مجموعة خلفيات الشاشة

📅 آخر تحديث: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 186 صور
الموسوعة الحرة
مثال على تصميم مصري باستخدام مجموعة ورق جدران ص 4 م

مجموعة ورق الجدران (أو مجموعة التناظر المستوي أو المجموعة البلورية المستوية ) هي تصنيف رياضي لنمط متكرر ثنائي الأبعاد، يعتمد على التناظرات الموجودة في النمط. وتكثر هذه الأنماط في الهندسة المعمارية والفنون الزخرفية ، وخاصة في المنسوجات والبلاط وورق الجدران .

تُطبَّق أبسط مجموعة ورق جدران، وهي المجموعة p 1، عندما لا يوجد تناظر يتجاوز مجرد إزاحة النمط في بُعدين. أما الأنماط التالية فلها أشكال تناظر أكثر، بما في ذلك بعض التناظرات الدورانية والانعكاسية:

يشترك المثالان أ و ب في نفس مجموعة التناظر؛ وتُسمى p 4 m في ترميز الاتحاد الدولي لعلم البلورات ، و *442 في ترميز الفضاء المداري . أما المثال ج، فيشترك في مجموعة تناظر مختلفة، تُسمى p 4 g أو 4*2 . إن اشتراك أ و ب في نفس مجموعة التناظر يعني أنهما يشتركان في نفس التناظرات، بغض النظر عن التفاصيل السطحية للتصميم؛ بينما يمتلك ج مجموعة تناظرات مختلفة.

يعتمد عدد مجموعات التناظر على عدد أبعاد الأنماط. تنطبق مجموعات ورق الجدران على الحالة ثنائية الأبعاد، وهي متوسطة التعقيد بين مجموعات الزخرفة البسيطة ومجموعات الفضاء ثلاثية الأبعاد .

أثبت إيفغراف فيدوروف لأول مرة وجود 17 مجموعة متميزة فقط من هذه التناظرات المستوية عام 1891 [ 1 ] ، ثم استنتجها جورج بوليا بشكل مستقل عام 1924 [ 2 ]. ولم يكتمل إثبات اكتمال قائمة مجموعات التناظرات المستوية إلا بعد إنجاز الحالة الأكثر تعقيدًا، وهي مجموعات الفضاء . ترد أدناه قائمة مجموعات التناظرات المستوية السبعة عشر؛ انظر § المجموعات السبعة عشر . 

تناظرات الأنماط

التناظر في النمط ، بشكل عام، هو طريقة لتحويل النمط بحيث يبدو مطابقًا تمامًا بعد التحويل. على سبيل المثال، يوجد تناظر انتقالي عندما يمكن نقل النمط (أي إزاحته) مسافة محددة دون أن يتغير. تخيل إزاحة مجموعة من الخطوط العمودية أفقيًا بمقدار خط واحد. يبقى النمط كما هو. من الناحية الدقيقة، لا يوجد تناظر حقيقي إلا في الأنماط التي تتكرر بدقة وتستمر إلى ما لا نهاية. مجموعة من خمسة خطوط فقط، على سبيل المثال، لا تتمتع بتناظر انتقالي؛ فعند إزاحتها، يختفي الخط الموجود في أحد طرفيها ويُضاف خط جديد في الطرف الآخر. مع ذلك، عمليًا، يُطبق التصنيف على الأنماط المحدودة، وقد تُتجاهل العيوب الصغيرة.

تُسمى أنواع التحويلات ذات الصلة هنا بالتحويلات الإقليدية المستوية . على سبيل المثال:

  • إذا تم تحريك المثال ( ب) وحدة واحدة إلى اليمين، بحيث يغطي كل مربع المربع المجاور له في الأصل، فإن النمط الناتج يكون مطابقًا تمامًا للنمط الأصلي. يُسمى هذا النوع من التناظر إزاحة . المثالان (أ) و (ج) متشابهان، باستثناء أن أصغر الإزاحات الممكنة تكون في الاتجاهات القطرية.
  • إذا قمنا بتدوير المثال B باتجاه عقارب الساعة بزاوية 90 درجة، حول مركز أحد المربعات، فسنحصل على النمط نفسه تمامًا. يُسمى هذا دورانًا . يحتوي المثالان A و C أيضًا على دوران بزاوية 90 درجة، مع أن إيجاد مركز الدوران الصحيح للمثال C يتطلب بعض الدقة .
  • يمكن أيضًا قلب المثال (ب) حول محور أفقي يمر بمنتصف الصورة. يُسمى هذا انعكاسًا . يحتوي المثال (ب) أيضًا على انعكاسات حول محور رأسي، وحول محورين قطريين. وينطبق الأمر نفسه على المثال (أ) .

لكن المثال ( ج) مختلف . فهو يحتوي على انعكاسات في الاتجاهين الأفقي والرأسي فقط، وليس عبر المحاور القطرية. عند قلب الصورة عبر خط قطري، لا نحصل على النمط نفسه، بل على النمط الأصلي مُزاحًا مسافةً معينة. وهذا أحد أسباب اختلاف مجموعة ورق الجدران في المثالين ( أ) و (ب) عن مجموعة ورق الجدران في المثال (ج) .

وهناك تحول آخر هو الانعكاس الانزلاقي ، وهو مزيج من الانعكاس والانتقال الموازي لخط الانعكاس.

سيرسم انعكاس الانزلاق خريطة لمجموعة من آثار الأقدام اليسرى واليمنى في بعضها البعض

التعريف الرسمي والمناقشة

رياضياً، مجموعة ورق الحائط أو المجموعة البلورية المستوية هي نوع من مجموعة التماثلات الطوبولوجية المنفصلة للمستوى الإقليدي التي تحتوي على إزاحتين مستقلتين خطياً .

تُعتبر مجموعتان من مجموعات التناظر المتماثل من النوع نفسه (من مجموعة التناظر الأساسية نفسها) إذا كانتا متطابقتين حتى تحويل تآلفي للمستوى . فعلى سبيل المثال، لا يؤثر إزاحة المستوى (وبالتالي إزاحة المرايا ومراكز الدوران) على مجموعة التناظر الأساسية. وينطبق الأمر نفسه على تغيير الزاوية بين متجهات الإزاحة، بشرط ألا يُضيف أو يُزيل أي تناظر (وهذا ينطبق فقط في حالة عدم وجود مرايا أو انعكاسات انزلاقية ، وأن يكون التناظر الدوراني من الرتبة الثانية على الأكثر).

على عكس الحالة ثلاثية الأبعاد ، يمكن للمرء أن يقيد التحويلات الأفينية بشكل مكافئ بتلك التي تحافظ على التوجيه .

