عد القضبان

قضبان العد (筭) هي قضبان صغيرة،  يتراوح طولها عادةً بين 3 و14 سم (1 بوصة إلى 6 بوصات)، استخدمها علماء الرياضيات لإجراء العمليات الحسابية في شرق آسيا القديمة . توضع هذه القضبان إما أفقيًا أو رأسيًا لتمثيل أي عدد صحيح أو عدد نسبي .

تُسمى الأشكال الكتابية المستندة إليها بالأرقام العصوية . وهي نظام عددي موضعي حقيقي يتكون من أرقام من 1 إلى 9 وفراغ للصفر، من فترة الممالك المتحاربة (حوالي 475 قبل الميلاد) ^{[ 1 ]} إلى القرن السادس عشر.

استخدم علماء الحساب الصينيون قضبان العد منذ أكثر من ألفي عام.

في عام 1954، تم العثور على ما يقرب من أربعين عصا عد تعود إلى فترة الممالك المتحاربة (من القرن الخامس قبل الميلاد إلى 221 قبل الميلاد) في مقبرة تشو رقم 15 في تشانغشا ، هونان . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

في عام ١٩٧٣، اكتشف علماء الآثار مجموعة من المخطوطات الخشبية في مقبرة بمقاطعة هوبي، تعود إلى عهد أسرة هان (٢٠٦ قبل الميلاد إلى ٢٢٠ ميلادي). كُتب على إحدى هذه المخطوطات: "当利二月定算𝍥". يُعدّ هذا من أقدم الأمثلة على استخدام الأرقام باستخدام قضبان العد في الكتابة.

عُثر في عام 1972 على صندوق مربع مطلي بالورنيش، يعود تاريخه إلى حوالي 168 قبل الميلاد، يحتوي على رقعة شطرنج مربعة عليها أنماط TLV، وقطع شطرنج، وعصي عد، وغيرها من الأدوات، في موقع ماوانغدوي M3، تشانغشا، مقاطعة هونان. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

في عام ١٩٧٦، تم اكتشاف حزمة من قضبان العد العظمية، تعود إلى عهد أسرة هان الغربية (٢٠٢ ق.م. إلى ٩ م) ، في مقاطعة تشيانيانغ بمقاطعة شنشي . ^{[ ٦ ] [ ٧ ]} ويُرجّح أن استخدام قضبان العد أقدم من ذلك؛ فقد ذكر سون تزو ( حوالي ٥٤٤ إلى حوالي ٤٩٦ ق.م.)، وهو استراتيجي عسكري عاش في نهاية فترة الربيع والخريف (٧٧١ ق.م. إلى القرن الخامس قبل الميلاد)، استخدامها لإجراء حسابات لكسب الحروب قبل خوض المعارك. ^{[ ٨ ]} وقال لاو تزو (توفي عام ٥٣١ ق.م.)، الذي كتب في فترة الممالك المتحاربة: "الحاسب الجيد لا يستخدم قضبان العد". ^{[ ٩ ]} وسجل كتاب هان (الذي انتهى عام ١١١ م): "كانوا يحسبون باستخدام الخيزران، قطره فين واحد، وطوله ستة تسون، مُرتبة في حزمة سداسية الشكل مكونة من مئتين وواحد وسبعين قطعة". ^{[ ١٠ ]}

في البداية، كانت قضبان الحساب مستديرة في المقطع العرضي، ولكن بحلول عهد أسرة سوي (581 إلى 618 م) استخدم علماء الرياضيات قضبانًا مثلثة لتمثيل الأعداد الموجبة وقضبانًا مستطيلة للأعداد السالبة .

بعد ازدهار المعداد ، تم التخلي عن قضبان العد باستثناء اليابان، حيث تطورت أرقام القضبان إلى تدوين رمزي للجبر .

تمثل قضبان العد الأرقام بعدد القضبان، ويمثل القضيب العمودي الرقم خمسة. ولتجنب الالتباس، تُستخدم الأشكال الرأسية والأفقية بالتناوب. عمومًا، تُستخدم الأرقام الرأسية للإشارة إلى موضع الآحاد والمئات وعشرات الآلاف، وما إلى ذلك، بينما تُستخدم الأرقام الأفقية للإشارة إلى موضع العشرات والآلاف ومئات الآلاف، وما إلى ذلك. وقد ورد في كتاب سونزي سوانجينغ أن "الواحد رأسي، والعشرة أفقي". ^{[ 11 ]}

تمثل القضبان الحمراء الأعداد الموجبة ، بينما تمثل القضبان السوداء الأعداد السالبة . ^{[ 12 ]} كان الصينيون القدماء يفهمون الأعداد السالبة والصفر فهمًا واضحًا (مع ترك فراغ له)، على الرغم من عدم وجود رمز خاص بالصفر لديهم. وقد نص كتاب "الفصول التسعة في فن الرياضيات "، الذي كُتب معظمه في القرن الأول الميلادي، على ما يلي: "(عند استخدام الطرح) اطرح الأعداد ذات الإشارة نفسها، واجمع الأعداد ذات الإشارات المختلفة، واطرح عددًا موجبًا من الصفر لتحصل على عدد سالب، واطرح عددًا سالبًا من الصفر لتحصل على عدد موجب". ^{[ 13 ] [ 14 ]} وفي وقت لاحق، استُخدم حجر لعبة "غو" أحيانًا لتمثيل الصفر.

