قانون التربيع العكسي

📅 آخر تحديث: ١٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 16 صور
الموسوعة الحرة

يمثل S مصدر الضوء، بينما يمثل r النقاط المقاسة. تمثل الخطوط التدفق الضوئي المنبعث من المصادر. يعتمد العدد الإجمالي لخطوط التدفق على قوة مصدر الضوء، وهو ثابت مع ازدياد المسافة، حيث تعني كثافة خطوط التدفق (عدد الخطوط لكل وحدة مساحة) مجال طاقة أقوى. تتناسب كثافة خطوط التدفق عكسيًا مع مربع المسافة من المصدر، لأن مساحة سطح الكرة تزداد مع مربع نصف قطرها. وبالتالي، تتناسب شدة المجال عكسيًا مع مربع المسافة من المصدر.

في العلوم الفيزيائية ، يُعرف قانون التربيع العكسي بأنه أي قانون علمي ينص على أن "شدة" كمية فيزيائية محددة (وهي ببساطة قيمة تلك الكمية) تتناسب عكسيًا مع مربع المسافة من مصدر تلك الكمية . ويمكن فهم السبب الرئيسي لذلك على أنه التخفيف الهندسي الناتج عن إشعاع مصدر نقطي في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

تتمدد طاقة الرادار أثناء كل من إرسال الإشارة وعودتها المنعكسة ، لذا فإن التربيع العكسي لكلا المسارين يعني أن الرادار سيتلقى الطاقة وفقًا للقوة الرابعة العكسية للمدى.

لمنع تخفيف الطاقة أثناء نشر الإشارة، يمكن استخدام طرق معينة مثل الدليل الموجي ، الذي يعمل مثل القناة بالنسبة للماء، أو كيف يحد ماسورة البندقية من تمدد الغاز الساخن في بُعد واحد من أجل منع فقدان نقل الطاقة إلى الرصاصة .

صيغة

في الترميز الرياضي، يمكن التعبير عن قانون التربيع العكسي كشدة (I) تتغير كدالة للمسافة (d) من مركز ما. تتناسب الشدة (انظر ∝ ) مع مقلوب مربع المسافة، كما يلي: شدة ∝ 1مسافة2{\displaystyle {\text{intensity}}\ \propto \ {\frac {1}{{\text{distance}}^{2}}}\,}

ويمكن التعبير عنها رياضياً أيضاً على النحو التالي  : شدة1شدة2=مسافة22مسافة12{\displaystyle {\frac {{\text{intensity}}_{1}}{{\text{intensity}}_{2}}}={\frac {{\text{distance}}_{2}^{2}}{{\text{distance}}_{1}^{2}}}}

أو كصيغة لكمية ثابتة: شدة1×مسافة12=شدة2×مسافة22{\displaystyle {\text{intensity}}_{1}\times {\text{distance}}_{1}^{2}={\text{intensity}}_{2}\times {\text{distance}}_{2}^{2}}

إن تباعد حقل متجه هو محصلة حقول قانون التربيع العكسي الشعاعي بالنسبة لمصدر واحد أو أكثر يتناسب مع قوة المصادر المحلية، وبالتالي مع صفر من المصادر الخارجية.

تمثيل قانون التربيع العكسي. كل خلية في الشبكة تُقابل وحدتين، مع قيم شدة مُقربة إلى منزلتين عشريتين.

يخضع قانون نيوتن للجاذبية الكونية لقانون التربيع العكسي، وكذلك تأثيرات الظواهر الكهربائية والضوئية والصوتية والإشعاعية .

التبرير

ينطبق قانون التربيع العكسي عمومًا عندما تُشع قوة أو طاقة أو أي كمية محفوظة أخرى بالتساوي من مصدر نقطي في الفضاء ثلاثي الأبعاد . وبما أن مساحة سطح الكرة (التي تساوي 4πr² ) تتناسب طرديًا مع مربع نصف قطرها، فإن الإشعاع المنبعث ينتشر على مساحة تتزايد طرديًا مع مربع المسافة من المصدر كلما ابتعد عنه. وبالتالي، فإن شدة الإشعاع المار عبر أي وحدة مساحة (مواجهة مباشرة للمصدر النقطي) تتناسب عكسيًا مع مربع المسافة من المصدر. وينطبق قانون جاوس للجاذبية بالمثل، ويمكن استخدامه مع أي كمية فيزيائية تخضع لعلاقة التربيع العكسي. 

