أحادية النمط

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 20 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تعني أحادية النمط امتلاك نمط فريد . وبشكل أعم، تعني أحادية النمط وجود قيمة عليا واحدة فقط، محددة بطريقة ما، لكائن رياضي ما . [ 1 ]

توزيع احتمالي أحادي النمط

الشكل 1. دالة كثافة الاحتمال للتوزيعات الطبيعية، مثال على التوزيع أحادي النمط.
الشكل 2. توزيع ثنائي النمط بسيط.
الشكل 3. توزيع ثنائي النمط. لاحظ أن القمة الأكبر فقط هي التي تُعتبر نمطًا بالمعنى الدقيق لتعريف النمط.

في الإحصاء ، يُعرف التوزيع الاحتمالي أحادي المنوال بأنه توزيع احتمالي ذو قمة واحدة. ويشير مصطلح "المنوال" في هذا السياق إلى أي قمة في التوزيع، وليس فقط إلى التعريف الدقيق للمنوال الشائع في الإحصاء.

إذا كان للتوزيع نمط واحد، يُسمى "أحادي النمط". أما إذا كان له أنماط متعددة، فيُسمى "ثنائي النمط" (نمطان)، أو "ثلاثي النمط" (ثلاثة أنماط)، وهكذا، أو بشكل عام "متعدد الأنماط". [ 2 ] يوضح الشكل 1 التوزيعات الطبيعية ، وهي أحادية النمط. ومن الأمثلة الأخرى على التوزيعات أحادية النمط: توزيع كوشي ، وتوزيع t للطالب ، وتوزيع كاي تربيع، والتوزيع الأسي . ومن بين التوزيعات المنفصلة، ​​يُمكن اعتبار التوزيع ذي الحدين وتوزيع بواسون أحاديي النمط، مع العلم أنه بالنسبة لبعض المعاملات، قد يكون لهما قيمتان متجاورتان بنفس الاحتمالية.

يوضح الشكلان 2 و3 التوزيعات ثنائية النمط.

تعريفات أخرى

توجد تعريفات أخرى لخاصية أحادية النمط في دوال التوزيع.

في التوزيعات المستمرة، يُمكن تعريف أحادية النمط من خلال سلوك دالة التوزيع التراكمي (cdf). [ 3 ] إذا كانت دالة التوزيع التراكمي محدبة لـ x  < m ومقعرة لـ x > m ، فإن التوزيع يكون أحادي النمط، حيث m هو النمط. تجدر الإشارة إلى أنه وفقًا لهذا التعريف، يكون التوزيع المنتظم أحادي النمط، [ 4 ] وكذلك أي توزيع آخر يتحقق فيه التوزيع الأقصى لنطاق من القيم، مثل التوزيع شبه المنحرف. عادةً ما يسمح هذا التعريف بوجود انقطاع عند النمط؛ ففي التوزيع المستمر، يكون احتمال أي قيمة منفردة عادةً صفرًا، بينما يسمح هذا التعريف باحتمال غير صفري، أو ما يُعرف بـ "ذرة الاحتمال"، عند النمط.   

يمكن أيضًا تحديد معايير أحادية النمط من خلال الدالة المميزة للتوزيع [ 3 ] أو من خلال تحويل لابلاس-ستيلتيس الخاص به . [ 5 ]

هناك طريقة أخرى لتعريف التوزيع المنفصل أحادي النمط، وهي حدوث تغيرات في إشارة سلسلة فروق الاحتمالات. [ 6 ] التوزيع المنفصل ذو دالة الكتلة الاحتمالية ،{صن:ن=...،-1،0،1،...}{\displaystyle \{p_{n}:n=\dots ,-1,0,1,\dots \}}يُطلق عليه اسم أحادي النمط إذا كان التسلسل...،ص-2-ص-1،ص-1-ص0،ص0-ص1،ص1-ص2،...{\displaystyle \dots ,p_{-2}-p_{-1},p_{-1}-p_{0},p_{0}-p_{1},p_{1}-p_{2},\dots }يحدث تغيير واحد فقط في الإشارة (عندما لا يتم احتساب الأصفار).

