جدول حساب المثلثات

في الرياضيات ، تُعدّ جداول الدوال المثلثية مفيدة في العديد من المجالات. قبل ظهور الآلات الحاسبة الجيبية ، كانت الجداول المثلثية ضرورية للملاحة والعلوم والهندسة . وكان حساب الجداول الرياضية مجالًا هامًا للدراسة، مما أدى إلى تطوير أولى أجهزة الحوسبة الميكانيكية . ولعبت الحسابات المثلثية دورًا هامًا في الدراسات المبكرة لعلم الفلك. وقد بُنيت الجداول الأولى من خلال تطبيق متطابقات مثلثية (مثل متطابقة نصف الزاوية ومتطابقة مجموع الزوايا) بشكل متكرر لحساب قيم جديدة من قيم سابقة.

تُنتج الحواسيب الحديثة والآلات الحاسبة الجيبية قيم الدوال المثلثية عند الطلب، باستخدام مكتبات خاصة من التعليمات البرمجية الرياضية. غالبًا ما تستخدم هذه المكتبات جداول مُحسوبة مسبقًا داخليًا، وتحسب القيمة المطلوبة باستخدام طريقة استيفاء مناسبة . لا يزال استيفاء جداول البحث البسيطة للدوال المثلثية يُستخدم في رسومات الحاسوب ، حيث قد تكون الدقة المطلوبة متواضعة، بينما تُعد السرعة في كثير من الأحيان العامل الأهم.

يُعدّ استخدام جداول الدوال المثلثية وخوارزميات توليدها في خوارزميات تحويل فورييه السريع (FFT) تطبيقًا مهمًا آخر، حيث يجب حساب قيم الدوال المثلثية نفسها (المعروفة بعوامل التدوير ) عدة مرات في عملية تحويل معينة، لا سيما في الحالة الشائعة التي يتم فيها حساب العديد من التحويلات ذات الحجم نفسه. في هذه الحالة، يُعدّ استدعاء إجراءات المكتبة العامة في كل مرة بطيئًا بشكل غير مقبول. يتمثل أحد الخيارات في استدعاء إجراءات المكتبة مرة واحدة لإنشاء جدول بالقيم المثلثية المطلوبة، ولكن هذا يتطلب ذاكرة كبيرة لتخزين الجدول. أما الخيار الآخر، نظرًا للحاجة إلى تسلسل منتظم من القيم، فهو استخدام صيغة تكرارية لحساب القيم المثلثية أثناء التنفيذ. وقد خُصصت أبحاث مكثفة لإيجاد خوارزميات تكرارية دقيقة ومستقرة للحفاظ على دقة تحويل فورييه السريع (الذي يتأثر بشدة بالأخطاء المثلثية).

جدول حساب المثلثات هو في الأساس مخطط مرجعي يعرض قيم الجيب وجيب التمام والظل، بالإضافة إلى الدوال المثلثية الأخرى، لزوايا مختلفة. تُرتّب هذه الزوايا عادةً في الصف العلوي من الجدول، بينما تُكتب الدوال المثلثية المختلفة في العمود الأول على اليسار. للعثور على قيمة دالة مثلثية معينة عند زاوية محددة، ابحث عن صف الدالة واتبعه إلى العمود أسفل الزاوية المطلوبة. ^{[ 1 ]}

1. حدد الزاوية المحددة التي تحتاج إلى إيجاد القيم المثلثية لها.
2. حدد هذه الزاوية على طول المحور الأفقي (الصف العلوي) للجدول.
3. اختر الدالة المثلثية التي تهمك من المحور الرأسي (العمود الأول).
4. ارسم خطًا أفقيًا من الدالة وعموديًا من الزاوية إلى النقطة التي يتقاطعان عندها على الجدول؛ الرقم عند هذا التقاطع يوفر قيمة الدالة المثلثية لتلك الزاوية.