ويترتب على ذلك من نظريات بيبرباخ حول المجموعات البلورية أن جميع مجموعات ورق الحائط مختلفة حتى كمجموعات مجردة (على عكس مجموعات الزخرفة مثلاً ، والتي يكون اثنان منها متماثلين مع Z ).

يمكن تصنيف الأنماط ثنائية الأبعاد ذات التناظر الانتقالي المزدوج وفقًا لنوع مجموعة التناظر الخاصة بها .

التماثلات في المستوى الإقليدي

تنقسم التماثلات في المستوى الإقليدي إلى أربع فئات (انظر مقالة التماثل في المستوى الإقليدي لمزيد من المعلومات).

  • الإزاحات ، التي يُرمز لها بـ T v ، حيث v متجهفي R 2. وهذا له تأثير إزاحة المستوىبتطبيق متجه الإزاحة v .
  • الدورانات ، ويرمز لها بـ R c , θ ، حيث c هي نقطة في المستوى (مركز الدوران)، و θ هي زاوية الدوران.
  • الانعكاسات ، أو التناظرات المرآوية ، يُرمز لها بـ F L ، حيث L خط في R² . ( F اختصار لـ "قلب"). ينتج عن ذلك انعكاس المستوى حول الخط L ، الذي يُسمى محور الانعكاس أو المرآة المرتبطة به .
  • الانعكاسات الانزلاقية ، ويرمز لها بـ G L , d ، حيث L خط في R 2 و d مسافة. وهي عبارة عن مزيج من انعكاس حول الخط L وانتقال على طول L بمسافة d .

شرط الترجمات المستقلة

يعني الشرط المتعلق بالترجمات المستقلة خطيًا أنه توجد متجهات مستقلة خطيًا v و w (في R 2 ) بحيث تحتوي المجموعة على كل من T v و T w .

يهدف هذا الشرط إلى التمييز بين مجموعات ورق الجدران ومجموعات الزخارف ، التي تمتلك إزاحة ولكن ليس إزاحتين خطيتين مستقلتين، وبين مجموعات النقاط المنفصلة ثنائية الأبعاد ، التي لا تمتلك أي إزاحات على الإطلاق. بعبارة أخرى، تمثل مجموعات ورق الجدران أنماطًا تتكرر في اتجاهين مختلفين، على عكس مجموعات الزخارف التي تتكرر على طول محور واحد فقط.

(من الممكن تعميم هذا الوضع. يمكن للمرء على سبيل المثال دراسة مجموعات منفصلة من التماثلات لـ R n مع m من الإزاحات المستقلة خطيًا، حيث m هو أي عدد صحيح في النطاق 0  ≤ m ≤ n .)   

شرط التقطيع

يعني شرط التقطع وجود عدد حقيقي موجب ε، بحيث يكون لكل إزاحة T v في المجموعة، يكون طول المتجه v على الأقل ε (باستثناء بالطبع في حالة كون v هو المتجه الصفري، لكن شرط الإزاحات المستقلة يمنع ذلك، لأن أي مجموعة تحتوي على المتجه الصفري تكون مرتبطة خطيًا بحكم التعريف وبالتالي غير مسموح بها).

يهدف هذا الشرط إلى ضمان أن يكون للمجموعة مجال أساسي مضغوط، أو بعبارة أخرى، "خلية" ذات مساحة محدودة غير صفرية، تتكرر عبر المستوى. وبدون هذا الشرط، قد نحصل، على سبيل المثال، على مجموعة تحتوي على الإزاحة T x لكل عدد نسبي x ، وهو ما لا يتوافق مع أي نمط ورق جدران معقول.

من النتائج المهمة وغير البديهية لشرط التقطيع، مقترنًا بشرط الإزاحات المستقلة، أن المجموعة لا يمكن أن تحتوي إلا على دورانات من الرتبة 2 أو 3 أو 4 أو 6؛ أي أن كل دوران في المجموعة يجب أن يكون دورانًا بزاوية 180° أو 120° أو 90° أو 60°. تُعرف هذه الحقيقة بنظرية التقييد البلوري [ 3 ] ، ويمكن تعميمها على حالات ذات أبعاد أعلى.

رموز لمجموعات ورق الحائط

الترميز البلوري

يضم علم البلورات 230 مجموعة فراغية للتمييز بينها، وهو عدد يفوق بكثير مجموعات التناظر السطحي البالغ عددها 17 مجموعة، إلا أن العديد من التناظرات في هذه المجموعات متشابهة. لذا، يمكن استخدام ترميز مشابه لكلا النوعين من المجموعات، ترميز كارل هيرمان وتشارلز -فيكتور موغين . مثال على اسم تناظر سطحي كامل بأسلوب هيرمان-موغين (المعروف أيضًا بترمييز الاتحاد الدولي لعلم البلورات ) هو p31m ، ويتكون من أربعة أحرف أو أرقام؛ أما الأكثر شيوعًا فهو اسم مختصر مثل cmm أو pg .

بالنسبة لمجموعات ورق الجدران، يبدأ الترميز الكامل إما بالحرف p أو c ، للدلالة على الخلية الأولية أو الخلية ذات المركز الوجهي ؛ وسيتم شرح ذلك أدناه. يلي ذلك رقم n ، الذي يشير إلى أعلى رتبة من التناظر الدوراني: أحادي (بدون تناظر)، ثنائي، ثلاثي، رباعي، أو سداسي. يشير الرمزان التاليان إلى التناظرات بالنسبة لمحور إزاحة واحد للنمط، ويُشار إليه بالمحور "الرئيسي"؛ إذا كان هناك تناظر معكوس عمودي على محور الإزاحة، فهو المحور الرئيسي (أو إذا كان هناك محوران، أحدهما هو المحور الرئيسي). الرموز هي m أو g أو 1 ، للدلالة على التناظر المعكوس، أو التناظر الانزلاقي، أو عدم وجود تناظر. يكون محور التناظر المعكوس أو الانزلاقي عموديًا على المحور الرئيسي بالنسبة للحرف الأول، وموازيًا له أو مائلًا بزاوية 180°/ n (عندما n  >  2) بالنسبة للحرف الثاني. تتضمن العديد من المجموعات تناظرات أخرى ضمنية من التناظرات المذكورة. يحذف الترميز المختصر الأرقام أو الحرف m الذي يمكن استنتاجه، طالما أن ذلك لا يسبب أي لبس مع مجموعة أخرى.

