ممتص الصدمات

في الأنظمة الفيزيائية ، يُعرف التخميد بأنه فقدان طاقة النظام المتذبذب نتيجةً للتبديد . ^{[ 1 ] [ 2 ]} ويُعرَّف التخميد بأنه تأثير داخل النظام المتذبذب أو عليه، ويؤدي إلى تقليل تذبذبه أو منعه. ^{[ 3 ]} ومن أمثلة التخميد: التخميد اللزج في السوائل (انظر: السحب اللزج )، والاحتكاك السطحي ، والإشعاع ، ^{[ 1 ]} والمقاومة في المذبذبات الإلكترونية ، وامتصاص الضوء وتشتيته في المذبذبات الضوئية . ويمكن أن يكون التخميد غير القائم على فقدان الطاقة مهمًا في أنظمة متذبذبة أخرى ، مثل تلك الموجودة في الأنظمة البيولوجية والدراجات ^{[ 4 ]} (مثال: نظام التعليق (الميكانيكا) ). ويجب عدم الخلط بين التخميد والاحتكاك ، الذي يُعد نوعًا من القوى المبددة للطاقة المؤثرة على النظام. ويمكن أن يُسبب الاحتكاك التخميد أو يكون أحد عوامله.

تُظهر العديد من الأنظمة سلوكًا تذبذبيًا عند إزاحتها عن وضع اتزانها الساكن . فعلى سبيل المثال، قد ترتد كتلة معلقة بنابض، عند سحبها ثم تركها، صعودًا وهبوطًا. وفي كل ارتداد، يميل النظام إلى العودة إلى وضع اتزانه، ولكنه يتجاوزه. وفي بعض الأحيان، تُخمد بعض العوامل (مثل الاحتكاك) النظام، مما قد يؤدي إلى انخفاض سعة التذبذبات تدريجيًا حتى تقترب من الصفر أو تضعف .

نسبة التخميد هي مقياس لا بعدي ، من بين مقاييس أخرى، يصف مدى تخميد النظام. ويرمز لها بـ ζ (" زيتا ") وتتراوح من غير مخمد ( ζ = 0 )، إلى مخمد بشكل ناقص ( ζ < 1 ) مروراً بالتخميد الحرج ( ζ = 1 ) وصولاً إلى التخميد الزائد ( ζ > 1 ).

يُعدّ سلوك الأنظمة المتذبذبة ذا أهمية بالغة في العديد من التخصصات، بما في ذلك هندسة التحكم ، والهندسة الكيميائية ، والهندسة الميكانيكية ، والهندسة الإنشائية ، والهندسة الكهربائية . وتختلف الكمية الفيزيائية المتذبذبة اختلافًا كبيرًا، فقد تكون تأرجح مبنى شاهق بفعل الرياح، أو سرعة محرك كهربائي ، إلا أن اتباع نهج معياري أو غير بُعدي قد يكون مناسبًا لوصف الجوانب المشتركة للسلوك.

اعتمادًا على مقدار التخميد الموجود، يُظهر النظام سلوكيات وسرعات تذبذبية مختلفة.

• في حالة عدم وجود فقد للطاقة في نظام الكتلة والنابض، ستتذبذب الكتلة إلى ما لا نهاية، مع كل ارتداد بنفس ارتفاع الارتداد السابق. تُسمى هذه الحالة الافتراضية بالحالة غير المخمدة .
• إذا احتوى النظام على خسائر عالية، على سبيل المثال إذا أُجريت تجربة الكتلة والنابض في سائل لزج ، فقد تعود الكتلة ببطء إلى موضع سكونها دون تجاوزه. تُسمى هذه الحالة بالتخميد الزائد .
• في العادة، تميل الكتلة إلى تجاوز موضعها الابتدائي، ثم تعود، لتتجاوزه مرة أخرى. مع كل تجاوز، يتبدد جزء من طاقة النظام، وتتلاشى التذبذبات تدريجياً حتى تقترب من الصفر. تُسمى هذه الحالة بالتخميد الناقص.
• بين حالتي التخميد الزائد والتخميد الناقص، يوجد مستوى معين من التخميد لا يتجاوز عنده النظام قيمة معينة ولا يُحدث أي تذبذب. تُسمى هذه الحالة بالتخميد الحرج . والفرق الرئيسي بين التخميد الحرج والتخميد الزائد هو أن النظام في حالة التخميد الحرج يعود إلى حالة التوازن في أقل وقت ممكن. ^{[ 5 ]}

