التباين النوعي

تحتوي هذه المقالة على العديد من المشكلات. يُرجى المساعدة في تحسينها أو مناقشة هذه المشكلات على صفحة المناقشة . ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسائل ) تحتاج هذه المقالة إلى مصادر إضافية للتحقق .الرجاء المساعدة في تحسين هذه المقالة عن طريق إضافة الاستشهادات إلى مصادر موثوقة . قد يتم الطعن في المواد غير الموثقة وإزالتها. ابحث عن المصادر:  "التباين النوعي" - الأخبار  · الصحف  · الكتب  · العلماء  · JSTOR ( أبريل 2024 )( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة ) قد تحتوي هذه المقالة على قدر كبير من التفاصيل المعقدة التي قد تهم جمهورًا معينًا فقط .يرجى المساعدة من خلال فصل أو نقل أي معلومات ذات صلة، وإزالة التفاصيل المفرطة التي قد تكون ضد سياسة الإدراج في ويكيبيديا . ( أبريل 2024 )( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة ) هذه المقالة تحتاج إلى اهتمام من خبير في الإحصاء . يرجى إضافة سبب أو معلمة نقاش إلى هذا القالب لشرح المشكلة المتعلقة بالمقالة. WikiProject Statistics may be able to help recruit an expert. (April 2024) (Learn how and when to remove this message)

مؤشر التباين النوعي ( IQV ) هو مقياس للتشتت الإحصائي في التوزيعات الاسمية . ومن الأمثلة على ذلك نسبة التباين أو إنتروبيا المعلومات .

هناك عدة أنواع من المؤشرات المستخدمة لتحليل البيانات الاسمية. العديد منها عبارة عن إحصاءات قياسية تُستخدم في أماكن أخرى - النطاق ، الانحراف المعياري ، التباين ، الانحراف المتوسط ، معامل التباين ، الانحراف المطلق المتوسط ، النطاق الربعي والانحراف الربعي .

بالإضافة إلى هذه الإحصائيات العديدة، تم تطويرها مع وضع البيانات الاسمية في الاعتبار. وقد قام ويلكوكس (Wilcox 1967) بتلخيص عدد منها ووضعها في شكل إحصائيات، (Wilcox 1973)، والذي يتطلب استيفاء خصائص التوحيد التالية:

• يختلف التباين بين 0 و 1.
• يكون التباين 0 إذا وفقط إذا كانت جميع الحالات تنتمي إلى فئة واحدة.
• يكون التباين 1 إذا وفقط إذا تم تقسيم الحالات بالتساوي عبر جميع الفئات. ^[1]

وعلى وجه الخصوص، لا تعتمد قيمة هذه المؤشرات الموحدة على عدد الفئات أو عدد العينات.

بالنسبة لأي مؤشر، كلما كان التوزيع أقرب إلى التوحيد، كان التباين أكبر، وكلما كانت الاختلافات في الترددات عبر الفئات أكبر، كان التباين أصغر.

إن مؤشرات التباين النوعي تشبه بالتالي إنتروبيا المعلومات ، والتي يتم تقليلها إلى الحد الأدنى عندما تنتمي جميع الحالات إلى فئة واحدة وتزيد إلى الحد الأقصى في توزيع موحد. في الواقع، يمكن استخدام إنتروبيا المعلومات كمؤشر للتباين النوعي.

إحدى خصائص مؤشر معين للتباين النوعي (IQV) هي نسبة الاختلافات الملحوظة إلى الاختلافات القصوى.

يقدم ويلكوكس عددًا من الصيغ لمؤشرات مختلفة لـ QV (ويلكوكس 1973)، الأول، الذي يسميه DM لـ "الانحراف عن الوضع"، هو شكل موحد لنسبة التباين ، وهو مماثل للتباين باعتباره انحرافًا عن المتوسط.

يتم استخلاص صيغة التباين حول الوضع (ModVR) على النحو التالي:

${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{K}(f_{m}-f_{i})}$

حيث f _m هو التردد النمطي، وK هو عدد الفئات و f _i هو تردد ^{المجموعة} i .

يمكن تبسيط هذا إلى

${\displaystyle M=Kf_{m}-N}$

حيث N هو الحجم الإجمالي للعينة.

مؤشر فريمان (أو نسبة التباين) هو ^[2]

${\displaystyle v=1-{\frac {f_{m}}{N}}}$

يرتبط هذا بـ M على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {({\frac {f_{m}}{N}})-{\frac {1}{K}}}{{\frac {N}{K}}{\frac {(K-1)}{N}}}}={\frac {M}{N(K-1)}}}$

يتم تعريف ModVR على أنه

${\displaystyle \operatorname {ModVR} =1-{\frac {Kf_{m}-N}{N(K-1)}}={\frac {K(N-f_{m})}{N(K-1)}}={\frac {Kv}{K-1}}}$

حيث v هو مؤشر فريمان.

تتوافق القيم المنخفضة لـ ModVR مع كمية صغيرة من التباين والقيم العالية مع كميات أكبر من التباين.

عندما تكون K كبيرة، يكون ModVR مساويًا تقريبًا لمؤشر فريمان  v .

يعتمد هذا على النطاق حول الوضع. يتم تعريفه على أنه

${\displaystyle \operatorname {RanVR} =1-{\frac {f_{m}-f_{l}}{f_{m}}}={\frac {f_{l}}{f_{m}}}}$

حيث f _m هو التردد النمطي و f _​​l هو التردد الأدنى.

هذا هو نظير الانحراف المتوسط. يتم تعريفه على أنه المتوسط ​​الحسابي للفروق المطلقة لكل قيمة عن المتوسط.

${\displaystyle \operatorname {AvDev} =1-{\frac {1}{2N}}{\frac {K}{K-1}}\sum _{i=1}^{K}\left|f_{i}-{\frac {N}{K}}\right|}$

هذا هو نظير متوسط ​​الفرق - متوسط ​​فروق جميع الأزواج الممكنة من قيم المتغيرات، بغض النظر عن الإشارة. يختلف متوسط ​​الفرق عن المتوسط ​​والانحراف المعياري لأنه يعتمد على انتشار قيم المتغيرات فيما بينها وليس على الانحرافات عن بعض القيم المركزية. ^[3]

${\displaystyle \operatorname {MNDif} =1-{\frac {1}{N(K-1)}}\sum _{i=1}^{K-1}\sum _{j=i+1}^{K}|f_{i}-f_{j}|}$

حيث أن ^f i _و f j _هما الترددان ⁱ و j على التوالي.

MNDif هو معامل جيني المطبق على البيانات النوعية.

هذا هو نظير التباين.

${\displaystyle \operatorname {VarNC} =1-{\frac {1}{N^{2}}}{\frac {K}{K-1}}\sum \left(f_{i}-{\frac {N}{K}}\right)^{2}}$

وهو نفس مؤشر التباين النوعي لمولر وشوسلر ^[4] ومؤشر M2 لجيبس.

يتم توزيعه كمتغير مربع كاي مع درجات حرية K  – 1. ^[5 ]

وقد اقترح ويلسون نسختين من هذه الإحصائية.

الأول يعتمد على AvDev.

${\displaystyle \operatorname {StDev} _{1}=1-{\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{K}\left(f_{i}-{\frac {N}{K}}\right)^{2}}{\left(N-{\frac {N}{K}}\right)^{2}+(K-1)\left({\frac {N}{K}}\right)^{2}}}}}$

والثاني يعتمد على MNDif

${\displaystyle \operatorname {StDev} _{2}=1-{\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{K-1}\sum _{j=i+1}^{K}(f_{i}-f_{j})^{2}}{N^{2}(K-1)}}}}$

تم تطوير هذا الفهرس في الأصل بواسطة كلود شانون لاستخدامه في تحديد خصائص قنوات الاتصال.

${\displaystyle \operatorname {HRel} ={\frac {-\sum p_{i}\log _{2}p_{i}}{\log _{2}K}}}$

حيث p _i = f _i / N .

وهذا يعادل إنتروبيا المعلومات مقسومة على ، وهو مفيد لمقارنة التباين النسبي بين جداول التردد ذات الأحجام المتعددة. ${\displaystyle \log _{2}(K)}$

قام ويلكوكس بتعديل اقتراح كايزر ^[6] استنادًا إلى المتوسط ​​الهندسي وأنشأ مؤشر B' . يتم تعريف مؤشر B على النحو التالي

${\displaystyle B=1-{\sqrt {1-\left[{\sqrt[{k}]{\prod _{i=1}^{k}{\frac {f_{i}K}{N}}}}\,\right]^{2}}}}$

تم تنفيذ العديد من هذه المؤشرات في لغة R. ^[7]

اقترح جيبس ​​وبوستون جونيور (1975) ستة مؤشرات. ^[8]

المؤشر غير الموحد ( M 1) (جيبس وبوستون جونيور 1975، ص 471) هو

${\displaystyle M1=1-\sum _{i=1}^{K}p_{i}^{2}}$

حيث K هو عدد الفئات و هي نسبة الملاحظات التي تقع ضمن فئة معينة i . ${\displaystyle p_{i}=f_{i}/N}$

يمكن تفسير M 1 على أنه واحد ناقص احتمالية أن ينتمي زوج عشوائي من العينات إلى نفس الفئة، ^[9] لذا فإن صيغة IQV هذه هي احتمالية موحدة لوقوع زوج عشوائي في نفس الفئة. يُشار إلى هذا المؤشر أيضًا باسم مؤشر التمايز ومؤشر التمايز في القوت ومؤشر التمايز الجغرافي اعتمادًا على السياق الذي تم استخدامه فيه.

المؤشر الثاني هو M2 ^[10] (جيبس وبوستون جونيور 1975، ص 472) وهو:

${\displaystyle M2={\frac {K}{K-1}}\left(1-\sum _{i=1}^{K}p_{i}^{2}\right)}$

حيث K هو عدد الفئات و هي نسبة الملاحظات التي تندرج ضمن فئة معينة i . عامل هو من أجل التوحيد القياسي. ${\displaystyle p_{i}=f_{i}/N}$${\displaystyle {\frac {K}{K-1}}}$

يمكن تفسير M 1 و M 2 من حيث تباين التوزيع المتعدد الحدود (Swanson 1976) (يُطلق عليه هنا "نموذج ثنائي الحدين الموسع"). M 1 هو تباين التوزيع المتعدد الحدود و M 2 هي نسبة تباين التوزيع المتعدد الحدود إلى تباين التوزيع الثنائي .

