مشكلة الأجسام الثلاثة

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 22 صور
الموسوعة الحرة
المسارات التقريبية لثلاثة أجسام متطابقة تقع عند رؤوس مثلث مختلف الأضلاع، ولها سرعات ابتدائية تساوي صفرًا. يبقى مركز الكتلة ، وفقًا لقانون حفظ الزخم ، في مكانه.

في الفيزياء ، وتحديداً في الميكانيكا الكلاسيكية ، تتمثل مسألة الأجسام الثلاثة في أخذ المواضع والسرعات الأولية (أو الزخم ) لثلاث كتل نقطية تدور حول بعضها البعض في الفضاء، ثم حساب مساراتها اللاحقة باستخدام قوانين نيوتن للحركة وقانون نيوتن للجاذبية الكونية . [ 1 ]

على عكس مسألة الجسمين ، لا يوجد حل تحليلي عام مغلق لمسألة الأجسام الثلاثة . [ 1 ] المعادلات التفاضلية التي تحكم حركة ثلاثة أجسام متأثرة بالجاذبية غير قابلة للتكامل ، ولا يمكن حلها للحصول على صيغ صريحة لمواقع الأجسام كدالة للزمن . في معظم الحالات ، يكون النظام الديناميكي للأجسام الثلاثة الدائرة فوضويًا ، والطريقة الوحيدة للتنبؤ بحركتها هي تقديرها باستخدام الطرق العددية .

مسألة الأجسام الثلاثة هي حالة خاصة من مسألة الأجسام المتعددة . تاريخيًا، كانت أول مسألة محددة من مسائل الأجسام الثلاثة التي حظيت بدراسة مستفيضة هي تلك التي تتعلق بالأرض والقمر والشمس . [ 2 ] [ 3 ] وبمعنى حديث موسع، تُعرَّف مسألة الأجسام الثلاثة بأنها أي مسألة في الميكانيكا الكلاسيكية أو ميكانيكا الكم تُحاكي حركة ثلاثة جسيمات.

الوصف الرياضي

يمكن صياغة المسألة الرياضية المتعلقة بالأجسام الثلاثة بدلالة معادلات نيوتن للحركة بالنسبة للمتجهات الموضعية رأنا=(xأنا،yأنا،zأنا) {\displaystyle \ \mathbf {r} _{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})\ }ثلاثة أجسام تتفاعل جاذبياً ولها كتلمأنا{\displaystyle m_{i}}: ر¨1=-جيم2(ر1-ر2) |ر1-ر2|3-جيم3(ر1-ر3) |ر1-ر3|3 ،ر¨2=-جيم3(ر2-ر3) |ر2-ر3|3-جيم1(ر2-ر1) |ر2-ر1|3 ،ر¨3=-جيم1(ر3-ر1) |ر3-ر1|3-جيم2(ر3-ر2) |ر3-ر2|3 .\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}_{1}&=-Gm_{2}{\frac {\left(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\right)}{\ \left|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\right|^{3}}}-Gm_{3}{\frac {\left(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{3}\right)}{\ \left|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{3}\right|^{3}}}\ ,\\\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}_{2}&=-Gm_{3}{\frac {\left(\mathbf \begin{{r}_{2}-\mathbf{r}_{3}\right)}{\left|\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{3}\right|^{3}}}-Gm_{1}{\frac{\left(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right)}{\left|\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right|^{3}}}\ ,\\{\ddot{\mathbf{r}}_{3}&=-Gm_{1}{\frac{\left(\mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{1}\right)}{\left|\mathbf{r}_{3}-\mathbf{r} \{1}\right|^{3}}}-Gm_{2}{\frac {\left(\mathbf {r} _{3}-\mathbf {r} _{2}\right)}{\ \left|\mathbf {r} _{3}-\mathbf {r} _{2}\right|^{3}}}~.\end{aligned}}}أين جي {\displaystyle \ G\ }هو ثابت الجاذبية .

كما يصف عالم الفلك يوهان فرانك، " تُكافئ هذه المعادلات التفاضلية المتجهة من الدرجة الثانية 18  معادلة تفاضلية قياسية من الدرجة الأولى". [ 4 ] وكما تشير جون بارو-غرين فيما يتعلق بعرض بديل، إذاPأنا{\displaystyle P_{i}}تمثل ثلاثة جسيمات ذات كتلمأنا{\displaystyle m_{i}}المسافات PأناPج=رأناج ،{\displaystyle \ P_{i}P_{j}=r_{ij}\ ,}والإحداثيات qأناج {\displaystyle \ q_{ij}\ } (أنا،ج=1،2،3) {\displaystyle \ (i,j=1,2,3)\ }في نظام إحداثيات قصوري... تُوصف المسألة بتسع معادلات تفاضلية من الدرجة الثانية. [ 5 ] : 8

يمكن أيضًا صياغة المشكلة بشكل مكافئ في الصيغة الهاميلتونية ، وفي هذه الحالة يتم وصفها بواسطة مجموعة من 18  معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى، معادلة واحدة لكل مكون من مكونات المواضع رأنا {\displaystyle \ \mathbf {r} _{i}\ }والزخم صأنا {\displaystyle \ \mathbf {p} _{i}\ }[ 6 ]​د رأناد ت=∂ ح∂ صأنا ،د صأناد ت=-∂ ح∂ رأنا ،{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \ \mathbf {r} _{i}}{\mathrm {d} \ t}}={\frac {\partial \ {\mathcal {H}}}{\partial \ \mathbf {p} _{i}}}\ ,\qquad {\frac {\mathrm {d} \ \mathbf {p} _{i}}{\mathrm {d} \ t}}=-{\frac {\partial \ {\mathcal {H}}}{\partial \ \mathbf {r} _{i}}}\ ,} أينح{\displaystyle {\mathcal {H}}}هو الهاميلتوني :ح = -جيم1م2|ر1-ر2| - جيم2م3|ر3-ر2| - جيم3م1|ر3-ر1| + |ص1|22م1 + |ص2|22م2 + |ص3|22م3 .\displaystyle \mathcal {H}\ =\ -{\frac {Gm_{1}m_{2}}{\left|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\right|}}\ -\ {\frac {Gm_{2}m_{3}}{\left|\mathbf {r} _{3}-\mathbf {r} _{2}\right|}}\ -\ {\frac {Gm_{3}m_{1}}{\left|\mathbf {r} _{3}-\mathbf {r} _{1}\right|}}\ +\ {\frac {\left|\mathbf {p} _{1}\right|^{2}}{2m_{1}}}\ +\ {\frac {\left|\mathbf {p} \{2}\right|^{2}}{2m_{2}}}\ +\ {\frac {\left|\mathbf {p} _{3}\right|^{2}}{2m_{3}}}~.}

في هذه الحالة،ح{\displaystyle {\mathcal {H}}}هي ببساطة الطاقة الكلية للنظام، طاقة الجاذبية بالإضافة إلى الطاقة الحركية.

