ترتيب شبه جيد

العلاقات الثنائية المتعدية  v ت هـ
متماثل مضاد للتناظر متصل مؤسس بشكل جيد لديه روابط لديه لقاءات انعكاسي غير انعكاسي غير متماثل توتال، سيميكونكس مضاد للانعكاس علاقة التكافؤ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ طلب مسبق (طلب شبه رسمي) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ طلب جزئي ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ إجمالي الطلبات المسبقة ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ إجمالي الطلب ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ الطلب المسبق ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ ترتيب شبه جيد ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ ترتيب جيد ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ شعرية ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ الانضمام إلى شبه الشبكة ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ لقاء شبه شبكة ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ ترتيب جزئي صارم ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y ترتيب ضعيف صارم ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y إجمالي الطلب الصارم ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y متماثل مضاد للتناظر متصل مؤسس بشكل جيد لديه روابط لديه لقاءات انعكاسي غير انعكاسي غير متماثل التعريفات، للجميع${\displaystyle a,b}$و${\displaystyle S\neq \varnothing$ :} ${\displaystyle {\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb{\text{ و }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b\\{\text{يوجد}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle {\text{not }}aRa}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}}$
يشير الرمز Y إلى أن خاصية العمود صحيحة دائمًا بالنسبة لعنصر الصف (في أقصى اليسار)، بينما يشير الرمز ✗ إلى أن الخاصية غير مضمونة بشكل عام (قد تكون صحيحة أو خاطئة). على سبيل المثال، يُشار إلى أن كل علاقة تكافؤ متناظرة، ولكن ليس بالضرورة مضادة للتناظر، بالرمز Y في عمود "متناظر" والرمز ✗ في عمود "مضاد للتناظر". تتطلب جميع التعريفات ضمنيًا العلاقة المتجانسة${\displaystyle R}$يكون متعدياً : للجميع${\displaystyle a,b,c,}$لو${\displaystyle aRb}$و${\displaystyle bRc}$ثم${\displaystyle aRc.}$ قد يتطلب تعريف المصطلح خصائص إضافية غير مدرجة في هذا الجدول.

في الرياضيات ، وتحديداً في نظرية الترتيب ، يُطلق مصطلح الترتيب شبه الجيد أو wqo على مجموعة ما${\displaystyle X}$هو ترتيب شبه رسمي لـ${\displaystyle X}$والتي من أجلها كل سلسلة لا نهائية من العناصر${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\ldots }$من${\displaystyle X}$يحتوي على زوج غير متناقص${\displaystyle x_{i}\leq x_{j}}$مع${\displaystyle i<j.}$

يمكن استخدام الاستقراء المُؤَسَّس على أي مجموعة ذات علاقة مُؤَسَّسة ، وبالتالي فإن المرء مهتم بمعرفة متى يكون الترتيب شبه المُؤَسَّس. (هنا، وباستخدام مصطلحات غير دقيقة، يُقصد بالترتيب شبه المُؤَسَّس${\displaystyle \leq }$يُقال إن الأمر ذو أساس متين إذا كان الترتيب الصارم المقابل${\displaystyle x\leq y\land y\nleq x}$(هي علاقة راسخة). مع ذلك، فإن فئة الترتيبات شبه الراسخة ليست مغلقة في ظل عمليات معينة، أي عندما يُستخدم ترتيب شبهي للحصول على ترتيب شبهي جديد على مجموعة من البنى المشتقة من مجموعتنا الأصلية، يتبين أن هذا الترتيب شبهي غير راسخ. من خلال فرض قيود أقوى على الترتيب شبه الراسخ الأصلي، يمكننا أن نأمل في ضمان أن الترتيبات شبه الراسخة المشتقة لا تزال راسخة.