الخلية الأولية هي منطقة دنيا تتكرر عبر إزاحات الشبكة. تُوصف جميع مجموعات التناظر، باستثناء مجموعتين، بالنسبة لمحاور الخلية الأولية، وهي أساس إحداثيات يستخدم متجهات إزاحة الشبكة. في الحالتين المتبقيتين، يكون وصف التناظر بالنسبة لخلايا مركزية أكبر من الخلية الأولية، وبالتالي تحتوي على تكرار داخلي؛ وتختلف اتجاهات أضلاعها عن اتجاهات متجهات الإزاحة التي تغطي الخلية الأولية. يستخدم ترميز هيرمان-ماوجين لمجموعات الفضاء البلوري أنواعًا إضافية من الخلايا.

أمثلة
  • p 2 ( p 2): خلية بدائية، تناظر دوران ثنائي، لا توجد مرايا أو انعكاسات انزلاقية.
  • p 4 gm ( p 4 gm ): خلية بدائية، دوران رباعي، انعكاس انزلاقي عمودي على المحور الرئيسي، محور المرآة عند 45 درجة.
  • c 2 مم ( c 2 مم ): خلية مركزية، دوران ثنائي، محاور المرآة عمودية وموازية للمحور الرئيسي.
  • p 31 m ( p 31 m ): خلية بدائية، دوران ثلاثي، محور المرآة عند 60 درجة.

فيما يلي جميع الأسماء التي تختلف في التدوين المختصر والكامل.

الأسماء البلورية المختصرة والكاملة
قصيرمساءًصفحةسمpmmبي إم جيpggسمص 4 مص 4 غص 6 م
ممتلىءص 1 م 1ص 1 غ 1ج 1 م 1ص 2 ممص 2 ملغص 2 غغج 2 ممص 4 ممص 4 جمص 6 مم

أما الأسماء المتبقية فهي p 1 و p 2 و p 3 و p 3 m 1 و p 31 m و p 4 و p 6 .

تدوين أوربيفولد

تعتمد طريقة ترميز الأوربيفولد لمجموعات ورق الجدران، التي نادى بها جون كونواي (كونواي، 1992) (كونواي، 2008)، على علم البلورات، وليس على علم الطوبولوجيا. إذ يمكن طي التبليط الدوري اللانهائي للمستوى إلى جوهره، وهو الأوربيفولد ، ثم وصفه ببضعة رموز.

  • يشير الرقم n إلى مركز دوران من الرتبة n ، والذي يتوافق مع نقطة مخروطية على سطح الدوران. وبحسب نظرية التقييد البلوري، يجب أن تكون قيمة n إما 2 أو 3 أو 4 أو 6.
  • تشير علامة النجمة ( * ) إلى تناظر انعكاسي يقابل حدود الفضاء المداري. وتتفاعل مع الأرقام على النحو التالي:
    1. تشير الأرقام التي تسبق * إلى مراكز الدوران الخالص ( الدوري ).
    2. تشير الأرقام التي تلي * إلى مراكز الدوران مع وجود مرايا تمر من خلالها، والتي تتوافق مع "الزوايا" على حدود المدار ( ثنائي السطوح ).
  • يظهر رمز × عند وجود انعكاس انزلاقي، ويشير إلى غطاء متقاطع على سطح التشعب. تتحد المرايا النقية مع إزاحة الشبكة لإنتاج انزلاقات، ولكن هذه الانزلاقات مُدرجة بالفعل، لذا لا تحتاج إلى رمز.
  • يرمز الرمز o ، الذي يعني "انعدام التناظر"، إلى وجود إزاحات شبكية فقط دون أي تناظر آخر. ويُعرف الفضاء المداري الذي يحمل هذا الرمز باسم "الطورس"؛ وبشكل عام، يشير الرمز o إلى مقبض على الفضاء المداري.

المجموعة التي يُرمز لها في الترميز البلوري بـ cmm ، ستكون في ترميز كونواي 2*22 . يشير الرقم 2 قبل علامة النجمة ( *) إلى وجود مركز دوران ثنائي بدون مرآة تمر عبره. تشير علامة النجمة (*) نفسها إلى وجود مرآة. يشير الرقم 2 الأول بعد علامة النجمة ( *) إلى وجود مركز دوران ثنائي على مرآة. يشير الرقم 2 الأخير إلى وجود مركز دوران ثنائي ثانٍ مستقل على مرآة، وهو ليس نسخة طبق الأصل من المركز الأول من حيث التناظر.

المجموعة التي يُرمز لها بـ pgg هي 22× . يوجد مركزان دوران ثنائي نقيان، ومحور انعكاس انزلاقي. قارن هذا بـ pmg ، كونواي 22* ، حيث تشير الترميز البلوري إلى انزلاق، ولكنه انزلاق ضمني في التناظرات الأخرى للمتشعب المداري.

تم تضمين تدوين الأقواس الخاص بـ Coxeter أيضًا، استنادًا إلى مجموعات Coxeter الانعكاسية ، وتم تعديله باستخدام رموز علوية زائدة تراعي الدورانات، والدورانات غير الصحيحة ، والانتقالات.

كونواي، كوكسيتر والمراسلات البلورية
كونوايo××*×**632*632
كوكسيتر[∞ + ,2,∞ + ][(∞,2) + ,∞ + ][∞,2 + ,∞ + ][∞,2,∞ + ][6,3] +[6,3]
علم البلوراتص 1صفحةسممساءًصفحة 6ص 6 م
كونواي333*3333 *3442*4424 *2
كوكسيتر[3 [3] ] +[3 [3] ][3 + ,6][4,4] +[4,4][4 + ,4]
علم البلوراتص 3ص 3 م 1ص 31 مص 4ص 4 مص 4 غ
كونواي222222 ×22 **22222 *22
كوكسيتر[∞,2,∞] +[((∞,2) + ,(∞,2) + )][(∞,2) + ,∞][∞,2,∞][∞,2 + ,∞]
علم البلوراتص 2pggبي إم جيpmmسم

لماذا يوجد سبعة عشر مجموعة بالضبط

يمكن النظر إلى الفضاء المداري على أنه مضلع ذو أوجه وحواف ورؤوس، ويمكن فرده لتشكيل مجموعة لا نهائية محتملة من المضلعات التي تبلط إما الكرة أو المستوى أو المستوى الزائدي . عندما تبلط المضلعات المستوى، فإنها تُشكل مجموعة تناظر كروية، وعندما تبلط الكرة أو المستوى الزائدي، فإنها تُشكل إما مجموعة تناظر كروية أو مجموعة تناظر زائدية . يمكن تحديد نوع الفضاء الذي تبلطه المضلعات بحساب خاصية أويلر ، χ  = V − E + F ، حيث V هو عدد الزوايا (الرؤوس)، و E هو عدد الحواف، و F هو عدد الأوجه. إذا كانت خاصية أويلر موجبة، فإن الفضاء المداري له بنية إهليلجية (كروية)؛ وإذا كانت صفرًا، فإنه ذو بنية مكافئة، أي مجموعة تناظر كروية؛ وإذا كانت سالبة، فإنه ذو بنية زائدية. عند تعداد جميع الفضاءات المدارية الممكنة، وُجد أن 17 فضاءً فقط لها خاصية أويلر تساوي صفرًا.      

