قابلية القسمة اللانهائية

تحتاج هذه المقالة إلى مصادر إضافية للتحقق . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة بإضافة مصادر موثوقة . قد يتم الطعن في المواد غير الموثقة وإزالتها. البحث عن المصادر:  "القسمة اللانهائية" - الأخبار  · الصحف  · الكتب  · العلماء  · JSTOR ( ديسمبر 2010 ) ( تعرف على كيفية ومتى تزيل هذه الرسالة )

تنشأ القابلية للقسمة اللانهائية بطرق مختلفة في الفلسفة والفيزياء والاقتصاد ونظرية الترتيب (فرع من الرياضيات) ونظرية الاحتمالات (فرع من الرياضيات أيضًا). قد يتحدث المرء عن القابلية للقسمة اللانهائية ، أو عدم وجودها، للمادة أو المكان أو الزمان أو المال أو الأشياء الرياضية المجردة مثل المتصل .

يعود أصل الفكرة في التقاليد الغربية إلى القرن الخامس قبل الميلاد، بدءًا من الفيلسوف اليوناني القديم ما قبل سقراط ديمقريطس ومعلمه ليوكيبوس ، اللذين وضعا نظرية حول قابلية المادة للتجزئة بما يتجاوز ما يمكن إدراكه بالحواس حتى انتهى في النهاية إلى ذرة غير قابلة للتجزئة. اقترح الفيلسوف الهندي ماهارشي كانادا أيضًا نظرية ذرية، ومع ذلك، هناك غموض حول متى عاش هذا الفيلسوف، والذي يتراوح من وقت ما بين القرن السادس إلى القرن الثاني قبل الميلاد. حوالي عام 500 قبل الميلاد، افترض أنه إذا استمرينا في تقسيم المادة ( بادارث )، فسنحصل على جزيئات أصغر وأصغر. في النهاية، سيأتي الوقت الذي سنصادف فيه أصغر الجزيئات التي لن يكون من الممكن تقسيمها بعد ذلك. أطلق على هذه الجزيئات اسم بارمانو . شرح فيلسوف هندي آخر، باكودا كاتياياما ، هذه العقيدة وقال إن هذه الجزيئات توجد عادةً في شكل مركب يمنحنا أشكالًا مختلفة من المادة. ^{[1] [2]} تم استكشاف الذرية في حوار أفلاطون طيماوس . يثبت أرسطو أن الطول والزمن قابلان للقسمة إلى ما لا نهاية، دحضًا الذرية. ^{[3] يقدم} أندرو بايل وصفًا واضحًا للقسمة اللانهائية في الصفحات القليلة الأولى من كتابه الذرية ومنتقديها . هناك يوضح كيف تنطوي القسمة اللانهائية على فكرة وجود عنصر ممتد، مثل التفاحة، يمكن تقسيمه إلى ما لا نهاية مرات عديدة، حيث لا يمكن تقسيمه أبدًا إلى نقطة، أو إلى ذرات من أي نوع. يدعي العديد من الفلاسفة ^{[ من؟ ]} أن القسمة اللانهائية تنطوي إما على مجموعة من عدد لا نهائي من العناصر (نظرًا لوجود أقسام لا نهائية، يجب أن تكون هناك مجموعة لا نهائية من الأشياء)، أو (نادرًا ما)، عناصر بحجم نقطة ، أو كليهما. يذكر بايل أن رياضيات الامتدادات القابلة للقسمة إلى ما لا نهاية لا تنطوي على أي من هذين الأمرين - أي أن هناك أقسامًا لا نهائية، ولكن فقط مجموعات محدودة من الأشياء ولا يتم تقسيمها أبدًا إلى عناصر بدون امتداد نقطي.

تساءل زينو كيف يمكن للسهم أن يتحرك إذا كان في لحظة هنا بلا حركة، وفي لحظة لاحقة يكون في مكان آخر بلا حركة.