مؤشر M 4 هو

${\displaystyle M4={\frac {\sum _{i=1}^{K}|X_{i}-m|}{2\sum _{i=1}^{K}X_{i}}}}$

حيث m هو المتوسط.

صيغة M 6 هي

${\displaystyle M6=K\left[1-{\frac {\sum _{i=1}^{K}|X_{i}-m|}{2N}}\right]}$

· حيث K هو عدد الفئات، وX _i هو عدد نقاط البيانات في ^الفئة i ، وN هو العدد الإجمالي لنقاط البيانات، و|| هي القيمة المطلقة (المعامل) و

${\displaystyle m={\frac {\sum _{i=1}^{K}X_{i}}{N}}}$

يمكن تبسيط هذه الصيغة

${\displaystyle M6=K\left[1-{\frac {\sum _{i=1}^{K}\left|p_{i}-{\frac {1}{N}}\right|}{2}}\right]}$

حيث p _i هي نسبة العينة في ^الفئة i .

في الممارسة العملية، يميل M1 و M6 إلى الارتباط بشكل كبير مما يعيق استخدامهما معًا.

المجموع

${\displaystyle \sum _{i=1}^{K}p_{i}^{2}}$

وقد وجد هذا أيضًا تطبيقًا. يُعرف هذا باسم مؤشر سيمبسون في علم البيئة ومؤشر هيرفيندال أو مؤشر هيرفيندال هيرشمان (HHI) في الاقتصاد. يُعرف أحد أشكال هذا باسم مؤشر هانتر-جاستون في علم الأحياء الدقيقة ^[11]

في علم اللغويات وتحليل الشفرات، يُعرف هذا المجموع بمعدل التكرار. إن معدل حدوث التزامن ( IC ) هو مقدر غير متحيز لهذه الإحصائية ^[12]

${\displaystyle \operatorname {IC} =\sum {\frac {f_{i}(f_{i}-1)}{n(n-1)}}}$

حيث أن f i هو عدد الحروف i _في النص ^و n هو العدد الإجمالي للحروف في النص.

م 1

تم اقتراح إحصاء M 1 المحدد أعلاه عدة مرات في عدد من الإعدادات المختلفة تحت مجموعة متنوعة من الأسماء. وتشمل هذه مؤشر جيني للتغير، ^[13] مقياس سيمبسون للتنوع، ^[14] مؤشر باتشي للتجانس اللغوي، ^[15] مؤشر مولر وشوسلر للتباين النوعي، ^[16] مؤشر جيبس ​​ومارتن لتنويع الصناعة، ^[17] مؤشر ليبيرسون. ^[18] ومؤشر بلاو في علم الاجتماع وعلم النفس ودراسات الإدارة. ^[19] صياغة كل هذه المؤشرات متطابقة.

يتم تعريف D سيمبسون على النحو التالي

${\displaystyle D=1-\sum _{i=1}^{K}{\frac {n_{i}(n_{i}-1)}{n(n-1)}}}$

حيث أن n هو حجم العينة الإجمالي و n _i هو عدد العناصر في الفئة ⁱ .

بالنسبة لـ n الكبيرة لدينا

${\displaystyle u\sim 1-\sum _{i=1}^{K}p_{i}^{2}}$

إحصائية أخرى تم اقتراحها هي معامل عدم الإعجاب والذي يتراوح بين 0 و 1. ^[20]

${\displaystyle u={\frac {c(x,y)}{n^{2}-n}}}$

حيث n هو حجم العينة و c ( x ، y ) = 1 إذا كانت x و y غير متشابهتين و 0 بخلاف ذلك.

بالنسبة لـ n الكبيرة لدينا

${\displaystyle u\sim 1-\sum _{i=1}^{K}p_{i}^{2}}$

حيث K هو عدد الفئات.

إحصائية أخرى ذات صلة هي الإنتروبيا التربيعية

${\displaystyle H^{2}=2\left(1-\sum _{i=1}^{K}p_{i}^{2}\right)}$

وهو ما يرتبط في حد ذاته بمؤشر جيني .

م 2

مؤشر جرينبيرج الأحادي اللغة غير المرجح للتنوع اللغوي ^[21] هو إحصائية M2 المحددة أعلاه.

م 7

تم إنشاء مؤشر آخر - M 7 - بناءً على مؤشر M 4 لـ Gibbs & Poston Jr (1975) ^[22]

${\displaystyle M7={\frac {\sum _{i=1}^{K}\sum _{j=1}^{L}|R_{i}-R|}{2\sum R_{i}}}}$

أين

${\displaystyle R_{ij}={\frac {O_{ij}}{E_{ij}}}={\frac {O_{ij}}{n_{i}p_{j}}}}$

و

${\displaystyle R={\frac {\sum _{i=1}^{K}\sum _{j=1}^{L}R_{ij}}{\sum _{i=1}^{K}n_{i}}}}$

حيث أن K هو عدد الفئات، وL هو عدد الأنواع الفرعية، و O _ij و E _ij هما العدد الملحوظ والمتوقع على التوالي للنوع الفرعي j في ^الفئة i ، وn _i هو العدد في الفئة i ، و p _j هي نسبة النوع الفرعي ^j في العينة الكاملة.

ملاحظة: تم تصميم هذا المؤشر لقياس مشاركة المرأة في مكان العمل: والنوعان الفرعيان اللذان تم تطوير المؤشر من أجلهما هما الذكور والإناث.

هذه المؤشرات عبارة عن إحصائيات موجزة للتباين داخل العينة.

مؤشر بيرجر-باركر، الذي سمي على اسم ولفجانج إتش بيرجر وفرانسيس لورانس باركر ، يساوي القيمة القصوى في مجموعة البيانات، أي الوفرة النسبية للنوع الأكثر وفرة. ^[23] وهذا يتوافق مع المتوسط ​​المعمم المرجح للقيم عندما يقترب q من اللانهاية، وبالتالي يساوي معكوس التنوع الحقيقي من رتبة اللانهاية (1/ ^∞ D ). ${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$

لا ينطبق هذا المؤشر بشكل صارم إلا على مجموعات سكانية كاملة وليس على عينات محدودة. ويُعرَّف بأنه

${\displaystyle I_{B}={\frac {\log(N!)-\sum _{i=1}^{K}(\log(n_{i}!))}{N}}}$

حيث N هو العدد الإجمالي للأفراد في المجتمع، وn _i هو عدد الأفراد في ^الفئة i و N ! هو عامل N . يتم تعريف مؤشر بريلوين للتساوي على النحو التالي

${\displaystyle E_{B}=I_{B}/I_{B(\max )}}$

حيث I _{B (max)} هي القيمة القصوى لـ I _B.

اقترح هيل عائلة من الأرقام المتنوعة ^[24]

${\displaystyle N_{a}={\frac {1}{\left[\sum _{i=1}^{K}p_{i}^{a}\right]^{a-1}}}}$

بالنسبة للقيم المعطاة لـ a، يمكن حساب العديد من المؤشرات الأخرى

• أ = 0: ن _أ = ثراء الأنواع
• أ = 1: ن _أ = مؤشر شانون
• أ = 2: ن _أ = 1/مؤشر سيمبسون (بدون تصحيح العينة الصغيرة)
• أ = 3: ن _أ = 1/مؤشر بيرجر-باركر

واقترح هيل أيضًا مجموعة من تدابير التساوي

${\displaystyle E_{a,b}={\frac {N_{a}}{N_{b}}}}$

حيث أ > ب .

هيل E ₄ هو

${\displaystyle E_{4}={\frac {N_{2}}{N_{1}}}}$

هيل E ₅ هو

${\displaystyle E_{5}={\frac {N_{2}-1}{N_{1}-1}}}$

${\displaystyle I_{\text{Marg}}={\frac {S-1}{\log _{e}N}}}$

حيث S هو عدد أنواع البيانات في العينة و N هو الحجم الإجمالي للعينة. ^[25]

${\displaystyle I_{\mathrm {Men} }={\frac {S}{\sqrt {N}}}}$

حيث S هو عدد أنواع البيانات في العينة و N هو الحجم الإجمالي للعينة. ^[26]

في علم اللغويات، هذا المؤشر هو نفسه مؤشر كوراسزكيويتز (مؤشر الدليل) حيث S هو عدد الكلمات المميزة (الأنواع) و N هو العدد الإجمالي للكلمات (الرموز) في النص الذي يتم فحصه. ^{[27] [28]} يمكن اشتقاق هذا المؤشر كحالة خاصة لدالة توركويست المعممة. ^[29]

هذه إحصائية اخترعها كيمبتون وتايلور. ^[30] وتشمل أرباع العينة. وهي تُعرَّف على أنها

${\displaystyle Q={\frac {{\frac {1}{2}}(n_{R1}+n_{R2})+\sum _{j=R_{1}+1}^{R_{2}-1}n_{j}}{\log(R_{2}/R_{1})}}}$

حيث R ₁ و R ₂ هما الربعان 25% و75% على التوالي على منحنى الأنواع التراكمي، و n _j هو عدد الأنواع في _الفئة j ، و n _Ri هو عدد الأنواع في الفئة التي يقع فيها R _i ( i = 1 أو 2).

هذا مأخوذ من نظرية المعلومات

${\displaystyle H=\log _{e}N-{\frac {1}{N}}\sum n_{i}p_{i}\log(p_{i})}$

حيث N هو العدد الإجمالي في العينة و p _i هي النسبة في ^الفئة i .

في علم البيئة حيث يستخدم هذا المؤشر بشكل شائع، عادة ما يقع H بين 1.5 و3.5 ونادرا ما يتجاوز 4.0.

الصيغة التقريبية للانحراف المعياري (SD) لـ H هي

${\displaystyle \operatorname {SD} (H)={\frac {1}{N}}\left[\sum p_{i}[\log _{e}(p_{i})]^{2}-H^{2}\right]}$

حيث p _i هي النسبة المكونة من ^الفئة i و N هو الإجمالي في العينة.

يتم إعطاء قيمة تقريبية أكثر دقة لتباين H (var( H )) بواسطة ^[31]

${\displaystyle \operatorname {var} (H)={\frac {\sum p_{i}[\log(p_{i})]^{2}-\left[\sum p_{i}\log(p_{i})\right]^{2}}{N}}+{\frac {K-1}{2N^{2}}}+{\frac {-1+\sum p_{i}^{2}-\sum p_{i}^{-1}\log(p_{i})+\sum p_{i}^{-1}\sum p_{i}\log(p_{i})}{6N^{3}}}}$

حيث N هو حجم العينة و K هو عدد الفئات.