مشكلة الأجسام الثلاثة المقيدة

مسألة الأجسام الثلاثة الدائرية المقيدة

في صياغة مسألة الأجسام الثلاثة المقيدة ، في وصف بارو-جرين، [ 5 ] : 11-14

يدور جسمان حول مركز كتلتهما في مدارات دائرية تحت تأثير جاذبيتهما المتبادلة، ويشكلان نظامًا ثنائيًا معروف الحركة. يتحرك جسم ثالث (يُعرف عمومًا باسم كويكب)، يُفترض أنه عديم الكتلة بالنسبة للجسمين الآخرين، في المستوى المحدد بالجسمين الدوارين، وبينما يتأثر بجاذبيتهما، فإنه لا يمارس أي تأثير خاص به. [ 5 ] : 11

بحسب بارو-غرين، "تكمن المشكلة إذن في تحديد حركة الجسم الثالث." [ 5 ] : 11

تُعدّ مسألة الأجسام الثلاثة المقيدة أسهل تحليلاً نظرياً من المسألة الكاملة. ولها أهمية عملية أيضاً لأنها تصف بدقة العديد من مشاكل العالم الحقيقي، وأهم مثال على ذلك نظام الأرض والقمر والشمس. لهذه الأسباب، احتلت مكانة بارزة في التطور التاريخي لمسألة الأجسام الثلاثة. [ 7 ]

تتميز مسألة الأجسام الثلاثة المقيدة بفضاء طور رباعي الأبعاد ، ولكن بكمية محفوظة واحدة فقط ، وهي تكامل جاكوبي . [ 8 ] وقد أثبت هاينريش برونز أنه لا توجد كميات محفوظة جبرية أخرى ، كما أثبت هنري بوانكاريه في عام 1889 أنه لا توجد كميات محفوظة تحليلية أخرى . [ 8 ] لذلك، ولأن بُعد فضاء الطور أكبر من عدد ثوابت الحركة ، فإن النظام غير قابل للحل بدقة ؛ بل هو في الواقع فوضوي. [ 8 ]

اعتمادًا على قيمة تكامل جاكوبي ، قد يكون من الممكن التقاط جسم يدور في البداية حول الكتلة الأكبر بواسطة الكتلة الثانوية أو قذفه عبر نقاط لاغرانج L 2 أو L 3. [ 9 ]

ينتج عن أحد أشكال هذه المشكلة، حيث يمارس الجسمان الكبيران ضغطًا إشعاعيًا ، إضافة أربع نقاط توازن إضافية إلى جانب نقاط لاغرانج الكلاسيكية الخمس . [ 10 ]

الحلول

حل عام

في حين أن نظامًا مكونًا من 3 أجسام تتفاعل جاذبيًا يكون فوضويًا ، فإن نظامًا مكونًا من 3 أجسام تتفاعل مرنًا ليس كذلك.

لا يوجد حل عام مغلق لمسألة الأجسام الثلاثة. [ 1 ] بعبارة أخرى، ليس لها حل عام يمكن التعبير عنه بدلالة عدد محدود من العمليات الرياضية القياسية. علاوة على ذلك، فإن حركة الأجسام الثلاثة غير متكررة عمومًا، باستثناء حالات خاصة. [ 11 ]

مع ذلك، أثبت عالم الرياضيات الفنلندي كارل فريتيوف سوندمن في عام 1912 وجود حل تحليلي لمسألة الأجسام الثلاثة على شكل متسلسلة بويزو ، وتحديدًا متسلسلة قوى بدلالة قوى t 1/3 . [ 12 ] تتقارب هذه المتسلسلة لجميع قيم t الحقيقية ، باستثناء الشروط الابتدائية التي تُقابل عزمًا زاويًا صفريًا . عمليًا، يُعد هذا القيد الأخير غير ذي أهمية، نظرًا لندرة الشروط الابتدائية ذات العزم الزاوي الصفري، والتي يكون قياس ليبيغ الخاص بها صفرًا.

من المسائل المهمة في إثبات هذه النتيجة أن نصف قطر تقارب هذه المتسلسلة يتحدد بالمسافة إلى أقرب نقطة شاذة . لذا، من الضروري دراسة النقاط الشاذة المحتملة لمسألة الأجسام الثلاثة. وكما سيُناقش بإيجاز أدناه، فإن النقاط الشاذة الوحيدة في مسألة الأجسام الثلاثة هي التصادمات الثنائية (التصادمات بين جسيمين في لحظة واحدة) والتصادمات الثلاثية (التصادمات بين ثلاثة جسيمات في لحظة واحدة).

إن حدوث تصادمات، مهما كان عددها، أمرٌ غير مرجح إلى حد ما، إذ ثبت أنها تتوافق مع مجموعة من الشروط الابتدائية ذات القياس الصفري. ولكن لا يوجد معيار معروف يمكن تطبيقه على الحالة الابتدائية لتجنب التصادمات في الحل المقابل. لذا، تضمنت استراتيجية سوندمن الخطوات التالية:

  1. باستخدام تغيير مناسب للمتغيرات لمواصلة تحليل الحل بعد التصادم الثنائي، في عملية تُعرف باسم التنظيم .
  2. أثبت أن التصادمات الثلاثية لا تحدث إلا عندما ينعدم الزخم الزاوي L. وبتقييد البيانات الأولية بحيث يكون L ≠ 0 ، أزال جميع النقاط الشاذة الحقيقية من المعادلات المحولة لمسألة الأجسام الثلاثة.
  3. يُبين هذا أنه إذا كانت L ≠ 0 ، فلا يمكن أن يحدث تصادم ثلاثي فحسب، بل إن النظام يكون مقيدًا تمامًا بعيدًا عن أي تصادم ثلاثي. وهذا يستلزم، وفقًا لنظرية كوشي للوجود في المعادلات التفاضلية، عدم وجود نقاط شاذة معقدة في شريط (يعتمد على قيمة L ) في المستوى المركب المتمركز حول المحور الحقيقي (المرتبط بنظرية كوشي-كوفاليفسكايا ).
  4. أوجد تحويلًا توافقيًا يُحوّل هذا الشريط إلى قرص الوحدة. على سبيل المثال، إذا كان s = t 1/3 (المتغير الجديد بعد التنظيم) وإذا كان | ln s | ≤ β ، فإن هذا التحويل يُعطى بالصيغة التالية:σ=هـπs2β-1هـπs2β+1.{\displaystyle \sigma ={\frac {e^{\frac {\pi s}{2\beta }}-1}{e^{\frac {\pi s}{2\beta }}+1}}.}

وبهذا يكتمل برهان نظرية سوندمن.

تتقارب المتسلسلة المقابلة ببطء شديد. أي أن الحصول على قيمة ذات دقة معقولة يتطلب عددًا كبيرًا جدًا من الحدود، مما يجعل هذا الحل قليل الفائدة عمليًا. في الواقع، في عام 1930، حسب ديفيد بيلوريسكي أنه إذا تم استخدام متسلسلة سوندمن في الرصد الفلكي، فإن الحسابات ستتضمن ما لا يقل عن 108,000,000 مصطلح . [ 13 ]​

حلول الحالات الخاصة

عشرون مثالاً على الحلول الدورية الخاصة لمسألة الأجسام الثلاثة

في عام ١٧٦٧، اكتشف ليونارد أويلر ثلاث مجموعات من الحلول الدورية التي تكون فيها الكتل الثلاث على استقامة واحدة في كل لحظة. وفي عام ١٧٧٢، اكتشف لاغرانج مجموعة من الحلول التي تشكل فيها الكتل الثلاث مثلثًا متساوي الأضلاع في كل لحظة. تشكل هذه الحلول، إلى جانب حلول أويلر التي تجعل الكتل الثلاث على استقامة واحدة، التكوينات المركزية لمسألة الأجسام الثلاثة. هذه الحلول صالحة لأي نسب كتل، وتتحرك الكتل على أشكال بيضاوية كبلرية . هذه المجموعات الأربع هي الحلول الوحيدة المعروفة التي توجد لها صيغ تحليلية صريحة. في الحالة الخاصة لمسألة الأجسام الثلاثة الدائرية المقيدة ، تصبح هذه الحلول، عند النظر إليها من إطار يدور مع الأجسام الرئيسية، نقاطًا تُسمى نقاط لاغرانج ، ويُرمز لها بـ L1 ، L2 ، L3 ، L4 ، وL5 ، حيث تُمثل L4 و L5 حالتين متناظرتين لحل لاغرانج.

في عمل تم تلخيصه في الفترة من 1892 إلى 1899، أثبت هنري بوانكاريه وجود عدد لا نهائي من الحلول الدورية لمسألة الأجسام الثلاثة المقيدة، إلى جانب تقنيات لمواصلة هذه الحلول في مسألة الأجسام الثلاثة العامة.

في عام 1893، طرح مايسل ما يُعرف الآن بمسألة الأجسام الثلاثة لفيثاغورس: ثلاث كتل بنسبة 3:4:5 موضوعة في حالة سكون عند رؤوس مثلث قائم الزاوية بنسبة 3:4:5 ، حيث يكون الجسم الأثقل عند الزاوية القائمة والأخف عند الزاوية الحادة الأصغر. وقد تعمق بوراو [ 14 ] في دراسة هذه المسألة عام 1913. وفي عام 1967، أثبت فيكتور سزيبيلي وسي . فريدريك بيترز إمكانية هروب الجسم الأخف في نهاية المطاف من هذه المسألة باستخدام التكامل العددي، مع إيجاد حل دوري قريب في الوقت نفسه. [ 15 ]

في سبعينيات القرن العشرين، توصل كل من ميشيل هينون وروجر أ. بروك إلى مجموعة من الحلول التي تُشكل جزءًا من نفس عائلة الحلول: عائلة بروك-هينون-هادجيديميتريو. في هذه العائلة، تمتلك الأجسام الثلاثة الكتلة نفسها، ويمكن أن تتخذ أشكالًا رجعية ومباشرة. في بعض حلول بروك، يسلك جسمان المسار نفسه. [ 16 ]

في عام 1993، اكتشف الفيزيائي كريس مور في معهد سانتا فيه حلاً ذا زخم زاوي صفري لثلاث كتل متساوية تتحرك في مسار على شكل الرقم ثمانية. [ 17 ] وفي عام 2000، أثبت عالما الرياضيات آلان شينسينر وريتشارد مونتغمري وجوده رسميًا. [ 18 ] [ 19 ] وقد ثبت عدديًا أن هذا الحل مستقر عند حدوث اضطرابات طفيفة في الكتلة ومعاملات المدار، مما يجعل من الممكن رصد مثل هذه المدارات في الكون المادي. ولكن قيل إن هذا غير مرجح نظرًا لصغر نطاق الاستقرار. فعلى سبيل المثال، قُدِّر احتمال حدوث حدث تشتت ثنائي ينتج عنه مدار على شكل الرقم ثمانية بجزء صغير من النسبة المئوية. [ 20 ]

في عام 2013، اكتشف الفيزيائيان ميلوفان شوفاكوف وفيليكو دميتراشينوفيتش في معهد الفيزياء في بلغراد 13 مجموعة جديدة من الحلول لمسألة الأجسام الثلاثة ذات الكتلة المتساوية والزخم الزاوي الصفري. [ 11 ] [ 16 ]

في عام 2015، اكتشفت الفيزيائية آنا هودومال 14 عائلة جديدة من الحلول لمسألة الأجسام الثلاثة ذات الكتلة المتساوية والزخم الزاوي الصفري. [ 21 ]

في عام 2017، اكتشف الباحثان شياومينغ لي وشيجون لياو 669 مدارًا دوريًا جديدًا لمسألة الأجسام الثلاثة ذات الكتل المتساوية والزخم الزاوي الصفري. [ 22 ] وتلا ذلك في عام 2018 اكتشاف 1223 حلًا جديدًا إضافيًا لنظام ذي كتل غير متساوية والزخم الزاوي الصفري. [ 23 ]

في عام 2018، نشر لي ولياو 234 حلاً لمسألة الأجسام الثلاثة غير المتساوية الكتلة في حالة "السقوط الحر". [ 24 ] تبدأ صياغة السقوط الحر بسكون الأجسام الثلاثة. ولهذا السبب، لا تدور الكتل في مسار مغلق، بل تتحرك ذهابًا وإيابًا على طول مسار مفتوح.