الاستخدامات والنتائج

من أسباب أهمية التوزيع أحادي النمط أنه يتيح الوصول إلى نتائج مهمة عديدة. ترد أدناه عدة متباينات لا تصح إلا في حالة التوزيعات أحادية النمط. لذا، من المهم تحديد ما إذا كانت مجموعة بيانات معينة تنتمي إلى توزيع أحادي النمط أم لا. تُقدم عدة اختبارات لأحادية النمط في مقالة التوزيع متعدد الأنماط .

عدم المساواة

متباينة جاوس

أولى النتائج المهمة هي متباينة غاوس . [ 7 ] تُعطي متباينة غاوس حدًا أعلى لاحتمالية أن تقع قيمة ما على مسافة أبعد من أي مسافة معينة من منوالها. وتعتمد هذه المتباينة على أحادية المنوال.

عدم المساواة فيسوشانسكي-بيتونين

أما الثانية فهي متباينة فيسوتشانسكي-بيتونين ، [ 8 ] وهي تحسين لمتباينة تشيبيشيف . تضمن متباينة تشيبيشيف أنه في أي توزيع احتمالي، تكون "جميع" القيم "قريبة" من القيمة المتوسطة. وتُحسّن متباينة فيسوتشانسكي-بيتونين هذا إلى قيم أقرب، بشرط أن تكون دالة التوزيع متصلة وأحادية المنوال. وقد عرض سيلك وسيلك نتائج أخرى. [ 9 ]

المنوال والوسيط والمتوسط

أظهر غاوس أيضًا في عام 1823 أنه بالنسبة للتوزيع أحادي النمط [ 10 ]

σ≤ω≤2σ{\displaystyle \sigma \leq \omega \leq 2\sigma }

و

|ν-μ|≤34ω،{\displaystyle |\nu -\mu |\leq {\sqrt {\frac {3}{4}}}\أوميغا ,}

حيث الوسيط هو ν ، والمتوسط ​​هو μ، و ω هو الجذر التربيعي لمتوسط ​​الانحراف عن المنوال.

يمكن إثبات أنه بالنسبة للتوزيع أحادي المنوال، يقع الوسيط ν والمتوسط ​​μ ضمن نطاق (3/5) 1/2 ≈ 0.7746 انحرافًا معياريًا عن بعضهما البعض. [ 11 ] بالرموز،

|ν-μ|σ≤35{\displaystyle {\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {\frac {3}{5}}}}

حيث | . | هي القيمة المطلقة .

في عام 2020، عمّم برنارد وكازي وفاندوفيل المتباينة السابقة من خلال اشتقاق أقصى مسافة بين متوسط ​​الكمية المتناظرةqα+q(1-α)2{\displaystyle {\frac {q_{\alpha }+q_{(1-\alpha )}}{2}}}والمتوسط، [ 12 ]

|qα+q(1-α)2-μ|σ≤{49(1-α)-1 + 1-α1/3+α2ل α∈[56،1)،3α4-3α + 1-α1/3+α2ل α∈(16،56)،3α4-3α + 49α-12ل α∈(0،16].{\displaystyle {\frac {\left|{\frac {q_{\alpha }+q_{(1-\alpha )}}{2}}-\mu \right|}{\sigma }}\leq \left\{{\begin{array}{cl}{\frac {{\sqrt[{}]{{\frac {4}{9(1-\alpha )}}-1}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{\frac {1-\alpha }{1/3+\alpha }}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left[{\frac {5}{6}},1\right)\!,\\{\frac {{\sqrt[{}]{\frac {3\alpha }{4-3\alpha }}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{\frac {1-\alpha }{1/3+\alpha }}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left({\frac {1}{6}},{\frac {5}{6}}\right)\!,\\{\frac {{\sqrt[{}]{\frac {3\alpha }{4-3\alpha }}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{{\frac {4}{9\alpha }}-1}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left(0,{\frac {1}{6}}\right]\!.\end{array}}\right.}

