المُنفِّذ

دالة القاطع الخارجي (المختصرة exsecant ، ويرمز لها exsec ) هي دالة مثلثية معرفة بدلالة دالة القاطع : $${\displaystyle \operatorname {exsec} \theta =\sec \theta -1={\frac {1}{\cos \theta }}-1.}$$

تم تقديمها في عام 1855 من قبل المهندس المدني الأمريكي تشارلز هاسليت ، الذي استخدمها بالتزامن مع وظيفة الجيب العكسي الموجودة .${\displaystyle \operatorname {vers} \theta =1-\cos \theta }$^{[ 3 ]} وقد اعتمدها المساحون والمهندسون المدنيون في الولايات المتحدة لتصميم السكك الحديدية والطرق ، ومنذ أوائل القرن العشرين، ذُكرت بإيجاز في بعض الأحيان في كتب علم المثلثات الأمريكية وكتيبات الهندسة العامة. ^{[ 4 ]} وللإحاطة ، عرّفت بعض الكتب أيضًا دالة القاطع المشترك أو القاطع الخارجي (يرمز لها بـ coexsec أو excsc ) .${\displaystyle \operatorname {coexsec} \theta ={}}$${\displaystyle \csc \theta -1}$، قاطع الزاوية المتممة ، ^{[ 5 ] [ 6 ]} على الرغم من أنه لم يُستخدم عمليًا. وبينما وُجدت تطبيقات أخرى للقاطع في بعض الأحيان، إلا أنه اليوم غير معروف وله أهمية تاريخية في المقام الأول. ^{[ 7 ]}

كقطعة مستقيمة ، يكون للقاطع الخارجي للدائرة أحد طرفيه على محيطها، ثم يمتد شعاعيًا إلى الخارج. طول هذه القطعة يساوي نصف قطر الدائرة مضروبًا في القاطع المثلثي للزاوية المركزية بين طرفها الداخلي ونقطة التماس لخط يمر بطرفها الخارجي ويمس الدائرة.

كلمة "قاطع " مشتقة من اللاتينية وتعني "يقطع"، والقاطع العام " يقطع" الدائرة، ويتقاطع معها مرتين؛ يعود هذا المفهوم إلى العصور القديمة ويمكن إيجاده في الكتاب الثالث من كتاب " الأصول " لإقليدس ، كما هو مستخدم على سبيل المثال في نظرية القواطع المتقاطعة . وقد أطلقت مصادر القرن الثامن عشر اللاتينية على أي قطعة مستقيمة غير مماسية خارجية للدائرة، تقع إحدى نهايتيها على محيطها، اسم " قاطع خارجي" . ^{[ 8 ]}

القاطع المثلثي ، الذي سمّاه توماس فينكه (1583)، يعتمد تحديدًا على قطعة مستقيمة طرفها الأول في مركز الدائرة وطرفها الآخر خارجها؛ تقسم الدائرة هذه القطعة إلى نصف قطر وقاطع خارجي. وقد استخدم غاليليو غاليلي (1632) القاطع الخارجي تحت اسم القاطع . ^{[ 9 ]}

في القرن التاسع عشر، شُيِّدت معظم خطوط السكك الحديدية من أقواس دائرية تُسمى المنحنيات البسيطة . ^{[ 10 ]} كان على المساحين والمهندسين المدنيين العاملين في السكك الحديدية إجراء العديد من العمليات الحسابية المثلثية المتكررة لقياس وتخطيط الأجزاء الدائرية من المسار. في أعمال المسح، وبشكل أعم في الهندسة التطبيقية، استُخدمت جداول الدوال المثلثية "الطبيعية" ولوغاريتماتها العشرية ، وذلك حسب العملية الحسابية المحددة. يُحوّل استخدام اللوغاريتمات عملية الضرب المكلفة للأعداد متعددة الأرقام إلى عملية جمع أرخص، كما أن النسخ اللوغاريتمية من جداول الدوال المثلثية وفّرت المزيد من الجهد بتقليل عدد عمليات البحث اللازمة في الجداول. ^{[ 11 ]}

القاطع الخارجي أو المسافة الخارجية لقسم مسار منحني هو أقصر مسافة بين المسار وتقاطع الخطوط المماسية من نهايات القوس، والتي تساوي نصف القطر مضروبًا في القاطع المثلثي لنصف الزاوية المركزية التي يشكلها القوس.${\displaystyle R\operatorname {exsec} {\tfrac {1}{2}}\Delta }$^{[ 12 ]} بالمقارنة، فإن الجيب العكسي لقسم مسار منحني هو أبعد مسافة من الوتر الطويل (القطعة المستقيمة بين نقطتي النهاية) إلى المسار ^{[ 13 ]} - انظر السهم - وهو ما يساوي نصف القطر مضروبًا في الجيب العكسي المثلثي لنصف الزاوية المركزية،${\displaystyle R\operatorname {vers} {\tfrac {1}{2}}\Delta }$هاتان الكميتان طبيعيتان للقياس أو الحساب عند مسح الأقواس الدائرية، والتي يجب ضربها أو قسمتها لاحقًا على كميات أخرى. وجد تشارلز هاسليت (1855) أن البحث المباشر عن لوغاريتم القاطع الخارجي والجيب العكسي يوفر جهدًا كبيرًا ويُنتج نتائج أكثر دقة مقارنةً بحساب الكمية نفسها من القيم الموجودة في جداول الدوال المثلثية المتوفرة سابقًا. [ ^{3 ] وقد} تبنى مؤلفون آخرون، مثل سيرلز (1880)، الفكرة نفسها. ^{[ 14 ]} وبحلول عام 1913، انتشر نهج هاسليت على نطاق واسع في صناعة السكك الحديدية الأمريكية، لدرجة أنه في ذلك السياق، "كانت جداول القواطع الخارجية والجيوب العكسية أكثر شيوعًا من جداول القواطع". ^{[ 15 ]}