في عام 2023، نشر إيفان هريستوف، ورادوسلافا هريستوفا، وديميتراشينوفيتش، وكييوتاكا تانيكاوا بحثًا عن "مدارات السقوط الحر الدورية" في مسألة الأجسام الثلاثة، مقتصرًا على حالة تساوي الكتلة، ووجدوا 12409 حلًا مختلفًا. [ 25 ]

الأساليب العددية

باستخدام الحاسوب، يمكن حل المسألة بدقة عالية جدًا باستخدام التكامل العددي . وقد بُذلت محاولات لإنشاء برامج حاسوبية تحل مسألة الأجسام الثلاثة (وبالتالي مسألة الأجسام المتعددة ) عدديًا ، والتي تتضمن تفاعلات كهرومغناطيسية وجاذبية، وتُدمج نظريات فيزيائية حديثة مثل النسبية الخاصة . [ 26 ] إضافةً إلى ذلك، وباستخدام نظرية المسارات العشوائية ، يمكن حساب احتمالية تقريبية للنتائج المختلفة. [ 27 ] [ 28 ]

تاريخ

يعود أصل مسألة الجاذبية لثلاثة أجسام بمعناها التقليدي إلى عام 1687، عندما نشر إسحاق نيوتن كتابه "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" . بعد أن حلّ نيوتن مسألة الجسمين ، حاول اكتشاف ما إذا كان من الممكن تحقيق استقرار طويل الأمد لنظام يتكون من الأرض والقمر والشمس . [ 29 ] وبتوجيه من علماء الفلك البارزين في عصر النهضة ، نيكولاس كوبرنيكوس وتيكو براهي ويوهانس كيبلر ، عرّف نيوتن الأجيال اللاحقة ببداية مسألة الجاذبية لثلاثة أجسام. [ 30 ] في القضية 66 من الكتاب الأول من " الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية"، ونتائجها الـ 22، خطا نيوتن الخطوات الأولى في تعريف ودراسة مسألة حركات ثلاثة أجسام ضخمة تخضع لقوى تجاذبها المتبادلة. في القضايا من 25 إلى 35 من الكتاب الثالث، اتخذ نيوتن أيضًا الخطوات الأولى في تطبيق نتائج القضية 66 على نظرية القمر ، أي حركة القمر تحت تأثير جاذبية الأرض والشمس. [ 31 ] لاحقًا، طُبقت هذه المسألة أيضًا على تفاعلات الكواكب الأخرى مع الأرض والشمس. [ 30 ]

تناول أمريكو فسبوتشي هذه المشكلة الفيزيائية لأول مرة ، ثم غاليليو غاليلي ، وكذلك سيمون ستيفن ، لكنهم لم يدركوا قيمة إسهاماتهم. فرغم أن غاليليو أثبت أن سرعة سقوط جميع الأجسام تتغير بانتظام وبنفس الطريقة، إلا أنه لم يطبق ذلك على حركة الكواكب. [ 30 ] بينما استخدم فسبوتشي في عام 1499 معرفته بموقع القمر لتحديد موقعه في البرازيل. [ 32 ] وقد اكتسبت هذه المسألة أهمية تقنية في عشرينيات القرن الثامن عشر، إذ أن الحل الدقيق لها كان سيُطبق على الملاحة، وتحديدًا لتحديد خط الطول في البحر ، وهو ما حُلّ عمليًا باختراع جون هاريسون للكرونومتر البحري . مع ذلك، كانت دقة النظرية القمرية منخفضة، نظرًا لتأثير الشمس والكواكب على حركة القمر حول الأرض.

حاول كلٌّ من جان لو رون دالمبير وألكسيس كليرو ، اللذان نشأت بينهما منافسة طويلة الأمد، تحليل المسألة بشكل عام إلى حدٍّ ما؛ وقدّما تحليلاتهما الأولى المتنافسة إلى الأكاديمية الملكية للعلوم عام 1747. [ 33 ] وفي سياق أبحاثهما في باريس خلال أربعينيات القرن الثامن عشر، بدأ استخدام مصطلح "مسألة الأجسام الثلاثة" ( بالفرنسية : Problème des trois Corps ) على نطاق واسع. ويشير تقريرٌ نُشر عام 1761 بقلم جان لو رون دالمبير إلى أن هذا الاسم استُخدم لأول مرة عام 1747. [ 34 ]

منذ أواخر القرن التاسع عشر وحتى أوائل القرن العشرين، طوّر العلماء منهجًا لحل مسألة الأجسام الثلاثة باستخدام قوى التجاذب قصيرة المدى بين جسمين، مما أتاح لكل من بي. إف. بيداك، وإتش. دبليو. هامر، وأ. فان كولك فكرة إعادة صياغة مسألة الأجسام الثلاثة قصيرة المدى، موفرين بذلك مثالًا نادرًا لدورة حدية لمجموعة إعادة الصياغة في بداية القرن الحادي والعشرين. [ 35 ] وفي أواخر القرن التاسع عشر، عمل جورج ويليام هيل على المسألة المقيدة بتطبيق حركة كوكب الزهرة وعطارد . [ 36 ]