الأحداث

الجاذبية

الجاذبية هي قوة التجاذب بين الأجسام التي لها كتلة. ينص قانون نيوتن على ما يلي:

تتناسب قوة التجاذب بين كتلتين نقطيتين تناسباً طردياً مع حاصل ضرب كتلتيهما وعكسياً مع مربع المسافة الفاصلة بينهما. وتكون هذه القوة دائماً جاذبة وتؤثر على طول الخط الواصل بينهما. [ 1 ]

F=جيم1م2ر2{\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}

إذا كان توزيع المادة في كل جسم متناظرًا كرويًا، فيمكن حينها التعامل مع الأجسام ككتل نقطية دون تقريب، كما هو موضح في نظرية الغلاف . أما إذا أردنا حساب قوة التجاذب بين الأجسام الضخمة، فسنحتاج إلى جمع جميع قوى التجاذب بين النقاط جمعًا متجهيًا، وقد لا تكون قوة التجاذب الكلية متناسبة عكسيًا مع مربع الكتلة. مع ذلك، إذا كانت المسافة بين الأجسام الضخمة أكبر بكثير من أحجامها، فمن المعقول، كتقريب جيد، التعامل مع الكتل ككتلة نقطية تقع في مركز كتلة الجسم عند حساب قوة الجاذبية.

اقترح إسماعيل بوليالدوس هذا القانون للجاذبية عام 1645. إلا أن بوليالدوس لم يقبل قانوني كبلر الثاني والثالث ، ولم يُعجب بحل كريستيان هويغنز للحركة الدائرية (الحركة في خط مستقيم بفعل قوة مركزية). بل إن بوليالدوس أكد أن قوة الشمس جاذبة عند الأوج ودافعة عند الحضيض. وقد شرح كل من روبرت هوك وجيوفاني ألفونسو بوريلي الجاذبية عام 1666 كقوة جاذبة. [ 2 ] ألقى هوك محاضرته بعنوان "حول الجاذبية" في الجمعية الملكية بلندن في 21 مارس. [ 3 ] نُشر كتاب بوريلي "نظرية الكواكب" لاحقًا في عام 1666. [ 4 ] أوضح هوك في محاضرته في جريشام عام 1670 أن الجاذبية تنطبق على "جميع الأجرام السماوية"، وأضاف مبدأ أن قوة الجاذبية تتناقص مع المسافة، وأنه في غياب هذه القوة تتحرك الأجرام في خطوط مستقيمة. وبحلول عام 1679، اعتقد هوك أن الجاذبية تتناسب عكسيًا مع مربع المسافة، وأبلغ بذلك في رسالة إلى إسحاق نيوتن : [ 5 ] أظن أن قوة الجذب تتناسب دائمًا عكسيًا مع المسافة من المركز . [ 6 ]

ظل هوك مستاءً من ادعاء نيوتن اختراع هذا المبدأ، على الرغم من أن كتاب نيوتن "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" الصادر عام 1686 أقر بأن هوك، إلى جانب رين وهالي، قد أدركوا بشكل منفصل قانون التربيع العكسي في النظام الشمسي ، [ 7 ] بالإضافة إلى إعطاء بعض الفضل لبوليالدوس. [ 8 ]

الكهرباء الساكنة

قوة التجاذب أو التنافر بين جسيمين مشحونين كهربائياً، بالإضافة إلى كونها تتناسب طردياً مع حاصل ضرب الشحنات الكهربائية، فإنها تتناسب عكسياً مع مربع المسافة بينهما؛ وهذا ما يُعرف بقانون كولوم . انحراف الأس عن 2 أقل من جزء واحد من 10^ 15 . [ 9 ]

F=كهـq1q2ر2{\displaystyle F=k_{\text{e}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}

الضوء والإشعاع الكهرومغناطيسي الآخر

إن شدة (أو الإضاءة أو الإشعاع ) الضوء أو الموجات الخطية الأخرى المنبعثة من مصدر نقطي (الطاقة لكل وحدة مساحة عمودية على المصدر) تتناسب عكسيًا مع مربع المسافة من المصدر، لذلك فإن الجسم (من نفس الحجم) الذي يبعد ضعف المسافة يتلقى ربع الطاقة فقط ( في نفس الفترة الزمنية).