تستخدم الحواسيب والآلات الحاسبة الحديثة تقنيات متنوعة لتوفير قيم الدوال المثلثية عند الطلب لأي زاوية (كانتابوترا، 1996). إحدى الطرق الشائعة، خاصةً في المعالجات المتطورة المزودة بوحدات الفاصلة العائمة ، هي دمج تقريب متعدد الحدود أو كسري (مثل تقريب تشيبيشيف ، وأفضل تقريب منتظم، وتقريب باديه ، وعادةً ما تُستخدم متسلسلات تايلور ولوران للدقة العالية أو المتغيرة ) مع تقليل النطاق والبحث في جدول - حيث يتم البحث أولاً عن أقرب زاوية في جدول صغير، ثم استخدام متعدد الحدود لحساب التصحيح. يُعد الحفاظ على الدقة أثناء إجراء هذا الاستيفاء أمرًا معقدًا، ولكن يمكن استخدام طرق مثل جداول غال الدقيقة ، وتقليل نطاق كودي ووايت، وخوارزميات باين وهانيك لتقليل الدرجة والراديان لهذا الغرض. في الأجهزة الأبسط التي تفتقر إلى مُضاعِف مادي ، توجد خوارزمية تُسمى CORDIC (بالإضافة إلى تقنيات ذات صلة) وهي أكثر كفاءة، لأنها تستخدم فقط عمليات الإزاحة والجمع. تُنفذ جميع هذه الطرق عادةً في الأجهزة لأسباب تتعلق بالأداء.

يتم توليد متعددة الحدود المحددة المستخدمة لتقريب دالة مثلثية مسبقًا باستخدام بعض التقريبات لخوارزمية التقريب المصغر الأقصى .

بالنسبة للحسابات عالية الدقة للغاية ، عندما يصبح تقارب توسيع السلسلة بطيئًا للغاية، يمكن تقريب الدوال المثلثية بواسطة المتوسط ​​الحسابي الهندسي ، والذي بدوره يقرب الدالة المثلثية بواسطة التكامل الإهليلجي ( المركب ) (برنت، 1976).

الدوال المثلثية للزوايا التي هي مضاعفات نسبية للزاوية 2π هي أعداد جبرية . يمكن إيجاد قيم a/b·2π بتطبيق متطابقة دي موافر لـ n = a على الجذر ^النوني للوحدة a /b ، وهو أيضًا جذر لكثير الحدود x^ ^b - 1 في المستوى المركب . على سبيل المثال، جيب تمام وجيب 2π ⋅ 5/37 هما الجزءان الحقيقي والخيالي ، على التوالي، للقوة الخامسة للجذر النوني للوحدة cos(2π/37) + sin(2π/37)i، وهو جذر لكثير الحدود x^ ³⁷ - 1 من الدرجة -37. في هذه الحالة، تكون خوارزمية إيجاد الجذور، مثل طريقة نيوتن، أبسط بكثير من خوارزميات المتوسط ​​الحسابي والهندسي المذكورة أعلاه، مع تقاربها بمعدل تقارب مماثل. ومع ذلك، فإن الخوارزميات الأخيرة مطلوبة للثوابت المثلثية المتسامية .    

لحساب دالة الجيب لـ 75 درجة و9 دقائق و50 ثانية باستخدام جدول الدوال المثلثية مثل جدول بيرنيجر من عام 1619 الموضح أعلاه، يمكن للمرء ببساطة التقريب إلى 75 درجة و10 دقائق ثم العثور على إدخال 10 دقائق في صفحة 75 درجة، الموضحة في أعلى اليمين، وهو 0.9666746.

مع ذلك، فإن هذه الإجابة دقيقة حتى أربعة أرقام عشرية فقط. إذا رغب المرء في دقة أكبر، فيمكنه استخدام الاستيفاء الخطي كما يلي:

من طاولة بيرنيغر:

sin (75° 10′) = 0.9666746

sin (75° 9′) = 0.9666001

الفرق بين هاتين القيمتين هو 0.0000745.

بما أن هناك 60 ثانية في الدقيقة القوسية، فإننا نضرب الفرق في 50/60 لنحصل على تصحيح قدره (50/60)*0.0000745 ≈ 0.0000621؛ ثم نضيف هذا التصحيح إلى sin (75° 9′) لنحصل على  :

الخطيئة (75° 9′ 50″) ≈ الخطيئة (75° 9′) + 0.0000621 = 0.9666001 + 0.0000621 = 0.9666622

تعطي الآلة الحاسبة الحديثة sin(75° 9′ 50″) = 0.96666219991، لذا فإن إجابتنا المستنبطة دقيقة إلى دقة 7 أرقام لجدول بيرنيجر.