ومن الأمثلة على ذلك عملية مجموعة القوى . بالنظر إلى ترتيب شبهي${\displaystyle \leq }$لمجموعة${\displaystyle X}$يمكن تعريف شبه النظام${\displaystyle \leq ^{+}}$على${\displaystyle X}$مجموعة الطاقة الخاصة بـ${\displaystyle P(X)}$عن طريق الضبط${\displaystyle A\leq ^{+}B}$إذا وفقط إذا كان لكل عنصر من${\displaystyle A}$يمكن للمرء أن يجد بعض عناصر${\displaystyle B}$وهو أكبر منه بالنسبة إلى${\displaystyle \leq }$يمكن للمرء أن يثبت أن هذا الترتيب شبه المحدد على${\displaystyle P(X)}$لا يشترط أن يكون له أساس متين، ولكن إذا اعتبرنا الترتيب شبه الأصلي ترتيبًا شبه جيد، فإنه كذلك.

ترتيب جيد شبه منظم على مجموعة${\displaystyle X}$هي شبه ترتيب (أي علاقة ثنائية انعكاسية ومتعدية ) بحيث أن أي سلسلة لانهائية من العناصر${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\ldots }$من${\displaystyle X}$يحتوي على زوج متزايد${\displaystyle x_{i}\leq x_{j}}$مع${\displaystyle i<j}$المجموعة${\displaystyle X}$يقال إنها شبه منظمة بشكل جيد ، أو باختصار wqo .

الترتيب الجزئي الجيد ، أو wpo ، هو wqo يمثل علاقة ترتيب مناسبة، أي أنه غير متماثل .

من بين الطرق الأخرى لتعريف الترتيبات شبه الترتيبية، يمكن القول إنها ترتيبات شبه ترتيبية لا تحتوي على متواليات متناقصة تمامًا لا نهائية (من الشكل${\displaystyle x_{0}>x_{1}>x_{2}>\cdots }$) ^{[ أ ]} ولا متواليات لانهائية من العناصر غير القابلة للمقارنة ثنائياً . وبالتالي، يكون الترتيب شبه ( X , ≤) wqo إذا وفقط إذا كان ( X , <) مؤسساً جيداً وليس له سلاسل مضادة لانهائية .

يترك${\displaystyle X}$تكون مرتبة جزئياً بشكل جيد. متتالية (محدودة بالضرورة)${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$من عناصر${\displaystyle X}$التي لا تحتوي على زوج${\displaystyle x_{i}\leq x_{j}}$مع${\displaystyle i<j}$يُطلق عليها عادةً اسم التسلسل السيئ . شجرة التسلسلات السيئة${\displaystyle T_{X}}$هي الشجرة التي تحتوي على رأس لكل تسلسل سيئ، وحافة تربط كل تسلسل سيئ غير فارغ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})}$إلى والديها${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n-1})}$جذر${\displaystyle T_{X}}$يتوافق مع التسلسل الفارغ. بما أن${\displaystyle X}$لا تحتوي الشجرة على أي تسلسل سيئ لانهائي${\displaystyle T_{X}}$لا يحتوي على مسار لانهائي يبدأ من الجذر. ^{[ 1 ]} لذلك، كل رأس${\displaystyle v}$ل${\displaystyle T_{X}}$له ارتفاع ترتيبي${\displaystyle o(v)}$، والذي يُعرَّف بالاستقراء المتسامي على النحو التالي${\displaystyle o(v)=\lim _{w\mathrm {\ child\ of\ } v}(o(w)+1)}$النوع الترتيبي لـ${\displaystyle X}$، المشار إليه${\displaystyle o(X)}$، هو الارتفاع الترتيبي لجذر${\displaystyle T_{X}}$.

تبسيط خطي لـ${\displaystyle X}$هو امتداد للترتيب الجزئي إلى ترتيب كلي. من السهل التحقق من ذلك.${\displaystyle o(X)}$يمثل حدًا أعلى للنوع الترتيبي لكل عملية تخطيط خطي لـ${\displaystyle X}$أثبت دي يونغ وباريك ^{[ 2 ]} أنه في الواقع يوجد دائمًا تبسيط خطي لـ${\displaystyle X}$الذي يحقق أقصى نوع ترتيبي${\displaystyle o(X)}$.

• ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\leq )}$، وهي مجموعة الأعداد الطبيعية ذات الترتيب القياسي، تمثل ترتيبًا جزئيًا جيدًا (في الواقع، ترتيبًا جيدًا ). ​​ومع ذلك،${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\leq )}$إنّ مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة (انظر الشكل 1) ليست ترتيبًا شبهيًا جيدًا، لأنها غير مؤسسة جيدًا. فالمتتالية اللانهائية -1، -2، ... لا تحتوي على أي زوج متزايد.
• ${\displaystyle (\mathbb {N} ,|)}$، مجموعة الأعداد الطبيعية المرتبة حسب قابلية القسمة، ليست ترتيبًا شبه جيد: الأعداد الأولية هي سلسلة مضادة لا نهائية (انظر الشكل 2).
• ${\displaystyle (\mathbb {N} ^{k},\leq )}$، مجموعة متجهات${\displaystyle k}$الأعداد الطبيعية (حيث${\displaystyle k}$(محدود) مع ترتيب المكونات ، هو ترتيب جزئي جيد ( مبدأ ديكسون ؛ انظر الشكل 3). بشكل أعم، إذا${\displaystyle (X,\leq )}$إذا كان النظام شبه جيد،${\displaystyle (X^{k},\leq ^{k})}$وهو أيضاً نظام شبه منظم جيد للجميع${\displaystyle k}$.
• يترك${\displaystyle X}$لتكن مجموعة منتهية اختيارية تحتوي على عنصرين على الأقل.${\displaystyle X^{*}}$من الكلمات أكثر${\displaystyle X}$الترتيب المعجمي (كما في القاموس) ليس ترتيبًا شبه صحيح لأنه يحتوي على تسلسل تنازلي لا نهائي${\displaystyle b,ab,aab,aaab,\ldots }$. بصورة مماثلة،${\displaystyle X^{*}}$الترتيب وفقًا لعلاقة البادئة ليس ترتيبًا شبه صحيح، لأن التسلسل السابق هو سلسلة مضادة لانهائية لهذا الترتيب الجزئي. ومع ذلك ،${\displaystyle X^{*}}$الترتيب وفقًا لعلاقة التتابع الفرعي هو ترتيب جزئي جيد. ^{[ 3 ]} (إذا${\displaystyle X}$إذا كان يحتوي على عنصر واحد فقط، فإن هذه الترتيبات الجزئية الثلاثة متطابقة.)
• وبشكل عام،${\displaystyle (X^{*},\leq )}$، مجموعة منتهية${\displaystyle X}$تكون المتتاليات المرتبة حسب التضمين مرتبة ترتيبًا شبه جيد إذا وفقط إذا${\displaystyle (X,\leq )}$هو ترتيب شبه جيد ( مبدأ هيغمان ). تذكر أنه يتم تضمين متتالية${\displaystyle u}$في تسلسل${\displaystyle v}$عن طريق إيجاد متتالية فرعية من${\displaystyle v}$الذي له نفس الطول${\displaystyle u}$وهذا ما يهيمن عليه مصطلحًا تلو الآخر. عندما${\displaystyle (X,=)}$هي مجموعة غير مرتبة،${\displaystyle u\leq v}$إذا وفقط إذا${\displaystyle u}$هو تسلسل فرعي من${\displaystyle v}$.
• ${\displaystyle (X^{\omega },\leq )}$، مجموعة المتتاليات اللانهائية على رتبة شبه جيدة${\displaystyle (X,\leq )}$الترتيب المُرتب بالتضمين ليس ترتيبًا شبهيًا جيدًا بشكل عام. أي أن مبرهنة هيغمان لا تنطبق على المتتاليات اللانهائية. وقد تم تقديم ترتيبات شبهية أفضل لتعميم مبرهنة هيغمان على متتاليات ذات أطوال عشوائية.
• التضمين بين الأشجار المحدودة ذات العقد المصنفة بعناصر من wqo${\displaystyle (X,\leq )}$هو wqo ( نظرية كروسكال الشجرية ).
• التضمين بين أشجار لا نهائية ذات عقد مصنفة بعناصر من wqo${\displaystyle (X,\leq )}$هو wqo ( نظرية ناش-ويليامز ).
• إن التضمين بين أنواع الترتيب الخطي المتناثرة القابلة للعد هو ترتيب شبه جيد ( نظرية لافر ).
• يُعدّ التضمين بين الجبر البولياني القابل للعد ترتيبًا شبه جيد. وينتج هذا عن نظرية لافر ونظرية كيتونين.
• الرسوم البيانية المحدودة المرتبة بمفهوم التضمين المسمى " الرسم البياني الصغير " هي ترتيب شبه جيد ( نظرية روبرتسون-سيمور ).
• تشكل الرسوم البيانية ذات عمق الشجرة المحدود والمرتبة حسب علاقة الرسم البياني الفرعي المستحث ترتيبًا شبه جيد، ^{[ 4 ]} وكذلك الرسوم البيانية المشتركة المرتبة حسب الرسوم البيانية الفرعية المستحثة. ^{[ 5 ]}