وبشكل عام، فإن الإشعاع، أي شدة (أو القدرة لكل وحدة مساحة في اتجاه الانتشار )، لجبهة الموجة الكروية يتناسب عكسيًا مع مربع المسافة من المصدر (بافتراض عدم وجود خسائر ناتجة عن الامتصاص أو التشتت ).

على سبيل المثال، تبلغ شدة الإشعاع من الشمس 9126 واط لكل متر مربع على مسافة عطارد (0.387 وحدة فلكية ) ولكنها تبلغ 1367 واط لكل متر مربع فقط على مسافة الأرض (1 وحدة فلكية) - أي أن زيادة المسافة بمقدار ثلاثة أضعاف تقريبًا تؤدي إلى انخفاض شدة الإشعاع بمقدار تسعة أضعاف تقريبًا.

بالنسبة للمشعات غير المتناحية، مثل الهوائيات المكافئة والمصابيح الأمامية وأجهزة الليزر ، يقع مركز الإشعاع الفعال بعيدًا خلف فتحة الشعاع. إذا كنت قريبًا من مركز الإشعاع، فلن تحتاج إلى قطع مسافة كبيرة لمضاعفة نصف القطر، وبالتالي ينخفض ​​مستوى الإشارة بسرعة. أما إذا كنت بعيدًا عن مركز الإشعاع ولا تزال الإشارة قوية، كما هو الحال مع الليزر، فسيتعين عليك قطع مسافة كبيرة لمضاعفة نصف القطر وتقليل الإشارة. هذا يعني أن لديك إشارة أقوى، أو كسبًا هوائيًا أكبر، في اتجاه الشعاع الضيق مقارنةً بالشعاع العريض في جميع اتجاهات الهوائي المتناحي .

في التصوير الفوتوغرافي وإضاءة المسرح ، يُستخدم قانون التربيع العكسي لتحديد "انخفاض" الإضاءة أو الفرق في شدة الإضاءة على الجسم كلما اقترب من مصدر الضوء أو ابتعد عنه. وللحصول على تقديرات سريعة، يكفي تذكر أن مضاعفة المسافة تُقلل الإضاءة إلى الربع؛ [ 10 ] أو بالمثل، لتقليل الإضاءة إلى النصف، نزيد المسافة بمعامل 1.4 ( الجذر التربيعي لـ 2 )، ولمضاعفة الإضاءة، نُقلل المسافة إلى 0.7 (الجذر التربيعي لـ 1/2). عندما لا يكون مصدر الإضاءة نقطيًا، يظل قانون التربيع العكسي تقريبًا مفيدًا في كثير من الأحيان؛ فعندما يكون حجم مصدر الضوء أقل من خُمس المسافة إلى الجسم، يكون خطأ الحساب أقل من 1%. [ 11 ]

يمكن حساب الانخفاض النسبي في التدفق الكهرومغناطيسي (Φ) للإشعاع المؤين غير المباشر مع ازدياد المسافة من مصدر نقطي باستخدام قانون التربيع العكسي. ولأن انبعاثات المصدر النقطي لها اتجاهات شعاعية، فإنها تتقاطع عند سقوط عمودي. مساحة هذا الغلاف هي 4πr² ، حيث r هي المسافة الشعاعية من المركز. يُعد هذا القانون ذا أهمية خاصة في التصوير الشعاعي التشخيصي وتخطيط العلاج الإشعاعي ، على الرغم من أن هذه النسبة لا تنطبق في الحالات العملية إلا إذا كانت أبعاد المصدر أصغر بكثير من المسافة. وكما ورد في نظرية فورييه للحرارة، "بما أن المصدر النقطي يتضخم بالمسافات، فإن إشعاعه يتضاءل بما يتناسب مع جيب الزاوية، مع ازدياد محيط القوس من نقطة الأصل".