بالنسبة للجداول ذات الدقة العالية (عدد أكبر من الأرقام لكل قيمة)، قد يلزم استخدام استيفاء من رتبة أعلى للحصول على دقة كاملة. ^{[ 2 ]} في الحقبة التي سبقت الحواسيب الإلكترونية، كان استيفاء بيانات الجداول بهذه الطريقة هو السبيل العملي الوحيد للحصول على قيم عالية الدقة للدوال الرياضية اللازمة لتطبيقات مثل الملاحة وعلم الفلك والمسح.

لفهم أهمية الدقة في تطبيقات مثل الملاحة، لاحظ أنه عند مستوى سطح البحر، فإن دقيقة قوسية واحدة على طول خط استواء الأرض أو خط الزوال (في الواقع، أي دائرة عظمى ) تساوي ميلًا بحريًا واحدًا (حوالي 1.852 كم أو 1.151 ميل ).  

تاريخيًا، كانت أقدم طريقة لحساب جداول الدوال المثلثية، وربما الأكثر شيوعًا حتى ظهور الحواسيب، هي تطبيق متطابقات نصف الزاوية وجمع الزوايا المثلثية بشكل متكرر بدءًا من قيمة معلومة (مثل sin(π/2)  =  1، cos(π/2)  =  0). استخدم هذه الطريقة الفلكي القديم بطليموس ، الذي اشتقها في كتابه المجسطي ، وهو رسالة في علم الفلك . في صيغتها الحديثة، تُذكر المتطابقات التي اشتقها كما يلي (مع تحديد الإشارات حسب الربع الذي تقع فيه x ):

${\displaystyle \cos \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(1+\cos x)}}}$

${\displaystyle \sin \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(1-\cos x)}}}$

${\displaystyle \sin(x\pm y)=\sin(x)\cos(y)\pm \cos(x)\sin(y)\,}$

${\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos(x)\cos(y)\mp \sin(x)\sin(y)\,}$

وقد استُخدمت هذه لإنشاء جدول بطليموس للأوتار ، والذي تم تطبيقه على المشكلات الفلكية.

توجد العديد من التباديل الأخرى الممكنة لهذه المتطابقات: على سبيل المثال، لم تستخدم بعض جداول حساب المثلثات المبكرة الجيب وجيب التمام، بل الجيب وجيب التمام العكسي .

خوارزمية سريعة، ولكنها غير دقيقة، لحساب جدول من N تقريبًا لـ sin (2 π n / N ) و c _n لـ cos (2π n / _N ) هي:

s ₀ = 0

ج ₀ = 1

s _{n +1} = s _n + d × c _n

c _{n +1} = c _n − d × s _n

لـ n = 0، ...، N − 1، حيث d = 2π/ N .  

هذه ببساطة طريقة أويلر لتكامل المعادلة التفاضلية :

${\displaystyle ds/dt=c}$

${\displaystyle dc/dt=-s}$

مع الشروط الأولية s (0) = 0 و c (0) = 1، والتي يكون حلها التحليلي هو s = sin( t ) و c = cos( t ).

لسوء الحظ، هذه ليست خوارزمية مفيدة لتوليد جداول الجيب لأنها تحتوي على خطأ كبير، يتناسب مع 1/ N .

على سبيل المثال، عند N = 256، يبلغ الحد الأقصى للخطأ في قيم الجيب حوالي 0.061 ( حيث s ₂₀₂ = -1.0368 بدلاً من -0.9757 ). أما عند N = 1024، فيبلغ الحد الأقصى للخطأ في قيم الجيب حوالي 0.015 ( حيث s ₈₀₃ = -0.99321 بدلاً من -0.97832 )، أي أقل بنحو أربعة أضعاف. إذا تم تمثيل قيم الجيب وجيب التمام المُستخرجة بيانيًا، فسترسم هذه الخوارزمية منحنى لوغاريتميًا حلزونيًا بدلاً من دائرة.