في مطلع القرن العشرين، تناول كارل سوندمن المسألة رياضيًا ومنهجيًا، مقدمًا برهانًا نظريًا عمليًا صالحًا لجميع قيم الزمن. وكانت هذه المرة الأولى التي يحل فيها العلماء مسألة الأجسام الثلاثة نظريًا. إلا أنه نظرًا لعدم وجود حل نوعي كافٍ لهذا النظام، ولبطء الحل الذي حال دون تطبيقه عمليًا، فقد ترك هذا الحل بعض المسائل دون حل. [ 37 ] في سبعينيات القرن العشرين، اكتشف ف. إيفيموف تأثير قوى الجسمين على الأجسام الثلاثة ، والذي سُمي بتأثير إيفيموف . [ 38 ]

في عام 2017، قام شيجون لياو وشياومينغ لي بتطبيق استراتيجية جديدة للمحاكاة العددية للأنظمة الفوضوية تسمى المحاكاة العددية النظيفة (CNS)، باستخدام حاسوب عملاق وطني، للحصول بنجاح على 695 عائلة من الحلول الدورية لنظام الأجسام الثلاثة ذات الكتلة المتساوية. [ 39 ]

في عام 2019، أعلن برين وآخرون عن حل سريع للشبكة العصبية لمسألة الأجسام الثلاثة، تم تدريبه باستخدام مُكامل عددي. [ 40 ]

في سبتمبر 2023، تم التوصل إلى عدة حلول محتملة للمشكلة، وفقًا للتقارير. [ 25 ] [ 41 ]

مشاكل أخرى تتعلق بثلاثة أجسام

يُستخدم مصطلح "مشكلة الأجسام الثلاثة" أحيانًا بمعنى أكثر عمومية للإشارة إلى أي مشكلة فيزيائية تتضمن تفاعل ثلاثة أجسام.

يُعدّ ذرة الهيليوم نظيرًا كموميًا لمسألة الأجسام الثلاثة في الجاذبية في الميكانيكا الكلاسيكية ، حيث تتفاعل نواة الهيليوم مع إلكترونين وفقًا لتفاعل كولوم ذي التربيع العكسي . ومثل مسألة الأجسام الثلاثة في الجاذبية، لا يمكن حلّ مسألة ذرة الهيليوم بدقة. [ 42 ]

في كلٍّ من الميكانيكا الكلاسيكية والكمية، توجد قوانين تفاعل غير بديهية، إلى جانب قوة التربيع العكسي، تؤدي إلى حلول تحليلية دقيقة لثلاثة أجسام. أحد هذه النماذج يتألف من مزيج من التجاذب التوافقي وقوة التنافر المكعبية العكسية. [ 43 ] يُعتبر هذا النموذج غير بديهي لارتباطه بمجموعة من المعادلات التفاضلية غير الخطية التي تحتوي على نقاط تفرد (مقارنةً، على سبيل المثال، بالتفاعلات التوافقية وحدها، التي تؤدي إلى نظام سهل الحل من المعادلات التفاضلية الخطية). من هذين الجانبين، يُشابه هذا النموذج النماذج (غير القابلة للحل) التي تتضمن تفاعلات كولوم، ونتيجةً لذلك، اقتُرح كأداة لفهم الأنظمة الفيزيائية، مثل ذرة الهيليوم، فهمًا بديهيًا. [ 43 ] [ 44 ]

في نموذج الدوامة النقطية ، تُوصف حركة الدوامات في سائل مثالي ثنائي الأبعاد بمعادلات حركة تحتوي فقط على مشتقات زمنية من الرتبة الأولى. أي، على عكس الميكانيكا النيوتونية، فإن السرعة ، وليس التسارع، هي التي تُحدد بمواقعها النسبية. ونتيجة لذلك، تظل مسألة الدوامات الثلاث قابلة للتكامل ، [ 45 ] بينما يتطلب الحصول على سلوك فوضوي وجود أربع دوامات على الأقل. [ 46 ] يمكن عقد مقارنات بين حركة جسيم تتبع سلبي في حقل سرعة ثلاث دوامات ومسألة الأجسام الثلاثة المقيدة في الميكانيكا النيوتونية. [ 47 ]

تمت دراسة مسألة الأجسام الثلاثة في مجال الجاذبية باستخدام النسبية العامة . من الناحية الفيزيائية، يصبح التعامل النسبي ضروريًا في الأنظمة ذات المجالات الجاذبية القوية جدًا، كما هو الحال بالقرب من أفق حدث الثقب الأسود . مع ذلك، تُعدّ المسألة النسبية أكثر تعقيدًا بكثير من المسألة في الميكانيكا النيوتونية، وتتطلب تقنيات عددية متطورة . حتى مسألة الجسمين الكاملة (أي، لأي نسبة كتل) لا تملك حلًا تحليليًا دقيقًا في النسبية العامة. [ 48 ]

مشكلة الأجسام المتعددة

مسألة الأجسام الثلاثة هي حالة خاصة من مسألة الأجسام المتعددة (n -body) ، التي تصف كيفية تحرك n جسمًا تحت تأثير إحدى القوى الفيزيائية، مثل الجاذبية . لهذه المسائل حل تحليلي شامل على شكل متسلسلة قوى متقاربة، كما أثبت كارل ف. سوندمن عندما n = 3 ، وكيودونغ وانغ عندما n > 3 (انظر مسألة الأجسام المتعددة لمزيد من التفاصيل). مع ذلك، فإن متسلسلتي سوندمن ووانغ تتقاربان ببطء شديد، ما يجعلهما غير عمليتين؛ [ 49 ] لذلك، من الضروري حاليًا تقريب الحلول بالتحليل العددي باستخدام التكامل العددي ، أو في بعض الحالات، باستخدام تقريبات المتسلسلات المثلثية الكلاسيكية (انظر محاكاة الأجسام المتعددة ). يمكن معالجة الأنظمة الذرية، مثل الذرات والأيونات والجزيئات، من منظور مسألة الأجسام المتعددة الكمومية . أما في الأنظمة الفيزيائية الكلاسيكية، فتشير مسألة الأجسام المتعددة عادةً إلى مجرة ​​أو مجموعة مجرات . يمكن أيضًا التعامل مع الأنظمة الكوكبية ، مثل النجوم والكواكب وأقمارها ، كنظم متعددة الأجسام . وتُعالج بعض التطبيقات بسهولة باستخدام نظرية الاضطراب ، حيث يُنظر إلى النظام على أنه مسألة جسمين بالإضافة إلى قوى إضافية تُسبب انحرافات عن مسار افتراضي غير مضطرب لجسمين.