مثال

لنفترض أن P  هي القدرة الكلية المشعة من مصدر نقطي (على سبيل المثال، مشع متساوي الخواص متعدد الاتجاهات ). عند مسافات كبيرة من المصدر (مقارنة بحجم المصدر)، تتوزع هذه القدرة على أسطح كروية أكبر فأكبر كلما زادت المسافة من المصدر. بما أن مساحة سطح كرة نصف قطرها r هي A  =  4πr² ، فإن شدة الإشعاع I ( القدرة لكل وحدة مساحة) عند المسافة r هي  أنا=Pأ=P4πر2.{\displaystyle I={\frac {P}{A}}={\frac {P}{4\pi r^{2}}}.\,}

تتناقص الطاقة أو الشدة (بقسمتها على 4) مع مضاعفة  المسافة r ؛ فإذا قُيست بالديسيبل، فإنها تتناقص بمقدار 6.02  ديسيبل لكل مضاعفة للمسافة. عند الإشارة إلى قياسات كميات الطاقة، يمكن التعبير عن النسبة كمستوى بالديسيبل عن طريق حساب اللوغاريتم العشري لنسبة الكمية المقاسة إلى القيمة المرجعية بعشرة أضعاف.

الصوت في الغاز

في علم الصوتيات ، ينخفض ​​ضغط الصوت لموجة كروية منبعثة من مصدر نقطي بنسبة 50% عند مضاعفة المسافة r ؛ وعند قياسه بالديسيبل ، يظل الانخفاض 6.02  ديسيبل، لأن الديسيبل يمثل نسبة شدة الصوت. نسبة الضغط (على عكس نسبة القدرة) ليست متناسبة عكسيًا مع مربع المسافة، بل تتناسب عكسيًا معها (قانون المسافة العكسية).

ص ∝ 1ر{\displaystyle p\ \propto \ {\frac {1}{r}}\,}

وينطبق الأمر نفسه على مركبة سرعة الجسيم.v{\displaystyle v\,}أي أنه متوافق في الطور مع ضغط الصوت اللحظيص{\displaystyle p\,}:

v ∝1ر {\displaystyle v\ \propto {\frac {1}{r}}\ \,}

في المجال القريب، يوجد مُركّب تربيعي لسرعة الجسيم، وهو مُختلف في الطور بمقدار 90 درجة عن ضغط الصوت، ولا يُساهم في متوسط ​​الطاقة أو شدة الصوت. شدة الصوت هي حاصل ضرب متوسط ​​الجذر التربيعي لضغط الصوت في مُركّب سرعة الجسيم المُتوافق في الطور، وكلاهما يتناسب عكسيًا. وبناءً على ذلك، تتبع الشدة سلوكًا تربيعيًا عكسيًا.

أنا = صv ∝ 1ر2.{\displaystyle I\ =\ pv\ \propto \ {\frac {1}{r^{2}}}.\,}

تفسير نظرية المجال

بالنسبة لحقل متجهي غير دوراني في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يتوافق قانون التربيع العكسي مع خاصية انعدام التباعد خارج المصدر. ويمكن تعميم ذلك على أبعاد أعلى. عمومًا، بالنسبة لحقل متجهي غير دوراني في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n ، تتناقص شدة الحقل المتجهي "I" مع المسافة "r" وفقًا لقانون القوة العكسية من الرتبة ( n - 1) .  

أنا∝1رن-1،{\displaystyle I\propto {\frac {1}{r^{n-1}}},}

بافتراض أن الفضاء خارج المصدر خالٍ من التباعد.