عندما يتكرر سطحٌ مداريٌّ بالتناظر ليملأ المستوى، تُشكِّل خصائصه بنيةً من الرؤوس والحواف والوجوه المضلعة، والتي يجب أن تتوافق مع خاصية أويلر. بعكس هذه العملية، يُمكننا إسناد أرقامٍ لخصائص السطح المداري، ولكن كسورًا بدلًا من أعدادٍ صحيحة. ولأن السطح المداري نفسه هو خارج قسمة السطح الكامل على مجموعة التناظر، فإن خاصية أويلر للسطح المداري هي خارج قسمة خاصية أويلر للسطح على رتبة مجموعة التناظر.

خاصية أويلر للمتشعب المداري هي 2 ناقص مجموع قيم الميزات، المعينة على النحو التالي:

  • الرقم n بدون أو قبل * يُحسب كـ n − 1 / n .  
  • الرقم n الذي يلي * يُحسب كـ ⁠ n − 1 / 2 n ⁠ .  
  • يُحسب كل من * و × كـ 1.
  • يُحسب "عدم التناظر" كـ 2.

بالنسبة لمجموعة ورق الحائط، يجب أن يكون مجموع الخاصية صفرًا؛ وبالتالي يجب أن يكون مجموع الميزة  2.

أمثلة
  • 632 : 5/6 + 2/3 + 1/2 = 2​​​​​​​​​​
  • 3 × 3 : 2 / 3 + 1 + 2 / 6 = 2
  • 4 × 2 : 3/4 + 1 + 1/4 = 2​​
  • 22 × : ½ + ½ + 1 = 2​​​

أصبح الآن تعداد جميع مجموعات ورق الحائط مسألة حسابية، تتمثل في سرد ​​جميع سلاسل الميزات التي مجموع قيمها  2.

إنّ سلاسل الميزات ذات المجاميع الأخرى ليست هراءً؛ فهي تشير إلى تبليطات غير مستوية، لم يتم تناولها هنا. (عندما تكون خاصية أويلر للمتشعب سالبة، يكون التبليط زائديًا ؛ وعندما تكون موجبة، يكون كرويًا أو سيئًا ).

دليل للتعرف على مجموعات ورق الحائط

لتحديد مجموعة ورق الجدران التي تتوافق مع تصميم معين، يمكن استخدام الجدول التالي. [ 4 ]

حجم أصغر دورانهل يوجد انعكاس؟
نعملا
360° / 6ص 6 م (*632)ص 6 (632)
360° / 4هل توجد مرايا بزاوية 45 درجة؟ص 4 (442)
نعم: ص 4 م (*442)رقم: ص 4 غ (4*2)
360° / 3هل يوجد تعفن في مركز المرايا؟ص 3 (333)
نعم: ص 31 م (3*3)رقم: ص 3 م 1 (*333)
360° / 2هل توجد انعكاسات عمودية؟هل يوجد انعكاس انزلاقي؟
نعملا
هل يوجد تعفن في مركز المرايا؟pmg (22*)نعم: pgg (22×)رقم: ص 2 (2222)
نعم: سم (2*22)رقم: pmm (*2222)
لا أحدهل محور الانزلاق خارج المرايا؟هل يوجد انعكاس انزلاقي؟
نعم: سم (*×)لا: مساءً (**)نعم: صفحة (××)رقم: ص 1 (o)

انظر أيضاً إلى هذه النظرة العامة مع الرسوم البيانية .

المجموعات السبعة عشر

تحتوي كل مجموعة من المجموعات في هذا القسم على رسمين تخطيطيين لبنية الخلية، ويجب تفسيرهما على النحو التالي (الشكل هو المهم، وليس اللون):

مركز دوران من الدرجة الثانية (180 درجة).
مركز دوران من الرتبة الثالثة (120 درجة).
مركز دوران من الرتبة الرابعة (90 درجة).
مركز دوران من الرتبة السادسة (60 درجة).
محور انعكاس.
محور انعكاس الانزلاق.

في المخططات الموجودة على الجانب الأيمن، يتم تلوين (وتدوير) فئات التكافؤ المختلفة لعناصر التناظر بشكل مختلف.

تشير المنطقة البنية أو الصفراء إلى نطاق أساسي ، أي أصغر جزء من النمط الذي يتكرر.

تُظهر المخططات الموجودة على اليمين خلية الشبكة التي تتوافق مع أصغر الإزاحات؛ أما تلك الموجودة على اليسار فتُظهر أحيانًا مساحة أكبر.

كل عنصر تناظر في مجموعة ورق الجدران إما أن يكون عنصرًا من مجموعة نقطية معينة أو مزيجًا من هذا العنصر وإزاحة. تُحدد هذه المجموعة النقطية في الأوصاف أدناه. ليس بالضرورة أن تكون هناك نقطة تتمتع بتناظر المجموعة النقطية المذكورة. على سبيل المثال، ترتبط المجموعة pg بالمجموعة النقطية D1 ، التي تتضمن انعكاسًا، ولكن لا يوجد انعكاس ولا نقطة ذات تناظر. أما المجموعة pm ، المرتبطة بنفس المجموعة النقطية، فلها خطوط انعكاس.

المجموعة ص 1 (o)

مثال ورسم توضيحي للصفحة 1
هياكل الخلايا لـ p 1 حسب نوع الشبكة
منحرفسداسي
مستطيلمعينيمربع
  • توقيع أوربيفولد: o
  • تدوين كوكسيتر (المستطيل): [∞ + ,2,∞ + ] أو [∞] + ×[∞] +
  • الشبكة: مائلة
  • المجموعة النقطية: C 1
  • تحتوي المجموعة p 1 على عمليات انتقال فقط؛ لا توجد عمليات دوران أو انعكاسات أو انعكاسات انزلاقية.
أمثلة على المجموعة ص 1

يمكن أن يكون لكل من الإزاحتين (جانبي الخلية) أطوال مختلفة، ويمكن أن تشكل أي زاوية.