الموجة الجيبية المخمدة هي دالة جيبية تقترب سعتها من الصفر مع مرور الوقت. وهي تُقابل حالة التخميد الناقص في الأنظمة المخمدة من الرتبة الثانية، أو المعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية ذات التخميد الناقص. [6] تُستخدم الموجات الجيبية المخمدة بكثرة في العلوم والهندسة ^{، حيث يفقد} المذبذب التوافقي الطاقة بمعدل أسرع من معدل تزويده بها. تبدأ الموجة الجيبية الحقيقية عند الزمن = 0 من نقطة الأصل (السعة = 0). أما موجة جيب التمام فتبدأ من قيمتها القصوى نظرًا لاختلاف طورها عن الموجة الجيبية. قد يكون لشكل الموجة الجيبية طور وسيط، أي أنه يحتوي على مركبتي الجيب وجيب التمام. يُستخدم مصطلح "الموجة الجيبية المخمدة" لوصف جميع أشكال الموجات المخمدة، بغض النظر عن طورها الابتدائي.

الشكل الأكثر شيوعًا للتخميد، والذي يُفترض عادةً، هو الشكل الموجود في الأنظمة الخطية. هذا الشكل هو التخميد الأسي، حيث يكون الغلاف الخارجي للقمم المتتالية منحنى اضمحلال أسي. أي أنه عند توصيل النقاط القصوى لكل منحنى متتالي، تشبه النتيجة دالة اضمحلال أسي. يمكن تمثيل المعادلة العامة لموجة جيبية مخمدة أسيًا كما يلي: $${\displaystyle y(t)=Ae^{-\lambda t}\cos(\omega t-\varphi )}$$ أين:

• ${\displaystyle y(t)}$هي السعة اللحظية عند الزمن t ؛
• ${\displaystyle A}$هي السعة الأولية للغلاف؛
• ${\displaystyle \lambda }$معدل التحلل، في مقلوب وحدات الزمن للمتغير المستقل t ؛
• ${\displaystyle \varphi }$هي زاوية الطور عند t = 0 ؛
• ${\displaystyle \omega }$التردد الزاوي .

وتشمل المعايير المهمة الأخرى ما يلي:

• تكرار :${\displaystyle f=\أوميغا /(2\pi )}$، وهو عدد الدورات لكل وحدة زمنية. ويُعبَّر عنه بوحدات زمنية معكوسة.${\displaystyle t^{-1}}$أو هرتز .
• ثابت الزمن :${\displaystyle \tau =1/\lambda }$، الوقت اللازم لانخفاض السعة بمعامل e .
• نصف العمر هو الوقت اللازم لانخفاض غلاف السعة الأسية بمقدار النصف. وهو يساوي${\displaystyle \ln(2)/\لامدا }$وهو ما يقارب${\displaystyle 0.693/\لامدا }$.
• نسبة التخميد:${\displaystyle \zeta }$هو وصف غير بُعدي لمعدل الاضمحلال بالنسبة للتردد، تقريبًا${\displaystyle \zeta =\lambda /\omega }$أو بالضبط${\displaystyle \zeta =\lambda /{\sqrt {\lambda ^{2}+\omega ^{2}}<1}$.
• عامل الجودة (Q) :${\displaystyle Q=1/(2\zeta )}$يُعدّ Q توصيفًا آخر غير بُعدي لمقدار التخميد؛ يشير Q العالي إلى تخميد بطيء بالنسبة للتذبذب.

نسبة التخميد هي مُعامل لا بُعدي، يُرمز له عادةً بالرمز ζ (الحرف اليوناني زيتا)، ^{[ 7 ]} وهو يُحدد مدى التخميد في معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الثانية . وهي ذات أهمية خاصة في دراسة نظرية التحكم ، كما أنها مهمة في المذبذب التوافقي . كلما زادت نسبة التخميد، زاد تخميد النظام.

• تتمتع الأنظمة غير المخمدة بنسبة تخميد تساوي صفرًا.
• تتمتع الأنظمة ذات التخميد المنخفض بقيمة أقل من واحد.
• تتمتع الأنظمة ذات التخميد الحرج بنسبة تخميد تبلغ 1.
• تتميز الأنظمة ذات التخميد الزائد بنسبة تخميد أكبر من 1.

تعبر نسبة التخميد عن مستوى التخميد في النظام بالنسبة للتخميد الحرج، ويمكن تعريفها باستخدام معامل التخميد:

${\displaystyle \zeta ={\frac {c}{c_{c}}}={\frac {\text{actual damping}}{\text{critical damping}}},}$

نسبة التخميد لا أبعاد لها، فهي نسبة معاملين لهما نفس الوحدات.

لنأخذ مثالاً بسيطاً لنموذج كتلة-نابض-مخمد بكتلة m ومعامل تخميد c وثابت نابض k ، حيث${\displaystyle x}$يمثل درجة الحرية ، ومعادلة حركة النظام معطاة بالصيغة التالية:

${\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=0}$[ ^{8 ]​}

معامل التخميد الحرج المقابل هو:${\displaystyle c_{c}=2{\sqrt {km}}}$

والتردد الطبيعي للنظام هو:${\displaystyle \omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$

باستخدام هذه التعريفات، يمكن التعبير عن معادلة الحركة على النحو التالي:

${\displaystyle {\ddot {x}}+2\zeta \omega _{n}{\dot {x}}+\omega _{n}^{2}x=0.}$

هذه المعادلة أعمّ من مجرد نظام الكتلة والنابض والمخمد، وهي تنطبق على الدوائر الكهربائية ومجالات أخرى. ويمكن حلها باستخدام هذا النهج.

${\displaystyle x(t)=Ce^{st},}$

حيث C و s كلاهما ثوابت مركبة ، مع s التي تحقق الشرط التالي:

${\displaystyle s=-\omega _{n}\left(\zeta \pm i{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\right).}$

يمكن دمج حلين من هذا القبيل، لقيمتي s اللتين تحققان المعادلة، لتكوين الحلول الحقيقية العامة، ذات الخصائص التذبذبية والمتناقصة في عدة أنظمة:

غير مخمد

هل هذا هو الحال حيث${\displaystyle \zeta =0}$يتوافق ذلك مع المذبذب التوافقي البسيط غير المخمد، وفي هذه الحالة يبدو الحل كما يلي${\displaystyle \exp(i\omega _{n}t)}$كما هو متوقع. هذه الحالة نادرة للغاية في العالم الطبيعي، وأقرب الأمثلة عليها هي الحالات التي تم فيها تقليل الاحتكاك عمداً إلى أدنى حد ممكن.

مخمد

إذا كان s زوجًا من القيم المركبة، فإن كل حد من حدود الحل المركب يكون دالة أسية متناقصة مقترنة بجزء متذبذب يبدو كالتالي:${\textstyle \exp \left(i\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}t\right)}$تحدث هذه الحالة لـ${\displaystyle \ 0\leq \zeta <1}$ويُشار إليه باسم المخمد بشكل ناقص (على سبيل المثال، كابل البنجي).

التخميد الزائد

إذا كان s زوجًا من القيم الحقيقية، فإن الحل هو ببساطة مجموع دالتين أُسيتين متناقصتين بدون تذبذب. تحدث هذه الحالة لـ${\displaystyle \zeta >1}$ويُشار إليه باسم التخميد الزائد . غالباً ما تكون عواقب تجاوز الهدف كارثية في الحالات التي يكون فيها التخميد الزائد عملياً، وعادةً ما يكون ذلك بسبب خلل كهربائي وليس ميكانيكي. على سبيل المثال، عند هبوط طائرة باستخدام الطيار الآلي: إذا تجاوز النظام الهدف وحرر عجلات الهبوط متأخراً جداً، فستكون النتيجة كارثية.

التخميد الحرج

الحالة التي${\displaystyle \zeta =1}$يمثل هذا الحد الفاصل بين حالتي التخميد الزائد والتخميد الناقص، ويُشار إليه بالتخميد الحرج . وقد تبين أن هذه النتيجة مرغوبة في العديد من الحالات التي تتطلب تصميمًا هندسيًا للمذبذب المخمد (مثل آلية إغلاق الباب).

يرتبط عامل الجودة Q ونسبة التخميد ζ ومعدل الاضمحلال الأسي α بحيث ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2Q}}={\alpha \over \omega _{n}}.}$

عندما يكون النظام من الدرجة الثانية${\displaystyle \zeta <1}$(أي عندما يكون النظام مخمدًا بشكل ناقص)، فإنه يحتوي على قطبين مترافقين مركبين لكل منهما جزء حقيقي من${\displaystyle -\alpha }$أي أن معامل معدل التضاؤل ​​يمثل معدل التضاؤل ​​الأسي للتذبذبات. انخفاض نسبة التخميد يعني انخفاض معدل التضاؤل، ولذلك تتذبذب الأنظمة ذات التخميد المنخفض جدًا لفترات طويلة. ^{[ 10 ]} على سبيل المثال، شوكة رنانة عالية الجودة ، ذات نسبة تخميد منخفضة جدًا، تتذبذب لفترة طويلة، وتتضاؤل ​​ببطء شديد بعد ضربها بمطرقة.

بالنسبة للاهتزازات المخمدة بشكل ناقص، ترتبط نسبة التخميد أيضًا بالتناقص اللوغاريتمي.${\displaystyle \delta }$يمكن إيجاد نسبة التخميد لأي قمتين، حتى لو لم تكونا متجاورتين. ^{[ 11 ]} بالنسبة للقمم المتجاورة: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle \zeta ={\frac {\delta }{\sqrt {\delta ^{2}+\left(2\pi \right)^{2}}}}}$ أين${\displaystyle \delta =\ln {\frac {x_{0}}{x_{1}}}}$

حيث x ₀ و x ₁ هما سعات أي قمتين متتاليتين.

كما هو موضح في الشكل على اليمين:

${\displaystyle \delta =\ln {\frac {x_{1}}{x_{3}}}=\ln {\frac {x_{2}}{x_{4}}}=\ln {\frac {x_{1}-x_{2}}{x_{3}-x_{4}}}}$

أين${\displaystyle x_{1}}$،${\displaystyle x_{3}}$تمثل سعات قمتين موجبتين متتاليتين موجبتين و${\displaystyle x_{2}}$،${\displaystyle x_{4}}$هي سعات قمتين سالبتين متتاليتين.

في نظرية التحكم ، يشير التجاوز إلى تجاوز المخرج لقيمته النهائية في حالة الاستقرار. ^{[ 13 ]} بالنسبة لإشارة دخل متدرجة ، فإن نسبة التجاوز (PO) هي القيمة القصوى مطروحًا منها قيمة الخطوة مقسومة على قيمة الخطوة. أما في حالة الخطوة الوحدوية، فإن التجاوز هو ببساطة القيمة القصوى لاستجابة الخطوة مطروحًا منها واحد.

ترتبط نسبة التجاوز (PO) بنسبة التخميد ( ζ ) من خلال:

${\displaystyle \mathrm {PO} =100\exp \left({-{\frac {\zeta \pi }{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}\right)}$

وعلى العكس من ذلك، فإن نسبة التخميد ( ζ ) التي تُنتج نسبة تجاوز معينة تُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle \zeta ={\frac {-\ln \left({\frac {\rm {PO}}{100}}\right)}{\sqrt {\pi ^{2}+\ln ^{2}\left({\frac {\rm {PO}}{100}}\right)}}}}$