تناقض

من أجل مجموعة من المقدمات المتسقة${\displaystyle \Sigma }$ومقترح${\displaystyle \varphi }$صحيح في المنطق الكلاسيكي أن${\displaystyle \Sigma \vdash \varphi }$(أي،${\displaystyle \Sigma }$يثبت${\displaystyle \varphi }$) إذا وفقط إذا${\displaystyle \Sigma \cup \{\neg \varphi \}\vdash \bot }$(أي،${\displaystyle \Sigma }$و${\displaystyle \neg \varphi }$(يؤدي إلى تناقض). لذلك، فإن البرهان على أن${\displaystyle \Sigma \cup \{\neg \varphi \}\vdash \bot }$ويثبت ذلك أيضاً أن${\displaystyle \varphi }$هذا صحيح في ظل هذه الظروف.${\displaystyle \Sigma }$يشكل استخدام هذه الحقيقة أساسًا لتقنية إثبات تُسمى الإثبات بالتناقض ، والتي يستخدمها علماء الرياضيات على نطاق واسع لإثبات صحة مجموعة واسعة من النظريات. وينطبق هذا فقط في منطق يكون فيه قانون الوسط المرفوع ساريًا.${\displaystyle A\vee \neg A}$يُعتبر هذا الأمر بديهياً.

يُعدّ البرهان بالتناقض أفضل ما يكون في الحالات التي يكون فيها إثبات القضية φ مستحيلاً، أو يكون إثبات التناقض أسهل، وذلك في ظل مجموعة من المقدمات المتسقة Σ. ومن الأمثلة الشائعة على ذلك إثبات أن √2 عدد غير نسبي. فمحاولة إثبات ذلك مباشرةً أمرٌ في غاية الصعوبة، ولكن افتراض أنه عدد نسبي يُنشئ تناقضًا يسهل إثباته (انظر "البرهان باستخدام المقلوب" تحت عنوان الجذر التربيعي للعدد 2 ). أما استخدام البرهان بالتناقض في ظروف أخرى فقد يكون غير فعال أو مستحيلاً تمامًا.

باستخدام المنطق الأدنى ، وهو منطق ذو بديهيات مشابهة للمنطق الكلاسيكي ولكن بدون الاستدلال بالخطأ أو البرهان بالتناقض، يمكننا دراسة قوة البديهيات وخصائص القواعد المختلفة التي تعالج التناقض من خلال النظر في نظريات المنطق الكلاسيكي التي لا تُعدّ نظريات للمنطق الأدنى. ^{[ 6 ]} كلٌّ من هذه التوسعات يؤدي إلى منطق وسيط .

1. يُعدّ مبدأ حذف النفي المزدوج (DNE) أقوى مبدأ، وقد تمّت صياغته بشكل بديهي.${\displaystyle \neg \neg A\implies A}$وعند إضافته إلى المنطق الأدنى ينتج عنه المنطق الكلاسيكي.
2. السابقين quodlibet كاذبة (EFQ)، بديهية${\displaystyle \bot \implies A}$يُجيز هذا المنطق العديد من نتائج النفي، ولكنه عادةً لا يُساعد في استنتاج القضايا التي لا تنطوي على تناقض من القضايا المتسقة التي تنطوي عليه. عند إضافته إلى المنطق الأدنى، يُنتج منطق EFQ منطقًا حدسيًا . يُكافئ منطق EFQ منطق ex contrastion quodlibet ، المُؤَسَّس .${\displaystyle A\land \neg A\implies B}$، على حساب الحد الأدنى من المنطق.
3. قاعدة بيرس (PR) هي بديهية${\displaystyle ((A\implies B)\implies A)\implies A}$هذا الأسلوب يجسد البرهان بالتناقض دون الإشارة صراحةً إلى العبثية. المنطق الأدنى + البرهان بالتناقض + البرهان بالتناقض ينتج عنه المنطق الكلاسيكي.
4. بديهية غودل-دوميت (GD)${\displaystyle A\implies B\vee B\implies A}$أبسط تفسير لها هو وجود ترتيب خطي لقيم الصواب. المنطق الأدنى + غودل-دوميت ينتج عنه منطق غودل-دوميت . قاعدة بيرس تستلزم منطق غودل-دوميت في المنطق الأدنى، لكنها لا تستلزمه.
5. قانون الوسط المرفوع (LEM)، مُعَدَّ بديهيًا${\displaystyle A\vee \neg A}$يُعدّ هذا التعبير الأكثر شيوعًا لمبدأ الثنائية ، لكنه في غياب قاعدة EFQ لا يُنتج منطقًا كلاسيكيًا كاملًا. المنطق الأدنى + LEM + EFQ يُنتج منطقًا كلاسيكيًا. قاعدة بيرس تستلزم قاعدة LEM في المنطق الأدنى، لكنها لا تستلزمها. إذا اقتصرت الصيغة B في قاعدة بيرس على التناقض، فإن مخطط البديهية...${\displaystyle (\neg A\implies A)\implies A}$، المخطط مكافئ لـ LEM على المنطق الأدنى.
6. يتم وضع بديهيات لقانون الوسط المرفوع الضعيف (WLEM).${\displaystyle \neg A\vee \neg \neg A}$وينتج عن ذلك نظامٌ يتصرف فيه الفصل المنطقي بشكلٍ أقرب إلى المنطق الكلاسيكي منه إلى المنطق الحدسي، أي أن خصائص الفصل والوجود لا تنطبق، ولكن استخدام الاستدلال غير الحدسي يتميز بحدوث نفي مزدوج في النتيجة. يستلزم LEM في المنطق الأدنى، ولكنه لا يستلزم WLEM. يُكافئ WLEM حالة قانون دي مورغان الذي يوزع النفي على العطف.${\displaystyle \neg (A\land B)\iff (\neg A)\vee (\neg B)}$.