المجموعة ص 2 (2222)

مثال ورسم توضيحي للصفحة 2
هياكل الخلايا لـ p 2 حسب نوع الشبكة
منحرفسداسي
مستطيلمعينيمربع
  • توقيع أوربيفولد: 2222
  • تدوين كوكسيتر (المستطيل): [∞,2,∞] +
  • الشبكة: مائلة
  • المجموعة النقطية: C 2
  • تحتوي المجموعة p 2 على أربعة مراكز دوران من الرتبة الثانية (180 درجة)، ولكن لا توجد انعكاسات أو انعكاسات انزلاقية.
أمثلة على المجموعة ص 2

المجموعة مساءً (**)

مثال ورسم تخطيطي لـ pm
بنية الخلية لـ pm
مرايا أفقيةالمرايا العمودية
  • توقيع أوربيفولد: **
  • تدوين كوكسيتر: [∞,2,∞ + ] أو [∞ + ,2,∞]
  • الشبكة: مستطيلة
  • المجموعة النقطية: د 1
  • لا تحتوي المجموعة pm على أي دوران. ولها محاور انعكاس، وجميعها متوازية.
أمثلة على إدارة المشاريع الجماعية

(تحتوي الأربعة الأولى على محور تناظر رأسي، بينما يحتوي الاثنان الأخيران على محور تناظر قطري مختلف.)

المجموعة pg (××)

مثال ورسم توضيحي للصفحة
هياكل الخلايا لـ pg
الانزلاقات الأفقيةالانزلاقات العمودية
مستطيل
  • توقيع أوربيفولد: ××
  • ترميز كوكسيتر: [(∞,2) + ,∞ + ] أو [∞ + ,(2,∞) + ]
  • الشبكة: مستطيلة
  • المجموعة النقطية: د 1
  • تحتوي المجموعة pg على انعكاسات انزلاقية فقط، ومحاورها جميعها متوازية. لا توجد دورانات أو انعكاسات.
أمثلة على صفحات المجموعة

بدون التفاصيل الموجودة داخل الأشرطة المتعرجة، تكون السجادة من نوع pmg ؛ ومع التفاصيل ولكن بدون التمييز بين اللون البني والأسود، تكون من نوع pgg .

بغض النظر عن الحواف المتموجة للبلاط، فإن الرصيف من نوع pgg .

المجموعة سم (*×)

مثال ورسم توضيحي للسنتيمتر
بنية الخلية لـ سم
مرايا أفقيةالمرايا العمودية
معيني
  • توقيع أوربيفولد: *×
  • ترميز كوكسيتر: [∞ + ,2 + ,∞] أو [∞,2 + ,∞ + ]
  • الشبكة: معينية
  • المجموعة النقطية: د 1
  • لا تحتوي المجموعة cm على أي دورانات. ولها محاور انعكاس، جميعها متوازية. يوجد على الأقل انعكاس انزلاقي واحد محوره ليس محور انعكاس؛ بل يقع في منتصف المسافة بين محوري انعكاس متوازيين متجاورين.
  • تنطبق هذه المجموعة على الصفوف المتداخلة بشكل متناظر (أي أن هناك إزاحة لكل صف بمقدار نصف مسافة الإزاحة داخل الصفوف) من الكائنات المتطابقة، والتي لها محور تناظر عمودي على الصفوف.
أمثلة على مجموعات سم

المجموعة pmm (*2222)

مثال ورسم تخطيطي لـ PMM
بنية الخلية لـ pmm
مستطيلمربع
  • توقيع أوربيفولد: *2222
  • تدوين كوكسيتر (مستطيل): [∞,2,∞] أو [∞]×[∞]
  • تدوين كوكسيتر (مربع): [4,1 + ,4] أو [1 + ,4,4,1 + ]
  • الشبكة: مستطيلة
  • المجموعة النقطية: D 2
  • تحتوي المجموعة pmm على انعكاسات في اتجاهين متعامدين، وأربعة مراكز دوران من الرتبة الثانية (180 درجة) تقع عند تقاطعات محاور الانعكاس.
أمثلة على إدارة المشاريع الجماعية

المجموعة pmg (22*)

مثال ورسم تخطيطي لشركة PMG
هياكل الخلايا لـ pmg
مرايا أفقيةالمرايا العمودية
  • توقيع أوربيفولد: 22 *
  • ترميز كوكسيتر: [(∞,2) + ,∞] أو [∞,(2,∞) + ]
  • الشبكة: مستطيلة
  • المجموعة النقطية: D 2
  • تحتوي المجموعة pmg على مركزي دوران من الرتبة الثانية (180 درجة)، وانعكاسات في اتجاه واحد فقط. ولها انعكاسات انزلاقية محاورها عمودية على محاور الانعكاس. وتقع جميع مراكز الدوران على محاور الانعكاس الانزلاقي.
أمثلة على إدارة المشاريع الجماعية

المجموعة pgg (22×)

مثال ورسم تخطيطي لبرنامج pgg
هياكل الخلايا لـ pgg حسب نوع الشبكة
مستطيلمربع
  • توقيع أوربيفولد: 22 ×
  • تدوين كوكسيتر (مستطيل): [((∞,2) + ,(∞,2) + )]
  • تدوين كوكسيتر (مربع): [4 + ،4 + ]
  • الشبكة: مستطيلة
  • المجموعة النقطية: D 2
  • تحتوي المجموعة pgg على مركزي دوران من الرتبة الثانية (180 درجة)، وانعكاسات انزلاقية في اتجاهين متعامدين. لا يقع مركزا الدوران على محاور الانعكاس الانزلاقي. لا توجد انعكاسات.
أمثلة على مجموعات pgg

مجموعة سم (2*22)

مثال ورسم تخطيطي لآلة قياس الإحداثيات (cmm)
هياكل الخلايا لـ cmm حسب نوع الشبكة
معينيمربع
  • توقيع أوربيفولد: 2 *22
  • تدوين كوكسيتر (معيني): [∞,2 + ,∞]
  • تدوين كوكسيتر (مربع): [(4,4,2 + )]
  • الشبكة: معينية
  • المجموعة النقطية: D 2
  • تحتوي المجموعة cmm على انعكاسات في اتجاهين متعامدين، ودوران من الرتبة الثانية (180 درجة) لا يقع مركزه على محور انعكاس. كما تحتوي على دورانين يقع مركزاهما على محور انعكاس.
  • تُرى هذه المجموعة بشكل متكرر في الحياة اليومية، حيث أن الترتيب الأكثر شيوعًا للطوب في مبنى من الطوب ( الربط المتداخل ) يستخدم هذه المجموعة (انظر المثال أدناه).