يتم تقليل أقصى مسافة عندα=0.5{\displaystyle \alpha =0.5}(أي عندما يكون متوسط ​​الكمية المتناظرة مساوياً لـ q0.5=ν{\displaystyle q_{0.5}=\nu }وهذا ما يحفز بالفعل الاختيار الشائع للوسيط كمُقدِّر قوي للمتوسط. علاوة على ذلك، عندماα=0.5{\displaystyle \alpha =0.5}، الحد يساوي3/5{\displaystyle {\sqrt {3/5}}}، وهي أقصى مسافة بين الوسيط والمتوسط ​​في التوزيع أحادي المنوال.

توجد علاقة مماثلة بين الوسيط والمنوال θ : فهما يقعان ضمن 3 1/2 ≈ 1.732 انحراف معياري عن بعضهما البعض:

|ν-θ|σ≤3.{\displaystyle {\frac {|\nu -\theta |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}}.}

ويمكن أيضاً إثبات أن المتوسط ​​والمنوال يقعان ضمن نطاق 3 1/2 من بعضهما البعض:

|μ-θ|σ≤3.{\displaystyle {\frac {|\mu -\theta |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}}.}

الالتواء والتفرطح

ادعى روهاتجي وسيكلي أن الالتواء والتفرطح للتوزيع أحادي النمط يرتبطان بالمتباينة: [ 13 ]

γ2-κ≤65=1.2{\displaystyle \gamma ^{2}-\kappa \leq {\frac {6}{5}}=1.2}

حيث κ هو التفرطح و γ هو الالتواء. وقد أظهر كل من كلاسين وموكفيلد وفان إس أن هذا ينطبق فقط في حالات معينة، مثل مجموعة التوزيعات أحادية المنوال حيث يتطابق المنوال والمتوسط. [ 14 ]

وقد استنتجوا متباينة أضعف تنطبق على جميع التوزيعات أحادية النمط: [ 14 ]

γ2-κ≤186125=1.488{\displaystyle \gamma ^{2}-\kappa \leq {\frac {186}{125}}=1.488}

هذا الحد حاد، حيث يتم الوصول إليه من خلال مزيج متساوي الأوزان للتوزيع المنتظم على [0,1] والتوزيع المنفصل عند {0].

دالة أحادية النمط

بما أن مصطلح "النمطي" ينطبق على مجموعات البيانات وتوزيعات الاحتمالات، وليس بشكل عام على الدوال ، فإن التعريفات المذكورة أعلاه لا تنطبق عليه. وقد تم توسيع تعريف "النمطي الأحادي" ليشمل دوال الأعداد الحقيقية أيضاً.

التعريف الشائع هو كالتالي: الدالة f ( x ) أحادية النمط إذا كانت، لقيمة معينة m ، متزايدة بشكل رتيب عندما x  ≤ m ومتناقصة بشكل رتيب عندما x ≥ m . في هذه الحالة، تكون القيمة العظمى لـ f ( x ) هي f ( m ) ولا توجد قيم عظمى محلية أخرى.   

إثبات أحادية النمط غالبًا ما يكون صعبًا. إحدى الطرق تتمثل في استخدام تعريف هذه الخاصية، لكنها تبين أنها مناسبة للدوال البسيطة فقط. توجد طريقة عامة تعتمد على المشتقات ، [ 15 ] لكنها لا تنجح مع كل دالة على الرغم من بساطتها.

تشمل أمثلة الدوال أحادية النمط دوال كثيرات الحدود التربيعية ذات المعامل التربيعي السالب، ودوال الخرائط الخيمية ، وغيرها.

