التكرار ذو النقطة الثابتة

في التحليل العددي ، يعد التكرار ذو النقطة الثابتة طريقة لحساب النقاط الثابتة للدالة.

وبشكل أكثر تحديدًا، بالنظر إلى دالة $f$ معرفة على الأعداد الحقيقية ذات القيم الحقيقية ومعطى نقطة $x_{0}$ في مجال $f$ ، التكرار ذو النقطة الثابتة هو $x_{n+1}=f(x_{n}),\,n=0,1,2,\dots$ مما يؤدي إلى ظهور التسلسل $x_{0},x_{1},x_{2},\dots$ تطبيقات الدوال المتكررة $x_{0},f(x_{0}),f(f(x_{0})),\dots$ والتي يُؤمل أن تتقارب إلى نقطة واحدة $x_{\text{fix}}$ . لو $f$ إذا كانت الدالة متصلة، فيمكن إثبات أن الدالة التي تم الحصول عليها $x_{\text{fix}}$ هي نقطة ثابتة لـ $f$ ، أي، $f(x_{\text{fix}})=x_{\text{fix}}.$

وبشكل أعم، الوظيفة $f$ يمكن تعريفها على أي فضاء متري بقيم في نفس ذلك الفضاء.

أمثلة

أول مثال بسيط ومفيد هو الطريقة البابلية لحساب الجذر التربيعي لـ $a > 0$ ، والتي تتكون من أخذ $f(x)={\frac {1}{2}}\left({\frac {a}{x}}+x\right)$ ، أي القيمة المتوسطة لـ $x$ و $a / x$ ، للوصول إلى الحد $x={\sqrt {a}}$ (من أي نقطة بداية) $x_{0}\gg 0$ ). هذه حالة خاصة من طريقة نيوتن المذكورة أدناه.
التكرار ذو النقطة الثابتة $x_{n+1}=\cos x_{n}\,$ يتقارب إلى النقطة الثابتة الوحيدة للدالة $f(x)=\cos x\,$ لأي نقطة بداية $x_{0}.$ يُحقق هذا المثال (على أقصى تقدير بعد خطوة التكرار الأولى) افتراضات نظرية باناش للنقطة الثابتة . وبالتالي، فإن الخطأ بعد n خطوة يُحقق ما يلي: $|x_{n}-x|\leq {q^{n} \over 1-q}|x_{1}-x_{0}|=Cq^{n}$ (حيث يمكننا أن نأخذ) $q=0.85$ إذا بدأنا من $x_{0}=1$ ) عندما يكون الخطأ أقل من مضاعف لـ $q^{n}$ بالنسبة لثابت ما $q$ ، نقول إن لدينا تقاربًا خطيًا . تسمح نظرية باناش للنقطة الثابتة بالحصول على تكرارات النقطة الثابتة ذات التقارب الخطي.
يُعدّ شرط استمرارية الدالة $f$ شرطًا مهمًا، كما يُبيّن المثال التالي. التكرار $x_{n+1}={\begin{cases}{\frac {x_{n}}{2}},&x_{n}\neq 0\\1,&x_{n}=0\end{cases}}$ يتقارب إلى 0 لجميع قيم $x_{0}$ ومع ذلك، فإن الصفر ليس نقطة ثابتة للدالة $f(x)={\begin{cases}{\frac {x}{2}},&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}}$ لأن هذه الدالة غير متصلة عند $x=0$ وفي الواقع ليس لها نقاط ثابتة.

جذب النقاط الثابتة

النقطة الثابتة الجاذبة للدالة f $هي$ نقطة ثابتة $x fix$ للدالة $f$ ، ولها جوار $U$ من النقاط "القريبة بما يكفي" حول $x fix$ بحيث يكون لأي قيمة $x$ في $U$ ، سلسلة تكرار النقطة الثابتة $x,\ f(x),\ f(f(x)),\ f(f(f(x))),\dots$ تقع ضمن $U$ وتتقارب إلى $x$ $fix$ . حوض الجذب لـ ^x $fix$ $هو$ أكبر جوار من هذا النوع $U.$ ^[¹ ]

دالة جيب التمام الطبيعية ("طبيعية" تعني بالراديان ، وليس بالدرجات أو وحدات أخرى) لها نقطة ثابتة واحدة فقط، وهذه النقطة الثابتة جاذبة. في هذه الحالة، لا يُعدّ "التقارب الكافي" معيارًا صارمًا على الإطلاق - ولإثبات ذلك، ابدأ بأي عدد حقيقي واضغط بشكل متكرر على زر جيب التمام في الآلة الحاسبة (مع التأكد أولًا من أن الآلة الحاسبة في وضع "الراديان"). ستتقارب الدالة في النهاية إلى عدد دوتي (حوالي 0.739085133)، وهي نقطة ثابتة. عند هذه النقطة يتقاطع منحنى دالة جيب التمام مع الخط $y=x$ [ ²^]

ليست كل النقاط الثابتة جاذبة. على سبيل المثال، الصفر نقطة ثابتة للدالة $f (x) = 2x ،$ لكن تكرار هذه الدالة لأي قيمة أخرى غير الصفر يؤدي إلى تباعد سريع. نقول إن النقطة الثابتة لـ $f(x)=2x$ إنه طارد.

يقال إن النقطة الثابتة الجاذبة هي نقطة ثابتة مستقرة إذا كانت مستقرة أيضًا وفقًا لمعيار ليابونوف .

تُسمى النقطة الثابتة نقطة ثابتة مستقرة محايدة إذا كانت مستقرة وفقًا لمعيار ليابونوف ولكنها غير جاذبة. ويُعد مركز معادلة تفاضلية خطية متجانسة من الرتبة الثانية مثالًا على نقطة ثابتة مستقرة محايدة.

يمكن تجميع نقاط جذب متعددة في مجموعة ثابتة جاذبة .

نظرية باناش للنقطة الثابتة

تُقدّم نظرية باناش للنقطة الثابتة شرطًا كافيًا لوجود نقاط ثابتة جاذبة. دالة تحويل انكماشية $f$ المعرفة على فضاء متري كامل لها نقطة ثابتة واحدة فقط، وتنجذب عملية التكرار عند النقطة الثابتة نحو تلك النقطة الثابتة لأي تخمين أولي. $x_{0}$ في مجال الدالة. ومن الحالات الخاصة الشائعة ما يلي: (1) $f$ تُعرَّف على خط الأعداد الحقيقية بقيم حقيقية، وهي متصلة ليبشيتز بثابت ليبشيتز. $L<1$ و(2) الدالة $f$ قابلة للتفاضل باستمرار في جوار مفتوح لنقطة ثابتة $x fix$ ، و $|f'(x_{\text{fix}})|<1$ .

على الرغم من وجود نظريات أخرى للنقطة الثابتة ، إلا أن هذه النظرية تحديدًا مفيدة للغاية لأن ليس كل نقطة ثابتة جاذبة. عند بناء تكرار النقطة الثابتة، من المهم جدًا التأكد من تقاربه إلى النقطة الثابتة. يمكننا عادةً استخدام نظرية باناش للنقطة الثابتة لإثبات أن النقطة الثابتة جاذبة.

عوامل الجذب

تُعدّ النقاط الثابتة الجاذبة حالة خاصة من مفهوم رياضي أوسع يُعرف باسم الجاذبات . وتُمثّل تكرارات النقطة الثابتة نظامًا ديناميكيًا منفصلاً يعتمد على متغير واحد. وتدرس نظرية التشعب الأنظمة الديناميكية وتصنف سلوكيات متنوعة مثل النقاط الثابتة الجاذبة، والمدارات الدورية ، والجاذبات الغريبة . ومن الأمثلة على ذلك الخريطة اللوجستية .

الأساليب التكرارية

في الرياضيات الحسابية، تُعرَّف الطريقة التكرارية بأنها إجراء رياضي يستخدم قيمة ابتدائية لتوليد سلسلة من الحلول التقريبية المحسّنة لفئة من المسائل، حيث يُشتق التقريب النوني من التقريبات السابقة. وتُعدّ التكرارات المتقاربة ذات النقطة الثابتة صياغة رياضية دقيقة للطرق التكرارية.