المؤشر ذو الصلة هو Pielou J الذي تم تعريفه على أنه

${\displaystyle J={\frac {H}{\log _{e}(S)}}}$

إحدى الصعوبات التي تصاحب هذا المؤشر هي أن S غير معروفة لعينة محدودة. في الممارسة العملية، يتم عادةً ضبط S على الحد الأقصى الموجود في أي فئة في العينة.

إن إنتروبيا ريني هي تعميم لإنتروبيا شانون لقيم أخرى لـ q غير الواحد. ويمكن التعبير عنها على النحو التالي:

${\displaystyle {}^{q}H={\frac {1}{1-q}}\;\ln \left(\sum _{i=1}^{K}p_{i}^{q}\right)}$

الذي يساوي

${\displaystyle {}^{q}H=\ln \left({1 \over {\sqrt[{q-1}]{\sum _{i=1}^{K}p_{i}p_{i}^{q-1}}}}\right)=\ln({}^{q}\!D)}$

وهذا يعني أن أخذ لوغاريتم التنوع الحقيقي بناءً على أي قيمة لـ q يعطي إنتروبيا ريني المقابلة لنفس قيمة q .

تُعرف قيمة أيضًا باسم رقم هيل. ^[24]${\displaystyle {}^{q}\!D}$

اقترح ماكنتوش مقياسًا للتنوع: ^[32]

${\displaystyle I={\sqrt {\sum _{i=1}^{K}n_{i}^{2}}}}$

حيث أن n _i هو الرقم في ^الفئة i و K هو عدد الفئات.

كما اقترح عدة إصدارات معيارية لهذا الفهرس. الأول هو D :

${\displaystyle D={\frac {N-I}{N-{\sqrt {N}}}}}$

حيث N هو حجم العينة الإجمالي.

يتميز هذا المؤشر بميزة التعبير عن التنوع الملحوظ كنسبة من التنوع الأقصى المطلق عند قيمة N معينة .

هناك تطبيع مقترح آخر وهو نسبة التنوع الملحوظ إلى أقصى تنوع ممكن لعنصري N و K (أي إذا كانت جميع الأنواع متساوية في عدد الأفراد):

${\displaystyle E={\frac {N-I}{N-{\frac {N}{K}}}}}$

كان هذا أول مؤشر يتم استخلاصه للتنوع. ^[33]

${\displaystyle K=\alpha \ln(1+{\frac {N}{\alpha }})}$

حيث K هو عدد الفئات و N هو عدد نقاط البيانات في العينة. يجب تقدير α لفيشر عدديًا من البيانات.

العدد المتوقع للأفراد في ^الفئة r حيث تم وضع الفئات بحجم متزايد هو

${\displaystyle \operatorname {E} (n_{r})=\alpha {\frac {X^{r}}{r}}}$

حيث X هي معلمة تجريبية تقع بين 0 و1. وبينما يمكن تقدير X بشكل أفضل عدديًا، يمكن الحصول على قيمة تقريبية عن طريق حل المعادلتين التاليتين

${\displaystyle N={\frac {\alpha X}{1-X}}}$

${\displaystyle K=-\alpha \ln(1-X)}$

حيث K هو عدد الفئات و N هو حجم العينة الإجمالي.

تباين α هو تقريبًا ^[34]

${\displaystyle \operatorname {var} (\alpha )={\frac {\alpha }{\ln(X)(1-X)}}}$

هذا المؤشر ( Dw ) هو المسافة بين منحنى لورينز لتوزيع _{الأنواع} والخط 45 درجة. وهو وثيق الصلة بمعامل جيني. ^[35]

في الرموز هو

${\displaystyle D_{w}=max[{\frac {c_{i}}{K}}-{\frac {i}{N}}]}$

حيث max() هي القيمة القصوى التي تم أخذها على نقاط البيانات N ، وK هو عدد الفئات (أو الأنواع) في مجموعة البيانات و ci _هو الإجمالي التراكمي بما في ذلك _الفئة i .

هذا مرتبط بـ Simpson's D ويتم تعريفه على أنه

${\displaystyle E={\frac {1/D}{K}}}$

حيث D هو D لسيمبسون و K هو عدد الفئات في العينة.

اقترح سميث وويلسون عددًا من المؤشرات استنادًا إلى نموذج سيمبسون D.

${\displaystyle E_{1}={\frac {1-D}{1-{\frac {1}{K}}}}}$

${\displaystyle E_{2}={\frac {\log _{e}(D)}{\log _{e}(K)}}}$

حيث D هو D لسيمبسون و K هو عدد الفئات.

${\displaystyle E={\frac {e^{H}-1}{K-1}}}$

حيث H هي إنتروبيا شانون و K هو عدد الفئات.

يرتبط هذا المؤشر ارتباطًا وثيقًا بمؤشر شيلدون وهو

${\displaystyle E={\frac {e^{H}}{K}}}$

حيث H هي إنتروبيا شانون و K هو عدد الفئات.

تم إنشاء هذا الفهرس بواسطة Camargo في عام 1993. ^[36]

${\displaystyle E=1-\sum _{i=1}^{K}\sum _{j=i+1}^{K}{\frac {p_{i}-p_{j}}{K}}}$

حيث أن K هو عدد الفئات و p _i هي النسبة في ^الفئة i .

تم اقتراح هذا المؤشر من قبل سميث وويلسون في عام 1996. ^[37]

${\displaystyle B=1-{\frac {2}{\pi }}\arctan(\theta )}$

حيث θ هو ميل منحنى رتبة اللوغاريتم (الوفرة).

هذا هو ميل منحنى رتبة اللوغاريتم (الوفرة).

هناك نسختان من هذا المؤشر - واحدة للتوزيعات المستمرة ( E _c ) والأخرى للتوزيعات المنفصلة ( E _d ). ^[38]

${\displaystyle E_{c}={\frac {O-{\frac {1}{K}}}{1-{\frac {1}{K}}}}}$

${\displaystyle E_{d}={\frac {O-{\frac {1}{K}}-{\frac {K-1}{N}}}{1-{\frac {1}{K}}-{\frac {K-1}{N}}}}}$

أين

${\displaystyle O=1-{\frac {1}{2}}\left|p_{i}-{\frac {1}{K}}\right|}$

هو مؤشر شونر-تشيكانوسكي، وK هو عدد الفئات و N هو حجم العينة.

يعتمد هذا المؤشر ( Rik ) _على ^{إنتروبيا شانون. [39]} ويُعرَّف بأنه

${\displaystyle R_{ik}={\frac {H_{\max }-H_{\mathrm {obs} }}{H_{\max }-H_{\min }}}}$

أين

${\displaystyle X=\sum x_{ij}}$

${\displaystyle X=\sum x_{kj}}$

${\displaystyle H(X)=\sum {\frac {x_{ij}}{X}}\log {\frac {X}{x_{ij}}}}$

${\displaystyle H(Y)=\sum {\frac {x_{kj}}{Y}}\log {\frac {Y}{x_{kj}}}}$

${\displaystyle H_{\min }={\frac {X}{X+Y}}H(X)+{\frac {Y}{X+Y}}H(Y)}$

${\displaystyle H_{\max }=\sum \left({\frac {x_{ij}}{X+Y}}\log {\frac {X+Y}{x_{ij}}}+{\frac {x_{kj}}{X+Y}}\log {\frac {X+Y}{x_{kj}}}\right)}$

${\displaystyle H_{\mathrm {obs} }=\sum {\frac {x_{ij}+x_{kj}}{X+Y}}\log {\frac {X+Y}{x_{ij}+x_{kj}}}}$

في هذه المعادلات، x _ij و x _kj هما عدد المرات التي يظهر ^{فيها نوع البيانات} j في ^العينة i أو k على التوالي.

في عينة نادرة، يتم اختيار عينة فرعية عشوائية n من إجمالي N عنصر. في هذه العينة، قد تكون بعض المجموعات غائبة بالضرورة عن هذه العينة الفرعية. ليكن عدد المجموعات التي لا تزال موجودة في العينة الفرعية المكونة من n عنصر. يكون أقل من K عدد الفئات كلما كانت مجموعة واحدة على الأقل مفقودة من هذه العينة الفرعية. ${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X_{n}}$

منحنى التخلخل ، يتم تعريفه على النحو التالي: ${\displaystyle f_{n}}$

${\displaystyle f_{n}=\operatorname {E} [X_{n}]=K-{\binom {N}{n}}^{-1}\sum _{i=1}^{K}{\binom {N-N_{i}}{n}}}$

لاحظ أن 0 ≤ f ( n ) ≤ K .

بالإضافة إلى،

${\displaystyle f(0)=0,\ f(1)=1,\ f(N)=K.}$

على الرغم من تعريفها بقيم منفصلة لـ n ، إلا أن هذه المنحنيات غالبًا ما يتم عرضها كوظائف مستمرة. ^[40]

سيتم مناقشة هذا المؤشر بمزيد من التفصيل في "التخلخل (علم البيئة)" .

هذه إحصائية من النوع z تعتمد على إنتروبيا شانون. ^[41]

${\displaystyle V={\frac {H-\operatorname {E} (H)}{\operatorname {SD} (H)}}}$

حيث H هي إنتروبيا شانون، و E ( H ) هي إنتروبيا شانون المتوقعة لنموذج التوزيع المحايد و SD ( H ) هو الانحراف المعياري للإنتروبيا. يتم تقدير الانحراف المعياري من الصيغة المشتقة بواسطة Pielou

${\displaystyle SD(H)={\frac {1}{N}}\left[\sum p_{i}[\log _{e}(p_{i})]^{2}-H^{2}\right]}$

حيث p _i هي النسبة المكونة من ^الفئة i و N هو الإجمالي في العينة.

هذا هو

${\displaystyle I_{LG}={\frac {K}{K'}}}$

حيث أن K هو عدد الفئات و K' هو عدد الفئات وفقًا لنموذج العصا المكسورة الذي وضعه ماك آرثر، مما يعطي التنوع الملحوظ.

يستخدم هذا المؤشر لمقارنة العلاقة بين المضيفين وطفيلياتهم. ^[42] وهو يتضمن معلومات حول العلاقة التطورية بين الأنواع المضيفة.

${\displaystyle S_{TD}=2{\frac {\sum \sum _{i<j}\omega _{ij}}{s(s-1)}}}$

حيث s هو عدد الأنواع المضيفة التي يستخدمها الطفيلي و ω _ij هو التمييز التصنيفي بين الأنواع المضيفة i و j .