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 3 بارو-غرين، جون (2008). "مسألة الأجسام الثلاثة". في: غاورز، تيموثي؛ بارو-غرين، جون؛ ليدر، إيمري (محررون). دليل برينستون للرياضيات . مطبعة جامعة برينستون. ص 726-728 . 
  2. ↑ "ملاحظات تاريخية: مشكلة الأجسام الثلاثة" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 19 يوليو 2017 .
  3. ↑ غوتزويلر، مارتن سي. (1 أبريل 1998). "القمر-الأرض-الشمس: أقدم مسألة للأجسام الثلاثة" . مراجعات الفيزياء الحديثة . 70 (2): 589-639 . Bibcode : 1998RvMP...70..589G . doi : 10.1103/RevModPhys.70.589 . ISSN 0034-6861 . تاريخ الاسترجاع: 13 يناير 2026 . 
  4. ↑ يبدو أن هذا التقرير الصريح حول عرض المتجهات مستمد، من خلال التعميم، من ر¨أنا {\displaystyle \ {\ddot {\mathbf {r} }}_{i}\ }التعبير الذي قدمه عالم الفلك يوهان فرانك، خريج جامعة كامبريدج، من جامعة ولاية لويزيانا ، كما ورد في ملاحظاته الصفية لمادة الفيزياء 7221 عام 2006، انظر: فرانك، يوهان (11 أكتوبر 2006). "محاضرة خاصة في الفيزياء 7221 - مسألة الأجسام الثلاثة" (مذكرة صفية) . باتون روج، لويزيانا: منشور ذاتيًا، وقسم الفيزياء والفلك بجامعة ولاية لويزيانا . [اقتباس] كما هو الحال في مسألة الجسمين، من الأنسب العمل في نظام مركز الكتلة (CM) مع xأنا {\displaystyle \ \mathbf {x} _{i}\ }يشير إلى موضع الكتلة مأنا .{\displaystyle \ \mathbf {m} _{i}~.}تكون معادلات نيوتن للحركة في هذا النظام على الشكل التالي: ر¨أنا=... {\displaystyle \ {\ddot {\mathbf {r} }}_{i}=\ldots \ }.
  5. ١ ٢ ٣ ٤ لمناقشة أعم لعرض هذه المعادلات بصيغ غير متجهة لا ترتبط صراحةً بالعرض الوارد في النص، انظر المرجع الموثوق: بارو-غرين، جون (١٩٩٧). بوانكاريه ومسألة الأجسام الثلاثة . الجمعية الرياضية الأمريكية. الصفحات ٨-١٢. رمز Bibcode : ١٩٩٧ptbp.book .....B . رقم ISBN  978-0-8218-0367-7.
  6. ↑ للحصول على عرض ذي صلة للهاميلتوني، والذي يختار الوحدات والعرض لتبسيط الرياضيات، انظر بارو-جرين، ص 8، المرجع السابق.
  7. ↑ مونتغمري، ريتشارد (أغسطس 2019). "مشكلة الأجسام الثلاثة" . مجلة ساينتفك أمريكان . 321 (2): 66. doi : 10.1038/scientificamerican0819-66 . PMID 39010603. تاريخ الاسترجاع: 7 مايو 2024 . 
  8. 1 2 3 كريشناسوامي، جوفيند س.؛ سيناباتي، هيمالايا (2019). "مقدمة لمسألة الأجسام الثلاثة الكلاسيكية: من الحلول الدورية إلى عدم الاستقرار والفوضى". الرنين . 24. سبرينغر: 87-114 ، وخاصةً ص 94 وما بعدها. arXiv : 1901.07289 . doi : 10.1007/s12045-019-0760-1 .
  9. ↑ إيبرلي، ج.؛ كونتز، م.؛ موسيالك، ز. إي. (2008-10-01). "انتقال عدم الاستقرار لمسألة الأجسام الثلاثة المقيدة - الجزء الأول: المقاربة النظرية" . علم الفلك والفيزياء الفلكية . 489 (3): 1329-1335 . رمز Bibcode : 2008A & A...489.1329E . doi : 10.1051/0004-6361:200809758 . ISSN 0004-6361 . 
  10. ↑ سيمونز، جيه إف إل؛ ماكدونالد، إيه جيه سي؛ براون، جيه سي (1985-02-01). "مسألة الأجسام الثلاثة المقيدة مع ضغط الإشعاع" . الميكانيكا السماوية . 35 (2): 145-187 . رمز Bibcode : 1985CeMec..35..145S . doi : 10.1007/BF01227667 . ISSN 1572-9478 . 
  11. 1 2 كارترايت، جون (8 مارس 2013). "علماء الفيزياء يكتشفون 13 حلاً جديداً مذهلاً لمسألة الأجسام الثلاثة" . ساينس ناو . تم الاسترجاع في 4 أبريل 2013 .
  12. ↑ بارو-غرين، ج. (2010). الحلقة الدرامية لسوندمان ، هيستوريا ماثيماتيكا 37، ص 164-203.
  13. ^ بيلوريسزكي، د. (1930). "التطبيق العملي لأساليب M. Sundman على حالة خاصة من مشكلة ثلاث مجموعات". نشرة الفلك . السلسلة 2. 6 : 417– 434. بيب كود : 1930BuAst...6..417B .
  14. ^ بوراو (1913). ""العمليات الرقمية الخاصة بالمشاكل المتخصصة"" . Astronomische Nachrichten . 195 (6): 113– 118. بيب كود : 1913AN....195..113B . دوى : 10.1002/asna.19131950602 .
  15. ↑ فيكتور سزيبهيلي؛ سي. فريدريك بيترز (1967). "الحل الكامل لمسألة عامة لثلاثة أجسام" . المجلة الفلكية . 72 : 876. Bibcode : 1967AJ.....72..876S . doi : 10.1086/110355 .
  16. 1 2 شوفاكوف، م.؛ دميتراسينوفيتش، ف. “معرض الأجسام الثلاثة” . تم الاسترجاع في 12 أغسطس 2015 .
  17. ↑ مور، كريستوفر (1993). "الضفائر في الديناميكا الكلاسيكية" (ملف PDF) . رسائل المراجعة الفيزيائية . 70 (24): 3675-3679 . رمز Bibcode : 1993PhRvL..70.3675M . doi : 10.1103/PhysRevLett.70.3675 . PMID 10053934. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 2018-10-08 . تم الاسترجاع بتاريخ 2016-01-01 . 
