التمثيل القانوني المنتظم

في الرياضيات ، وعلى وجه الخصوص نظرية تمثيلات المجموعة ، فإن التمثيل المنتظم لمجموعة G هو التمثيل الخطي الذي يوفره تأثير المجموعة G على نفسها عن طريق الإزاحة .

يمكن التمييز بين التمثيل المنتظم الأيسر λ المعطى عن طريق الإزاحة اليسرى والتمثيل المنتظم الأيمن ρ المعطى عن طريق عكس الإزاحة اليمنى.

بالنسبة لمجموعة منتهية G ، فإن التمثيل المنتظم الأيسر λ (على حقل K ) هو تمثيل خطي على فضاء المتجهات K - V المُوَلَّد بحرية بواسطة عناصر G ، أي يمكن تحديد عناصر G بقاعدة V. وبالنظر إلى g ∈ G ، فإن _λg هو التطبيق الخطي المحدد بفعله على القاعدة عن طريق الإزاحة اليسرى بواسطة g .  

${\displaystyle \lambda _{g}:h\mapsto gh,{\text{ for all }}h\in G.}$

بالنسبة للتمثيل المنتظم الأيمن ρ، يجب أن يحدث انعكاس لتحقيق بديهيات التمثيل. تحديدًا، إذا كان g  ∈ G ، فإن _ρg هو التطبيق الخطي على V المحدد بفعله على الأساس عن طريق الإزاحة اليمنى بمقدار g ^{− 1} ، أي 

${\displaystyle \rho _{g}:h\mapsto hg^{-1},{\text{ لكل }}h\in G.\ }$

بدلاً من ذلك، يمكن تعريف هذه التمثيلات على فضاء المتجهات K - W لجميع الدوال G → K. وبهذا الشكل يتم تعميم التمثيل المنتظم على المجموعات الطوبولوجية مثل مجموعات لي .

التعريف المحدد بدلالة W هو كما يلي. بالنظر إلى دالة f  : G → K وعنصر g  ∈ G ، 

${\displaystyle (\lambda _{g}f)(x)=f(\lambda _{g}^{-1}(x))=f({g}^{-1}x)}$

و

${\displaystyle (\rho _{g}f)(x)=f(\rho _{g}^{-1}(x))=f(xg).}$

تؤثر كل مجموعة G على نفسها عن طريق الإزاحات. إذا اعتبرنا هذا التأثير تمثيلًا تبديليًا، فإنه يتميز بوجود مدار واحد ومثبت هو المجموعة الفرعية المحايد { e } من G. التمثيل المنتظم لـ G ، لحقل معطى K ، هو التمثيل الخطي الناتج عن اعتبار هذا التمثيل التبديلي مجموعة من متجهات الأساس لفضاء متجهي فوق K. تكمن الأهمية في أنه بينما لا يتحلل التمثيل التبديلي - فهو متعدٍ - فإن التمثيل المنتظم بشكل عام ينقسم إلى تمثيلات أصغر. على سبيل المثال، إذا كانت G مجموعة منتهية و K حقل الأعداد المركبة ، فإن التمثيل المنتظم يتحلل إلى مجموع مباشر لتمثيلات غير قابلة للاختزال ، حيث يظهر كل تمثيل غير قابل للاختزال في التحلل بتعدد أبعاده. عدد هذه التمثيلات غير القابلة للاختزال يساوي عدد فئات الترافق لـ G.

يمكن تفسير الحقيقة المذكورة أعلاه بنظرية الخصائص . تذكر أن خاصية التمثيل المنتظم χ (g) هي عدد النقاط الثابتة للدالة g التي تؤثر على التمثيل المنتظم V. وهذا يعني أن عدد النقاط الثابتة χ (g) يساوي صفرًا عندما لا تكون g دالة id، و | G | فيما عدا ذلك. لنفترض أن V لها التفكيك ⊕ ai _Vi ، حيث Vi هي تمثيلات غير قابلة للاختزال لـ G، _و ai هي التعددية المقابلة. باستخدام _نظرية الخصائص ، يمكن حساب التعددية ai كما _{يلي :}

${\displaystyle a_{i}=\langle \chi ,\chi _{i}\rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum {\overline {\chi (g)}}\chi _{i}(g)={\frac {1}{|G|}}\chi (1)\chi _{i}(1)=\operatorname {dim} V_{i},}$ وهذا يعني أن تعدد كل تمثيل غير قابل للاختزال هو بُعده.

توضح المقالة المتعلقة بحلقات المجموعة التمثيل المنتظم للمجموعات المنتهية ، بالإضافة إلى توضيح كيفية اعتبار التمثيل المنتظم وحدة نمطية .

لتبسيط البناء، تُعتبر حلقة المجموعة K [ G ] وحدةً فوق نفسها. (يُمكن هنا الاختيار بين الفعل الأيسر أو الأيمن، لكن هذا ليس مهمًا إلا من ناحية الترميز). إذا كانت G منتهيةً ولم تقسم خاصية K العدد | G |، فإنها حلقة شبه بسيطة ، ونحن بصدد دراسة مُثُلها الحلقية اليسرى (اليمنى) . دُرست هذه النظرية بتعمق كبير. من المعروف على وجه الخصوص أن تحليل المجموع المباشر للتمثيل المنتظم يحتوي على ممثل لكل فئة تماثل من التمثيلات الخطية غير القابلة للاختزال لـ G على K. يُمكن القول إن التمثيل المنتظم شامل لنظرية التمثيل في هذه الحالة. أما الحالة النمطية، عندما تقسم خاصية K العدد | G |، فهي أصعب، ويرجع ذلك أساسًا إلى أنه مع عدم كون K [ G ] شبه بسيطة، قد يفشل التمثيل في أن يكون غير قابل للاختزال دون أن ينقسم كمجموع مباشر.

بالنسبة لمجموعة دورية C مولدة بواسطة g من الرتبة n ، فإن الشكل المصفوفي لعنصر من K [ C ] يؤثر على K [ C ] بالضرب يأخذ شكلاً مميزاً يُعرف باسم المصفوفة الدائرية ، حيث يكون كل صف عبارة عن إزاحة إلى يمين الصف الذي يسبقه ( بالترتيب الدوري ، أي مع ظهور العنصر الأيمن على اليسار)، عند الإشارة إلى الأساس الطبيعي

1، g ، g ² ، ...، g ^{n − 1} .

عندما يحتوي الحقل K على جذر أولي من الرتبة n للوحدة ، يمكن تحويل تمثيل C إلى تمثيل قطري بكتابة n متجهات ذاتية مستقلة خطيًا ومتزامنة لجميع الدوائر n × n . في الواقع، إذا كان ζ أي جذر من الرتبة n للوحدة، فإن العنصر

1 + ζ ز + ζ ² ز ² + ... + ζ ^{n − 1} ز ^{n − 1}

هو متجه ذاتي لفعل g بالضرب، بقيمة ذاتية

ζ ^{− 1}

وكذلك المتجه الذاتي لجميع قوى g ، وتراكيبها الخطية.

هذه هي الصيغة الصريحة في هذه الحالة للنتيجة المجردة التي تنص على أنه على حقل مغلق جبريًا K (مثل الأعداد المركبة )، يكون التمثيل المنتظم لـ G قابلاً للاختزال تمامًا ، بشرط ألا يقسم العنصر المميز لـ K (إذا كان عددًا أوليًا p ) رتبة G. تُعرف هذه النظرية بنظرية ماشكه . في هذه الحالة، يُستدل على الشرط المتعلق بالعنصر المميز من وجود جذر أولي من الرتبة n للوحدة، وهو ما لا يمكن أن يحدث في حالة كون العنصر المميز الأولي p يقسم n .