يترك${\displaystyle X_{1}}$و${\displaystyle X_{2}}$ليكن لدينا مجموعتان منفصلتان من نوع wpo.${\displaystyle Y=X_{1}\cup X_{2}}$، وتحديد ترتيب جزئي على${\displaystyle Y}$عن طريق السماح${\displaystyle y_{1}\leq _{Y}y_{2}}$إذا وفقط إذا${\displaystyle y_{1},y_{2}\in X_{i}}$لنفس السبب${\displaystyle i\in \{1,2\}}$و${\displaystyle y_{1}\leq _{X_{i}}y_{2}}$. ثم${\displaystyle Y}$هي منظمة العمل العالمية، و${\displaystyle o(Y)=o(X_{1})\oplus o(X_{2})}$، أين${\displaystyle \oplus }$^{[ 2 ]} يرمز إلى المجموع الطبيعي للأعداد الترتيبية.

مجموعة wpo المعطاة${\displaystyle X_{1}}$و${\displaystyle X_{2}}$، عرّف ترتيبًا جزئيًا على الضرب الديكارتي${\displaystyle Y=X_{1}\times X_{2}}$عن طريق السماح${\displaystyle (a_{1},a_{2})\leq _{Y}(b_{1},b_{2})}$إذا وفقط إذا${\displaystyle a_{1}\leq _{X_{1}}b_{1}}$و${\displaystyle a_{2}\leq _{X_{2}}b_{2}}$. ثم${\displaystyle Y}$هي wpo (وهذا تعميم لفرضية ديكسون )، و${\displaystyle o(Y)=o(X_{1})\otimes o(X_{2})}$، أين${\displaystyle \otimes }$يشير إلى الناتج الطبيعي للأعداد الترتيبية. ^{[ 2 ]}

بافتراض مجموعة wpo${\displaystyle X}$، يترك${\displaystyle X^{*}}$لتكن مجموعة المتتاليات المنتهية من عناصر${\displaystyle X}$، مرتبة جزئياً حسب علاقة التتابع الفرعي. بمعنى آخر، ليكن${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\leq _{X^{*}}(y_{1},\ldots ,y_{m})}$إذا وفقط إذا كانت هناك مؤشرات${\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{n}\leq m}$بحيث${\displaystyle x_{j}\leq _{X}y_{i_{j}}}$لكل${\displaystyle 1\leq j\leq n}$بحسب نظرية هيغمان ،${\displaystyle X^{*}}$هو wpo. النوع الترتيبي لـ${\displaystyle X^{*}}$هو ^{[ 2 ] [ 6 ]}$${\displaystyle o(X^{*})={\begin{cases}\omega ^{\omega ^{o(X)-1}},&o(X){\text{ finite}};\\\omega ^{\omega ^{o(X)+1}},&o(X)=\varepsilon _{\alpha }+n{\text{ for some }}\alpha {\text{ and some finite }}n;\\\omega ^{\omega ^{o(X)}},&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