  18. ↑ تشينسينر، آلان؛ مونتغمري، ريتشارد (2000). "حل دوري مميز لمسألة الأجسام الثلاثة في حالة تساوي الكتل". حوليات الرياضيات . السلسلة الثانية. 152 (3): 881-902 . arXiv : math/0011268 . Bibcode : 2000math.....11268C . doi : 10.2307/2661357 . JSTOR 2661357. S2CID 10024592 .  
  19. ↑ مونتغمري، ريتشارد (2001). "حل جديد لمسألة الأجسام الثلاثة" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية . 48 : 471-481 .
  20. ↑ هيجي، دوغلاس سي. (2000). "نتيجة جديدة لتشتت الأنظمة الثنائية" . الإشعارات الشهرية للجمعية الفلكية الملكية . 318 (4): L61– L63. arXiv : astro-ph/9604016 . Bibcode : 2000MNRAS.318L..61H . doi : 10.1046/j.1365-8711.2000.04027.x .
  21. ↑ هودومال، آنا (أكتوبر 2015). "حلول دورية جديدة لمسألة الأجسام الثلاثة وموجات الجاذبية" (ملف PDF) . رسالة ماجستير في العلوم، كلية الفيزياء، جامعة بلغراد . تاريخ الاطلاع: 5 فبراير 2019 .
  22. ↑ لي، شياومينغ؛ لياو، شيجون (ديسمبر 2017). "أكثر من ستمائة عائلة جديدة من مدارات نيوتن الدورية المستوية عديمة التصادم لثلاثة أجسام". مجلة ساينس تشاينا للفيزياء والميكانيكا وعلم الفلك . 60 (12): 129511. arXiv : 1705.00527 . Bibcode : 2017SCPMA..6029511L . doi : 10.1007/s11433-017-9078-5 . ISSN 1674-7348 . S2CID 84838204 .  
  23. ↑ لي، شياومينغ؛ جينغ، ييبينغ؛ لياو، شيجون (أغسطس 2018). "1223 مدارًا دوريًا جديدًا لمسألة الأجسام الثلاثة المستوية ذات الكتل غير المتساوية والزخم الزاوي الصفري" . منشورات الجمعية الفلكية اليابانية . 70 (4) 64. arXiv : 1709.04775 . doi : 10.1093/pasj/psy057 .
  24. ↑ لي، شياومينغ؛ لياو، شيجون (2019). "المدارات الدورية عديمة التصادم في مسألة الأجسام الثلاثة الساقطة سقوطًا حرًا". علم الفلك الجديد . 70 : 22-26 . arXiv : 1805.07980 . Bibcode : 2019NewA...70...22L . doi : 10.1016/j.newast.2019.01.003 . S2CID 89615142 . 
  25. هريستوف ، إيفان؛ هريستوفا، رادوسلافا؛ دميتراشينوفيتش، فيليكو؛ تانيكاوا، كيوتاكا (2024). "إعادة النظر في مدارات السقوط الحر الدورية ثلاثية الأجسام متساوية الكتلة عديمة التصادم". الميكانيكا السماوية وعلم الفلك الديناميكي . 136 (1) 7. arXiv : 2308.16159 . Bibcode : 2024CeMDA.136....7H . doi : 10.1007/s10569-023-10177-w .
  26. ↑ "محاكي الأجسام الثلاثة" . محاكي الأجسام الثلاثة . مؤرشف من الأصل بتاريخ 17-11-2022 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 17-11-2022 .
  27. ↑ معهد التخنيون (6 أكتوبر 2021). "لغز فيزيائي عمره قرون؟ تم حله" . سايتك ديلي . سايتك . تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 أكتوبر 2021 .
  28. ↑ جينات، يوناداف باري؛ بيريتس، ​​هاجاي ب. (23 يوليو 2021). "حل تقريبي تحليلي وإحصائي لتفاعلات النجوم الثنائية مع النجوم المفردة، سواءً كانت مُبددة للطاقة أو غير مُبددة لها" . مجلة Physical Review . 11 (3) 031020. arXiv : 2011.00010 . Bibcode : 2021PhRvX..11c1020G . doi : 10.1103/PhysRevX.11.031020 . S2CID 235485570. تاريخ الاسترجاع: 12 أكتوبر 2021 . 
  29. ↑ موسيالك، زدزيسلاف؛ كوارلز، بيلي (2017). ديناميكيات الأجسام الثلاثة وتطبيقاتها على الكواكب الخارجية . دار نشر سبرينغر الدولية. ص 3. رمز Bibcode : 2017tbdi.book.....M . doi : 10.1007/978-3-319-58226-9 . ISBN  978-3-319-58225-2.
  30. 1 2 3 فالتونين، ماوري (2016). مسألة الأجسام الثلاثة من فيثاغورس إلى هوكينغ . سبرينغر. ص 4. ISBN  978-3-319-22726-9. OCLC 1171227640 . 
  31. ↑ نيوتن، إسحاق (1726). المبادئ الرياضية للفلسفة الطبيعية . لندن: جي. وجيه. إنيس. doi : 10.14711/spcol/b706487 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 أكتوبر 2022 – عبر جامعة هونغ كونغ للعلوم والتكنولوجيا.
  32. ↑ "أمريكو فسبوتشي" . سيرة ذاتية . 23 يونيو 2021. تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 أكتوبر 2022 .
  33. ↑ يمكن قراءة مذكرات الطرفين لعام 1747 في مجلد Histoires (بما في ذلك Mémoires ) للأكاديمية الملكية للعلوم لعام 1745 (الذي نُشر متأخرًا في باريس عام 1749) (باللغة الفرنسية):
    كليروت: "حول نظام العالم، وفقًا لمبادئ الجاذبية الكونية" (في الصفحات  329-364)؛ و