الآثار غير الإقليدية

ينطبق قانون التربيع العكسي، وهو قانون أساسي في الفضاءات الإقليدية ، أيضاً على الهندسات غير الإقليدية ، بما في ذلك الفضاء الزائدي . ويؤدي الانحناء الموجود في هذه الفضاءات إلى تغيير القوانين الفيزيائية، مما يؤثر على مجموعة متنوعة من المجالات مثل علم الكونيات ، والنسبية العامة ، ونظرية الأوتار . [ 12 ]

في بحثه المنشور عام 2020 بعنوان "علم الكونيات النيوتوني غير الإقليدي"، يُفصّل جون د. بارو سلوك القوة (F) والجهد (Φ) ضمن الفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد (H3). ويوضح أن F و Φ تخضعان للعلاقتين F ∝ 1 / R² sinh²(r/R) و Φ ∝ coth(r/R)، حيث يُمثل R نصف قطر الانحناء، و r المسافة من البؤرة.

لا يزال مفهوم البُعد المكاني، الذي اقترحه إيمانويل كانط لأول مرة، موضوع نقاش فيما يتعلق بقانون التربيع العكسي. [ 13 ] وتؤكد ديميتريا إلكترا جاتزيا وريكس د. رامسير، في ورقتهما البحثية لعام 2021، أن قانون التربيع العكسي يرتبط ارتباطًا أوثق بتناظر توزيع القوة منه بأبعاد المكان.

في سياق الهندسات غير الإقليدية والنسبية العامة، لا تنشأ الانحرافات عن قانون التربيع العكسي من القانون نفسه، بل من افتراض أن القوة بين جسمين آنية، وهو ما يتعارض مع النسبية الخاصة . تعيد النسبية العامة تفسير الجاذبية على أنها انحناء الزمكان، مما يؤدي إلى تحرك الجسيمات على طول الخطوط الجيوديسية في هذا الزمكان المنحني. [ 14 ]

تاريخ

كان جون دمبلتون، مؤلف كتاب "حاسبات أكسفورد" في القرن الرابع عشر ، من أوائل من عبّروا عن العلاقات الوظيفية بيانيًا. وقدّم برهانًا لنظرية متوسط ​​السرعة، ينص على أن "خط عرض حركة منتظمة الشكل يتوافق مع درجة نقطة المنتصف"، واستخدم هذه الطريقة لدراسة التناقص الكمي في شدة الإضاءة في كتابه " خلاصة المنطق والفلسفة الطبيعية" (حوالي عام 1349)، موضحًا أنها لا تتناسب خطيًا مع المسافة، ولكنه لم يتمكن من إثبات قانون التربيع العكسي. [ 15 ]

كيبلر 1910
ناقش عالم الفلك الألماني يوهانس كيبلر قانون التربيع العكسي وكيف يؤثر على شدة الضوء.

في الاقتراح 9 من الكتاب 1 في كتابه Ad Vitellionem paralipomena, quibus astronomiae pars optica traditur (1604)، جادل عالم الفلك يوهانس كيبلر بأن انتشار الضوء من مصدر نقطي يخضع لقانون التربيع العكسي: [ 16 ] [ 17 ]

Sicut se habent spharicae surfaces, quibus origo lucis pro center est, amplor an angustiorem: ita se habe hartitudo seu densitas lucis radiorum in angustiori, ad illamin in laxiori sphaerica, hoc est, conversim. Nam لكل 6.7.

ترجمة:

كما أن نسبة الأسطح الكروية، التي يكون مصدر الضوء في مركزها، تتزايد من الأوسع إلى الأضيق، كذلك كثافة أو شدة أشعة الضوء في الفضاء الأضيق، أي عكسياً، باتجاه الأسطح الكروية الأوسع. فبحسب المقولتين 6 و7، يوجد في السطح الكروي الأضيق نفس كمية الضوء الموجودة في السطح الأوسع، وبالتالي يكون الضوء أكثر كثافة وانضغاطاً في كليهما.