أمثلة على الأساليب التكرارية

طريقة نيوتن هي خوارزمية لإيجاد جذور دالة قابلة للتفاضل معطاة . $f(x)$ التكرار هو ${\textstyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}.}$ إذا كتبنا ${\textstyle g(x)=x-{\frac {f(x)}{f'(x)}}}$ يمكننا إعادة كتابة تكرار نيوتن كتكرار النقطة الثابتة ${\textstyle x_{n+1}=g(x_{n})}$ إذا تقاربت هذه العملية التكرارية إلى نقطة ثابتة $x_{\text{fix}}$ من $g$ ، إذن ${\textstyle x_{\text{fix}}=g(x_{\text{fix}})=x_{\text{fix}}-{\frac {f(x_{\text{fix}})}{f'(x_{\text{fix}})}}}$ ، لذا ${\textstyle f(x_{\text{fix}})/f'(x_{\text{fix}})=0,}$ لذلك $f(x_{\text{fix}})=0$ ، إنه، $x_{\text{fix}}$ هو جذر $f$ بناءً على افتراضات نظرية باناش للنقطة الثابتة ، تُظهر طريقة نيوتن التكرارية، المُصاغة كطريقة نقطة ثابتة، تقاربًا خطيًا على الأقل . ويُظهر تحليل أكثر تفصيلًا تقاربًا تربيعيًا ، أي ${\textstyle |x_{n}-x_{\text{fix}}|<Cq^{2^{n}}}$ ، في ظل ظروف معينة.
تتشابه طريقة هالي مع طريقة نيوتن عندما تعمل بشكل صحيح، لكن خطأها هو $|x_{n}-x_{\text{fix}}|<Cq^{3^{n}}$ ( التقارب التكعيبي ). بشكل عام، من الممكن تصميم طرق تتقارب بسرعة $Cq^{k^{n}}$ لأي $k\in \mathbb {N}$ كقاعدة عامة، كلما زادت قيمة $k$ ، قلّ استقرار الطريقة، وزادت تكلفتها الحسابية. ولهذه الأسباب، لا تُستخدم عادةً الطرق ذات الرتبة الأعلى.
يمكن اعتبار طرق رونج-كوتا وحلول المعادلات التفاضلية العادية العددية بشكل عام بمثابة تكرارات النقطة الثابتة. في الواقع، تكمن الفكرة الأساسية عند تحليل استقرار A لحلول المعادلات التفاضلية العادية في البدء بالحالة الخاصة. $y'=ay$ ، أين $a$ هو عدد مركب ، وللتحقق مما إذا كان حل المعادلات التفاضلية العادية يتقارب إلى النقطة الثابتة $y_{\text{fix}}=0$ كلما كان الجزء الحقيقي من $a$ سالب. ^{[ أ ]}
تُعدّ نظرية بيكارد -ليندلوف ، التي تُبيّن أن للمعادلات التفاضلية العادية حلولاً، تطبيقاً لنظرية باناش للنقطة الثابتة على متتالية خاصة من الدوال تُشكّل تكراراً للنقطة الثابتة، مما يُؤدي إلى بناء حل المعادلة. يُطلق على حل المعادلة التفاضلية العادية بهذه الطريقة اسم تكرار بيكارد ، أو طريقة بيكارد ، أو عملية بيكارد التكرارية .
يمكن استخدام خاصية التكرار في برنامج إكسل لإيجاد حلول لمعادلة كولبروك بدقة تصل إلى 15 رقمًا معنويًا. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}
تعتمد بعض مخططات "التقريب المتتالي" المستخدمة في البرمجة الديناميكية لحل معادلة بيلمان الوظيفية على تكرارات النقطة الثابتة في فضاء دالة العودة. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}
يتوافق نموذج شبكة العنكبوت لنظرية الأسعار مع التكرار ذي النقطة الثابتة لتكوين دالة العرض ودالة الطلب. ^{[ 7 ]}

تسريع التقارب

يمكن زيادة سرعة تقارب سلسلة التكرارات باستخدام طريقة تسريع التقارب ، مثل تسريع أندرسون وعملية دلتا تربيع لأيتكن . يُعرف تطبيق طريقة أيتكن على تكرار النقطة الثابتة بطريقة ستيفنسن ، ويمكن إثبات أن طريقة ستيفنسن تُحقق معدل تقارب لا يقل عن المعدل التربيعي.

لعبة الفوضى

يشير مصطلح $"$ لعبة الفوضى" $إلى$ طريقة لتوليد النقطة الثابتة لأي نظام دوال متكررة (IFS). بدءًا من أي نقطة $x₀ ،$ تُشكّل التكرارات المتتالية على النحو التالي: $xₖ₊₁ = fᵣ (xₖ)$ ، حيث $fᵣ عنصر من نظام الدوال المتكرر المعطى$ $،$ $يتم اختياره$ عشوائيًا لكل تكرار. وبالتالي، فإن لعبة الفوضى هي تكرار عشوائي للنقطة الثابتة. تسمح لعبة الفوضى برسم الشكل العام لكسر $هندسي$ ، مثل مثلث سيربينسكي، $من$ خلال تكرار العملية عددًا كبيرًا من المرات. رياضيًا، تتقارب التكرارات نحو النقطة الثابتة لنظام الدوال المتكرر. عندما تنتمي $x₀$ إلى جاذب نظام الدوال المتكرر، تبقى جميع التكرارات $xₖ داخل الجاذب ،$ وتشكل، باحتمالية 1، مجموعة كثيفة فيه.

انظر أيضاً

مراجع

↑ يمكن أيضًا اعتبار بعض التكرارات مستقرة من النوع A إذا ظلت التكرارات محدودة لفترة طويلة، وهو أمر خارج نطاق هذه المقالة.