بافتراض مجموعة wpo${\displaystyle X}$، يترك${\displaystyle T(X)}$لتكن مجموعة جميع الأشجار الجذرية المنتهية التي تحمل رؤوسها علامات عناصر من${\displaystyle X}$طلب جزئي${\displaystyle T(X)}$باستخدام علاقة تضمين الشجرة . باستخدام نظرية كروسكال للشجرة ،${\displaystyle T(X)}$هو wpo. هذه النتيجة ليست بديهية حتى في حالة${\displaystyle |X|=1}$(وهو ما يتوافق مع الأشجار غير المصنفة)، وفي هذه الحالة${\displaystyle o(T(X))}$يساوي العدد الترتيبي الصغير لفيبلن . بشكل عام، بالنسبة لـ${\displaystyle o(X)}$بما أنه قابل للعد، لدينا الحد الأعلى${\displaystyle o(T(X))\leq \vartheta (\Omega ^{\omega }o(X))}$فيما يتعلق بـ${\displaystyle \vartheta }$دالة التجميع الترتيبي . (الترتيب الصغير لفيبلن يساوي${\displaystyle \vartheta (\Omega ^{\omega })}$(في هذا الترميز الترتيبي.) ^{[ 7 ]}

بحسب ميلنر 1985، لا توجد فائدة حقيقية في التعميم من خلال النظر في الترتيبات شبه الكاملة بدلاً من الترتيبات الجزئية... ببساطة، من الأسهل القيام بذلك. ^{[ 8 ]}

لاحظ أن wpo هو wqo، وأن wqo يُنشئ wpo بين فئات التكافؤ المُستحثة بواسطة نواة wqo. على سبيل المثال، إذا رتبنا${\displaystyle \mathbb {Z} }$بسبب قابلية القسمة، نصل إلى${\displaystyle n\equiv m}$إذا وفقط إذا${\displaystyle n=\pm m}$، لهذا السبب${\displaystyle (\mathbb {Z} ,|)\approx (\mathbb {N} ,|)}$.

لو${\displaystyle (X,\leq )}$إذا كان wqo، فكل متتالية لانهائية${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,}$يحتوي على متتالية فرعية متزايدة لا نهائية${\displaystyle x_{n_{0}}\leq x_{n_{1}}\leq x_{n_{2}}\leq \cdots }$(مع${\displaystyle n_{0}<n_{1}<n_{2}<\cdots }$تُسمى هذه المتتالية الجزئية أحيانًا بالمتتالية الكاملة . ويمكن إثبات ذلك باستخدام حجة رامزي : إذا كانت لدينا متتالية معينة${\displaystyle (x_{i})_{i}}$، ضع في اعتبارك المجموعة${\displaystyle I}$من المؤشرات${\displaystyle i}$بحيث${\displaystyle x_{i}}$لا يوجد ما هو أكبر أو يساوي${\displaystyle x_{j}}$إلى يمينها، أي مع${\displaystyle i<j}$. لو${\displaystyle I}$إذا كانت لانهائية، فإن${\displaystyle I}$- يتعارض التسلسل الفرعي المستخرج مع الافتراض القائل بأن${\displaystyle X}$هو wqo. لذا${\displaystyle I}$محدود، وأي${\displaystyle x_{n}}$مع${\displaystyle n}$أكبر من أي مؤشر في${\displaystyle I}$يمكن استخدامها كنقطة بداية لتسلسل فرعي متزايد لا نهائي.

