الإطار (الجبر الخطي)

لنفترض أن لدينا فضاء متجهي${\displaystyle V}$فوق حقل${\displaystyle F}$ونريد التعبير عن عنصر عشوائي${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$كتركيبة خطية من المتجهات${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}\subset V}$أي إيجاد المعاملات${\displaystyle \{c_{k}\}\subset F}$بحيث

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{k}c_{k}\mathbf {e} _{k}.}$

إذا كانت المجموعة${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$لا يمتد${\displaystyle V}$إذن، لا توجد مثل هذه المعاملات لكل من هذه${\displaystyle \mathbf {v} }$. لو${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$يمتد${\displaystyle V}$ونظرًا لكونها مستقلة خطيًا أيضًا ، فإن هذه المجموعة تشكل أساسًا لـ${\displaystyle V}$والمعاملات${\displaystyle c_{k}}$يتم تحديدها بشكل فريد بواسطة${\displaystyle \mathbf {v} }$لكن إذا${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$يمتد${\displaystyle V}$ولكن إذا لم تكن مستقلة خطيًا، فإن مسألة كيفية تحديد المعاملات تصبح أقل وضوحًا، خاصة إذا${\displaystyle V}$له أبعاد لا نهائية.

بشرط${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$يمتد${\displaystyle V}$ولأنها مرتبطة خطيًا، تتمثل إحدى الاستراتيجيات في إزالة المتجهات من المجموعة حتى تصبح مستقلة خطيًا وتشكل أساسًا. لكن هذه الخطة تنطوي على بعض المشاكل:

1. قد يؤدي حذف متجهات عشوائية من المجموعة إلى عدم قدرتها على التوليد${\displaystyle V}$قبل أن تصبح مستقلة خطيًا.
2. حتى لو كان من الممكن ابتكار طريقة محددة لإزالة المتجهات من المجموعة حتى تصبح أساسًا، فقد يصبح هذا النهج غير عملي من الناحية العملية إذا كانت المجموعة كبيرة أو لا نهائية.
3. في بعض التطبيقات، قد يكون من المفيد استخدام عدد أكبر من المتجهات مما هو ضروري لتمثيل${\displaystyle \mathbf {v} }$هذا يعني أننا نريد إيجاد المعاملات${\displaystyle c_{k}}$دون إزالة العناصر في${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$المعاملات${\displaystyle c_{k}}$لن يتم تحديدها بشكل فريد بعد الآن بواسطة${\displaystyle \mathbf {v} }$لذلك، فإن المتجه${\displaystyle \mathbf {v} }$يمكن تمثيلها كمزيج خطي من${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$بأكثر من طريقة.

يترك${\displaystyle V}$كن مساحة منتج داخلية و${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$لتكن مجموعة من المتجهات في${\displaystyle V}$المجموعة${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$هو إطار من${\displaystyle V}$إذا استوفى ما يسمى بشرط الإطار . أي، إذا وُجد ثابتان${\displaystyle 0<A\leq B<\infty }$بحيث ^{[ 5 ]}

${\displaystyle A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq \sum _{k\in \mathbb {N} }\left|\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \right|^{2}\leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2},\quad \forall \mathbf {v} \in V.}$

يُطلق على الإطار اسم الإطار الزائد (أو المُفرط ) إذا لم يكن أساس ريز للفضاء المتجهي. ويُقاس فائض الإطار بحدود الإطار الدنيا والعليا (أو عوامل الفائض ).${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$على التوالي. ^{[ 6 ]} أي إطار من${\displaystyle K\geq N}$المتجهات المعيارية${\displaystyle \|\mathbf {e} _{ك}\|=1}$في${\displaystyle N}$فضاء ذو ​​أبعاد${\displaystyle V}$له حدود إطارية تحقق

${\displaystyle 0<A\leq {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{K}|\langle \mathbf {e} _{k},\mathbf {e} _{k}\rangle |^{2}={\frac {K}{N}}\leq B<\infty .}$

إذا كان الإطار أساس ريز وبالتالي مستقلاً خطياً ، فإن${\displaystyle A\leq 1\leq B}$.

حدود الإطار ليست فريدة لأن الأرقام الأقل من${\displaystyle A}$وأكبر من${\displaystyle B}$تُعدّ هذه الحدود أيضًا حدودًا إطارية صالحة. الحد الأدنى الأمثل هو الحد الأعلى لجميع الحدود الدنيا، والحد الأعلى الأمثل هو الحد الأدنى لجميع الحدود العليا.

إذا تحقق شرط الإطار، فإن العامل الخطي المعرف على النحو التالي ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \mathbf {T} :V\to \ell ^{2}،\quad \mathbf {v} \mapsto \mathbf {T} \mathbf {v} =\{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e_{k}} \rangle \}_{k\in \mathbb {N} },}$

رسم الخرائط${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$إلى تسلسل معاملات الإطار${\displaystyle c_{k}=\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e_{k}} \rangle }$يُطلق عليه اسم عامل التحليل . باستخدام هذا التعريف، يمكن إعادة كتابة شرط الإطار على النحو التالي:

${\displaystyle A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq \left\|\mathbf {T} \mathbf {v} \right\|^{2}=\sum _{k}\left|\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \right|^{2}\leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}.}$

يُطلق على العامل المرافق لمؤثر التحليل اسم عامل التركيب للإطار ويتم تعريفه على النحو التالي ^{[ 8 ].}

${\displaystyle \mathbf {T} ^{*}:\ell ^{2}\to V,\quad \{c_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }\mapsto \sum _{k}c_{k}\mathbf {e} _{k}.}$

يؤدي تركيب عامل التحليل وعامل التركيب إلى عامل الإطار المعرّف على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {S} :V\rightarrow V,\quad \mathbf {v} \mapsto \mathbf {S} \mathbf {v} =\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} \mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{ك}.}$

انطلاقًا من هذا التعريف والخطية في الوسيط الأول للجداء الداخلي، ينتج الآن شرط الإطار

${\displaystyle A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq \left\|\mathbf {T} \mathbf {v} \right\|^{2}=\langle \mathbf {S} \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}.}$

إذا كان عامل التحليل موجودًا، فإن عامل الإطار موجود أيضًا.${\displaystyle \mathbf {S} }$وكذلك العكس${\displaystyle \mathbf {S} ^{-1}}$. كلاهما${\displaystyle \mathbf {S} }$و${\displaystyle \mathbf {S} ^{-1}}$هي مؤثرات ذاتية الترافق موجبة التحديد ومحدودة ، مما ينتج عنه${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$تمثل القيم الدنيا والعليا لطيف${\displaystyle \mathbf {S} }$[ ^{9 ]} في الأبعاد المحدودة، يكون عامل الإطار تلقائيًا ^من فئة التتبع ، مع${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$المقابل لأصغر وأكبر القيم الذاتية لـ${\displaystyle \mathbf {S} }$أو، بصورة مكافئة، أصغر وأكبر القيم المفردة لـ${\displaystyle \mathbf {T} }$[ ^{10 ]​}

يُعد شرط الإطار تعميمًا لهوية بارسيفال التي تحافظ على تكافؤ المعيار بين إشارة في${\displaystyle V}$وتسلسل معاملاته في${\displaystyle \ell ^{2}}$.

إذا كانت المجموعة${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$هو إطار من${\displaystyle V}$، وهي تمتد${\displaystyle V}$وإلا لكان هناك على الأقل قيمة واحدة غير صفرية${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$والذي سيكون متعامدًا مع الجميع${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$بحيث

${\displaystyle A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq 0\leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2};}$

إما بانتهاك شرط الإطار أو الافتراض بأن${\displaystyle \mathbf {v} \neq 0}$.

ومع ذلك، فإن مجموعة واسعة من${\displaystyle V}$ليس بالضرورة إطارًا. على سبيل المثال، ضع في اعتبارك${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$باستخدام الضرب النقطي ، والمجموعة اللانهائية${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$مقدم من

${\displaystyle \left\{(1,0),\,(0,1),\,\left(0,{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right),\,\left(0,{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right),\dotsc \right\}.}$

هذه المجموعة تشمل${\displaystyle V}$لكن منذ ذلك الحين

${\displaystyle \sum _{k}\left|\langle \mathbf {e} _{k},(0,1)\rangle \right|^{2}=0+1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dotsb =\infty ,}$

لا يمكننا اختيار حد أعلى محدود للإطار B. وبالتالي، فإن المجموعة${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ليس إطارًا.

يفترض${\displaystyle V}$هو فضاء جزئي من فضاء هيلبرت${\displaystyle H}$ودع${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$و${\displaystyle \{{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$أن يكون إطارًا وإطارًا مزدوجًا من${\displaystyle V}$، على التوالي. إذا${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$لا يعتمد على${\displaystyle f\in H}$، يتم حساب الإطار المزدوج على النحو التالي

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {e} }}_{k}=(\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} _{V})^{-1}\mathbf {e} _{k},}$

أين${\displaystyle \mathbf {T} _{V}}$يشير إلى تقييد${\displaystyle \mathbf {T} }$ل${\displaystyle V}$بحيث${\displaystyle \mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} _{V}}$قابلة للعكس على${\displaystyle V}$أفضل تقريب خطي لـ${\displaystyle f}$في${\displaystyle V}$ثم يتم الحصول عليها من خلال الإسقاط المتعامد لـ${\displaystyle f\in H}$على${\displaystyle V}$، كما هو مُعرَّف

${\displaystyle P_{V}f=\sum _{k}\langle f,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {\tilde {e}} _{k}=\sum _{k}\langle f,\mathbf {\tilde {e}} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}.}$

يُعرَّف عامل توليف الإطار المزدوج على النحو التالي:

${\displaystyle P_{V}f={\widetilde {\mathbf {T} }}^{*}\mathbf {T} f=(\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} _{V})^{-1}\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} f=\sum _{k}\langle f,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {\tilde {e}} _{k},}$

ويتم حساب الإسقاط المتعامد من معاملات الإطار${\displaystyle \langle f,\mathbf {e} _{k}\rangle }$في التحليل الثنائي، يتم حساب الإسقاط المتعامد من${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$مثل

${\displaystyle P_{V}f=\mathbf {T} ^{*}{\widetilde {\mathbf {T} }}f=\sum _{k}\langle f,\mathbf {\tilde {e}} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}}$

مع مشغل تحليل الإطار المزدوج${\displaystyle \{{\widetilde {\mathbf {T} }}f\}_{k}=\langle f,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle }$[ ^{12 ]​}

من التحليل التوافقي يُعرف أن النظام المثلثي المعقد${\textstyle \{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{ikx}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$تشكل أساسًا متعامدًا لـ${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$. كما،${\textstyle \{e^{ikx}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$هو إطار (ضيق) لـ${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$بحدود${\displaystyle A=B=2\pi }$[ ^{14 ]​}

يظل النظام مستقراً في ظل اضطرابات "صغيرة بما فيه الكفاية".${\displaystyle \{\lambda _{k}-k\}}$والإطار${\textstyle \{e^{i\lambda _{k}x}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$سيشكل ذلك أساسًا لريز لـ${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$وبناءً على ذلك، كل وظيفة${\displaystyle f}$في${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$سيكون له تمثيل فريد من نوعه غير توافقي لسلسلة فورييه

${\displaystyle f(x)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }c_{k}e^{i\lambda _{k}x},}$

مع${\textstyle \sum |c_{k}|^{2}<\infty }$و${\textstyle \{e^{i\lambda _{k}x}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$يُطلق عليه إطار فورييه (أو إطار الدوال الأسية ). ما يُعتبر "صغيراً بما فيه الكفاية" يتم وصفه من خلال النظرية التالية، التي سُميت على اسم ميخائيل كاديتس . ^{[ 15 ]}

يمكن بسهولة تعميم النظرية على الإطارات، باستبدال الأعداد الصحيحة بتسلسل آخر من الأعداد الحقيقية.${\textstyle \{\mu _{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$بحيث ^{[ 16 ] [ 17 ]}

${\displaystyle |\lambda _{k}-\mu _{k}|\leq L<{\frac {1}{4}},\quad \forall k\in \mathbb {Z} ,\quad {\text{and}}\quad 1-\cos(\pi L)+\sin(\pi L)<{\sqrt {\frac {A}{B}}},}$

ثم${\textstyle \{e^{i\lambda _{k}x}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$هو إطار لـ${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$بحدود

${\displaystyle A(1-{\sqrt {\frac {B}{A}}}(1-\cos(\pi L)+\sin(\pi L)))^{2},\quad B(2-\cos(\pi L)+\sin(\pi L))^{2}.}$

يُعدّ تكرار الإطار مفيدًا في تخفيف التشويش الإضافي الناتج عن معاملات الإطار. لنفترض${\displaystyle \mathbf {a} \in \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$يشير إلى متجه محسوب بمعاملات إطار مشوشة. ثم يتم تخفيف التشويش عن طريق الإسقاط${\displaystyle \mathbf {a} }$على صورة​​${\displaystyle \mathbf {T} }$.

ال${\displaystyle \ell ^{2}}$فضاء التسلسل و${\displaystyle \operatorname {im} (\mathbf {T} )}$(مثل${\displaystyle \operatorname {im} (\mathbf {T} )\subseteq \ell ^{2}}$) هي فضاءات هيلبرت ذات النواة المُستنسخة، حيث تُعطى النواة بواسطة المصفوفة${\displaystyle M_{k,p}=\langle \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {e} _{p},\mathbf {e} _{k}\rangle }$^{[ 9 ]} ولذلك ، تُعرف المعادلة المذكورة أعلاه أيضًا باسم معادلة النواة المُستنسخة، وهي تعبر عن فائض معاملات الإطار. ^{[ 18 ]}

الإطار يكون إطارًا محكمًا إذا${\displaystyle A=B}$إطار ضيق${\textstyle \{\mathbf {e} _{k}\}_{k=1}^{\infty }}$مع إطار مجلّد${\displaystyle A}$يمتلك الخاصية التي

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{A}}\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k},\quad \forall \mathbf {v} \in V.}$

على سبيل المثال، اتحاد${\displaystyle k}$القواعد المتعامدة المنفصلة لفضاء متجهي هي إطار محكم مكتمل للغاية مع${\displaystyle A=B=k}$الإطار المحكم هو إطار بارسيفال إذا${\displaystyle A=B=1}$[ ^{19 ] كل أساس متعامد معياري هو إطار بارسيفال (} كامل)، ولكن العكس ليس صحيحًا بالضرورة. ^{[ 20 ]}

الإطار يكون إطارًا متساوي المعايير إذا كان هناك ثابت${\displaystyle c}$بحيث${\displaystyle \|\mathbf {e} _{k}\|=c}$لكل${\displaystyle k}$الإطار ذو المعيار المتساوي هو إطار معياري (يُسمى أحيانًا إطارًا ذو معيار الوحدة ) إذا${\displaystyle c=1}$[ ^{21 ] إطار بارسيفال ذو} المعيار الواحد هو أساس متعامد؛ مثل هذا الإطار يحقق هوية بارسيفال .

الإطار يكون إطارًا متساوي الزوايا إذا كان هناك ثابت${\displaystyle c}$بحيث${\displaystyle |\langle \mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}\rangle |=c}$للجميع${\displaystyle i\neq j}$. على وجه الخصوص، كل أساس متعامد معياري متساوي الزوايا. ^{[ 22 ]}

الإطار هو إطار تام إذا لم يكن أي جزء منه يمتد عبر فضاء الضرب الداخلي. كل أساس لفضاء الضرب الداخلي هو إطار تام لهذا الفضاء (لذا فإن الأساس هو حالة خاصة من الإطار).

قد لا يكون من الممكن أحيانًا تحقيق كلا حدي الإطار في آنٍ واحد. الإطار الجزئي العلوي (أو السفلي) هو مجموعة تحقق فقط متباينة الإطار العلوي (أو السفلي). ^{[ 9 ]} متتالية بيسل مثال على مجموعة من المتجهات التي تحقق فقط متباينة الإطار العلوي.

لأي متجه${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$يتم إعادة بنائها من المعاملات${\displaystyle \{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \}_{k\in \mathbb {N} }}$يكفي وجود ثابت${\displaystyle A>0}$بحيث

${\displaystyle A\|x-y\|^{2}\leq \|Tx-Ty\|^{2},\quad \forall x,y\in V.}$

عن طريق الضبط${\displaystyle \mathbf {v} =x-y}$وبتطبيق خاصية الخطية لمؤثر التحليل، فإن هذا الشرط يعادل ما يلي:

${\displaystyle A\|\mathbf {v} \|^{2}\leq \|T\mathbf {v} \|^{2},\quad \forall \mathbf {v} \in V,}$

وهو بالضبط شرط الحد الأدنى للإطار.

يُفهم إطار الاندماج على أفضل وجه باعتباره امتدادًا لعوامل توليف وتحليل الإطار المزدوج، حيث يتم استخدام فضاء فرعي واحد بدلاً من ذلك.${\displaystyle V\subseteq H}$، مجموعة من الفضاءات الفرعية المغلقة${\displaystyle \{W_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }\subseteq H}$بأوزان قياسية موجبة${\displaystyle \{w_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$يُؤخذ في الاعتبار. إطار الاندماج هو عائلة${\displaystyle \{W_{i},w_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$الذي يفي بشرط الإطار

${\displaystyle A\|f\|^{2}\leq \sum _{i}w_{i}^{2}\|P_{W_{i}}f\|^{2}\leq B\|f\|^{2},\quad \forall f\in H,}$

أين${\displaystyle P_{W_{i}}}$يشير إلى الإسقاط المتعامد على الفضاء الفرعي${\displaystyle W_{i}}$[ ^{23 ]​}

يفترض${\displaystyle H}$هو فضاء هيلبرت،${\displaystyle X}$مساحة محلية مضغوطة ، و${\displaystyle \mu }$هو مقياس بوريل محدود محليًا على${\displaystyle X}$ثم مجموعة من المتجهات في${\displaystyle H}$،${\displaystyle \{f_{x}\}_{x\in X}}$بمقياس${\displaystyle \mu }$يُقال إن الإطار متصل إذا وُجدت ثوابت.${\displaystyle 0<A\leq B}$بحيث

${\displaystyle A||f||^{2}\leq \int _{X}|\langle f,f_{x}\rangle |^{2}d\mu (x)\leq B||f||^{2},\quad \forall f\in H.}$

لإثبات أن الإطارات المتصلة هي بالفعل التعميم الطبيعي للإطارات المذكورة أعلاه، ضع في اعتبارك مجموعة منفصلة${\displaystyle \Lambda \subset X}$ومقياس${\displaystyle \mu =\delta _{\Lambda }}$أين${\displaystyle \delta _{\Lambda }}$هو مقياس ديراك . عندئذٍ، يختزل شرط الإطار المستمر إلى

${\displaystyle A||f||^{2}\leq \sum _{\lambda \in \Lambda }|\langle f,f_{\lambda }\rangle |^{2}\leq B||f||^{2},\quad \forall f\in H.}$

كما هو الحال في الحالة المنفصلة، ​​يمكننا تحديد عوامل التحليل والتركيب والإطار عند التعامل مع الإطارات المستمرة.

وكما أن الإطار هو تعميم طبيعي للأساس للمجموعات التي قد تكون مرتبطة خطيًا، فإن المقياس ذو القيمة الموجبة للمؤثر (POVM) هو تعميم طبيعي للمقياس ذي القيمة الإسقاطية (PVM) حيث أن عناصر POVM ليست بالضرورة إسقاطات متعامدة .

يفترض${\displaystyle (X,M)}$هي مساحة قابلة للقياس مع${\displaystyle M}$جبر سيجما بوريل على${\displaystyle X}$ودع${\displaystyle F}$كن وجهة نظر من${\displaystyle M}$إلى فضاء المؤثرات الموجبة على${\displaystyle H}$مع الخاصية الإضافية التي

${\displaystyle 0<AI\leq F(M)\leq BI<\infty ,}$

أين${\displaystyle I}$هو عامل الهوية . إذن${\displaystyle F}$يُطلق عليه اسم وجهة نظر مؤطرة . ^{[ 23 ]}

في حالة شرط إطار الاندماج، يسمح هذا بالاستبدال

${\displaystyle F(m)=\sum _{i\in m}w_{i}P_{W_{i}},\quad m\in M.}$

بالنسبة لمشغل الإطار المستمر، ستكون POVM المؤطرة ^{[ 24 ]}

${\displaystyle \langle F(M)f_{x},f_{y}\rangle =\int _{M}\langle Sf_{x},f_{y}\rangle d\mu (x).}$