لقد تم اقتراح العديد من المؤشرات بهذا الاسم.

واحد منهم هو

${\displaystyle IQV={\frac {K(100^{2}-\sum _{i=1}^{K}p_{i}^{2})}{100^{2}(K-1)}}={\frac {K}{K-1}}(1-\sum _{i=1}^{K}(p_{i}/100)^{2})}$

حيث أن K هو عدد الفئات و p _i هي نسبة العينة التي تقع في الفئة ⁱ .

يُعرف هذا المؤشر أيضًا باسم مؤشر إنتروبيا المجموعات المتعددة أو مؤشر نظرية المعلومات. وقد اقترحه ثيل في عام 1972. ^[43] والمؤشر هو متوسط ​​مرجح لإنتروبيا العينات.

يترك

${\displaystyle E_{a}=\sum _{i=1}^{a}p_{i}log(p_{i})}$

و

${\displaystyle H=\sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}(E-E_{i})}{NE}}}$

حيث p _i هي نسبة النوع i في ^العينة a ، وr هو العدد الإجمالي للعينات، وn _i هو حجم ^العينة i ، وN هو حجم السكان الذي تم الحصول على العينات منه، و E هي إنتروبيا السكان.

لقد تم تطوير العديد من هذه الفهارس لتوثيق الدرجة التي يمكن أن تتواجد بها أنواع مختلفة من البيانات ذات الاهتمام ضمن منطقة جغرافية.

ليكن A و B نوعين من عناصر البيانات. إذن، مؤشر الاختلاف هو

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{K}\left|{\frac {A_{i}}{A}}-{\frac {B_{i}}{B}}\right|}$

أين

${\displaystyle A=\sum _{i=1}^{K}A_{i}}$

${\displaystyle B=\sum _{i=1}^{K}B_{i}}$

A _i هو عدد البيانات من نوع A في موقع العينة i ، B _i هو عدد البيانات من نوع B في موقع العينة i ، K هو عدد المواقع التي تم أخذ العينة منها و|| هي القيمة المطلقة.

من المحتمل أن يكون هذا المؤشر معروفًا بشكل أفضل باسم مؤشر الاختلاف ( D ). ^[44] وهو وثيق الصلة بمؤشر جيني.

يعتبر هذا المؤشر متحيزًا لأن توقعاته في ظل توزيع موحد هي > 0.

وقد اقترح جورارد وتايلور تعديلاً لهذا المؤشر. ^[45] ومؤشرهما (GT) هو

${\displaystyle GT=D\left(1-{\frac {A}{A+B}}\right)}$

مؤشر الفصل ( IS ) ^[46] هو

${\displaystyle SI={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{K}\left|{\frac {A_{i}}{A}}-{\frac {t_{i}-A_{i}}{T-A}}\right|}$

أين

${\displaystyle A=\sum _{i=1}^{K}A_{i}}$

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{K}t_{i}}$

و K هو عدد الوحدات، و A _i و t _i هو عدد نوع البيانات A في الوحدة i والعدد الإجمالي لجميع أنواع البيانات في الوحدة i .

يتم تعريف هذا المؤشر ( H ) على النحو التالي ^[47]

${\displaystyle H=1-\sum _{i=1}^{K}\sum _{j=1}^{i}{\sqrt {p_{i}p_{j}}}}$

حيث p _i هي نسبة العينة المكونة من ^{المتغير} i .

تم اختراع هذا المؤشر ( L _xy ^{) بواسطة ليبيرسون في عام 1981. [48]}

${\displaystyle L_{xy}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{K}{\frac {X_{i}Y_{i}}{X_{\mathrm {tot} }}}}$

حيث X _i و Y _i هما متغيران مهمان في ^الموقع i ، و K هو عدد المواقع التي تم فحصها و X _tot هو العدد الإجمالي للمتغيرات من النوع X في الدراسة.

تم تعريف هذا المؤشر على أنه ^[49]

${\displaystyle I_{R}={\frac {p_{xx}-p_{x}}{1-p_{x}}}}$

حيث p _x هي نسبة العينة المكونة من متغيرات من النوع X و

${\displaystyle p_{xx}={\frac {\sum _{i=1}^{K}x_{i}p_{i}}{N_{x}}}}$

حيث أن N _x هو العدد الإجمالي للمتغيرات من النوع X في الدراسة، وK هو عدد العينات في الدراسة و x _i و p _i هما عدد المتغيرات ونسبة المتغيرات من النوع X في ^العينة i على التوالي .

مؤشر العزلة هو

${\displaystyle II=\sum _{i=1}^{K}{\frac {A_{i}}{A}}{\frac {A_{i}}{t_{i}}}}$

حيث K هو عدد الوحدات في الدراسة، A _i و t _i هو عدد وحدات النوع A وعدد جميع الوحدات في _العينة i .

وقد تم اقتراح مؤشر معدّل للعزلة أيضًا

${\displaystyle MII={\frac {II-{\frac {A}{T}}}{1-{\frac {A}{T}}}}}$

MII يقع بين 0 و 1.

يتم تعريف هذا المؤشر (GS) على أنه

${\displaystyle GS={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{K}\left|{\frac {A_{i}}{A}}-{\frac {t_{i}}{T}}\right|}$

أين

${\displaystyle A=\sum _{i=1}^{K}A_{i}}$

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{K}t_{i}}$

و A _i و t _i هما عدد عناصر البيانات من النوع A والعدد الإجمالي للعناصر في ^العينة i .

يتم تعريف هذا المؤشر على أنه

${\displaystyle IE=\sum _{i=1}^{K}{\frac {A_{i}}{A}}{\frac {B_{i}}{t_{i}}}}$

أين

${\displaystyle A=\sum _{i=1}^{K}A_{i}}$

و A _i و B _i هما عدد النوعين A و B في ^الفئة i و t _i هو العدد الإجمالي لنقاط البيانات في ^الفئة i .

هذا هو الشكل الثنائي لمؤشر جيب التمام. ^[50] يتم استخدامه لمقارنة بيانات الحضور/الغياب لنوعين من البيانات (هنا A و B ). يتم تعريفه على أنه

${\displaystyle O={\frac {a}{\sqrt {(a+b)(a+c)}}}}$

حيث أن a هو عدد وحدات العينة حيث يوجد كل من A و B ، وb هو عدد وحدات العينة حيث يوجد A ولكن لا يوجد B ، و c هو عدد وحدات العينة حيث يوجد النوع B ولكن ليس النوع A.

تم اختراع هذا المعامل بواسطة ستانيسلاف كولشينسكي في عام 1927 ^[51] وهو مؤشر للارتباط بين نوعين (هنا أ و ب ). ويتراوح قيمته بين 0 و 1. ويُعرف بأنه

${\displaystyle K={\frac {a}{2}}\left({\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}\right)}$

حيث أن a هو عدد وحدات العينة حيث يتواجد النوع A والنوع B ، وb هو عدد وحدات العينة حيث يتواجد النوع A ولكن ليس النوع B ، و c هو عدد وحدات العينة حيث يتواجد النوع B ولكن ليس النوع A.

تم اختراع هذا المؤشر بواسطة يول في عام 1900. ^[52] يتعلق هذا المؤشر بربط نوعين مختلفين (هنا أ و ب ). يتم تعريفه على أنه

${\displaystyle Q={\frac {ad-bc}{ad+bc}}}$

حيث أن a هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوعان A و B معًا، وb هو حيث يتواجد النوع A ولكن ليس النوع B ، وc هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوع B ولكن ليس النوع A و d هو عدد العينات التي لا يتواجد فيها النوع A ولا النوع B. تتراوح قيمة Q بين -1 و+1. في الحالة الترتيبية، يُعرف Q باسم Goodman-Kruskal γ .

نظرًا لأن المقام قد يكون صفرًا، فقد أوصى لينهارت وسبورر بإضافة +1 إلى a و b و c و d . ^[53]

يتم تعريف هذا المؤشر على أنه

${\displaystyle Y={\frac {{\sqrt {ad}}-{\sqrt {bc}}}{{\sqrt {ad}}+{\sqrt {bc}}}}}$

حيث أن a هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوعان A و B ، وb هو حيث يتواجد النوع A ولكن ليس النوع B ، وc هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوع B ولكن ليس النوع A، و d هو عدد العينات التي لا يتواجد فيها النوع A ولا النوع B.

تم اختراع هذا المؤشر بواسطة باروني-أورباني وبوسير في عام 1976. ^[54] ويتراوح بين 0 و1 في القيمة. ويُعرَّف بأنه

${\displaystyle BUB={\frac {{\sqrt {ad}}+a}{{\sqrt {ad}}+a+b+c}}={\frac {{\sqrt {ad}}+a}{N+{\sqrt {ad}}-d}}=1-{\frac {N-(a-d)}{N+{\sqrt {ad}}-d}}}$

حيث أن a هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوعان A و B معًا، وb هو حيث يتواجد النوع A ولكن ليس النوع B ، وc هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوع B ولكن ليس النوع A، و d هو عدد العينات التي لا يتواجد فيها النوع A ولا النوع B. N هو حجم العينة.

عندما يكون d = 0، يكون هذا المؤشر مطابقًا لمؤشر Jaccard.

يتم تعريف هذا المعامل على أنه

${\displaystyle H={\frac {(a+d)-(b+c)}{a+b+c+d}}={\frac {(a+d)-(b+c)}{N}}}$

حيث أن a هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوعان A و B معًا، وb هو حيث يتواجد النوع A ولكن ليس النوع B ، وc هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوع B ولكن ليس النوع A، و d هو عدد العينات التي لا يتواجد فيها النوع A ولا النوع B. N هو حجم العينة.

يتم تعريف هذا المعامل على أنه

${\displaystyle RT={\frac {a+d}{a+2(b+c)+d}}={\frac {a+d}{N+b+c}}}$

حيث a هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوعان A و B معًا، وb هو حيث يتواجد النوع A ولكن ليس النوع B ، وc هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوع B ولكن ليس النوع A، و d هو عدد العينات التي لا يتواجد فيها النوع A ولا النوع B. N هو حجم العينة

يتم تعريف هذا المعامل على أنه

${\displaystyle SS={\frac {2(a+d)}{2(a+d)+b+c}}={\frac {2(a+d)}{N+a+d}}}$

حيث أن a هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوعان A و B معًا، وb هو حيث يتواجد النوع A ولكن ليس النوع B ، وc هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوع B ولكن ليس النوع A، و d هو عدد العينات التي لا يتواجد فيها النوع A ولا النوع B. N هو حجم العينة.