ولكن استدلال زينون مغلوط حين يقول: إذا كان كل شيء حين يشغل حيزاً متساوياً يكون ساكناً، وإذا كان كل ما هو في حركة يشغل دائماً حيزاً مماثلاً في أي لحظة، فإن السهم الطائر يكون ساكناً. وهذا غير صحيح، لأن الزمن لا يتألف من لحظات لا تقبل التجزئة، تماماً كما لا تتألف أي قيمة أخرى من لحظات لا تقبل التجزئة. ^[4]

—  أرسطو، الفيزياء، المجلد السادس: 9، 239ب5

في إشارة إلى مفارقة زينو للسهم الطائر، كتب ألفريد نورث وايتهيد أن "عددًا لا نهائيًا من أفعال الوجود قد يحدث في وقت محدود إذا كان كل فعل لاحق أصغر في سلسلة متقاربة": ^[5]

إن الحجة، بقدر ما هي صحيحة، تثير تناقضًا من مقدمتين: (أ) أنه في الصيرورة يصبح شيء ( res vera )، و(ب) أن كل فعل من أفعال الصيرورة قابل للتقسيم إلى أقسام سابقة ولاحقة هي في حد ذاتها أفعال صيرورة. لنفترض، على سبيل المثال، فعل صيرورة أثناء ثانية واحدة. يمكن تقسيم الفعل إلى فعلين، أحدهما أثناء النصف الأول من الثانية، والآخر أثناء النصف الأخير من الثانية. وبالتالي فإن ما يصبح أثناء الثانية بأكملها يفترض ما يصبح أثناء نصف الثانية الأول. وعلى نحو مماثل، فإن ما يصبح أثناء نصف الثانية الأول يفترض ما يصبح أثناء ربع الثانية الأول، وهكذا إلى ما لا نهاية. وبالتالي إذا نظرنا إلى عملية الصيرورة حتى بداية الثانية المعنية، وسألنا عما يصبح بعد ذلك، فلا يمكننا إعطاء إجابة. لأن أي مخلوق نشير إليه يفترض مخلوقًا سابقًا أصبح بعد بداية الثانية وقبل المخلوق المشار إليه. لذلك لا يوجد شيء يحدث بحيث يؤدي إلى الانتقال إلى الشيء الثاني المذكور. ^[5]

—  أ.ن. وايتهايد، العملية والواقع

حتى اكتشاف ميكانيكا الكم ، لم يكن هناك تمييز بين مسألة ما إذا كانت المادة قابلة للتجزئة إلى ما لا نهاية ومسألة ما إذا كان من الممكن تقطيع المادة إلى أجزاء أصغر إلى ما لا نهاية .

ونتيجة لذلك، فإن الكلمة اليونانية átomos ( ἄτομος )، والتي تعني حرفيًا "غير قابل للقطع"، تُترجم عادةً إلى "غير قابل للتجزئة". وفي حين أن الذرة الحديثة قابلة للتجزئة بالفعل، إلا أنها في الواقع غير قابلة للتجزئة: لا يوجد تقسيم للمكان بحيث تتوافق أجزاؤها مع الأجزاء المادية للذرة. بعبارة أخرى، لم يعد الوصف الميكانيكي الكمومي للمادة متوافقًا مع النموذج الجاهز. ^{[6] وهذا يلقي ضوءًا جديدًا على} اللغز القديم المتمثل في قابلية المادة للتجزئة. إن تعدد الجسم المادي - عدد أجزائه - يعتمد على وجود علاقات مكانية داخلية (مواضع نسبية بين الأجزاء)، وليس الأسطح المحددة، وتفتقر هذه العلاقات إلى قيم محددة. ووفقًا للنموذج القياسي لفيزياء الجسيمات، فإن الجسيمات التي تتكون منها الذرة - الكواركات والإلكترونات - هي جسيمات نقطية : فهي لا تشغل حيزًا. إن ما يجعل الذرة تشغل حيزاً مع ذلك ليس أي "مادة" ممتدة مكانياً "تشغل حيزاً"، والتي يمكن تقطيعها إلى قطع أصغر وأصغر، ولكن عدم تحديد علاقاتها المكانية الداخلية.

غالبًا ما يُنظر إلى الفضاء المادي على أنه قابل للقسمة إلى ما لا نهاية: يُعتقد أن أي منطقة في الفضاء، مهما كانت صغيرة، يمكن تقسيمها إلى ما لا نهاية. وبالمثل، يُنظر إلى الوقت على أنه قابل للقسمة إلى ما لا نهاية.