في الرياضيات، يختلف الرمز المستخدم لتمثيل التناقض في البرهان. ^{[ 7 ]} من بين الرموز التي قد تُستخدم لتمثيل التناقض: ↯، Opq،${\displaystyle \Rightarrow \Leftarrow }$، ⊥،${\displaystyle \leftrightarrow \ \!\!\!\!\!\!\!}$/ و ※؛ في أي نظام رمزي، يمكن استبدال قيمة الصواب " خطأ " بالتناقض، كما هو مُرمز إليه، على سبيل المثال، بالرمز "0" (كما هو شائع في الجبر البولياني ). ليس من النادر رؤية عبارة QED ، أو بعض صيغها، مباشرةً بعد رمز التناقض. في الواقع، يحدث هذا غالبًا في البرهان بالتناقض للإشارة إلى أن الفرضية الأصلية قد ثبت خطأها، وبالتالي فإن نفيها يجب أن يكون صحيحًا.

بشكل عام، يتطلب إثبات الاتساق الأمرين التاليين:

1. نظام بديهي
2. إثبات أنه ليس من الممكن اشتقاق كل من الصيغة p ونفيها ~p في النظام.

لكن بغض النظر عن الطريقة المتبعة، يبدو أن جميع براهين الاتساق تستلزم المفهوم الأساسي للتناقض. علاوة على ذلك، يبدو أن هذا المفهوم يجب أن يكون "خارج" النظام الصوري في تعريف التكرار المنطقي.

عندما قام إميل بوست ، في كتابه "مقدمة لنظرية عامة للمقترحات الأولية" عام 1921، بتوسيع برهانه على اتساق حساب القضايا (أي المنطق) إلى ما هو أبعد من كتاب "برينسيبيا ماثيماتيكا" (PM)، لاحظ أنه فيما يتعلق بمجموعة معممة من المسلمات (أي البديهيات)، لن يكون قادرًا بعد الآن على استدعاء مفهوم "التناقض" تلقائيًا - فقد لا يكون هذا المفهوم موجودًا في المسلمات:

الشرط الأساسي لمجموعة من المسلمات هو أن تكون متسقة. ولأن المفهوم المعتاد للاتساق ينطوي على مفهوم التناقض، الذي ينطوي بدوره على النفي، ولأن هذه الوظيفة لا تظهر عمومًا كعنصر أساسي في [ مجموعة المسلمات المعممة ]، فلا بد من تقديم تعريف جديد. ^{[ 8 ]}

يُشرح حل بوست للمشكلة في العرض التوضيحي "مثال على برهان مطلق ناجح للاتساق"، الذي قدمه إرنست ناجل وجيمس ر. نيومان في كتابهما "برهان غودل" عام 1958. وقد لاحظا أيضًا مشكلة تتعلق بمفهوم "التناقض" وقيمه المنطقية المعتادة "الصواب" و"الخطأ". وقد لاحظا ما يلي:

تم تعريف خاصية التكرار المنطقي في مفاهيم الصدق والكذب. ومع ذلك، من الواضح أن هذه المفاهيم تتضمن إشارة إلى شيء خارج نطاق حساب الصيغ. لذلك، فإن الإجراء المذكور في النص يقدم في الواقع تفسيرًا للحساب، من خلال توفير نموذج للنظام. وبناءً على ذلك، لم يفِ المؤلفون بما وعدوا به، وهو " تعريف خاصية للصيغ من حيث السمات البنيوية البحتة للصيغ نفسها ". [في الواقع] ... إن براهين الاتساق القائمة على النماذج، والتي تستند إلى صحة البديهيات للوصول إلى اتساقها، لا تعدو كونها نقلًا للمشكلة. ^{[ 9 ]}

بالنظر إلى بعض "الصيغ الأولية" مثل بديهيات PM، S1 _VS2 [ الاستدلال الشامل أو _] و~S (النفي)، يُضطر المرء إلى تعريف البديهيات بدلالة هذه المفاهيم الأولية. يُبين بوست في PM، وبشكل شامل، ويُعرّف (كما فعل ناجل ونيومان، انظر أدناه) أن خاصية التكرار المنطقي - التي لم تُعرّف بعد - "موروثة": إذا بدأ المرء بمجموعة من البديهيات (المسلمات) التكرارية ونظام استنتاج يتضمن الاستبدال والقياس المنطقي ، فإن النظام المتسق سينتج عنه صيغ تكرارية فقط.