يتم تعريف هذا المعامل على أنه

${\displaystyle SBD={\sqrt {\frac {b+c}{a+b+c+d}}}={\sqrt {\frac {b+c}{N}}}}$

حيث أن a هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوعان A و B معًا، وb هو حيث يتواجد النوع A ولكن ليس النوع B ، وc هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوع B ولكن ليس النوع A، و d هو عدد العينات التي لا يتواجد فيها النوع A ولا النوع B. N هو حجم العينة.

يتم تعريف هذا المعامل على أنه

${\displaystyle RR={\frac {a}{a+b+c+d}}={\frac {a}{N}}}$

حيث أن a هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوعان A و B معًا، وb هو حيث يتواجد النوع A ولكن ليس النوع B ، وc هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوع B ولكن ليس النوع A، و d هو عدد العينات التي لا يتواجد فيها النوع A ولا النوع B. N هو حجم العينة.

يتم تعريف هذا المعامل على أنه

${\displaystyle \varphi ={\frac {ad-bc}{\sqrt {(a+b)(a+c)(b+c)(c+d)}}}}$

حيث أن a هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوعان A و B ، وb هو حيث يتواجد النوع A ولكن ليس النوع B ، وc هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوع B ولكن ليس النوع A، و d هو عدد العينات التي لا يتواجد فيها النوع A ولا النوع B.

يتم تعريف هذا المعامل على أنه

${\displaystyle S={\frac {b+c}{b+c+d}}={\frac {b+c}{N-a}}}$

حيث b هو عدد العينات التي يوجد بها النوع A ولكن ليس النوع B ، وc هو عدد العينات التي يوجد بها النوع B ولكن ليس النوع A، و d هو عدد العينات التي لا يوجد بها النوع A ولا النوع B. N هو حجم العينة.

يتم تعريف هذا المعامل على أنه

${\displaystyle S={\frac {a}{a+\min(b,c)}}}$

حيث أن b هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوع A ولكن ليس النوع B ، و c هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوع B ولكن ليس النوع A.

يتم تعريف هذا المعامل على أنه

${\displaystyle D={\frac {ad-bc}{\sqrt {(a+b+c+d)(a+b)(a+c)}}}={\frac {ad-bc}{\sqrt {N(a+b)(a+c)}}}}$

حيث أن a هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوعان A و B معًا، وb هو حيث يتواجد النوع A ولكن ليس النوع B ، وc هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوع B ولكن ليس النوع A، و d هو عدد العينات التي لا يتواجد فيها النوع A ولا النوع B. N هو حجم العينة.

تم اقتراح هذا المعامل من قبل ستيفن ألفريد فوربس في عام 1907. ^[55] يتم تعريفه على أنه

${\displaystyle F={\frac {aN}{(a+b)(a+c)}}}$

حيث a هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوعان A و B معًا، وb هو حيث يتواجد النوع A ولكن ليس النوع B ، وc هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوع B ولكن ليس النوع A، و d هو عدد العينات التي لا يتواجد فيها النوع A ولا النوع B. N هو حجم العينة ( N = a + b + c + d ).

وقد اقترح ألروي ^[56] تعديلاً لهذا المعامل لا يتطلب معرفة d

${\displaystyle F_{A}={\frac {a(n+{\sqrt {n}})}{a(n+{\sqrt {n}})+{\frac {3}{2}}bc}}=1-{\frac {3bc}{2a(n+{\sqrt {n}})+3bc}}}$

حيث n = a + b + c .

يتم تعريف هذا المعامل على أنه

${\displaystyle SM={\frac {a+d}{a+b+c+d}}={\frac {a+d}{N}}}$

حيث أن a هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوعان A و B معًا، وb هو حيث يتواجد النوع A ولكن ليس النوع B ، وc هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوع B ولكن ليس النوع A، و d هو عدد العينات التي لا يتواجد فيها النوع A ولا النوع B. N هو حجم العينة.

يتم تعريف هذا المعامل على أنه

${\displaystyle F={\frac {(a+b+c+d)(a-0.5)^{2}}{(a+b)(a+c)}}={\frac {N(a-0.5)^{2}}{(a+b)(a+c)}}}$

حيث أن a هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوعان A و B معًا، وb هو حيث يتواجد النوع A ولكن ليس النوع B ، وc هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوع B ولكن ليس النوع A، و d هو عدد العينات التي لا يتواجد فيها النوع A ولا النوع B. N هو حجم العينة.

يتم تعريف هذا المعامل على أنه

${\displaystyle S=\log \left[{\frac {n(|ad-bc|-{\frac {n}{2}})^{2}}{(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)}}\right]}$

حيث أن a هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوعان A و B ، وb هو حيث يتواجد النوع A ولكن ليس النوع B ، وc هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوع B ولكن ليس النوع A ، وd هو عدد العينات التي لا يتواجد فيها النوع A ولا النوع B ، وn يساوي a + b + c + d و|| هو معامل (القيمة المطلقة) للفرق.

يتم تعريف هذا المعامل على أنه

${\displaystyle M={\frac {4(ad-bc)}{(a+d)^{2}+(b+c)^{2}}}}$

حيث أن a هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوعان A و B ، وb هو حيث يتواجد النوع A ولكن ليس النوع B ، وc هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوع B ولكن ليس النوع A، و d هو عدد العينات التي لا يتواجد فيها النوع A ولا النوع B.

في عام 1884 اقترح تشارلز بيرس ^[57] المعامل التالي

${\displaystyle P={\frac {ab+bc}{ab+2bc+cd}}}$

حيث أن a هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوعان A و B ، وb هو حيث يتواجد النوع A ولكن ليس النوع B ، وc هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوع B ولكن ليس النوع A، و d هو عدد العينات التي لا يتواجد فيها النوع A ولا النوع B.

في عام 1975 اقترح هوكين ودوتسون المعامل التالي

${\displaystyle HD={\frac {1}{2}}\left({\frac {a}{a+b+c}}+{\frac {d}{b+c+d}}\right)={\frac {1}{2}}\left({\frac {a}{N-d}}+{\frac {d}{N-a}}\right)}$

حيث أن a هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوعان A و B معًا، وb هو حيث يتواجد النوع A ولكن ليس النوع B ، وc هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوع B ولكن ليس النوع A، و d هو عدد العينات التي لا يتواجد فيها النوع A ولا النوع B. N هو حجم العينة.

في عام 1901 اقترح بنيني المعامل التالي

${\displaystyle B={\frac {a-(a+b)(a+c)}{a+\min(b,c)-(a+b)(a+c)}}}$

حيث أن a هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوعان A و B معًا، وb هو حيث يتواجد النوع A ولكن ليس النوع B و c هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوع B ولكن ليس النوع A. Min( b , c ) هو الحد الأدنى لـ b و c .

اقترح جيلبرت المعامل التالي

${\displaystyle G={\frac {a-(a+b)(a+c)}{a+b+c-(a+b)(a+c)}}={\frac {a-(a+b)(a+c)}{N-(a+b)(a+c)-d}}}$

حيث أن a هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوعان A و B معًا، وb هو حيث يتواجد النوع A ولكن ليس النوع B ، وc هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوع B ولكن ليس النوع A، و d هو عدد العينات التي لا يتواجد فيها النوع A ولا النوع B. N هو حجم العينة.

مؤشر جيني هو

${\displaystyle G={\frac {a-(a+b)(a+c)}{\sqrt {(1-(a+b)^{2})(1-(a+c)^{2})}}}}$

حيث أن a هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوعان A و B ، وb هو حيث يتواجد النوع A ولكن ليس النوع B و c هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوع B ولكن ليس النوع A.

مؤشر جيني المعدل هو

${\displaystyle G_{M}={\frac {a-(a+b)(a+c)}{1-{\frac {|b-c|}{2}}-(a+b)(a+c)}}}$

حيث أن a هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوعان A و B ، وb هو حيث يتواجد النوع A ولكن ليس النوع B و c هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوع B ولكن ليس النوع A.

اقترح كون المعامل التالي في عام 1965

${\displaystyle I={\frac {2(ad-bc)}{K(2a+b+c)}}={\frac {2(ad-bc)}{K(N+a-d)}}}$

حيث أن a هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوعان A و B ، وb هو النوع A الموجود ولكن ليس النوع B و c هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوع B ولكن ليس النوع A. K هو معامل التطبيع. N هو حجم العينة .

ويُعرف هذا المؤشر أيضًا باسم معامل المتوسطات الحسابية.

اقترح إيراود المعامل التالي في عام 1936

${\displaystyle I={\frac {a-(a+b)(a+c)}{(a+c)(a+d)(b+d)(c+d)}}}$

حيث أن a هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوعان A و B معًا، وb هو حيث يتواجد النوع A ولكن ليس النوع B ، وc هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوع B ولكن ليس النوع A، و d هو عدد العينات التي لا يتواجد فيها كل من A و B.

يتم تعريف هذا على أنه

${\displaystyle \operatorname {SD} ={\frac {b+c}{b+c+d}}={\frac {b+c}{N-a}}}$

حيث أن a هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوعان A و B معًا، وb هو النوع A الموجود ولكن ليس النوع B ، وc هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوع B ولكن ليس النوع A، و d هو عدد العينات التي لا يتواجد فيها كل من A و B. N هو حجم العينة.

يتم تعريف هذا على أنه

${\displaystyle TI=1-{\frac {a}{b+c+d}}=1-{\frac {a}{N-a}}={\frac {N-2a}{N-a}}}$

حيث أن a هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوعان A و B معًا، وb هو النوع A الموجود ولكن ليس النوع B ، وc هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوع B ولكن ليس النوع A، و d هو عدد العينات التي لا يتواجد فيها كل من A و B. N هو حجم العينة.

يتم تعريف هذا على أنه

${\displaystyle PSI=a-bc}$

حيث أن a هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوعان A و B ، وb هو حيث يتواجد النوع A ولكن ليس النوع B ، وc هو عدد العينات التي يتواجد فيها النوع B ولكن ليس النوع A.