ومع ذلك، وفقًا لأفضل نظرية مقبولة حاليًا في الفيزياء، النموذج القياسي ، هناك مسافة (تسمى طول بلانك ، 1.616229(38)×10 ⁻³⁵ مترًا، سميت على اسم أحد آباء نظرية الكم، ماكس بلانك ) وبالتالي فترة زمنية (كمية الوقت الذي يستغرقه الضوء لقطع تلك المسافة في الفراغ، 5.39116(13)×10 ⁻⁴⁴ ثانية، تُعرف باسم وقت بلانك ) يُتوقع أن ينهار عندها النموذج القياسي ^- مما يجعل هذا فعليًا أصغر مقياس فيزيائي يمكن الإدلاء ببيانات ذات مغزى عنه حاليًا. يتطلب التنبؤ بالسلوك الفيزيائي للزمكان والجسيمات الأساسية على مسافات أصغر نظرية جديدة ^{للجاذبية} الكمومية ، والتي توحد النظريات غير المتوافقة حتى الآن لميكانيكا الكم والنسبية العامة ^.

الدولار الواحد ، أو اليورو الواحد ، مقسم إلى 100 سنت؛ ولا يمكن للمرء أن يدفع إلا بزيادات سنت واحد. ومن الشائع أن تكون أسعار بعض السلع مثل البنزين بزيادات قدرها عُشر سنت للغالون أو للتر. فإذا كان سعر البنزين 3.979 دولار للغالون واشتري المرء 10 جالونات، فإن "التسعة أعشار السنت الإضافية" تساوي عشرة أمثال ذلك: أي "تسعة سنتات إضافية"، وبالتالي يتم دفع السنت في هذه الحالة. إن النقود قابلة للقسمة إلى ما لا نهاية بمعنى أنها تستند إلى نظام الأعداد الحقيقية. ومع ذلك، فإن العملات المعدنية الحديثة غير قابلة للقسمة (في الماضي كانت بعض العملات المعدنية تُوزن مع كل معاملة، وكانت تعتبر قابلة للقسمة دون وضع حد معين في الاعتبار). هناك نقطة دقة في كل معاملة لا طائل منها لأن مثل هذه المبالغ الصغيرة من المال لا أهمية لها بالنسبة للبشر. وكلما تضاعف السعر، كلما زادت أهمية الدقة. على سبيل المثال، عند شراء مليون سهم من الأسهم، قد يكون المشتري والبائع مهتمين بفارق سعر يبلغ عُشر سنت، لكن هذا مجرد خيار. كل شيء آخر في القياس والاختيار في الأعمال قابل للتجزئة على نحو مماثل إلى الحد الذي يهتم به الطرفان. على سبيل المثال، قد يتم إعداد التقارير المالية سنويًا أو ربع سنويًا أو شهريًا. يقوم بعض مديري الأعمال بإعداد تقارير التدفق النقدي أكثر من مرة في اليوم.

ورغم أن الزمن قد يكون قابلاً للقسمة إلى ما لا نهاية، فإن البيانات المتعلقة بأسعار الأوراق المالية تُبلَّغ في أوقات منفصلة. على سبيل المثال، إذا نظرنا إلى سجلات أسعار الأسهم في عشرينيات القرن العشرين، فقد نجد الأسعار في نهاية كل يوم، ولكن ربما لا نجدها في غضون ثلاثمائة من الثانية بعد الساعة 12:47 ظهراً. ولكن من الناحية النظرية، قد تتمكن طريقة جديدة من الإبلاغ بمعدل مضاعف، وهو ما لن يمنع المزيد من الزيادات في سرعة الإبلاغ. وربما يكون من المفارقات أن الرياضيات الفنية المطبقة على الأسواق المالية غالباً ما تكون أبسط إذا استخدمنا الزمن القابل للقسمة إلى ما لا نهاية كتقريب. وحتى في مثل هذه الحالات، يتم اختيار الدقة التي نعمل بها، ويتم تقريب القياسات إلى هذا التقريب. وفيما يتصل بالتفاعل البشري، فإن المال والوقت قابلان للقسمة، ولكن فقط إلى النقطة التي لا يكون فيها المزيد من القسمة ذا قيمة، وهي النقطة التي لا يمكن تحديدها بدقة.