    دالمبير: "طريقة عامة لتحديد مدارات وحركات جميع الكواكب، مع الأخذ في الاعتبار تأثيراتها المتبادلة" (في الصفحات  365-390). يُفسر التأريخ الغريب بملاحظة مطبوعة في الصفحة 390 من قسم "المذكرات": "على الرغم من أن المذكرات السابقة، للسيدين كليرو ودالمبير، لم تُقرأ إلا خلال عام 1747، فقد رُئي من المناسب نشرها في مجلد هذا العام" (أي المجلد المخصص لأعمال عام 1745، ولكن نُشر في عام 1749).
  34. ^ يذكر جان لو روند دالمبرت ، في ورقة بحثية عام 1761 تستعرض التاريخ الرياضي للمشكلة، أن أويلر قد أعطى طريقة لدمج معادلة تفاضلية معينة “في عام 1740 (قبل سبع سنوات من طرح مشكلة الأجسام الثلاثة)”: انظر دالمبرت، “Opuscules Mathématiques”، المجلد. 2، باريس 1761، Quatorzième Mémoire ("Réflexions sur le Problème des trois Corps, avec de Nouvelles Tables de la Lune...") الصفحات من 329 إلى 312، في ثانية. السادس، ص. 245.
  35. ↑ موهر، آر إف؛ فورنشتال، آر جيه؛ هامر، إتش-دبليو؛ بيري، آر جيه؛ ويلسون، كيه جي (يناير 2006). "نتائج عددية دقيقة للدورات الحدية في مسألة الأجسام الثلاثة الكمومية". حوليات الفيزياء . 321 (1): 225-259 . arXiv : nucl-th/0509076 . Bibcode : 2006AnPhy.321..225M . doi : 10.1016/j.aop.2005.10.002 . ISSN 0003-4916 . S2CID 119073191 .  
  36. ↑ "الحركة المستوية لكوكبين، أحدهما كتلته صفر" . حوليات الرياضيات ، المجلد الثالث، الصفحات 65-73، 1887.
  37. ↑ بارو-غرين، يونيو (29 أكتوبر 1996). بوانكاريه ومسألة الأجسام الثلاثة (ملف PDF) . تاريخ الرياضيات. المجلد 11. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. doi : 10.1090/hmath/011 . ISBN  978-0-8218-0367-7.
  38. ↑ إيفيموف، ف. (21-12-1970). "مستويات الطاقة الناشئة عن قوى الرنين بين جسمين في نظام ثلاثي الأجسام". رسائل الفيزياء ب . 33 (8): 563-564 . رمز Bibcode : 1970PhLB...33..563E . doi : 10.1016/0370-2693(70)90349-7 . ISSN 0370-2693 . 
  39. ↑ لياو، شيجون؛ لي، شياومينغ (2019-11-01). "حول الحلول الدورية لمسألة الأجسام الثلاثة" . المجلة الوطنية للعلوم . 6 (6): 1070-1071 . doi : 10.1093/nsr/ nwz102 . ISSN 2095-5138 . PMC 8291409. PMID 34691975 .   
  40. ↑ برين، فيليب ج.؛ فولي، كريستوفر ن.؛ بوكهولت، تجاردا؛ بورتيجيس زوارت، سيمون (2020). "نيوتن في مواجهة الآلة: حل مسألة الأجسام الثلاثة الفوضوية باستخدام الشبكات العصبية العميقة" . الإشعارات الشهرية للجمعية الفلكية الملكية . 494 (2): 2465-2470 . arXiv : 1910.07291 . doi : 10.1093/mnras/staa713 . S2CID 204734498 . 
  41. ↑ واتسون، كلير (23 سبتمبر 2023). "لقد حصلنا للتو على 12000 حل جديد لمسألة الأجسام الثلاثة الشهيرة" . ساينس أليرت . تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 سبتمبر 2023 .{{cite news}}: CS1 maint: deprecated archiveal service ( link )
  42. ↑ غريفيث، ديفيد ج. (2004). مقدمة في ميكانيكا الكم (الطبعة الثانية) . برنتيس هول. ص 311. ISBN  978-0-13-111892-8. OCLC 40251748 . 
  43. 1 2 كراندال، ر.؛ ويتنيل، ر.؛ بيتيغا، ر. (1984). "نموذج ذري ثنائي الإلكترون قابل للحل تمامًا". المجلة الأمريكية للفيزياء . 52 (5): 438-442 . Bibcode : 1984AmJPh..52..438C . doi : 10.1119/1.13650 .
  44. ↑ كالوجيرو، ف. (1969). "حل مسألة الأجسام الثلاثة في بُعد واحد". مجلة الفيزياء الرياضية . 10 (12): 2191-2196 . Bibcode : 1969JMP....10.2191C . doi : 10.1063/1.1664820 .
  45. ↑ عارف، حسن (1979-03-01). "حركة ثلاث دوامات" . فيزياء الموائع . 22 (3): 393-400 . Bibcode : 1979PhFl...22..393A . doi : 10.1063/1.862605 . ISSN 0031-9171 . 
  46. ↑ عارف، حسن ؛ بومفري، نيل (18 أغسطس 1980). "الحركات التكاملية والفوضوية لأربع دوامات". رسائل الفيزياء أ . 78 (4): 297-300 . رمز Bibcode : 1980PhLA...78..297A . doi : 10.1016/0375-9601(80)90375-8 . ISSN 0375-9601 . 
  47. ↑ نيوفيلد، ز؛ تيل، ت (21 مارس 1997). "النظير الديناميكي للدوامات لمسألة الأجسام الثلاثة المقيدة: الحمل في مجال ثلاث دوامات نقطية متطابقة" . مجلة الفيزياء أ: الرياضية والعامة . 30 (6): 2263-2280 . رمز Bibcode : 1997JPhA...30.2263N . doi : 10.1088/0305-4470/30/6/043 . ISSN 0305-4470 . 
  48. ↑ موسيالك، ز. إي.؛ كوارلز، ب. (2014). "مسألة الأجسام الثلاثة". تقارير عن التقدم في الفيزياء . 77 (6) 065901. arXiv : 1508.02312 . Bibcode : 2014RPPh...77f5901M . doi : 10.1088/0034-4885 / 77/6/065901 . ISSN 0034-4885 . PMID 24913140. S2CID 38140668 .   
  49. ↑ فلورين دياكو . "حل مسألة الأجسام المتعددة " ، مجلة الرياضيات الذكية ، 1996.

للمزيد من القراءة