يرتبط ما سبق أحيانًا بـتُعرف الدالةf(x ) بأنها أحادية النمط القوية ، وذلك لأن الرتابة المُستنتجة منها هيرتابة قويةتكونأحادية النمط بشكل ضعيفإذا وُجدت قيمةmتجعلها متزايدة بشكل رتيب ضعيف عندماx≤m، ومتناقصة بشكل رتيب ضعيف عندماx≥m. في هذه الحالة، يمكن الوصول إلى القيمة القصوىf(m) ضمن نطاق متصل من قيمx. ومن الأمثلة على الدوال أحادية النمط بشكل ضعيف، والتي لا تُعتبر أحادية النمط بشكل قوي، الصفوف المتقابلة فيمثلث باسكال.    

بحسب السياق، قد تشير الدالة أحادية النمط أيضًا إلى دالة لها قيمة صغرى محلية واحدة فقط، بدلًا من قيمة عظمى. [ 16 ] على سبيل المثال، غالبًا ما يُستخدم هذا النوع من الدوال في عملية أخذ العينات أحادية النمط المحلية ، وهي طريقة لإجراء التحسين العددي. ويمكن القول إن الدالة أحادية النمط، وفقًا لهذا التعريف، هي دالة لها قيمة قصوى محلية واحدة .

إحدى الخصائص المهمة للدوال أحادية النمط هي أنه يمكن إيجاد القيمة القصوى باستخدام خوارزميات البحث مثل البحث بالقسم الذهبي ، أو البحث الثلاثي ، أو الاستيفاء المكافئ المتتالي . [ 17 ]

ملحقات أخرى

تكون الدالة f ( x ) "أحادية النمط S" (ويشار إليها غالبًا باسم "خريطة أحادية النمط S") إذا كانت مشتقتها الشوارزية سالبة لجميع قيم x.x≠ج{\displaystyle x\neq c}، أينج{\displaystyle c}هذه هي النقطة الحاسمة. [ 18 ]

في الهندسة الحسابية، إذا كانت الدالة أحادية النمط، فإن ذلك يسمح بتصميم خوارزميات فعالة لإيجاد القيم القصوى للدالة. [ 19 ]

يُعرَّف تعريفٌ أعمّ ينطبق على دالة f ( X ) لمتغير متجهي X، وهو أن f أحادية النمط إذا وُجد تطبيقٌ تفاضليٌّ أحاديٌّ X = G ( Z ) بحيث تكون f ( G ( Z )) محدبة. ويُفضَّل عادةً أن تكون G ( Z ) قابلةً للتفاضل باستمرار مع مصفوفة جاكوبية غير منفردة.

تعمل الدوال شبه المحدبة والدوال شبه المقعرة على توسيع مفهوم أحادية النمط إلى الدوال التي تنتمي وسائطها إلى فضاءات إقليدية ذات أبعاد أعلى .