إن القول بأن مجال الأعداد النسبية قابل للقسمة إلى ما لا نهاية (أي أن الترتيب كثيف نظريًا ) يعني أنه بين أي عددين نسبيين يوجد عدد نسبي آخر. وعلى النقيض من ذلك، فإن حلقة الأعداد الصحيحة ليست قابلة للقسمة إلى ما لا نهاية.

لا تعني القابلية للقسمة اللانهائية عدم وجود فجوات: لا تتمتع الأعداد النسبية بأدنى خاصية حد أعلى . وهذا يعني أنه إذا قسم المرء الأعداد النسبية إلى مجموعتين غير فارغتين A و B حيث تحتوي A على جميع الأعداد النسبية الأقل من عدد غير نسبي ( π ، على سبيل المثال) وتحتوي B على جميع الأعداد النسبية الأكبر منه، فإن A ليس لديها أكبر عضو ولا تحتوي B على أصغر عضو. على النقيض من ذلك، فإن مجال الأعداد الحقيقية قابل للقسمة بلا حدود ولا يحتوي على فجوات. أي مجموعة مرتبة خطيًا قابلة للقسمة بلا حدود ولا تحتوي على فجوات، ولديها أكثر من عضو، تكون لانهائية لا يمكن عدها . لإثبات، انظر أول إثبات لعدم قابلية العد لكانتور . إن القابلية للقسمة اللانهائية وحدها تعني اللانهاية ولكن ليس عدم قابلية العد، كما توضح الأعداد النسبية.

إن القول بأن توزيع الاحتمالات F على خط الأعداد الحقيقية قابل للقسمة إلى ما لا نهاية يعني أنه إذا كان X أي متغير عشوائي يكون توزيعه F ، فعندئذٍ لكل عدد صحيح موجب n يوجد n متغير عشوائي مستقل موزع بشكل متطابق X ₁ ، ...، X _n مجموعها يساوي في التوزيع إلى X (تلك المتغيرات العشوائية الأخرى n لا يكون لها عادةً نفس توزيع الاحتمالات مثل X ).

توزيع بواسون ، وتوزيع بواسون المتقطع، ^{[ بحاجة لمصدر ]} ، والتوزيع الثنائي السالب ، وتوزيع جاما هي أمثلة على التوزيعات القابلة للقسمة إلى ما لا نهاية - مثل التوزيع الطبيعي ، وتوزيع كوشي وجميع الأعضاء الآخرين في عائلة التوزيع المستقر . التوزيع الطبيعي الملتوي هو مثال على التوزيع غير القابل للقسمة إلى ما لا نهاية. (انظر دومينغيز-مولينا وروخا-أرتيجا (2007).)

كل توزيع احتمالي قابل للقسمة إلى ما لا نهاية يتوافق بطريقة طبيعية مع عملية ليفي ، أي عملية عشوائية { X _t  : t ≥ 0} بزيادات مستقلة ثابتة ( تعني ثابتة أنه بالنسبة إلى s < t ، فإن توزيع احتمالية X _t − X _s يعتمد فقط على t − s ؛ وتعني الزيادات المستقلة أن هذا الفرق مستقل عن الفرق المقابل في أي فاصل لا يتداخل مع [ s ، t ]، وعلى نحو مماثل لأي عدد محدود من الفواصل).

تم تقديم مفهوم قابلية القسمة اللانهائية لتوزيعات الاحتمالات في عام 1929 من قبل برونو دي فينيتي .

• المجموعة القابلة للقسمة ، هي مجموعة رياضية يكون كل عنصر فيها مضاعفًا تعسفيًا لعنصر آخر
• توزيع غير قابل للتحلل
• تقطيع السلامي
• مفارقات زينو

• دومينغيز-مولينا، جيه إيه؛ روشا-أرتيجا، أ. (2007) "حول قابلية بعض التوزيعات المتماثلة المنحرفة للقسمة اللانهائية". رسائل الإحصاء والاحتمالات ، 77 (6)، 644-648 doi :10.1016/j.spl.2006.09.014

• التعشيش الهرمي اللانهائي للمادة (ترجمة صفحة ويكيبيديا الروسية)