إن التناظر الدوراني من الرتبة 2 مع مراكز الدوران في مراكز جوانب المعين هو نتيجة للخصائص الأخرى.

يتوافق النمط مع كل مما يلي:

  • صفوف متداخلة متناظرة من أجسام متطابقة متناظرة بشكل مزدوج
  • نمط رقعة الشطرنج المكون من بلاطتين مستطيلتين متناوبتين، كل منهما، في حد ذاته، متناظر بشكل مزدوج
  • نمط رقعة الشطرنج يتكون بالتناوب من بلاطة مستطيلة متناظرة دورانيًا ثنائية الطي وصورتها المرآوية
أمثلة على مجموعة CMM

المجموعة ص 4 (442)

مثال ورسم توضيحي للصفحة 4
بنية الخلية للبروتين p 4
  • توقيع أوربيفولد: 442
  • تدوين كوكسيتر: [4,4] +
  • الشبكة: مربعة
  • المجموعة النقطية: C 4
  • تحتوي المجموعة p 4 على مركزي دوران من الرتبة الرابعة (90 درجة)، ومركز دوران واحد من الرتبة الثانية (180 درجة). ولا تحتوي على انعكاسات أو انعكاسات انزلاقية.
أمثلة على المجموعة ص 4

يمكن اعتبار نمط p 4 تكرارًا في صفوف وأعمدة من مربعات متساوية ذات تناظر دوراني رباعي. كما يمكن اعتباره نمطًا شطرنجيًا من مربعين متماثلين، أصغر بمعامل √2 ومُدارين بزاوية 45 درجة.

المجموعة ص 4 م (*442)

مثال ورسم تخطيطي لـ p 4 m
بنية الخلية لـ p 4 m
  • توقيع أوربيفولد: *442
  • تدوين كوكسيتر: [4,4]
  • الشبكة: مربعة
  • المجموعة النقطية: د 4
  • تحتوي المجموعة p 4 m على مركزي دوران من الرتبة الرابعة (90 درجة)، وانعكاسات في أربعة اتجاهات متميزة (أفقي، رأسي، وقطري). كما تحتوي على انعكاسات انزلاقية إضافية لا تقع محاورها على محاور الانعكاس؛ وتتمركز دورانات من الرتبة الثانية (180 درجة) عند تقاطع محاور الانعكاس الانزلاقي. تقع جميع مراكز الدوران على محاور الانعكاس.

يتوافق هذا مع شبكة بسيطة من صفوف وأعمدة من مربعات متساوية ذات محاور انعكاس أربعة. كما يتوافق مع نمط رقعة الشطرنج المكون من مربعين من هذا النوع.

أمثلة على المجموعة p 4 m

أمثلة معروضة بأصغر الإزاحات الأفقية والرأسية (كما هو موضح في الرسم التخطيطي):

أمثلة معروضة بأصغر قطر للتحويلات:

المجموعة ص 4 غ (4*2)

مثال ورسم تخطيطي لـ p 4 g
بنية الخلية لـ p 4 g
  • توقيع أوربيفولد: 4 *2
  • تدوين كوكسيتر: [4 + ,4]
  • الشبكة: مربعة
  • المجموعة النقطية: د 4
  • تحتوي المجموعة p 4 g على مركزي دوران من الرتبة الرابعة (90 درجة)، وهما صورتان معكوسة لبعضهما البعض، ولكنها تنعكس في اتجاهين فقط متعامدين. يوجد دوران من الرتبة الثانية (180 درجة) تقع مراكزه عند تقاطع محاور الانعكاس. كما تحتوي على محاور انعكاس انزلاقي موازية لمحاور الانعكاس، ومحاور تقع بينها، وأخرى بزاوية 45 درجة معها.

يمكن النظر إلى نمط p 4 g على أنه نمط رقعة شطرنج مكون من نسخ من بلاطة مربعة ذات تناظر دوراني رباعي، وصورتها المرآوية. أو يمكن النظر إليه (بإزاحة نصف بلاطة) على أنه نمط رقعة شطرنج مكون من نسخ من بلاطة متناظرة أفقيًا ورأسيًا، ونسختها المدورة بزاوية 90 درجة. تجدر الإشارة إلى أن أيًا من هذين الوصفين لا ينطبق على نمط رقعة شطرنج بسيط مكون من بلاطات سوداء وبيضاء، وهذا هو النمط p 4 m (مع خلايا إزاحة قطرية).

أمثلة على المجموعة p 4 g

المجموعة ص 3 (333)

مثال ورسم توضيحي للصفحة 3
بنية الخلية لـ p 3
  • توقيع أوربيفولد: 333
  • ترميز كوكسيتر: [(3,3,3)] + أو [3 [3] ] +
  • الشبكة: سداسية
  • المجموعة النقطية: C 3
  • تحتوي المجموعة p 3 على ثلاثة مراكز دوران مختلفة من الرتبة الثالثة (120 درجة)، ولكن لا توجد انعكاسات أو انعكاسات انزلاقية.

تخيل تبليطًا للمستوى بمثلثات متساوية الأضلاع متساوية الحجم، حيث تتوافق أضلاعها مع أصغر الإزاحات. في هذه الحالة، يكون نصف المثلثات في اتجاه واحد، والنصف الآخر مقلوبًا. تُقابل هذه المجموعة حالة تساوي جميع المثلثات ذات الاتجاه نفسه، مع تمتع كلا النوعين بتناظر دوراني من الرتبة الثالثة، لكنهما ليسا متساويين، ولا يُمثل أحدهما صورة معكوسة للآخر، ولا يكونان متناظرين (إذا كانا متساويين، فإن التبليط هو p 6 ، وإذا كانا يُمثلان صورة معكوسة للآخر، فإن التبليط هو p 31 m ، وإذا كانا متناظرين، فإن التبليط هو p 3 m 1 ؛ إذا انطبق شرطان من الشروط الثلاثة، فإن الشرط الثالث ينطبق أيضًا، ويكون التبليط هو p 6 m ). بالنسبة لصورة معينة، توجد ثلاثة تبليطات ممكنة، لكل منها مراكز دوران كرؤوس، أي أنه يُمكن إجراء إزاحتين لأي تبليط. بالنسبة للصورة: يُمكن أن تكون الرؤوس هي المثلثات الحمراء أو الزرقاء أو الخضراء.