في عام 1645، في كتابه Astronomia Philolaica ...، دحض عالم الفلك الفرنسي إسماعيل بوليالدوس (1605-1694) اقتراح يوهانس كيبلر بأن "الجاذبية" [ 18 ] تضعف كمقلوب المسافة؛ وبدلاً من ذلك، جادل بوليالدوس بأن "الجاذبية" تضعف كمقلوب مربع المسافة: [ 19 ] [ 20 ]

Virtus autem illa، qua Sol prehendit seu harpagat Planetas، corporalis quae ipsi pro manibus est، خط مستقيم في كل عالم من الاتساع ينبعث شبه الأنواع من دوار الجسم: مع الجلوس الجسدي الضخم، والتمدد في أكبر مساحة وفاصل زمني، نسبة أوتم هويوس الحد الأقصى هو، ac luminus، في عقلانية مزدوجة الفاصل الزمني، على الرغم من ذلك.

ترجمة:

أما القوة التي تستحوذ بها الشمس على الكواكب أو تمسك بها، والتي، لكونها مادية، تعمل بطريقة الأيدي، فإنها تنبعث في خطوط مستقيمة في جميع أنحاء العالم، ومثل أنواع الشمس، فإنها تدور مع جسم الشمس؛ الآن، نظرًا لكونها مادية، فإنها تصبح أضعف وتتلاشى عند مسافة أو فاصل زمني أكبر، ونسبة انخفاض قوتها هي نفسها كما في حالة الضوء، أي النسبة المضاعفة، ولكن بشكل عكسي، للمسافات [أي 1/d²].

في إنجلترا، نشر الأسقف الأنجليكاني سيث وارد (1617–1689) أفكار بوليالدوس في نقده لكتاب إسماعيل بوليالدي أسترونوميا فيلوليكاي فوندامنتا إنكيسيتيو بريفيس (1653) ونشر علم فلك الكواكب لكبلر في كتابه علم الفلك الهندسي (1656).

في الفترة ما بين عامي 1663 و1664، كان العالم الإنجليزي روبرت هوك يكتب كتابه "ميكروغرافيا" (1666)، حيث ناقش فيه، من بين أمور أخرى، العلاقة بين ارتفاع الغلاف الجوي والضغط الجوي على سطح الأرض. ولأن الغلاف الجوي يحيط بالأرض، وهي كروية الشكل، فإن حجم الغلاف الجوي المؤثر على أي وحدة مساحة من سطح الأرض يكون على شكل مخروط ناقص (يمتد من مركز الأرض إلى فراغ الفضاء؛ ومن الواضح أن الجزء من المخروط الممتد من سطح الأرض إلى الفضاء فقط هو الذي يلامس سطح الأرض). ورغم أن حجم المخروط يتناسب طرديًا مع مكعب ارتفاعه، فقد جادل هوك بأن ضغط الهواء على سطح الأرض يتناسب طرديًا مع ارتفاع الغلاف الجوي، لأن الجاذبية تتناقص مع الارتفاع. ورغم أن هوك لم يذكر ذلك صراحةً، فإن العلاقة التي اقترحها لن تكون صحيحة إلا إذا كانت الجاذبية تتناقص عكسيًا مع مربع المسافة من مركز الأرض. [ 21 ] [ 22 ]

واصل نيوتن تطوير واستنباط قانون التربيع العكسي للجاذبية بشكل مستقل في كتابه "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية " (1686). وقد أدى ذلك لاحقاً إلى نقاش حول الأسبقية بين نيوتن وهوك من خلال المراسلات. [ 23 ]

انظر أيضاً

مراجع

المجال العام تتضمن هذه المقالة موادًا متاحة للعموم من المعيار الفيدرالي 1037C ، إدارة الخدمات العامة . مؤرشفة من الأصل في 22 يناير 2022.