يُعدّ هذا التناوب بين الشكل الرأسي والأفقي للأرقام على القضبان بالغ الأهمية لفهم النسخ الكتابي لهذه الأرقام في المخطوطات فهمًا صحيحًا. على سبيل المثال، في مخطوطة ليتشنغ سوانجين، نُسخ الرقم 81 على النحو التالي: 81 ، ونُسخ الرقم 108 على النحو التالي: 108 ؛ ومن الواضح أن الرقم الأخير كان يحتوي على فراغ صفري على "لوحة العد" (أي الأرضية أو السجادة)، على الرغم من عدم وجود فراغ في النسخة المكتوبة. في المخطوطة نفسها، نُسخ الرقم 405 على النحو التالي: 405 ، مع وجود مسافة فارغة بينهما لأسباب واضحة، ولا يمكن بأي حال من الأحوال تفسيره على أنه "45" . بعبارة أخرى، قد لا تكون الأرقام المكتوبة على القضبان ذات دلالة مكانية، ولكنها كذلك على لوحة العد. يمثل الشكل 405 صورة دقيقة للرقم 405 على قضيب العد على سطح طاولة أو أرضية.

القيمة المكانية

تعتمد قيمة العدد على موقعه الفعلي على لوحة العد. يُمثل الرقم 9 في أقصى يمين اللوحة العدد 9. بتحريك مجموعة القضبان التي تُمثل الرقم 9 خانة واحدة إلى اليسار (أي إلى خانة العشرات)، نحصل على 9[] أو 90. وبالتحريك مرة أخرى إلى اليسار إلى الخانة الثالثة (خانة المئات)، نحصل على 9[][] أو 900. في كل مرة نُحرك فيها العدد خانة واحدة إلى اليسار، يُضرب في 10. وفي كل مرة نُحرك فيها العدد خانة واحدة إلى اليمين، يُقسم على 10. ينطبق هذا على الأعداد المكونة من رقم واحد أو عدة أرقام.

استخدم عالم الرياضيات في عهد أسرة سونغ جيا شيان الأوامر العشرية الصينية المكتوبة بخط اليد (步十百千萬) كقيم مكانية للأرقام، كما هو واضح من نسخة طبق الأصل من صفحة موسوعة يونغل . قام بترتيب 七萬一千八百二十四 كـ

أفضل ما في الأمر

شكرا جزيلا

اعتبر أرقام الطلبات الصينية بمثابة علامات للقيمة المكانية، فأصبحت الأرقام من 7 إلى 8 إلى 4 أرقامًا عشرية ذات قيمة مكانية. ثم كتب الأرقام على شكل قضبان وفقًا لقيمتها المكانية.

七	一	八	ثالثا	四
萬	千	نعم	十	步

في اليابان، كان علماء الرياضيات يضعون قضبان العد على لوحة العد، وهي عبارة عن قطعة قماش مقسمة إلى مربعات، ويستخدمون فقط الأشكال العمودية التي تعتمد على هذه المربعات. يحتوي كتاب رياضيات ياباني من القرن الثامن عشر على رسم تخطيطي للوحة عد على شكل لعبة الداما، مع رموز ترتيب المقادير "千百十一分厘毛" (ألف، مئة، عشرة، وحدة، عُشر، جزء من مئة، جزء من ألف). ^{[ 15 ]}

الصفر والأعداد الصحيحة الموجبة

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
رَأسِيّ
أفقي

الأصفار والأعداد السالبة

	0	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7	-8	-9
رَأسِيّ
أفقي

أمثلة:

231
5089
-407
-6720

الأرقام العصوية هي نظام ترقيم موضعي مُشتق من أشكال قضبان العد. تُكتب الأعداد الموجبة كما هي، بينما تُكتب الأعداد السالبة مع خط مائل عند الرقم الأخير. يُرسم الخط العمودي في الأرقام الأفقية من 6 إلى 9 أقصر ليُصبح ارتفاع الحرف متساوياً.

تُستخدم الدائرة (〇) للدلالة على الصفر. يعتقد العديد من المؤرخين أنها استُوردت من الأرقام الهندية على يد غوتاما سيدها عام 718، ^{[ 13 ]} بينما يرى البعض أنها مُشتقة من رمز ملء الفراغات في النصوص الصينية "□"، ويعتقد آخرون أن الهنود اكتسبوها من الصين، لأنها تُشبه رمزًا فلسفيًا كونفوشيوسيًا يُشير إلى "العدم". ^{[ 16 ]}

في القرن الثالث عشر، قام علماء الرياضيات في عهد أسرة سونغ الجنوبية بتغيير أرقام 4 و5 و9 لتقليل عدد الخطوط. ^{[ 16 ]} وتحولت الأشكال الأفقية الجديدة في نهاية المطاف إلى أرقام سوتشو . واستمر اليابانيون في استخدام الأشكال التقليدية.