بصورة مكافئة، تخيل تبليطًا للمستوى بسداسيات منتظمة، أضلاعها تساوي أصغر مسافة إزاحة مقسومة على √3 . عندئذٍ، تتوافق مجموعة ورق الجدران هذه مع الحالة التي تكون فيها جميع السداسيات متساوية (وفي نفس الاتجاه) ولها تناظر دوراني من الرتبة الثالثة، بينما لا يوجد لها تناظر انعكاسي (إذا كان لها تناظر دوراني من الرتبة السادسة، فهو p6 ، وإذا كانت متناظرة بالنسبة للأقطار الرئيسية، فهو p3m ، وإذا كانت متناظرة بالنسبة للخطوط العمودية على الأضلاع، فهو p3m1 ؛ إذا انطبق اثنان من الشروط الثلاثة ، فإن الشرط الثالث ينطبق أيضًا، وهو p6m ) . بالنسبة لصورة معينة، توجد ثلاثة تبليطات ممكنة، كل منها بثلث مراكز الدوران كمراكز للسداسيات. من حيث الصورة: يمكن أن تكون مراكز السداسيات هي المثلثات الحمراء أو الزرقاء أو الخضراء.

أمثلة على المجموعة ص 3

المجموعة ص 3 م 1 (*333)

مثال ورسم تخطيطي لـ p 3 m 1
بنية الخلية لـ p 3 m 1
  • توقيع أوربيفولد: *333
  • تدوين كوكسيتر: [(3,3,3)] أو [3 [3] ]
  • الشبكة: سداسية
  • المجموعة النقطية: د 3
  • تحتوي المجموعة p 3 m 1 على ثلاثة مراكز دوران مختلفة من الرتبة الثالثة (120 درجة). ولها انعكاسات في أضلاع مثلث متساوي الأضلاع. يقع مركز كل دوران على محور انعكاس. توجد انعكاسات انزلاقية إضافية في ثلاثة اتجاهات متميزة، تقع محاورها في منتصف المسافة بين محاور الانعكاس المتوازية المتجاورة.

كما في الصفحة 3 ، تخيّل تبليطًا للمستوى بمثلثات متساوية الأضلاع متساوية الحجم، بحيث تتوافق أضلاعها مع أصغر الإزاحات. في هذه الحالة، يكون نصف المثلثات في اتجاه واحد، والنصف الآخر مقلوبًا. تُقابل هذه المجموعة حالة تساوي جميع المثلثات ذات الاتجاه نفسه، مع تمتع كلا النوعين بتناظر دوراني من الرتبة الثالثة، وتماثلهما، لكنهما ليسا متطابقين، وليسا صورة معكوسة لبعضهما البعض. بالنسبة لصورة معينة، توجد ثلاثة تبليطات ممكنة، لكل منها مراكز دوران تمثل رؤوسها. بالنسبة للصورة: يمكن أن تكون الرؤوس هي المثلثات الحمراء أو الزرقاء أو الخضراء.

أمثلة على المجموعة p 3 m 1

المجموعة ص 31 م (3*3)

مثال ورسم تخطيطي للصفحة 31 م
بنية الخلية لـ p 31 m
  • توقيع أوربيفولد: 3 *3
  • تدوين كوكسيتر: [6,3 + ]
  • الشبكة: سداسية
  • المجموعة النقطية: د 3
  • تحتوي المجموعة p 31 m على ثلاثة مراكز دوران مختلفة من الرتبة الثالثة (120 درجة)، اثنان منها هما صورتان معكوسة لبعضهما البعض. ولها انعكاسات في ثلاثة اتجاهات متميزة. ولها دوران واحد على الأقل لا يقع مركزه على محور انعكاس. كما توجد انعكاسات انزلاقية إضافية في ثلاثة اتجاهات متميزة، تقع محاورها في منتصف المسافة بين محاور الانعكاس المتوازية المتجاورة.

كما هو الحال مع p 3 و p 3 m 1 ، تخيل تبليطًا للمستوى بمثلثات متساوية الأضلاع متساوية الحجم، حيث تتوافق أضلاعها مع أصغر الإزاحات. عندئذٍ، يكون نصف المثلثات في اتجاه واحد، والنصف الآخر مقلوبًا. تتوافق مجموعة ورق الجدران هذه مع الحالة التي تكون فيها جميع المثلثات من نفس الاتجاه متساوية، بينما يتمتع كلا النوعين بتناظر دوراني من الرتبة الثالثة، وهما صورتان معكوسة لبعضهما البعض، لكنهما ليسا متناظرين، وليسا متساويين. بالنسبة لصورة معينة، لا يوجد سوى تبليط واحد ممكن من هذا النوع. بالنسبة للصورة: يجب أن تكون الرؤوس هي المثلثات الحمراء، وليس المثلثات الزرقاء.

أمثلة على المجموعة ص 31 م

المجموعة ص 6 (632)

مثال ورسم توضيحي للصفحة 6
بنية الخلية لـ p 6
  • توقيع أوربيفولد: 632
  • تدوين كوكسيتر: [6,3] +
  • الشبكة: سداسية
  • المجموعة النقطية: C 6
  • تحتوي المجموعة p 6 على مركز دوران واحد من الرتبة السادسة (60 درجة)؛ ومركزي دوران من الرتبة الثالثة (120 درجة)، وهما صورتان لبعضهما البعض عند دوران مقداره 60 درجة؛ وثلاثة مراكز دوران من الرتبة الثانية (180 درجة)، وهي أيضاً صور لبعضها البعض عند دوران مقداره 60 درجة. ولا تحتوي على انعكاسات أو انعكاسات انزلاقية.

يمكن اعتبار النمط الذي يتمتع بهذا التناظر بمثابة تبليط للمستوى ببلاطات مثلثة متساوية ذات تناظر C 3 ، أو بشكل مكافئ، تبليط للمستوى ببلاطات سداسية متساوية ذات تناظر C 6 (مع عدم كون حواف البلاطات بالضرورة جزءًا من النمط).

أمثلة على المجموعة ص 6

المجموعة ص 6 م (*632)

مثال ورسم تخطيطي لـ p 6 m
بنية الخلية لـ p 6 m
  • توقيع أوربيفولد: *632
  • تدوين كوكسيتر: [6,3]
  • الشبكة: سداسية
  • المجموعة النقطية: د 6
  • تحتوي المجموعة p 6 m على مركز دوران واحد من الرتبة السادسة (60°)؛ ومركزي دوران من الرتبة الثالثة، يختلفان فقط بدوران مقداره 60° (أو ما يعادله 180°)، وثلاثة مراكز دوران من الرتبة الثانية، تختلف فقط بدوران مقداره 60°. كما تحتوي على انعكاسات في ستة اتجاهات مختلفة. وتوجد انعكاسات انزلاقية إضافية في ستة اتجاهات مختلفة، تقع محاورها في منتصف المسافة بين محاور الانعكاس المتوازية المتجاورة.