  1. ↑ الاقتراح 75، النظرية 35: ص 956 – ترجمة إسحاق نيوتن، كتاب "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية " (Principia ): المبادئ الرياضية للفلسفة الطبيعية . يسبقه كتاب "، الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" (A Guide to Newton's Principia) ، بقلم إسحاق نيوتن . مطبعة جامعة كاليفورنيا 1999، رقم ISBN 0-520-08816-6رقم الكتاب المعياري الدولي (ISBN) 0-520-08817-4
  2. ↑ لم تكن جاذبية هوك عالمية بعد، على الرغم من أنها اقتربت من العالمية أكثر من الفرضيات السابقة. انظر الصفحة 239 في: تاتون، رينيه ؛ ويلسون، كورتيس؛ هوسكين، مايكل أ.، محرران (2009). "إنجاز نيوتن في علم الفلك". التاريخ العام لعلم الفلك . المجلد 2، الجزء أ: علم الفلك الكوكبي من عصر النهضة إلى ظهور الفيزياء الفلكية، من تيكو براهي إلى نيوتن ( الطبعة الأولى). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . الصفحات 233-274 . ISBN    978-0-521-54205-0.
  3. ↑ بيرش، توماس (1756). تاريخ الجمعية الملكية في لندن . المجلد 2. الصفحات 68-73 .  انظر على وجه الخصوص الصفحات 70-72.
  4. ^ بوريلي، جيوفاني ألفونسو (1666). Theoricae mediceorum Planetarum ex causis physicis deductae [ نظرية [حركة] الكواكب الميديشية [أي أقمار المشتري] مستنتجة من أسباب فيزيائية ] (باللاتينية). السابق الطباعة SMD بيب كود : 1666tmpe.book .....B .
  5. ↑ كويري، ألكسندر (1952). " رسالة غير منشورة من روبرت هوك إلى إسحاق نيوتن". مجلة إيزيس . 43 (4): 312-337 . doi : 10.1086/348155 . JSTOR 227384. PMID 13010921 .  
  6. ↑ رسالة هوك إلى نيوتن بتاريخ 6 يناير 1680 (Koyré 1952:332).
  7. ↑ أقرّ نيوتن بفضل رين وهوك وهالي في هذا الصدد في شرحه للمسألة الرابعة في الكتاب الأول (في جميع الطبعات): انظر على سبيل المثال: نيوتن، إسحاق (1729). المبادئ الرياضية للفلسفة الطبيعية . بي. موت. ص 66. 
  8. في رسالة إلى إدموند هالي بتاريخ 20 يونيو 1686، كتب نيوتن: "كتب بوليالدوس أن كل قوة تتعلق بالشمس كمركز لها وتعتمد على المادة يجب أن تكون بنسبة عكسية مضاعفة للمسافة من المركز." انظر: كوهين ، آي. برنارد ؛ سميث، جورج إي. (2002). رفيق كامبريدج لنيوتن . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 204. ISBN  978-0-521-65696-2.
  9. ↑ ويليامز، إي آر؛ فالر، جيه إي؛ هيل، إتش إيه (1971). "اختبار تجريبي جديد لقانون كولوم: حد أعلى معملي لكتلة سكون الفوتون". رسائل المراجعة الفيزيائية . 26 (12): 721-724 . Bibcode : 1971PhRvL..26..721W . doi : 10.1103/PhysRevLett.26.721 .
  10. ↑ ميلرسون، جيرالد (1999). الإضاءة للتلفزيون والسينما . دار نشر سي آر سي. ص 27. رقم ISBN  978-1-136-05522-5.
  11. ↑ رايدر، ألكسندر د. (1997). دليل قياس الضوء (ملف PDF) . الضوء الدولي. ص 26. ISBN  978-0-96-583569-5.
  12. ↑ بارو، جون د. (2020). "علم الكونيات النيوتوني غير الإقليدي". الجاذبية الكلاسيكية والكمية . 37 (12): 125007. arXiv : 2002.10155 . Bibcode : 2020CQGra..37l5007B . doi : 10.1088/1361-6382/ab8437 .
  13. ↑ جاتزيا، ديميتريا إلكترا؛ رامسير، ريكس د. (2021). "الأبعاد، والتناظر، وقانون التربيع العكسي". ملاحظات وسجلات: مجلة الجمعية الملكية لتاريخ العلوم . 75 (3): 333-348 . doi : 10.1098/rsnr.2019.0044 .
