قوس دائري

القوس الدائري هو قوس الدائرة الواقع بين نقطتين مختلفتين . إذا لم تكن النقطتان متقابلتين تمامًا، فإن أحد هذين القوسين، وهو القوس الأصغر ، يقابل زاوية مركزية أقل من π راديان (180 درجة )؛ بينما يقابل القوس الآخر، وهو القوس الأكبر ، زاوية أكبر من π راديان. يُعرَّف قوس الدائرة بأنه جزء أو قطعة من محيط الدائرة. يُعرف الخط المستقيم الذي يصل بين طرفي القوس بوتر الدائرة. إذا كان طول القوس يساوي نصف طول الدائرة تمامًا، يُعرف بنصف دائرة .

طول قوس دائرة نصف قطرها r وقياسها زاوية θ (مقاسة بالراديان) مع مركز الدائرة - أي الزاوية المركزية - هو

${\displaystyle L=\theta r.}$

وذلك لأن

${\displaystyle {\frac {L}{\mathrm {circumference} }}={\frac {\theta }{2\pi }}.}$

استبدال المحيط

${\displaystyle {\frac {L}{2\pi r}}={\frac {\theta }{2\pi }},}$

وبما أن α هي نفس الزاوية المقاسة بالدرجات، وبما أن θ =  α / 180π ، فإن طول القوس يساوي 

${\displaystyle L={\frac {\alpha \pi r}{180}}.}$

تتمثل إحدى الطرق العملية لتحديد طول قوس في دائرة في رسم خطين من نهايتي القوس إلى مركز الدائرة، وقياس الزاوية التي يلتقي عندها الخطان بالمركز، ثم حساب قيمة L عن طريق الضرب التبادلي للعبارة:

قياس الزاوية بالدرجات/360° = L / المحيط.

على سبيل المثال، إذا كان قياس الزاوية 60 درجة وكان محيطها 24 بوصة، فإن

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {60}{360}}&={\frac {L}{24}}\\[6pt]360L&=1440\\[6pt]L&=4.\end{aligned}}}$

هذا لأن محيط الدائرة ودرجات الدائرة، والتي يبلغ عددها دائمًا 360 درجة، متناسبان طرديًا.

يمكن تمثيل النصف العلوي من الدائرة بالمعاملات التالية:

${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}.}$

ثم طول القوس من${\displaystyle x=a}$ل${\displaystyle x=b}$يكون

${\displaystyle L=r{\Big [}\arcsin \left({\frac {x}{r}}\right){\Big ]}_{a}^{b}.}$

مساحة القطاع المتكون من قوس ومركز دائرة (المحدد بالقوس ونصفَي القطر المرسومين إلى طرفيه) هي

${\displaystyle A={\frac {r^{2}\theta }{2}}.}$

المساحة A لها نفس النسبة إلى مساحة الدائرة كما هي نسبة الزاوية θ إلى دائرة كاملة:

${\displaystyle {\frac {A}{\pi r^{2}}}={\frac {\theta }{2\pi }}.}$

يمكننا حذف π من كلا الجانبين:

${\displaystyle {\frac {A}{r^{2}}}={\frac {\theta }{2}}.}$

بضرب كلا الطرفين في r² ^، نحصل على النتيجة النهائية:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}r^{2}\theta .}$

باستخدام التحويل المذكور أعلاه، نجد أن مساحة القطاع لزاوية مركزية مقاسة بالدرجات هي

${\displaystyle A={\frac {\alpha }{360}}\pi r^{2}.}$

مساحة الشكل المحصور بين القوس والخط المستقيم الواصل بين طرفيه هي

${\displaystyle {\frac {1}{2}}r^{2}(\theta -\sin \theta ).}$

لحساب مساحة قطعة القوس ، نحتاج إلى طرح مساحة المثلث، التي تُحدد بمركز الدائرة ونقطتي نهاية القوس، من المساحة.${\displaystyle A}$انظر إلى الجزء الدائري لمزيد من التفاصيل.

باستخدام نظرية الأوتار المتقاطعة (المعروفة أيضًا باسم نظرية قوة النقطة أو نظرية القاطع والمماس) من الممكن حساب نصف قطر الدائرة r بمعلومية ارتفاع القوس H وعرضه W :

لنفترض وترًا له نفس طرفي القوس. منصفه العمودي هو وتر آخر، وهو قطر الدائرة. طول الوتر الأول هو W ، ويقسمه المنصف إلى نصفين متساويين، طول كل منهما W / 2 . الطول الكلي للقطر هو 2r ، ويقسمه الوتر الأول إلى جزأين. طول أحد الجزأين هو سهم القوس، H ، والجزء الآخر هو الجزء المتبقي من القطر، وطوله 2r - H. بتطبيق نظرية الأوتار المتقاطعة على هذين الوترين، نحصل على  

${\displaystyle H(2r-H)=\left({\frac {W}{2}}\right)^{2},}$

ومن ثم

${\displaystyle 2r-H={\frac {W^{2}}{4H}},}$

لذا

${\displaystyle r={\frac {W^{2}}{8H}}+{\frac {H}{2}}.}$

يستمد القوس والوتر والسهم أسماءها على التوالي من الكلمات اللاتينية التي تعني القوس ووتر القوس والسهم .

• بيارك
• دائرة كرة
• رسم بياني دائري القوس
• الاستيفاء الدائري
• الليمون (الهندسة)
• قوس خط الزوال
• محيط
• الحركة الدائرية
• السرعة المماسية

• جدول محتويات صفحات دائرة المراجع المفتوحة للرياضيات
• صفحة مرجعية مفتوحة من موقع Math Open Reference حول الأقواس الدائرية مع رسوم متحركة تفاعلية
• صفحة مرجعية مفتوحة من موقع Math Open Reference حول نصف قطر القوس الدائري أو القطعة الدائرية مع رسوم متحركة تفاعلية
• وايسشتاين، إريك دبليو. "القوس" . عالم الرياضيات .