↑ راسيس، ثيميستوكليس م.؛ باردالوس، بانوس م. (17 سبتمبر 2014). الرياضيات بلا حدود: دراسات استقصائية في الرياضيات البحتة . سبرينغر. ISBN 978-1-4939-1106-6.
↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "رقم دوتي" . وولفرام ماث وورلد . وولفرام ريسيرش، إنك . تم الاسترجاع في 23 يوليو 2016 .
↑ إم إيه كومار (2010)، حل المعادلات الضمنية (كولبروك) ضمن ورقة عمل، كريت سبيس، رقم ISBN 1-4528-1619-0
↑ بركيتش، ديجان (2017) حل معادلة كولبروك الضمنية لاحتكاك التدفق باستخدام برنامج إكسل، جداول البيانات في التعليم (eJSiE): المجلد 10: العدد 2، المقالة 2. متاح على الرابط التالي: https://sie.scholasticahq.com/article/4663-solution-of-the-implicit-colebrook-equation-for-flow-friction-using-excel
↑ بيلمان، ر. (1957). البرمجة الديناميكية، مطبعة جامعة برينستون.
↑ سنيدوفيتش، م. (2010). البرمجة الديناميكية: الأسس والمبادئ، تايلور وفرانسيس .
↑ أونوزاكي، تاموتسو (2018). "الفصل 2. نموذج شبكة العنكبوت غير الخطي أحادي البعد". اللاخطية، والعقلانية المحدودة، وعدم التجانس: بعض جوانب اقتصادات السوق كنظم معقدة . سبرينغر. ISBN 978-4-431-54971-0.

للمزيد من القراءة

بيردن، ريتشارد ل.؛ فيرز، ج. دوغلاس (1985). "التكرار ذو النقطة الثابتة". التحليل العددي ( الطبعة الثالثة). دار نشر PWS. ISBN 0-87150-857-5.
هوفمان، جو د.؛ فرانكل، ستيفن (2001). "التكرار ذو النقطة الثابتة" . الطرق العددية للمهندسين والعلماء ( الطبعة الثانية). نيويورك: مطبعة سي آر سي. الصفحات 141-145 . ISBN 0-8247-0443-6.
جود، كينيث ل. (1998). "التكرار ذو النقطة الثابتة" . الأساليب العددية في الاقتصاد . كامبريدج: مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ص 165-167 . ISBN 0-262-10071-1.
ستيرنبرغ، شلومو (2010). "التكرار والنقاط الثابتة". الأنظمة الديناميكية ( الطبعة الأولى). منشورات دوفر. ISBN 978-0486477053.
شاشكين، يوري أ. (1991). "9. طريقة التكرار". النقاط الثابتة ( الطبعة الأولى). الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 0-8218-9000-X.
روزا أليساندرو (2021). "تاريخ عرضي لمخطط التكرار المدرج" . تحف الرياضيات . 15 : 3 – 90. دوى : 10.14708/am.v15i1.7056 . S2CID 247259939 .

روابط خارجية

[3] يمكن أيضًا اعتبار بعض التكرارات مستقرة من النوع A إذا ظلت التكرارات محدودة لفترة طويلة، وهو أمر خارج نطاق هذه المقالة.

[1] راسيس، ثيميستوكليس م.؛ باردالوس، بانوس م. (17 سبتمبر 2014). الرياضيات بلا حدود: دراسات استقصائية في الرياضيات البحتة . سبرينغر. ISBN 978-1-4939-1106-6.

[wolfram-2] وايسشتاين، إريك دبليو. "رقم دوتي" . وولفرام ماث وورلد . وولفرام ريسيرش، إنك . تم الاسترجاع في 23 يوليو 2016 .

[4] إم إيه كومار (2010)، حل المعادلات الضمنية (كولبروك) ضمن ورقة عمل، كريت سبيس، رقم ISBN 1-4528-1619-0

[5] بركيتش، ديجان (2017) حل معادلة كولبروك الضمنية لاحتكاك التدفق باستخدام برنامج إكسل، جداول البيانات في التعليم (eJSiE): المجلد 10: العدد 2، المقالة 2. متاح على الرابط التالي: https://sie.scholasticahq.com/article/4663-solution-of-the-implicit-colebrook-equation-for-flow-friction-using-excel

[6] بيلمان، ر. (1957). البرمجة الديناميكية، مطبعة جامعة برينستون.

[7] سنيدوفيتش، م. (2010). البرمجة الديناميكية: الأسس والمبادئ، تايلور وفرانسيس .

[8] أونوزاكي، تاموتسو (2018). "الفصل 2. نموذج شبكة العنكبوت غير الخطي أحادي البعد". اللاخطية، والعقلانية المحدودة، وعدم التجانس: بعض جوانب اقتصادات السوق كنظم معقدة . سبرينغر. ISBN 978-4-431-54971-0.

x

2

[ أ ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]