ظهرت المحددات الدائرية لأول مرة في الرياضيات في القرن التاسع عشر، وتم استخلاص نتيجة قطريتها. أي أن محدد المصفوفة الدائرية هو حاصل ضرب القيم الذاتية n للمتجهات الذاتية n الموصوفة أعلاه. بدأ العمل الأساسي لفروبينيوس على تمثيلات الزمر بدافع إيجاد تحليلات مماثلة لمحددات الزمر لأي زمرة G منتهية ؛ أي محددات المصفوفات العشوائية التي تمثل عناصر K [ G ] التي تعمل بالضرب على عناصر الأساس المعطاة بواسطة g في G. ما لم تكن G زمرة تبديلية ، يجب أن يحتوي التحليل على عوامل غير خطية تقابل تمثيلات غير قابلة للاختزال لـ G من الدرجة > 1.

بالنسبة لمجموعة طوبولوجية G ، يجب استبدال التمثيل المنتظم بالمعنى المذكور أعلاه بفضاء مناسب من الدوال على G ، حيث تعمل G عن طريق الإزاحة. انظر نظرية بيتر-ويل للحالة المدمجة . إذا كانت G مجموعة لي ولكنها ليست مدمجة ولا تبديلية ، فهذه مسألة معقدة في التحليل التوافقي . تُعد الحالة التبديلية المدمجة محليًا جزءًا من نظرية ازدواجية بونترياجين .

في نظرية غالوا، يُبين أنه بالنسبة لحقل L ومجموعة منتهية G من التشاكلات الذاتية لـ L ، فإن الحقل الثابت K من G له [ L : K ] = | G |. في الواقع، يمكننا القول أكثر من ذلك: L، عند النظر إليه كوحدة نمطية K [ G ]، هو التمثيل المنتظم. هذا هو مضمون نظرية الأساس الطبيعي ، حيث الأساس الطبيعي هو عنصر x من L بحيث تكون الدوال g ( x ) لـ g في G أساسًا للفضاء المتجهي لـ L على K. توجد مثل هذه العناصر x ، وكل منها يُعطي تشاكلًا K [ G ] من L إلى K [ G ]. من وجهة نظر نظرية الأعداد الجبرية، من المهم دراسة الأسس التكاملية الطبيعية ، حيث نحاول استبدال L و K بحلقات الأعداد الصحيحة الجبرية التي تحتويها. يتضح من حالة الأعداد الصحيحة الغاوسية أن مثل هذه الأسس قد لا توجد: فـ a + bi و a − bi لا يمكنهما أبدًا تشكيل أساس Z -module لـ Z [ i ] لأن 1 لا يمكن أن يكون تركيبة أعداد صحيحة. وقد دُرست هذه الأسباب بتفصيل في نظرية وحدات غالوا .

التمثيل المنتظم لحلقة الزمرة هو تمثيل منتظم بحيث يُعطي التمثيل المنتظم الأيسر والأيمن وحدات متماثلة (وغالبًا لا نحتاج إلى التمييز بين الحالتين). عند وجود جبر على حقل A ، لا يبدو من المنطقي مباشرةً السؤال عن العلاقة بين A كوحدة يسرى على نفسه، وكوحدة يمنى. في حالة الزمرة، يُعطي التطبيق g على عناصر الأساس لـ K [ G ]، المُعرَّف بأخذ العنصر العكسي، تماثلًا بين K [ G ] وحلقته المقابلة . بالنسبة لـ A بشكل عام، يُسمى هذا التركيب جبر فروبينيوس . وكما يوحي الاسم، فقد قدم فروبينيوس هذه الجبر في القرن التاسع عشر. وقد ثبت ارتباطها بنظرية الحقل الكمومي الطوبولوجية في بُعدين (1+1) من خلال حالة خاصة من فرضية التماثل .

• التمثيل الأساسي
• تمثيل التبديل
• التمثيل شبه المنتظم

• فولتون، ويليام ؛ هاريس، جو (1991). نظرية التمثيل: مدخل تمهيدي . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، قراءات في الرياضيات. المجلد  129. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8MR 1153249 . OCLC 246650103 .​