يُعتبر وجود مثل هذه المتتاليات الفرعية المتزايدة اللانهائية أحيانًا تعريفًا للترتيب شبه الجيد، مما يؤدي إلى مفهوم مكافئ.

• بالنظر إلى شبه الترتيب${\displaystyle (X,\leq )}$شبه الترتيب${\displaystyle (P(X),\leq ^{+})}$محدد بواسطة ${\displaystyle A\leq ^{+}B\iff \forall a\in A,\exists b\in B,a\leq b}$يكون أساسه متيناً إذا وفقط إذا${\displaystyle (X,\leq )}$هو منظمة حقوقية. ^{[ 9 ]}
• يكون الترتيب شبه الترتيب wqo إذا وفقط إذا كان الترتيب الجزئي المقابل (الذي تم الحصول عليه عن طريق القسمة على)${\displaystyle x\sim y\iff x\leq y\land y\leq x}$لا تحتوي على متواليات تنازلية لا نهائية أو متواليات مضادة . (يمكن إثبات ذلك باستخدام حجة رامزي كما هو مذكور أعلاه).
• بافتراض ترتيب شبه جيد${\displaystyle (X,\leq )}$أي تسلسل من المجموعات الفرعية المغلقة لأعلى${\displaystyle S_{0}\subseteq S_{1}\subseteq \cdots \subseteq X}$يستقر في النهاية (بمعنى أنه موجود)${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$بحيث${\displaystyle S_{n}=S_{n+1}=\cdots }$؛ مجموعة فرعية${\displaystyle S\subseteq X}$يُطلق عليه اسم مغلق لأعلى إذا${\displaystyle \forall x,y\in X,x\leq y\wedge x\in S\Rightarrow y\in S}$): بافتراض العكس${\displaystyle \forall i\in \mathbb {N} ,\exists j\in \mathbb {N} ,j>i,\exists x\in S_{j}\setminus S_{i}}$، ويتحقق التناقض من خلال استخراج سلسلة فرعية غير تصاعدية لا نهائية.
• بافتراض ترتيب شبه جيد${\displaystyle (X,\leq )}$أي مجموعة فرعية${\displaystyle S}$ل${\displaystyle X}$يحتوي على عدد محدود من العناصر الدنيا بالنسبة إلى${\displaystyle \leq }$وإلا فإن العناصر الدنيا من${\displaystyle S}$سيشكل ذلك سلسلة مضادة لا نهائية.

• ترتيب شبه أفضل
• الترتيب المسبق – ​​مفهوم نظرية المجموعات 
• الترتيب الجيد – فئة من الترتيبات الرياضية 

• ديكسون، ل. إي. (1913). "نهاية الأعداد الفردية الكاملة والأعداد الأولية الوفيرة ذات r من العوامل الأولية المختلفة". المجلة الأمريكية للرياضيات . 35 (4): 413-422 . doi : 10.2307/2370405 . JSTOR 2370405 . 
• هيغمان، ج. (1952). "الترتيب حسب قابلية القسمة في الجبر المجرد". وقائع الجمعية الرياضية بلندن . 2 : 326-336 . doi : 10.1112/plms/s3-2.1.326 .
• كروسكال، ج. ب. (1972). "نظرية الترتيب شبه الجيد: مفهوم مكتشف بشكل متكرر" . مجلة نظرية التوافيق . السلسلة أ. 13 (3): 297-305 . doi : 10.1016/0097-3165(72)90063-5 .
• كيتونين، جوسي (1978). "بنية الجبر البولياني القابل للعد". حوليات الرياضيات . 108 (1): 41-89 . doi : 10.2307/1970929 . JSTOR 1970929 . 
• غالييه، جان هـ. (1991). "ما الذي يُميز نظرية كروسكال والترتيب Γo؟ استعراض لبعض النتائج في نظرية البرهان". حوليات المنطق البحت والتطبيقي . 53 (3): 199-260 . doi : 10.1016/0168-0072(91)90022-E .