الطوبولوجيا النهائية

في علم الطوبولوجيا العامة والمجالات ذات الصلة في الرياضيات ، الطوبولوجيا النهائية ^{[ 1 ]} (أو الطوبولوجيا المستحثة ^{[ 2 ]} ، أو الطوبولوجيا القوية ^{[ 3 ]} ، أو الطوبولوجيا الحدية المشتركة ، أو الطوبولوجيا الاستقرائية ^{[ 4 ]} ) على مجموعة${\displaystyle X,}$فيما يتعلق بمجموعة من الدوال من الفضاءات الطوبولوجية إلى${\displaystyle X,}$أفضل بنية طوبولوجية على${\displaystyle X}$وهذا يجعل جميع تلك الدوال متصلة .

تُعدّ طوبولوجيا القسمة على فضاء القسمة طوبولوجيا نهائية بالنسبة لدالة شاملة واحدة، وهي دالة القسمة. أما طوبولوجيا الاتحاد المنفصل فهي الطوبولوجيا النهائية بالنسبة لدوال التضمين . كما أن الطوبولوجيا النهائية هي الطوبولوجيا التي تُمنح لكل نهاية مباشرة في فئة الفضاءات الطوبولوجية ، وغالبًا ما تظهر الطوبولوجيا النهائية في سياق النهايات المباشرة. وتكون الطوبولوجيا متسقة مع مجموعة من الفضاءات الجزئية إذا وفقط إذا كانت هي الطوبولوجيا النهائية المُستحثة بواسطة التضمينات الطبيعية.

المفهوم المزدوج هو الطوبولوجيا الأولية ، والتي بالنسبة لعائلة معينة من الدوال من مجموعة${\displaystyle X}$تُعتبر الفضاءات الطوبولوجية أدق أنواع الطوبولوجيا .${\displaystyle X}$وهذا ما يجعل تلك الدوال متصلة.

بالنظر إلى مجموعة${\displaystyle X}$و${\displaystyle I}$عائلة الفضاءات الطوبولوجية المفهرسة${\displaystyle \left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)}$مع الوظائف المرتبطة بها $${\displaystyle f_{i}:Y_{i}\to X,}$$الطوبولوجيا النهائية على${\displaystyle X}$ناتج عن مجموعة من الدوال${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\}}$أفضل بنية طوبولوجية${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$على${\displaystyle X}$بحيث $${\displaystyle f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$$

متصل لكل​${\displaystyle i\in I}$توجد البنية النهائية دائمًا، وهي فريدة من نوعها.

ويمكن وصف البنية النهائية بشكل صريح على النحو التالي:

مجموعة فرعية${\displaystyle U}$ل${\displaystyle X}$مفتوح في الطوبولوجيا النهائية${\displaystyle \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$(إنه،${\displaystyle U\in \tau _{\mathcal {F}}}$) إذا وفقط إذا${\displaystyle f_{i}^{-1}(U)}$مفتوح في${\displaystyle \left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)}$لكل${\displaystyle i\in I}$.

تتمتع المجموعات الفرعية المغلقة بتوصيف مماثل:

مجموعة فرعية${\displaystyle C}$ل${\displaystyle X}$مغلق في الطوبولوجيا النهائية${\displaystyle \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$إذا وفقط إذا${\displaystyle f_{i}^{-1}(C)}$مغلق في${\displaystyle \left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)}$لكل${\displaystyle i\in I}$.

العائلة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$من الدوال التي تؤدي إلى الطوبولوجيا النهائية على${\displaystyle X}$عادةً ما تكون مجموعة من الدوال. ولكن يمكن تنفيذ نفس البنية إذا${\displaystyle {\mathcal {F}}}$تُعدّ فئةً مناسبةً من الدوال، ولا تزال النتيجة مُعرّفةً تعريفًا جيدًا في نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات . في هذه الحالة، توجد دائمًا عائلة فرعية.${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ل${\displaystyle {\mathcal {F}}}$مع${\displaystyle {\mathcal {G}}}$مجموعة، بحيث تكون الطوبولوجيات النهائية على${\displaystyle X}$ناتج عن${\displaystyle {\mathcal {F}}}$وبواسطة${\displaystyle {\mathcal {G}}}$يتطابقان. لمزيد من المعلومات حول هذا الموضوع، انظر على سبيل المثال المناقشة هنا. ^{[ 5 ]} على سبيل المثال، يُعرَّف أحد المتغيرات الشائعة الاستخدام لمفهوم الفضاء المُوَلَّد بشكل مضغوط بأنه الطوبولوجيا النهائية بالنسبة لفئة مناسبة من الدوال. ^{[ 6 ]}