يُعرف هذا أيضًا باسم مؤشر براي-كيرتس ، أو مؤشر شونر، أو مؤشر النسبة المئوية الأقل شيوعًا، أو مؤشر التقارب أو التشابه النسبي. وهو مرتبط بمؤشر تشابه سورينسن .

${\displaystyle CZI={\frac {\sum \min(x_{i},x_{j})}{\sum (x_{i}+x_{j})}}}$

حيث أن x _i و x _j هما عدد الأنواع في الموقعين i و j على التوالي ويتم أخذ الحد الأدنى لعدد الأنواع المشتركة بين الموقعين.

مسافة كانبيرا هي نسخة مرجحة من مقياس L _1. تم تقديمها في عام 1966 ^[58] وتم تحسينها في عام 1967 ^[59] بواسطة GN Lance و WT Williams . يتم استخدامها لتحديد المسافة بين متجهين - هنا موقعان مع K فئة داخل كل موقع.

مسافة كانبيرا d بين المتجهين p و q في فضاء متجه حقيقي ذو أبعاد K هي

${\displaystyle d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\sum _{i=1}^{n}{\frac {|p_{i}-q_{i}|}{|p_{i}|+|q_{i}|}}}$

حيث p _i و q _i هما قيم ^الفئة i للمتجهين.

يتم استخدامه لقياس أوجه التشابه بين المجتمعات.

${\displaystyle CC={\frac {2c}{s_{1}+s_{2}}}}$

حيث أن _s1 و s2 هما عدد الأنواع في المجتمع 1 و2 على التوالي و _c هو عدد الأنواع المشتركة في كلتا المنطقتين.

هذا مقياس للتشابه بين عينتين:

${\displaystyle J={\frac {A}{A+B+C}}}$

حيث أن A هو عدد نقاط البيانات المشتركة بين العينتين و B و C هي نقاط البيانات الموجودة فقط في العينة الأولى والثانية على التوالي.

تم اختراع هذا المؤشر في عام 1902 من قبل عالم النبات السويسري بول جاكارد . ^[60]

في ظل التوزيع العشوائي، القيمة المتوقعة لـ J هي ^[61]

${\displaystyle J={\frac {1}{A}}\left({\frac {1}{A+B+C}}\right)}$

الخطأ المعياري لهذا المؤشر مع افتراض التوزيع العشوائي هو

${\displaystyle SE(J)={\sqrt {\frac {A(B+C)}{N(A+B+C)^{3}}}}}$

حيث N هو الحجم الإجمالي للعينة.

هذا مقياس للتشابه بين عينتين:

${\displaystyle D={\frac {2A}{2A+B+C}}}$

حيث أن A هو عدد نقاط البيانات المشتركة بين العينتين و B و C هي نقاط البيانات الموجودة فقط في العينة الأولى والثانية على التوالي.

هذا مقياس للتشابه بين عينتين:

${\displaystyle M={\frac {N-B-C}{N}}=1-{\frac {B+C}{N}}}$

حيث أن N هو عدد نقاط البيانات في العينتين و B و C هي نقاط البيانات الموجودة فقط في العينة الأولى والثانية على التوالي.

مؤشر التشتت لماساكي موريسيتا ( Im ) هو الاحتمال المدرج بأن نقطتين تم _{اختيارهما} عشوائيًا من إجمالي السكان توجدان في نفس العينة. ^[62] تشير القيم الأعلى إلى توزيع أكثر تكتلًا.

${\displaystyle I_{m}={\frac {\sum x(x-1)}{nm(m-1)}}}$

الصيغة البديلة هي

${\displaystyle I_{m}=n{\frac {\sum x^{2}-\sum x}{\left(\sum x\right)^{2}-\sum x}}}$

حيث n هو حجم العينة الإجمالي، وm هو متوسط ​​العينة و x هي القيم الفردية مع المجموع المأخوذ على العينة بأكملها. كما أنه يساوي

${\displaystyle I_{m}={\frac {n\ IMC}{nm-1}}}$

حيث IMC هو مؤشر لويدز للازدحام. ^[63]

ويعتبر هذا المؤشر مستقلا نسبيا عن كثافة السكان ولكنه يتأثر بحجم العينة.

أظهر موريسيتا أن الإحصائية ^[62]

${\displaystyle I_{m}\left(\sum x-1\right)+n-\sum x}$

يتم توزيعه كمتغير مربع كاي مع n  − 1 درجات حرية.

تم تطوير اختبار أهمية بديل لهذا المؤشر للعينات الكبيرة. ^[64]

${\displaystyle z={\frac {I_{m}-1}{2/nm^{2}}}}$

حيث m هو متوسط ​​العينة الإجمالي، وn هو عدد وحدات العينة و z هو التوزيع الطبيعي . يتم اختبار الدلالة عن طريق مقارنة قيمة z بقيم التوزيع الطبيعي .

يتم استخدام مؤشر تداخل موريسيتا لمقارنة التداخل بين العينات. ^[65] يعتمد المؤشر على افتراض أن زيادة حجم العينات من شأنها أن تزيد من التنوع لأنها ستشمل موائل مختلفة

${\displaystyle C_{D}={\frac {2\sum _{i=1}^{S}x_{i}y_{i}}{(D_{x}+D_{y})XY}}}$

x _i هو عدد المرات التي يتم فيها تمثيل النوع i في إجمالي X من عينة واحدة.

y _i هو عدد المرات التي يتم فيها تمثيل النوع i في إجمالي Y من عينة أخرى.

D _x و D _y هما قيم مؤشر سيمبسون لعينات x و y على التوالي.

S هو عدد الأنواع الفريدة

C _D = 0 إذا لم تتداخل العينتان من حيث الأنواع، و C _D = 1 إذا ظهرت الأنواع بنفس النسب في كلتا العينتين.

قدم هورن تعديلاً للمؤشر ^[66]

${\displaystyle C_{H}={\frac {2\sum _{i=1}^{S}x_{i}y_{i}}{\left({\sum _{i=1}^{S}x_{i}^{2} \over X^{2}}+{\sum _{i=1}^{S}y_{i}^{2} \over Y^{2}}\right)XY}}}$

طور سميث-جيل إحصائية تعتمد على مؤشر موريسيتا، وهي مستقلة عن حجم العينة وكثافة السكان ومحدودة بـ -1 و+1. يتم حساب هذه الإحصائية على النحو التالي ^[67]

أولاً، حدد مؤشر موريسيتا ( I _d ) بالطريقة المعتادة. ثم دع k هو عدد الوحدات التي تم أخذ العينة منها. احسب القيمتين الحرجتين

${\displaystyle M_{u}={\frac {\chi _{0.975}^{2}-k+\sum x}{\sum x-1}}}$

${\displaystyle M_{c}={\frac {\chi _{0.025}^{2}-k+\sum x}{\sum x-1}}}$

حيث χ ² هي قيمة مربع كاي لـ n  − 1 درجات حرية عند مستويات ثقة 97.5% و2.5%.

يتم بعد ذلك حساب المؤشر الموحد ( I _p ) من إحدى الصيغ أدناه

عندما يكون I _d ≥ M _c > 1

${\displaystyle I_{p}=0.5+0.5\left({\frac {I_{d}-M_{c}}{k-M_{c}}}\right)}$

عندما يكون M _c > I _d ≥ 1

${\displaystyle I_{p}=0.5\left({\frac {I_{d}-1}{M_{u}-1}}\right)}$

عندما 1 > I _d ≥ M _u

${\displaystyle I_{p}=-0.5\left({\frac {I_{d}-1}{M_{u}-1}}\right)}$

عندما 1 _> م > _أنا د

${\displaystyle I_{p}=-0.5+0.5\left({\frac {I_{d}-M_{u}}{M_{u}}}\right)}$

يتراوح نطاق I _p بين +1 و-1 مع فواصل ثقة بنسبة 95% ±0.5. تكون قيمة I _p 0 إذا كان النمط عشوائيًا؛ وإذا كان النمط موحدًا، تكون قيمة I _p < 0 وإذا أظهر النمط تجميعًا، تكون قيمة I _p > 0.

هذه المؤشرات هي مقياس للتساوي بين العينات. ^[68]

${\displaystyle E_{1}={\frac {I-I_{\min }}{I_{\max }-I_{\min }}}}$

${\displaystyle E_{2}={\frac {I}{I_{\max }}}}$

حيث I هو مؤشر التنوع، وI _max و I _min هما الحد الأقصى والحد الأدنى لقيم I بين العينات التي تتم مقارنتها.

اقترح لويفينجر معامل H كما يلي:

${\displaystyle H={\sqrt {\frac {p_{\max }(1-p_{\min })}{p_{\min }(1-p_{\max })}}}}$

حيث p _max و p _min هما الحد الأقصى والحد الأدنى للنسب في العينة.

مؤشر تفيرسكي ^[69] هو مقياس غير متماثل يقع بين 0 و 1.

بالنسبة للعينات A و B، فإن مؤشر Tversky ( S ) هو

${\displaystyle S={\frac {|A\cap B|}{|A\cap B|+\alpha |A-B|+\beta |B-A|}}}$

قيم α و β عشوائية. ضبط كل من α و β على 0.5 يعطي معامل Dice . ضبط كل منهما على 1 يعطي معامل Tanimoto .

وقد تم اقتراح متغير متماثل لهذا المؤشر أيضًا. ^[70]

${\displaystyle S_{1}={\frac {|A\cap B|}{|A\cap B|+\beta \left(\alpha a+(1-\alpha )b\right)}}}$

أين

${\displaystyle a=\min \left(|X-Y|,|Y-X|\right)}$

${\displaystyle b=\max \left(|X-Y|,|Y-X|\right)}$

وقد تم اقتراح عدة مؤشرات مماثلة.

اقترح مونوستوري وآخرون مؤشر التشابه المتماثل ^[71]

${\displaystyle SS(A,B)={\frac {|d(A)\cap d(B)|}{|d(A)+d(B)|}}}$

حيث d ( X ) هو مقياس مشتق من  X.

اقترح بيرنشتاين وزوبل مؤشرات S2 وS3 ^[72]

${\displaystyle S2={\frac {|d(A)\cap d(B)|}{\min(|d(A)|,|d(B))|}}}$

${\displaystyle S3={\frac {2|d(A)\cap d(B)|}{|d(A)+d(B)|}}}$

S3 هو ببساطة ضعف مؤشر التشابه المتماثل. كلاهما مرتبط بمعامل Dice

وقد تم اقتراح عدد من المقاييس (المسافات بين العينات).

في حين أن هذا يُستخدم عادةً في العمل الكمي، فإنه قد يُستخدم أيضًا في العمل النوعي. ويُعرَّف هذا بأنه

${\displaystyle d_{jk}={\sqrt {\sum _{i=1}^{N}(x_{ij}-x_{ik})^{2}}}}$

حيث d _jk هي المسافة بين x _ij و x _ik .

يتم تعريف هذا على أنه

${\displaystyle GD={\frac {\Sigma _{i=1}^{n}w_{i}d_{i}}{\Sigma _{i=1}^{n}w_{i}}}}$

حيث d _i هي المسافة بين ^{العينات} i و w _i هي قيمة الوزن ^{للمسافة} i .

في حين أن هذا يُستخدم بشكل أكثر شيوعًا في العمل الكمي، إلا أنه قد يُستخدم أيضًا في العمل النوعي. ويُعرَّف هذا بأنه

${\displaystyle d_{jk}=\sum _{i=1}^{N}|x_{ij}-x_{ik}|}$

حيث d _jk هي المسافة بين x _ij و x _ik و || هي القيمة المطلقة للفرق بين x _ij و x _ik .

يمكن استخدام نسخة معدلة من مسافة مانهاتن لإيجاد صفر ( جذر ) متعدد الحدود من أي درجة باستخدام طريقة ليل .

يرتبط هذا بمسافة مانهاتن. وقد وصفها بريفوستي وآخرون واستُخدمت لمقارنة الاختلافات بين الكروموسومات . ^[73] دع P و Q تكونان مجموعتين من توزيعات الاحتمالات المحدودة r . دع هذه التوزيعات لها قيم مقسمة إلى فئات k . إذن المسافة D _PQ هي

${\displaystyle D_{PQ}={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{k}|p_{ji}-q_{ji}|}$

حيث r هو عدد توزيعات الاحتمالات المنفصلة في كل مجتمع، و k _j هو عدد الفئات في التوزيعات P _j و Q _j و p _ji (على التوالي q _ji ) هو الاحتمال النظري للفئة i في التوزيع P _j ( Q _j ) في المجتمع P ( Q ).

تم فحص خصائصها الإحصائية بواسطة سانشيز وآخرون ^[74] الذين أوصوا بإجراء إعادة تمهيد لتقدير فترات الثقة عند اختبار الاختلافات بين العينات.

يترك

${\displaystyle A=\sum x_{ij}}$

${\displaystyle B=\sum x_{ik}}$

${\displaystyle J=\sum \min(x_{ij},x_{jk})}$

حيث min( x , y ) هي القيمة الأصغر للزوج x و y .

ثم

${\displaystyle d_{jk}=A+B-2J}$

هي مسافة مانهاتن،

${\displaystyle d_{jk}={\frac {A+B-2J}{A+B}}}$

هي مسافة براي-كيرتس،

${\displaystyle d_{jk}={\frac {A+B-2J}{A+B-J}}}$

هي مسافة جاكارد (أو روزيكا) و

${\displaystyle d_{jk}=1-{\frac {1}{2}}\left({\frac {J}{A}}+{\frac {J}{B}}\right)}$

هي مسافة كولتشينسكي.

اقترح هاكوهين-كيرنر وآخرون مجموعة متنوعة من المقاييس لمقارنة نصين أو أكثر. ^[75]

إذا كانت الفئات ترتيبية على الأقل ، فمن الممكن حساب عدد من المؤشرات الأخرى.

مقياس تشتت ليك ( D ) هو أحد هذه المؤشرات. ^[76] دع هناك K فئة ودع p _i تكون f _i / N حيث f _i هو الرقم في ^الفئة i ودع الفئات مرتبة بترتيب تصاعدي. دع

${\displaystyle c_{a}=\sum _{i=1}^{a}p_{i}}$

حيث a ≤ K. ليكن d _a = c _a إذا كانت c _a ≤ 0.5 و1 −  c _a ≤ 0.5 بخلاف ذلك. إذن

${\displaystyle D=2\sum _{a=1}^{K}{\frac {d_{a}}{K-1}}}$

وهذا هو مربع معامل التباين مقسومًا على N  − 1 حيث N هو حجم العينة.

${\displaystyle H={\frac {1}{N-1}}{\frac {s^{2}}{m^{2}}}}$

حيث m هو المتوسط ​​و s هو الانحراف المعياري.

يصف مؤشر احتمالات الصراع (PCI) نسبة التسجيل على جانبي نقطة مركز مقياس التصنيف. ^[77] يتطلب هذا المؤشر بيانات ترتيبية على الأقل. غالبًا ما يتم عرض هذه النسبة على شكل رسم بياني فقاعي.

يستخدم PCI مقياسًا ترتيبيًا بعدد فردي من نقاط التصنيف (− n إلى + n ) يتركز عند 0. يتم حسابه على النحو التالي

${\displaystyle PCI={\frac {X_{t}}{Z}}\left[1-\left|{\frac {\sum _{i=1}^{r_{+}}X_{+}}{X_{t}}}-{\frac {\sum _{i=1}^{r_{-}}X_{-}}{X_{t}}}\right|\right]}$

حيث Z = 2 n ، |·| هي القيمة المطلقة (المعامل)، r ₊ هو عدد الاستجابات في الجانب الموجب من المقياس، r ₋ هو عدد الاستجابات في الجانب السالب من المقياس، X ₊ هي الاستجابات في الجانب الموجب من المقياس، X ₋ هي الاستجابات في الجانب السالب من المقياس و

${\displaystyle X_{t}=\sum _{i=1}^{r_{+}}|X_{+}|+\sum _{i=1}^{r_{-}}|X_{-}|}$

من المعروف أن هناك صعوبات نظرية في استخدام PCI. ولا يمكن حساب PCI إلا للمقاييس ذات نقطة مركزية محايدة وعدد متساوٍ من خيارات الاستجابة على جانبيها. كما أن التوزيع الموحد للاستجابات لا يعطي دائمًا نقطة المنتصف لإحصائية PCI بل يختلف وفقًا لعدد الاستجابات أو القيم المحتملة في المقياس. على سبيل المثال، تعطي المقاييس ذات الخمس والسبع والتسع نقاط مع توزيع موحد للاستجابات PCIs 0.60 و0.57 و0.50 على التوالي.

المشكلة الأولى من هذه المشاكل بسيطة نسبيًا، حيث يمكن تمديد (أو تقليص) معظم المقاييس الترتيبية ذات العدد الزوجي من الاستجابات بقيمة واحدة لإعطاء عدد فردي من الاستجابات المحتملة. ويمكن عادةً إعادة تحديد المقياس إذا لزم الأمر. أما المشكلة الثانية فهي أكثر صعوبة في الحل وقد تحد من قابلية تطبيق PCI.

تم توسيع PCI ^[78]

${\displaystyle PCI_{2}={\frac {\sum _{i=1}^{K}\sum _{j=1}^{i}k_{i}k_{j}d_{ij}}{\delta }}}$

حيث K هو عدد الفئات، و k _i هو الرقم في ^الفئة i ، و d _ij هي المسافة بين ^{الفئتين i} و i ، و δ هي أقصى مسافة على المقياس مضروبة في عدد المرات التي يمكن أن تحدث فيها في العينة. بالنسبة لعينة بها عدد زوجي من نقاط البيانات

${\displaystyle \delta ={\frac {N^{2}}{2}}d_{\max }}$

ولعينة تحتوي على عدد فردي من نقاط البيانات

${\displaystyle \delta ={\frac {N^{2}-1}{2}}d_{\max }}$

حيث N هو عدد نقاط البيانات في العينة و d _max هي المسافة القصوى بين النقاط على المقياس.

يقترح Vaske et al. عددًا من مقاييس المسافة المحتملة للاستخدام مع هذا المؤشر. ^[78]

${\displaystyle D_{1}:d_{ij}=|r_{i}-r_{j}|-1}$

إذا كانت إشارات (+ أو −) r _i و r _j مختلفة. إذا كانت الإشارات متماثلة d _ij = 0.

${\displaystyle D_{2}:d_{ij}=|r_{i}-r_{j}|}$

${\displaystyle D_{3}:d_{ij}=|r_{i}-r_{j}|^{p}}$

حيث p هو عدد حقيقي تعسفي > 0.

${\displaystyle Dp_{ij}:d_{ij}=[|r_{i}-r_{j}|-(m-1)]^{p}}$

إذا كانت الإشارة ( r _i ) ≠ الإشارة ( r _i ) و p عدد حقيقي > 0. وإذا كانت الإشارتان متماثلتين فإن d _ij = 0. m هو D ₁ أو D ₂ أو D ₃ .

الفرق بين D ₁ و D ₂ هو أن الأول لا يتضمن محايدين في المسافة بينما يشمل الثاني. على سبيل المثال، المستجيبون الذين سجلوا −2 و+1 سيكون لديهم مسافة 2 تحت D ₁ و3 تحت D ₂ .

يسمح استخدام القوة ( p ) في المسافات بإعادة قياس الاستجابات المتطرفة. يمكن تسليط الضوء على هذه الاختلافات باستخدام p > 1 أو تقليلها باستخدام p < 1.

في عمليات المحاكاة باستخدام متغيرات مستمدة من توزيع موحد، يكون لـ PCI ₂ توزيع أحادي النمط متماثل. ^[78] تكون ذيول توزيعه أكبر من ذيول التوزيع الطبيعي.

يقترح Vaske et al. استخدام اختبار t لمقارنة قيم PCI بين العينات إذا تم توزيع PCI بشكل طبيعي تقريبًا.

هذا المقياس هو متوسط ​​مرجح لدرجة اتفاق توزيع التردد. ^{[79] يتراوح} A من −1 ( ثنائية النمط المثالية ) إلى +1 ( أحادية النمط المثالية ). يتم تعريفه على أنه

${\displaystyle A=U\left(1-{\frac {S-1}{K-1}}\right)}$

حيث U هي أحادية النمط للتوزيع، وS هو عدد الفئات التي لها ترددات غير صفرية و K هو العدد الإجمالي للفئات.

قيمة U هي 1 إذا كان التوزيع يحتوي على أي من الخصائص الثلاث التالية:

• جميع الاستجابات في فئة واحدة
• يتم توزيع الاستجابات بالتساوي بين جميع الفئات
• يتم توزيع الاستجابات بالتساوي بين فئتين متجاورتين أو أكثر، مع الفئات الأخرى التي لا تحتوي على أي استجابات

بالنسبة للتوزيعات الأخرى غير هذه، يجب تقسيم البيانات إلى "طبقات". داخل الطبقة، تكون الاستجابات إما متساوية أو صفرية. لا يجب أن تكون الفئات متجاورة. يتم حساب قيمة A لكل طبقة ( A _i ) وتحديد متوسط ​​مرجح للتوزيع. الأوزان ( w _i ) لكل طبقة هي عدد الاستجابات في تلك الطبقة. بالرموز

${\displaystyle A_{\mathrm {overall} }=\sum w_{i}A_{i}}$

التوزيع الموحد له A = 0: عندما تقع جميع الاستجابات في فئة واحدة A = +1.

إحدى المشكلات النظرية التي تعيب هذا المؤشر هي أنه يفترض أن الفواصل الزمنية متساوية التباعد. وقد يحد هذا من إمكانية تطبيقه.

إذا كان هناك n وحدة في العينة وتم توزيعها عشوائيًا في k فئة ( n ≤ k )، فيمكن اعتبار هذا أحد أشكال مشكلة عيد الميلاد . ^[80] احتمال ( p ) أن تحتوي جميع الفئات على وحدة واحدة فقط هو

${\displaystyle p=\prod _{i=1}^{n}\left(1-{\frac {i}{k}}\right)}$

إذا كانت c كبيرة و n صغيرة مقارنة بـ k ^2/3، فعندئذٍ يكون التقريب جيدًا

${\displaystyle p=\exp \left({\frac {-n^{2}}{2k}}\right)}$

يتبع هذا التقريب الصيغة الدقيقة التالية:

${\displaystyle \log _{e}\left(1-{\frac {i}{k}}\right)\approx -{\frac {i}{k}}}$

تقديرات حجم العينة

بالنسبة لـ p = 0.5 و p = 0.05 على التوالي ، قد تكون التقديرات التالية لـ n مفيدة

${\displaystyle n=1.2{\sqrt {k}}}$

${\displaystyle n=2.448{\sqrt {k}}\approx 2.5{\sqrt {k}}}$

يمكن توسيع هذا التحليل ليشمل فئات متعددة. بالنسبة لـ p = 0.5 و p 0.05 لدينا على التوالي

${\displaystyle n=1.2{\sqrt {\frac {1}{\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{c_{i}}}}}}}$

${\displaystyle n\approx 2.5{\sqrt {\frac {1}{\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{c_{i}}}}}}}$

حيث c _i هو حجم ^الفئة i . يفترض هذا التحليل أن الفئات مستقلة.

إذا تم ترتيب البيانات بطريقة ما، فبالنسبة لحدث واحد على الأقل يقع في فئتين تقعان ضمن j فئات من بعضهما البعض، فإن الاحتمال 0.5 أو 0.05 يتطلب حجم عينة ( n ) على التوالي ^[81]

${\displaystyle n=1.2{\sqrt {\frac {k}{2j+1}}}}$

${\displaystyle n\approx 2.5{\sqrt {\frac {k}{2j+1}}}}$

حيث k هو عدد الفئات.

تم التحقيق فيما إذا كانت هناك علاقة بين أعياد الميلاد وأيام الوفاة أم لا باستخدام الإحصائية ^[82]

${\displaystyle -\log _{10}\left({\frac {1+2d}{365}}\right),}$

حيث d هو عدد الأيام في السنة بين يوم الميلاد ويوم الوفاة.

يتم استخدام مؤشر راند لاختبار ما إذا كان نظامان تصنيفيان أو أكثر يتفقان على مجموعة بيانات. ^[83]

بالنظر إلى مجموعة من العناصر وقسمين من للمقارنة، وقسم من S إلى r مجموعة فرعية، وقسم من S إلى s مجموعة فرعية، حدد ما يلي: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S=\{o_{1},\ldots ,o_{n}\}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X=\{X_{1},\ldots ,X_{r}\}}$${\displaystyle Y=\{Y_{1},\ldots ,Y_{s}\}}$

• ${\displaystyle a}$عدد أزواج العناصر الموجودة في نفس المجموعة الفرعية في وفي نفس المجموعة الفرعية في${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$
• ${\displaystyle b}$عدد أزواج العناصر الموجودة في مجموعات فرعية مختلفة في وفي مجموعات فرعية مختلفة في${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$
• ${\displaystyle c}$عدد أزواج العناصر الموجودة في نفس المجموعة الفرعية في وفي مجموعات فرعية مختلفة في${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$
• ${\displaystyle d}$عدد أزواج العناصر الموجودة في مجموعات فرعية مختلفة في وفي نفس المجموعة الفرعية في${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

مؤشر راند - - يتم تعريفه على أنه ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R={\frac {a+b}{a+b+c+d}}={\frac {a+b}{n \choose 2}}}$

بديهيًا، يمكن اعتباره عدد الاتفاقات بين و و عدد الخلافات بين و . ${\displaystyle a+b}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle c+d}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

مؤشر الراند المعدل هو النسخة المعدلة من مؤشر الراند. ^{[83] [84] [85]} وعلى الرغم من أن مؤشر الراند قد يعطي قيمة تتراوح بين 0 و+1 فقط، فإن مؤشر الراند المعدل قد يعطي قيمًا سلبية إذا كان المؤشر أقل من المؤشر المتوقع. ^[86]

بالنظر إلى مجموعة من العناصر ومجموعتين أو قسمين ( مثل التجميعات) لهذه النقاط، وهي و ، يمكن تلخيص التداخل بين و في جدول طوارئ حيث يشير كل إدخال إلى عدد الكائنات المشتركة بين و  : . ${\displaystyle S}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X=\{X_{1},X_{2},\ldots ,X_{r}\}}$${\displaystyle Y=\{Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{s}\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \left[n_{ij}\right]}$${\displaystyle n_{ij}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle Y_{j}}$${\displaystyle n_{ij}=|X_{i}\cap Y_{j}|}$

س\ص	${\displaystyle Y_{1}}$	${\displaystyle Y_{2}}$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle Y_{s}}$	المبالغ
${\displaystyle X_{1}}$	${\displaystyle n_{11}}$	${\displaystyle n_{12}}$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle n_{1s}}$	${\displaystyle a_{1}}$
${\displaystyle X_{2}}$	${\displaystyle n_{21}}$	${\displaystyle n_{22}}$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle n_{2s}}$	${\displaystyle a_{2}}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \ddots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
${\displaystyle X_{r}}$	${\displaystyle n_{r1}}$	${\displaystyle n_{r2}}$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle n_{rs}}$	${\displaystyle a_{r}}$
المبالغ	${\displaystyle b_{1}}$	${\displaystyle b_{2}}$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle b_{s}}$

الشكل المعدل لمؤشر الراند، مؤشر الراند المعدل، هو

${\displaystyle {\text{AdjustedIndex}}={\frac {{\text{Index}}-{\text{ExpectedIndex}}}{{\text{MaxIndex}}-{\text{ExpectedIndex}}}},}$

بشكل أكثر تحديدا

${\displaystyle {\text{ARI}}={\frac {\sum _{ij}{\binom {n_{ij}}{2}}-\left.\left[\sum _{i}{\binom {a_{i}}{2}}\sum _{j}{\binom {b_{j}}{2}}\right]\right/{\binom {n}{2}}}{{\frac {1}{2}}\left[\sum _{i}{\binom {a_{i}}{2}}+\sum _{j}{\binom {b_{j}}{2}}\right]-\left.\left[\sum _{i}{\binom {a_{i}}{2}}\sum _{j}{\binom {b_{j}}{2}}\right]\right/{\binom {n}{2}}}}}$

أين القيم من جدول الطوارئ؟ ${\displaystyle n_{ij},a_{i},b_{j}}$

نظرًا لأن المقام هو العدد الإجمالي للأزواج، فإن مؤشر راند يمثل تكرار حدوث الاتفاقات على إجمالي الأزواج، أو احتمالية أن يتفق كل من و على زوج تم اختياره عشوائيًا. ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

تعطي المؤشرات المختلفة قيمًا مختلفة للتباين، ويمكن استخدامها لأغراض مختلفة: يتم استخدام العديد منها وانتقادها في أدبيات علم الاجتماع بشكل خاص.

إذا كان المرء يرغب في إجراء مقارنات ترتيبية بين العينات ببساطة (هل عينة واحدة أكثر أو أقل تنوعًا من أخرى)، فإن اختيار IQV أقل أهمية نسبيًا، حيث سيعطي غالبًا نفس الترتيب.

عندما تكون البيانات ترتيبية فإن الطريقة التي قد تكون مفيدة في مقارنة العينات هي ORDANOVA.

في بعض الحالات، قد يكون من المفيد عدم توحيد مؤشر ليتراوح من 0 إلى 1، بغض النظر عن عدد الفئات أو العينات (ويلكوكس 1973، ص 338)، ولكن عادة ما يتم توحيده بهذه الطريقة.

• أنوسيم
• البيانات التصنيفية
• مؤشر التنوع
• مؤشر فاولكس-مالوز
• جاما جودمان وكروسكال
• إنتروبيا المعلومات
• التوزيع اللوغاريتمي
• بيرمانوفا
• مقياس روبنسون-فولدز
• التشتت الإحصائي
• نسبة التباين
• مؤشر ويبل

• جيبس، جاك ب.؛ بوستون جونيور، دودلي ل. (مارس 1975)، "تقسيم العمل: المفاهيم والتدابير ذات الصلة"، القوى الاجتماعية ، 53 (3): 468-476، CiteSeerX  10.1.1.1028.4969 ، doi :10.2307/2576589، JSTOR  2576589

• ليبيرسون، ستانلي (ديسمبر 1969)، "قياس التنوع السكاني"، المراجعة الاجتماعية الأمريكية ، 34 (6): 850-862، doi :10.2307/2095977، JSTOR  2095977

• سوانسون، ديفيد أ. (سبتمبر 1976)، "توزيع العينة واختبار الدلالة للاختلافات في التباين النوعي"، القوى الاجتماعية ، 55 (1): 182-184، doi :10.2307/2577102، JSTOR  2577102

• ويلكوكس، ألين ر. (أكتوبر 1967). مؤشرات التباين النوعي (PDF) (تقرير). مؤرشف من الأصل (PDF) في 15 أغسطس 2007.

• ويلكوكس، ألين ر. (يونيو 1973). "مؤشرات التباين النوعي والقياس السياسي". مجلة ويسترن بوليتيكال كوارترلي . 26 (2): 325-343. doi :10.2307/446831. JSTOR  446831.