الأعداد الموجبة (التقليدية)

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
رَأسِيّ
أفقي

الأعداد السالبة (بالصيغة التقليدية)

	0	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7	-8	-9
رَأسِيّ
أفقي

الأرقام الإيجابية (أغنية جنوبية)

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
رَأسِيّ
أفقي

أمثلة:

	تقليدي	أغنية الجنوب
231
5089
-407
-6720

في اليابان، قام سيكي تاكاكازو بتطوير الأرقام العصوية إلى تدوين رمزي للجبر، مما أدى إلى تحسين الرياضيات اليابانية بشكل كبير . ^{[ 13 ]} بعد فترة حكمه، تم تطوير نظام الأرقام الموضعية باستخدام الأحرف الصينية ، وأصبحت الأرقام العصوية تُستخدم فقط لإشارتي الجمع والطرح .

الغربي	سيكي	بعد سيكي
س + ص + ٢٤٦	نعم	هذا هو السبب
5 س - 6 ص	نعم	شكرا جزيلا
7 xy	نعم	七甲乙
8 س / ص	غير متوفر	شكرا جزيلا

تم التعبير عن الكسر باستخدام الأرقام العصوية كرقمين عصويين أحدهما فوق الآخر (بدون أي رمز آخر، مثل الشريط الأفقي الحديث).

تُعرف طريقة استخدام قضبان العد في العمليات الحسابية باسم حساب القضبان أو حساب التفاضل والتكامل بالقضبان (筹算). يُمكن استخدام حساب القضبان في نطاق واسع من العمليات الحسابية، بما في ذلك إيجاد قيمة π ، وإيجاد الجذور التربيعية ، والجذور التكعيبية ، والجذور من الرتب العليا ، وحل نظام المعادلات الخطية .

قبل إدخال الصفر المكتوب، كانت تُستخدم مسافة للدلالة على عدم وجود وحدات، وكان يُعتمد تدوير الحرف في عمود الوحدات التالي بمقدار 90 درجة، للمساعدة في تقليل الغموض في قيم السجلات المحسوبة على القضبان. ^{[ 17 ]} على سبيل المثال، كان يتم التمييز بين 107 (𝍠 𝍧) و17 (𝍩𝍧) عن طريق التدوير، على الرغم من أن وجود وحدات أصفار متعددة قد يؤدي إلى الغموض، مثل 1007 (𝍩 𝍧) و10007 (𝍠 𝍧). بمجرد إدخال الصفر المكتوب، أصبحت الأرقام على القضبان مستقلة، واستمر استخدامها بالفعل حتى بعد استبدال قضبان العد بالمعداد . أحد أنواع الأرقام الأفقية على القضبان، أرقام سوتشو ، لا يزال مستخدمًا في مسك الدفاتر ووصفات الطب العشبي في الأحياء الصينية في بعض أنحاء العالم.

يتضمن معيار يونيكود 5.0 أرقامًا أفقية في نطاقها الخاص ضمن المستوى اللغوي المتعدد التكميلي (SMP) من U+1D360 إلى U+1D37F. تتراوح رموز الأرقام الأفقية من 1 إلى 9 بين U+1D360 وU+1D368، بينما تتراوح رموز الأرقام الرأسية من 1 إلى 9 بين U+1D369 وU+1D371. تُسمى الأرقام الأفقية أرقام الآحاد، بينما تُسمى الأرقام الرأسية أرقام العشرات ، ^{[ 18 ] [ 19 ]} وهو ما يُخالف الاصطلاح المذكور سابقًا. ينص معيار يونيكود على أن اتجاه أحرف يونيكود يتبع اصطلاح سلالة سونغ، وهو ما يختلف عن ممارسة سلالة هان التي كانت تُمثل الأرقام بخطوط رأسية، والعشرات بخطوط أفقية. ^{[ 20 ]} يُرمز للصفر بالرمز U+3007 (〇، الرقم صفر في الكتابة الصينية)، ويُرمز للإشارة السالبة بالرمز U+20E5 (دمج تراكب الخط المائل المعكوس). ^{[ 21 ]} نظرًا لإضافة هذه الأحرف مؤخرًا إلى مجموعة الأحرف، ولأنها مُضمنة في SMP، فقد يظل دعم الخطوط محدودًا.

للاطلاع على عصي العد القديمة، ولمزيد من التوضيح، يمكنك زيارة المواقع

• https://web.archive.org/web/20010217175749/http://www.math.sfu.ca/histmath/China/Beginning/Rod.html
• http://mathforum.org/library/drmath/view/52557.html
• عدّ القضبان في الصين (باللغة الصينية) ( الترجمة إلى الإنجليزية: جوجل ، بينج ، ياندكس )
• عدّ القضبان وأحجار الغو لعالم رياضيات ياباني حوالي عام 1872 (باللغة اليابانية) ( الترجمة إلى الإنجليزية: جوجل ، بينج ، ياندكس )