  14. ↑ غوث، آلان (2018). "مقدمة في النسبية العامة غير الإقليدية" (ملف PDF) . MIT OpenCourseWare . تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 يوليو 2023 .
  15. ↑ فريلي، جون (2012). قبل غاليليو: ميلاد العلم الحديث في أوروبا في العصور الوسطى . أوفرلوك داكوورث. ISBN 978-0-71-564536-9.
  16. ^ كيبلر ، يوهانس (1604). Ad Vitellionem paralipomena، quibus astronomiae pars Opticala traditur (باللاتينية). أبو كلوديوم مارنيوم وهايريديس يوانيس أوبري. ص. 10. 
  17. ↑ ترجمة الاقتباس اللاتيني من كتاب كبلر "Ad Vitellionem paralipomena" مأخوذة من: غال، عوفر؛ تشين-موريس، راز (2005). "علم آثار قانون التربيع العكسي: (1) الصور الميتافيزيقية والممارسات الرياضية". تاريخ العلوم . 43 (4): 391-414 . Bibcode : 2005HisSc..43..391G . doi : 10.1177/007327530504300402 . انظر على وجه الخصوص الصفحة 397.
  18. ↑ ملاحظة: لقد توقع كل من كيبلر وويليام جيلبرت تقريبًا المفهوم الحديث للجاذبية، ولم ينقصهم سوى قانون التربيع العكسي في وصفهم لـ "الجاذبية". في الصفحة الرابعة من الفصل الأول، "مقدمة"، من كتاب "علم الفلك الجديد" ، يُقدّم كيبلر وصفه على النحو التالي: "تقوم النظرية الحقيقية للجاذبية على البديهيات التالية: كل جسم مادي، بقدر ما هو مادي، لديه ميل طبيعي للاستقرار في أي مكان يمكن أن يوجد فيه بمفرده خارج نطاق تأثير جسم مماثل له. الجاذبية هي انجذاب متبادل بين الأجسام المماثلة نحو الاتحاد أو الاقتران (مشابهة في نوعها للمغناطيسية)، بحيث تجذب الأرض الحجر أكثر مما يسعى الحجر إلى الأرض. ... إذا وُضع حجران في أي مكان في العالم بالقرب من بعضهما البعض، وخارج نطاق تأثير جسم ثالث مماثل لهما، فإن هذين الحجرين، مثل إبرتين مغناطيسيتين، سيلتقيان في نقطة متوسطة، ويقترب كل منهما من الآخر بمسافة تتناسب مع كتلة الآخر . إذا لم يكن القمر والأرض مُثبتين في مداريهما بقوة حركتهما أو أي قوة مكافئة أخرى، فإن الأرض ستقترب من القمر بمقدار 1/4 من المسافة بينهما." ويسقط القمر نحو الأرض عبر الأجزاء الثلاثة والخمسين الأخرى، وسيلتقيان هناك، بافتراض أن مادة كليهما لها نفس الكثافة." لاحظ أنه بقوله " الأرض تجذب الحجر أكثر مما يسعى الحجر إلى الأرض"، فإن كيبلر يبتعد عن التقليد الأرسطي القائل بأن الأشياء تسعى إلى أن تكون في مكانها الطبيعي، وأن الحجر يسعى إلى أن يكون مع الأرض.
  19. ^ بولياو، إسماعيل (1645). علم الفلك فيلوليكا (باللاتينية). سيمون بيجيه. ص. 23. بيب كود : 1645ibap.book .....ب . دوى : 10.3931/e-rara-549 . 
  20. ↑ ترجمة الاقتباس اللاتيني من كتاب "Astronomia Philolaica" لبوليالدوس... مأخوذة من: أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف. (2006). "إسماعيل بوليو" . أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات . جامعة سانت أندروز .
  21. ↑ غال وتشين -موريس 2005 ، الصفحات 391-392 
  22. ↑ هوك، روبرت. ميكروغرافيا . تراث العلوم. ص 227. ISBN  978-0-940095-07-6أقول أسطوانة ، وليس قطعة من مخروط ، لأنه، كما قد أوضح في موضع آخر في شرح الجاذبية، فإن النسبة الثلاثية لأغلفة الكرة، إلى أقطارها الخاصة، أفترض أنها ستزول في هذه الحالة بسبب انخفاض قوة الجاذبية .
  23. ↑ رولاندز، بيتر (22 سبتمبر 2017). نيوتن والنظام الكوني العظيم . وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-1-78634-375-8.