دالة أحادية النمط{0،1،...،ن}{\displaystyle \{0,1,\dots ,n\}}تُسمى المتتالية التي تُعطى للأعداد الحقيقية أيضًا متتالية أحادية النمط. متعددة الحدود أحادية النمط هي متعددة حدود تكون معاملاتها متتالية أحادية النمط. [ 20 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "أحادي النمط" . عالم الرياضيات .
  2. ^ وايسستين، إريك دبليو. “الوضع” . عالم الرياضيات .
  3. 1 2 أ. يا. خينشين (1938). "حول التوزيعات أحادية النمط". ترانز. ريس. إنست. ماث. ميك. (باللغة الروسية). 2 (2). جامعة تومسك: 1-7 .
  4. ↑ أوشاكوف، ن. ج. (2001) [1994]، "التوزيع أحادي النمط" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
  5. ↑ فلاديميروفيتش غنيدينكو وفيكتور يو كوروليف (1996). الجمع العشوائي: نظريات النهايات وتطبيقاتها . دار نشر CRC. رقم ISBN 0-8493-2875-6.ص  31
  6. ↑ ميدجيسي، ب. (مارس 1972). "حول أحادية نمط التوزيعات المنفصلة" . مجلة الرياضيات الهنغارية . 2 ( 1-4 ): 245-257 . doi : 10.1007/bf02018665 . S2CID 119817256 . 
  7. ^ غاوس، CF (1823). “Theoria Combinationis Observationum Erroribus Minimis Obnoxiae، Pars Pre”. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Rescentiores . 5 .
  8. ↑ DF Vysochanskij, YI Petunin (1980). "تبرير قاعدة 3σ للتوزيعات أحادية النمط". نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي . 21 : 25-36 .
  9. ↑ سيلك، تي إم؛ سيلك، إس إتش (1997). "متباينات تشيبيشيف للتوزيعات أحادية النمط". الإحصائي الأمريكي . 51 (1). الجمعية الإحصائية الأمريكية: 34-40 . doi : 10.2307/2684690 . JSTOR 2684690 . 
  10. ↑ نظرية غاوس CF لتركيب الملاحظات الأقل عرضةً للأخطاء. الجزء الأول. الجزء الثاني. الملحق. ١٩٩٥. ترجمة جي دبليو ستيوارت. سلسلة كلاسيكيات الرياضيات التطبيقية، جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية، فيلادلفيا
  11. ↑ باسو، س.؛ داسغوبتا، أ. (1997). "المتوسط ​​والوسيط والمنوال للتوزيعات أحادية المنوال: توصيف" . نظرية الاحتمالات وتطبيقاتها . 41 (2): 210-223 . doi : 10.1137/S0040585X97975447 .
  12. ↑ برنارد، كارول؛ كازي، رودريغ؛ فاندوفيل، ستيفن (2020). "حدود نطاق القيمة المعرضة للخطر للتوزيعات أحادية النمط في ظل المعلومات الجزئية" . التأمين: الرياضيات والاقتصاد . 94 : 9-24 . doi : 10.1016/j.insmatheco.2020.05.013 .
  13. ↑ روهاتجي، فيجاي ك.؛ سيكلي، غابور ج. (1989). "تباينات حادة بين الالتواء والتفرطح". رسائل الإحصاء والاحتمالات . 8 (4): 297-299 . doi : 10.1016/0167-7152(89)90035-7 .
  14. 1 2 كلاسين، كريس إيه جيه؛ موكفيلد، فيليب جيه؛ فان إس، بيرت (2000). "الفرق بين مربع الالتواء والتفرطح المحدود بـ 186/125 للتوزيعات أحادية النمط". رسائل الإحصاء والاحتمالات . 50 (2): 131-135 . doi : 10.1016/S0167-7152(00)00090-0 .
  15. ↑ "حول أحادية نمط التقريب المتري الخاضع لطلبات موزعة توزيعًا طبيعيًا" (ملف PDF) . الطريقة في الملحق د، والمثال في النظرية 2، الصفحة 5. تاريخ الاسترجاع: 28-08-2013 .
  16. ↑ "مسرد مصطلحات البرمجة الرياضية" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29-03-2020 .
  17. ↑ ديمين، إريك د.؛ لانجرمان، ستيفان (2005). "تحسين دالة ثنائية الأبعاد تحقق خصائص أحادية النمط" . في: برودال، جيرث ستولتينغ؛ ليوناردي، ستيفانو (محرران). الخوارزميات - ESA 2005. سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 3669. برلين، هايدلبرغ: سبرينغر. الصفحات 887-898 . doi : 10.1007/11561071_78 . ISBN   978-3-540-31951-1.
  18. ↑ انظر على سبيل المثال: جون جوكنهايمر؛ ستيوارت جونسون (يوليو 1990). "تشويه الخرائط أحادية النمط S". حوليات الرياضيات . السلسلة الثانية. 132 (1): 71-130 . doi : 10.2307/1971501 . JSTOR 1971501 . 
  19. ↑ غودفريد ت. توسان (يونيو 1984). "التعقيد، والتحدب، والنمطية الأحادية". المجلة الدولية لعلوم الحاسوب والمعلومات . 13 (3): 197-217 . doi : 10.1007/bf00979872 . S2CID 11577312 . 
  20. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "متعدد الحدود أحادي النمط" . ماث وورلد . تم الاسترجاع في 31 يناير 2026 .