح إدخال عمليات أخرى في دائرة التغذية الراجعة لحلقة التزامن الطوري هذه. على سبيل المثال، إذا كانت حلقة التزامن الطوري تتضمن مضاعف تردد، فيمكن تقسيم إشارة المذبذب على التردد قبل مقارنتها بالإشارة المرجعية.