الحالة الخاصة المهمة حيث عائلة الخرائط${\displaystyle {\mathcal {F}}}$تتكون من دالة شاملة واحدة، ويمكن وصفها بالكامل باستخدام مفهوم دالة القسمة . الدالة الشاملة${\displaystyle f:(Y,\upsilon )\to \left(X,\tau \right)}$تكون العلاقة بين الفضاءات الطوبولوجية علاقة قسمة إذا وفقط إذا كانت الطوبولوجيا ${\displaystyle \tau }$على${\displaystyle X}$يتطابق مع الطوبولوجيا النهائية${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$حثته الأسرة${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f\}}$. على وجه الخصوص: طوبولوجيا القسمة هي الطوبولوجيا النهائية على فضاء القسمة المستحثة بواسطة خريطة القسمة .

الطوبولوجيا النهائية على مجموعة${\displaystyle X}$تم تحفيزها بواسطة عائلة من${\displaystyle X}$يمكن اعتبار الخرائط ذات القيم بمثابة تعميم بعيد المدى لطوبولوجيا القسمة، حيث يمكن استخدام خرائط متعددة بدلاً من خريطة واحدة فقط، وحيث لا يشترط أن تكون هذه الخرائط شاملة.

بالنظر إلى الفضاءات الطوبولوجية${\displaystyle X_{i}}$، طوبولوجيا الاتحاد المنفصل على الاتحاد المنفصل${\displaystyle \coprod _{i}X_{i}}$هي الطوبولوجيا النهائية على الاتحاد المنفصل الناتج عن الحقن الطبيعية.

بالنظر إلى عائلة من الطوبولوجيات${\displaystyle \left(\tau _{i}\right)_{i\in I}}$على مجموعة ثابتة${\displaystyle X,}$الطوبولوجيا النهائية على${\displaystyle X}$فيما يتعلق بخرائط الهوية${\displaystyle \operatorname {id} _{\tau _{i}}:\left(X,\tau _{i}\right)\to X}$مثل${\displaystyle i}$نطاقات${\displaystyle I,}$سمها ما شئت${\displaystyle \tau ,}$هو الحد الأدنى (أو نقطة التقاء) لهذه التكوينات الطوبولوجية${\displaystyle \left(\tau _{i}\right)_{i\in I}}$في شبكة الطوبولوجيا على${\displaystyle X.}$أي، الطوبولوجيا النهائية${\displaystyle \tau }$يساوي نقطة التقاطع${\textstyle \tau =\bigcap _{i\in I}\tau _{i}.}$

بالنظر إلى فضاء طوبولوجي${\displaystyle (X,\tau )}$وعائلة${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{C_{i}:i\in I\}}$من مجموعات فرعية من${\displaystyle X}$لكل منها طوبولوجيا الفضاء الجزئي ، والطوبولوجيا النهائية${\displaystyle \tau _{\mathcal {C}}}$ناتج عن جميع خرائط التضمين الخاصة بـ${\displaystyle C_{i}}$داخل${\displaystyle X}$أدق من (أو يساوي) الطوبولوجيا الأصلية${\displaystyle \tau }$على${\displaystyle X.}$ المساحة${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم متماسك مع الأسرة${\displaystyle {\mathcal {C}}}$من الفضاءات الفرعية إذا كانت الطوبولوجيا النهائية${\displaystyle \tau _{\mathcal {C}}}$يتطابق مع الطوبولوجيا الأصلية${\displaystyle \tau .}$ في هذه الحالة، مجموعة فرعية${\displaystyle U\subseteq X}$سيتم افتتاحه في${\displaystyle X}$بالضبط عند التقاطع${\displaystyle U\cap C_{i}}$مفتوح في${\displaystyle C_{i}}$لكل${\displaystyle i\in I.}$ (انظر مقالة الطوبولوجيا المتماسكة لمزيد من التفاصيل حول هذا المفهوم والمزيد من الأمثلة.) كحالة خاصة، يمكن وصف أحد مفاهيم الفضاء المتولد بشكل مضغوط بأنه طوبولوجيا متماسكة معينة.