يمكن اعتبار النمط ذي هذا التناظر بمثابة تبليط للمستوى باستخدام بلاطات مثلثة متساوية ذات تناظر D3 ، أو بصورة مكافئة، تبليط للمستوى باستخدام بلاطات سداسية متساوية ذات تناظر D6 ( مع العلم أن حواف البلاطات ليست بالضرورة جزءًا من النمط). وبالتالي، فإن أبسط الأمثلة هي شبكة مثلثية بخطوط توصيل أو بدونها، وتبليط سداسي بلون واحد لتحديد السداسيات ولون آخر للخلفية.

أمثلة على المجموعة p 6 m

أنواع الشبكة

توجد خمسة أنواع من الشبكات، أو شبكات برافي ، تُقابل مجموعات ورق الجدران الخمس الممكنة للشبكة نفسها. لا يمكن أن تحتوي مجموعة ورق الجدران لنمط ذي تناظر انتقالي على تناظر أكبر من تناظر الشبكة نفسها، ولكن قد يكون تناظرها أقل.

  • في الحالات الخمس للتناظر الدوراني من الرتبة 3 أو 6، تتكون الخلية الأساسية من مثلثين متساويي الأضلاع (شبكة سداسية، وهي نفسها p 6 m ). يشكلان معينًا بزوايا 60° و120°.
  • In the 3 cases of rotational symmetry of order 4, the cell is a square (square lattice, itself p4m).
  • In the 5 cases of reflection or glide reflection, but not both, the cell is a rectangle (rectangular lattice, itself pmm). It may also be interpreted as a centered rhombic lattice. Special cases: square.
  • In the 2 cases of reflection combined with glide reflection, the cell is a rhombus (rhombic lattice, itself cmm). It may also be interpreted as a centered rectangular lattice. Special cases: square, hexagonal unit cell.
  • In the case of only rotational symmetry of order 2, and the case of no other symmetry than translational, the cell is in general a parallelogram (parallelogrammatic or oblique lattice, itself p2). Special cases: rectangle, square, rhombus, hexagonal unit cell.

Symmetry groups

The actual symmetry group should be distinguished from the wallpaper group. Wallpaper groups are collections of symmetry groups. There are 17 of these collections, but for each collection there are infinitely many symmetry groups, in the sense of actual groups of isometries. These depend, apart from the wallpaper group, on a number of parameters for the translation vectors, the orientation and position of the reflection axes and rotation centers.

The numbers of degrees of freedom are:

  • 6 for p2
  • 5 for pmm, pmg, pgg, and cmm
  • 4 for the rest.

However, within each wallpaper group, all symmetry groups are algebraically isomorphic.

Some symmetry group isomorphisms:

  • p1: Z2
  • pm: Z × D∞
  • pmm: D∞ × D∞.

Dependence of wallpaper groups on transformations

  • The wallpaper group of a pattern is invariant under isometries and uniform scaling (similarity transformations).
  • Translational symmetry is preserved under arbitrary bijective affine transformations.
  • Rotational symmetry of order two ditto; this means also that 4- and 6-fold rotation centres at least keep 2-fold rotational symmetry.
  • Reflection in a line and glide reflection are preserved on expansion/contraction along, or perpendicular to, the axis of reflection and glide reflection. It changes p6m, p4g, and p3m1 into cmm, p3m1 into cm, and p4m, depending on direction of expansion/contraction, into pmm or cmm. A pattern of symmetrically staggered rows of points is special in that it can convert by expansion/contraction from p6m to p4m.

Note that when a transformation decreases symmetry, a transformation of the same kind (the inverse) obviously for some patterns increases the symmetry. Such a special property of a pattern (e.g. expansion in one direction produces a pattern with 4-fold symmetry) is not counted as a form of extra symmetry.

Change of colors does not affect the wallpaper group if any two points that have the same color before the change, also have the same color after the change, and any two points that have different colors before the change, also have different colors after the change.

If the former applies, but not the latter, such as when converting a color image to one in black and white, then symmetries are preserved, but they may increase, so that the wallpaper group can change.

Web demo and software

Several software graphic tools will let you create 2D patterns using wallpaper symmetry groups. Usually you can edit the original tile and its copies in the entire pattern are updated automatically.

  • MadPattern, a free set of Adobe Illustrator templates that support the 17 wallpaper groups
  • Tess, a shareware tessellation program for multiple platforms, supports all wallpaper, frieze, and rosette groups, as well as Heesch tilings.
  • Wallpaper Symmetry is a free online JavaScript drawing tool supporting the 17 groups. The main page has an explanation of the wallpaper groups, as well as drawing tools and explanations for the other planar symmetry groups as well.
  • TALES GAME, a free software designed for educational purposes which includes the tessellation function.
  • KaliArchived 2018-12-16 at the Wayback Machine, online graphical symmetry editor Java applet (not supported by default in browsers).
  • KaliArchived 2020-11-21 at the Wayback Machine, free downloadable Kali for Windows and Mac Classic.
  • Inkscape, a freevector graphics editor, supports all 17 groups plus arbitrary scales, shifts, rotates, and color changes per row or per column, optionally randomized to a given degree. (See )
  • SymmetryWorks is a commercial plugin for Adobe Illustrator, supports all 17 groups.
  • EscherSketch is a free online JavaScript drawing tool supporting the 17 groups.
  • Repper is a commercial online drawing tool supporting the 17 groups plus a number of non-periodic tilings

See also

Notes

  1. ↑E. Fedorov (1891) "Симметрія на плоскости" (Simmetrija na ploskosti, Symmetry in the plane), Записки Императорского С.-Петербургского минералогического общества (Zapiski Imperatorskogo Sant-Petersburgskogo Mineralogicheskogo Obshchestva, Proceedings of the Imperial St. Petersburg Mineralogical Society), series 2, 28 : 345–390 (in Russian).
  2. ↑Pólya, George (November 1924). "Über die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene" [On the analog of crystal symmetry in the plane]. Zeitschrift für Kristallographie (in German). 60 (1–6): 278–282. doi:10.1524/zkri.1924.60.1.278. S2CID 102174323.
  3. ↑Klarreich, Erica (5 March 2013). "How to Make Impossible Wallpaper". Quanta Magazine. Retrieved 2021-04-07.
  4. ↑Radaelli, Paulo G. Symmetry in Crystallography. Oxford University Press.
  5. ↑If one thinks of the squares as the background, then one can see a simple patterns of rows of rhombuses.

References