تعتمد صيغة التكرار البسيطة لإنشاء جداول حساب المثلثات على صيغة أويلر والعلاقة التالية:

${\displaystyle e^{i(\theta +\Delta )}=e^{i\theta }\times e^{i\Delta \theta }}$

يؤدي هذا إلى التكرار التالي لحساب القيم المثلثية s _n و c _n كما هو موضح أعلاه:

ج ₀ = 1

s ₀ = 0

c _{n +1} = w _r c _n − w _i s _n

s _{n +1} = w _i c _n + w _r s _n

لـ n = 0، ...، N − 1، حيث w _r = cos(2π/ N ) و w _i = sin(2π/ N ). عادةً ما يتم حساب هاتين القيمتين المثلثيتين الابتدائيتين باستخدام دوال المكتبة الموجودة (ولكن يمكن أيضًا إيجادهما، على سبيل المثال، باستخدام طريقة نيوتن في المستوى المركب لحل الجذر الأولي لـ z ^N − 1).    

تُنتج هذه الطريقة جدولًا دقيقًا في العمليات الحسابية الدقيقة، ولكنها تُعاني من أخطاء في العمليات الحسابية ذات الدقة المحدودة للفاصلة العائمة . في الواقع، تتزايد الأخطاء بمعدل O(ε N ) (في أسوأ الحالات وفي المتوسط)، حيث ε هي دقة الفاصلة العائمة. 

يتمثل التحسين الكبير في استخدام التعديل التالي على ما سبق، وهي حيلة (بفضل Singleton ^{[ 3 ]} ) تُستخدم غالبًا لتوليد القيم المثلثية لتطبيقات FFT:

ج ₀ = 1

s ₀ = 0

ج _{ن +1} = ج _ن − ( α c _n + β s _n )    

ق _{ن +1} = ق _ن  +  ( β ج _ن − α ق _ن )    

حيث α = 2  sin ² (π/ N ) و β = sin(2π/ N ). أخطاء هذه الطريقة أصغر بكثير، O(ε  √ N ) في المتوسط ​​و O(ε N ) في أسوأ الحالات، ولكن هذا لا يزال كبيرًا بما يكفي لتقليل دقة تحويلات فورييه السريعة ذات الأحجام الكبيرة بشكل كبير. 

• جدول جيب أريابهاتا
• كورديك
• القيم المثلثية الدقيقة
• جدول جيب مادهافا
• التحليل العددي
• بليمبتون 322
• عملية استئصال الصفائح الدموية

• كارل ب. بوير (1991) تاريخ الرياضيات ، الطبعة الثانية، جون وايلي وأولاده .
• مانفريد تاش وهانسمارتن زونر (2002) "تحليل محسّن لخطأ التقريب لعوامل التدوير المحسوبة مسبقًا"، مجلة التحليل الحسابي والتطبيقات 4(1): 1-18.
• جيمس سي. شاتزمان (1996) "دقة تحويل فورييه المنفصل وتحويل فورييه السريع"، مجلة SIAM للحوسبة العلمية 17 (5): 1150-1166.
• فيتيت كانتابوترا (1996) "حول الأجهزة لحساب الدوال الأسية والمثلثية"، معاملات IEEE على أجهزة الكمبيوتر 45 (3): 328-339.
• RP Brent (1976) " التقييم السريع متعدد الدقة للوظائف الأولية "، مجلة رابطة آلات الحوسبة 23: 242-251.
• سينغلتون، ريتشارد سي (1967). "حول حساب تحويل فورييه السريع" . اتصالات رابطة آلات الحوسبة . 10 (10): 647-654 . doi : 10.1145/363717.363771 . S2CID 6287781 . 
• ويليام ج. كودي الابن، ويليام وايت، دليل برمجي للوظائف الأساسية ، برنتيس هول، 1980، رقم ISBN 0-13-822064-6.
• ماري هـ. باين، روبرت ن. هانيك، " الاختزال الرادياني للدوال المثلثية "، نشرة ACM SIGNUM 18(1): 19-24، يناير 1983.
• ماري هـ. باين، روبرت ن. هانيك، " اختزال الدرجة للدوال المثلثية "، نشرة ACM SIGNUM 18(2): 18-19، أبريل 1983.
• Gal, Shmuel and Bachelis, Boris (1991) "مكتبة رياضية أولية دقيقة لمعيار IEEE للنقطة العائمة"، معاملات ACM في البرمجيات الرياضية .