النهاية المباشرة لأي نظام مباشر من الفضاءات والخرائط المتصلة هي النهاية المباشرة لنظرية المجموعات بالإضافة إلى الطوبولوجيا النهائية المحددة بواسطة التشكلات القانونية. وهذا يعني صراحةً أنه إذا${\displaystyle \operatorname {Sys} _{Y}=\left(Y_{i},f_{ji},I\right)}$هو نظام مباشر في فئة أعلى الفضاءات الطوبولوجية ، وإذا${\displaystyle \left(X,\left(f_{i}\right)_{i\in I}\right)}$يُعدّ حدًا مباشرًا لـ${\displaystyle \operatorname {Sys} _{Y}}$في فئة مجموعة جميع المجموعات ، ثم عن طريق الهبة${\displaystyle X}$مع الطوبولوجيا النهائية${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ناتج عن${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\},}$${\displaystyle \left(\left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right),\left(f_{i}\right)_{i\in I}\right)}$يصبح الحد المباشر لـ${\displaystyle \operatorname {Sys} _{Y}}$في فئة الأعلى .

يتم تحديد الفضاء النهائي للحزمة من خلال طوبولوجيا نهائية .

مساحة هاوسدورف الأولى القابلة للعد${\displaystyle (X,\tau )}$يكون متصلاً بالمسار محلياً إذا وفقط إذا${\displaystyle \tau }$يساوي الطوبولوجيا النهائية على${\displaystyle X}$ناتج عن المجموعة${\displaystyle C\left([0,1];X\right)}$من بين جميع الخرائط المتصلة${\displaystyle [0,1]\to (X,\tau ),}$حيث تُسمى أي خريطة من هذا القبيل مسارًا في${\displaystyle (X,\tau ).}$

إذا كان فضاء متجه طوبولوجي محدب محليًا من نوع هاوسدورف${\displaystyle (X,\tau )}$إذن، هو فضاء فريشيه-أوريسون${\displaystyle \tau }$يساوي الطوبولوجيا النهائية على${\displaystyle X}$ناتج عن المجموعة${\displaystyle \operatorname {Arc} \left([0,1];X\right)}$من بين جميع الأقواس في${\displaystyle (X,\tau ),}$وهي بحكم تعريفها مسارات متصلة${\displaystyle [0,1]\to (X,\tau )}$وهي أيضًا تضمينات طوبولوجية .

يترك $${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }~:=~\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }~:~{\text{ all but finitely many }}x_{i}{\text{ are equal to }}0\right\},}$$ يرمز إلى فضاء المتتاليات المنتهية ، حيث${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$يرمز إلى فضاء جميع المتتاليات الحقيقية . لكل عدد طبيعي${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$يترك${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$لنرمز إلى الفضاء الإقليدي المعتاد المزود بالطوبولوجيا الإقليدية، ولندع${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{\infty }}$تشير إلى خريطة التضمين المحددة بواسطة${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)}$بحيث تكون صورتها$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)~:~x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} \right\}=\mathbb {R} ^{n}\times \left\{(0,0,\ldots )\right\}}$$ وبالتالي، $${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$$

قم بتزويد المجموعة${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$مع الطوبولوجيا النهائية${\displaystyle \tau ^{\infty }}$حثته الأسرة${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{\;\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}}$من بين جميع خرائط التضمين. مع هذه البنية،${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$يصبح فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا متسلسلًا محدبًا محليًا كاملًا من نوع هاوسدورف، وهو ليس فضاءً من نوع فريشيه -أوريسون . الطوبولوجيا${\displaystyle \tau ^{\infty }}$أدق بكثير من طوبولوجيا الفضاء الفرعي المستحثة على${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$بواسطة${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} },}$أين${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$تتمتع بطوبولوجيا المنتج المعتادة . قم بتزويد الصورة${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$مع الطوبولوجيا النهائية المستحثة عليها بواسطة التقابل${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right);}$أي أنها مزودة بالطوبولوجيا الإقليدية المنقولة إليها من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$عبر${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}.}$ هذه الطوبولوجيا على${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$يساوي طوبولوجيا الفضاء الجزئي المستحثة عليه بواسطة${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right).}$ مجموعة فرعية${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{\infty }}$مفتوح (على التوالي، مغلق) في${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$إذا وفقط إذا كان لكل${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$المجموعة${\displaystyle S\cap \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$هي مجموعة فرعية مفتوحة (على التوالي، مغلقة) من${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$ الطوبولوجيا${\displaystyle \tau ^{\infty }}$متسق مع عائلة الفضاءات الفرعية${\displaystyle \mathbb {S}$ :=\left\{\;\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}.} وهذا يجعل${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$إلى مساحة LB. وبالتالي، إذا${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{\infty }}$و${\displaystyle v_{\bullet }}$هو تسلسل في${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ثم${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$في${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$إذا وفقط إذا كان هناك شيء ما${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$بحيث يكون كلاهما${\displaystyle v}$و${\displaystyle v_{\bullet }}$موجودة في${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$و${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$في${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$