في أواخر القرن التاسع عشر والقرن العشرين، بدأت خطوط السكك الحديدية باستخدام أقواس حلزون أويلر كمنحنى انتقالي للمسار بين المقاطع المستقيمة أو الدائرية ذات الانحناءات المختلفة. ويمكن حساب هذه المنحنيات الحلزونية تقريبًا باستخدام الدوال القاطعة والعكسية. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

يتطلب الأمر حل نفس أنواع المشاكل عند مسح المقاطع الدائرية للقنوات ^{[ 17 ]} والطرق، وكان لا يزال يتم استخدام أداة المسح في كتب منتصف القرن العشرين حول مسح الطرق. ^{[ 18 ]}

وقد استُخدمت المادة المتسربة أحيانًا في تطبيقات أخرى، مثل نظرية العارضة ^{[ 19 ]} وقياس العمق باستخدام سلك. ^{[ 20 ]}

في السنوات الأخيرة، أدى توفر الآلات الحاسبة وأجهزة الحاسوب إلى الاستغناء عن جداول الدوال المثلثية المتخصصة مثل هذه. ^{[ 21 ]} لا تُدمج دالة القاطع (Exsecant) عادةً بشكل مباشر في الآلات الحاسبة أو بيئات الحوسبة (مع أنها تُدرج أحيانًا في مكتبات البرامج )، ^{[ 22 ]} وأصبحت العمليات الحسابية عمومًا أرخص بكثير مما كانت عليه في السابق، إذ لم تعد تتطلب جهدًا يدويًا شاقًا.

التقييم الساذج للتعبيرات${\displaystyle 1-\cos \theta }$(فيرسين)${\displaystyle \sec \theta -1}$(القاطع) يمثل مشكلة للزوايا الصغيرة حيث${\displaystyle \sec \theta \approx \cos \theta \approx 1}$. يؤدي حساب الفرق بين كميتين متساويتين تقريبًا إلى إلغاء كارثي : نظرًا لأن معظم أرقام كل كمية متشابهة، فإنها تلغي بعضها البعض في عملية الطرح، مما ينتج عنه نتيجة أقل دقة.

على سبيل المثال، قاطع الزاوية 1° يساوي تقريبًا1.000 152 ، مع إهدار الأرقام الأولى على الأصفار، بينما اللوغاريتم العشري لقاطع 1° هو تقريبًا−3.817 220 ، ^{[ 23 ]} وجميع أرقامها ذات دلالة. إذا تم حساب لوغاريتم القاطع بالبحث عن القاطع في جدول الدوال المثلثية ذي الستة خانات ثم طرح 1 ، فإن الفرق sec 1° − 1 ≈ العدد 0.000 152 يحتوي على 3 أرقام معنوية فقط ، وبعد حساب اللوغاريتم، تكون الأرقام الثلاثة فقط صحيحة، log(sec 1° − 1) ≈  −3.81 8 156 . ^{[ 24 ]} بالنسبة للزوايا الأصغر، يكون فقدان الدقة أسوأ.

إذا لم يتوفر جدول أو تطبيق حاسوبي لدالة القاطع، فيمكن حساب القاطع بدقة كما يلي:${\displaystyle \operatorname {exsec} \theta =\tan \theta \,\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }$أو باستخدام فيرسين،${\displaystyle \operatorname {exsec} \theta =\operatorname {vers} \theta \,\sec \theta }$والتي يمكن حسابها بدورها على النحو التالي${\displaystyle \textstyle \operatorname {vers} \theta =2{\bigl (}{\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}={}}$${\displaystyle \sin \theta \,\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }$استخدم هاسليت هذه المتطابقات لحساب جداول القطع والجيب العكسي لعام 1855. ^{[ 25 ] [ 26 ]}

بالنسبة لزاوية صغيرة بما فيه الكفاية، يكون شكل القوس الدائري تقريبًا مثل القطع المكافئ ، ويكون الجيب العكسي والقاطع متساويين تقريبًا ويتناسبان مع مربع طول القوس. ^{[ 27 ]}

• الوتر (في الهندسة) - قطعة مستقيمة تقع نهايتاها على محيط دائرة، وقد استُخدمت تاريخيًا في حساب المثلثات
• الدالة الأسية ناقص 1${\displaystyle x\mapsto e^{x}-1}$كما تُستخدم لتحسين الدقة للمدخلات الصغيرة