فيما يتعلق بتعريف التكرار ، أنشأ ناجل ونيومان فئتين حصريتين وشاملتين K1 _و K2 _، تندرج ضمنهما (نتيجة) البديهيات عندما تُسند متغيراتها (مثل S1 وS2) من هاتين الفئتين. وينطبق هذا أيضًا على الصيغ الأولية. على سبيل المثال: "تُصنف الصيغة التي تأخذ الشكل S1 _VS2 في _الفئة K2 _إذا كان _كل من S1 _و S2 _{ينتميان} إلى K2 _؛ وإلا تُصنف في K1 _" ، و"تُصنف الصيغة التي تأخذ الشكل ~S في K2 _إذا كان S ينتمي إلى K1 _؛ وإلا تُصنف في _K1 ^" . ^[ ₁₀ ^]

وبالتالي، يستطيع ناجل ونيومان الآن تعريف مفهوم التكرار : "تكون الصيغة تكرارية إذا وفقط إذا كانت تقع في الفئة K1 _، بغض النظر عن الفئة التي توضع فيها عناصرها". ^{[ 11 ]} وبهذه الطريقة، يتم وصف خاصية "كونها تكرارية" - دون الرجوع إلى نموذج أو تفسير.

على سبيل المثال، إذا كانت لدينا صيغة مثل ~S ₁ VS ₂ ، وقمنا بتعيين K ₁ لـ S ₁ و K ₂ لـ S ₂ ، فيمكننا تقييم الصيغة ووضع نتيجتها في إحدى الفئتين. تعيين K ₁ لـ S ₁ يضع ~S ₁ في K ₂ ، وبالتالي نلاحظ أن هذا التعيين يجعل الصيغة تقع في الفئة K _2. ومن ثم، بحسب التعريف، فإن صيغتنا ليست تحصيل حاصل.

لاحظ بوست أنه إذا كان النظام غير متسق، فإن الاستنتاج فيه (أي الصيغة الأخيرة في سلسلة من الصيغ المشتقة من التكرارات) قد يؤدي في النهاية إلى S نفسه. وبما أن إسناد قيمة إلى المتغير S يمكن أن يأتي من الفئة K1 _أو K2 _، فإن الاستنتاج ينتهك خاصية التوريث للتكرار (أي أن الاشتقاق يجب أن ينتج عنه تقييم لصيغة تندرج ضمن الفئة K1 ₎ . ومن هذا، تمكن بوست من استنباط التعريف التالي لعدم الاتساق - دون استخدام مفهوم التناقض :

التعريف. يُقال أن النظام غير متسق إذا أدى إلى تأكيد المتغير غير المعدل p [S في أمثلة نيومان وناجل].

بمعنى آخر، يمكن الاستغناء عن مفهوم "التناقض" عند بناء برهان الاتساق؛ ويحل محله مفهوم الفئات "الحصرية والشاملة". ولا يشترط أن يتضمن النظام البديهي مفهوم "التناقض". ^{[ 12 ] : 177}

يحدث التناقض العملي عندما يتعارض بيان الحجة نفسه مع الادعاءات التي تدعيها. وينشأ عدم الاتساق، في هذه الحالة، لأن فعل التلفظ، وليس مضمون ما يُقال، هو ما يُضعف النتيجة. ^{[ 14 ]}

في المادية الجدلية : يشير التناقض - كما هو مستمد من الهيغلية - عادةً إلى تضاد موجود جوهريًا ضمن مجال واحد، أو قوة أو موضوع موحد. هذا التناقض، على عكس التفكير الميتافيزيقي، ليس أمرًا مستحيلاً موضوعيًا، لأن هذه القوى المتناقضة موجودة في الواقع الموضوعي، لا تلغي إحداها الأخرى، بل تُحدد وجود كل منها. وفقًا للنظرية الماركسية ، يمكن إيجاد مثل هذا التناقض، على سبيل المثال، في حقيقة أن:

تنص النظريات الهيغلية والماركسية على أن الطبيعة الجدلية للتاريخ ستؤدي إلى تجاوز تناقضاته أو توليفها . ولذلك، افترض ماركس أن التاريخ سيجعل الرأسمالية تتطور منطقيًا إلى مجتمع اشتراكي حيث تخدم وسائل الإنتاج الطبقة العاملة والمنتجة على حد سواء، مما يحل التناقض السابق بين (أ) و(ب). ^{[ 15 ]}