في كثير من الأحيان، لكل${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$خريطة الإدماج${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}}$يُستخدم لتحديد${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$بصورتها${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$في${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty };}$بشكل صريح، العناصر${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}}$و${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)}$يتم تحديدها معًا. بموجب هذا التحديد،${\displaystyle \left(\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right),\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)}$يصبح حدًا مباشرًا للنظام المباشر${\displaystyle \left(\left(\mathbb {R} ^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{m\leq n{\text{ in }}\mathbb {N} },\mathbb {N} \right),}$حيث لكل${\displaystyle m\leq n,}$الخريطة${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$خريطة التضمين المحددة بواسطة${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right):=\left(x_{1},\ldots ,x_{m},0,\ldots ,0\right),}$حيث يوجد${\displaystyle n-m}$الأصفار اللاحقة.

بلغة نظرية الفئات ، يمكن وصف بناء الطوبولوجيا النهائي على النحو التالي. ليكن${\displaystyle Y}$ليكن دالة من فئة منفصلة${\displaystyle J}$إلى فئة الفضاءات الطوبولوجية Top التي تحدد الفضاءات${\displaystyle Y_{i}}$ل${\displaystyle i\in J.}$يترك${\displaystyle \Delta }$ليكن المؤثر القطري من أعلى إلى فئة المؤثرين أعلى ^J (يرسل هذا المؤثر كل مساحة${\displaystyle X}$إلى الدالة الثابتة إلى${\displaystyle X}$). فئة الفاصلة${\displaystyle (Y\,\downarrow \,\Delta )}$ثم تكون فئة المخاريط المشتركة من${\displaystyle Y,}$أي الكائنات في${\displaystyle (Y\,\downarrow \,\Delta )}$هي أزواج${\displaystyle (X,f)}$أين${\displaystyle f=(f_{i}:Y_{i}\to X)_{i\in J}}$هي عائلة من الخرائط المتصلة إلى${\displaystyle X.}$لو${\displaystyle U}$إذا كان Δ′ هو الدالة النسيانية من الأعلى إلى المجموعة، وΔ ′ هي الدالة القطرية من المجموعة إلى المجموعة ^J، فإن فئة الفاصلة${\displaystyle \left(UY\,\downarrow \,\Delta ^{\prime }\right)}$هي فئة جميع المخاريط الفرعية من${\displaystyle UY.}$يمكن وصف بناء الطوبولوجيا النهائي بأنه دالة من${\displaystyle \left(UY\,\downarrow \,\Delta ^{\prime }\right)}$ل${\displaystyle (Y\,\downarrow \,\Delta ).}$هذا المؤثر هو المؤثر المرافق الأيسر للمؤثر النسياني المقابل.

• النهاية المباشرة – حالة خاصة من النهاية المشتركة في نظرية الفئات 
• الطوبولوجيا المستحثة – الطوبولوجيا الموروثة. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• الطوبولوجيا الأولية – الطوبولوجيا الأقل دقة التي تجعل بعض الدوال متصلة 
• مساحة LB
• فضاء LF – فضاء متجهي طوبولوجي 

• براون، رونالد (يونيو 2006). الطوبولوجيا والمجموعات الجزئية . نورث تشارلستون: كريت سبيس. ISBN 1-4196-2722-8.
• ويلارد، ستيفن (1970). الطوبولوجيا العامة . سلسلة أديسون-ويسلي في الرياضيات. ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي. ISBN 9780201087079. Zbl 0205.26601 . ( يقدم مقدمة عامة موجزة في القسم 9 والتمرين 9H)
• ويلارد، ستيفن (2004) [1970]. الطوبولوجيا العامة . مينولا، نيويورك : منشورات دوفر . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .