قانون الأعداد الكبيرة

في نظرية الاحتمالات ، يُعرف قانون الأعداد الكبيرة بأنه قانون رياضي ينص على أن متوسط ​​النتائج المُستخلصة من عدد كبير من العينات العشوائية المستقلة يتقارب مع القيمة الحقيقية، إن وُجدت. ^{[ 1 ]} وبصورة أدق، ينص قانون الأعداد الكبيرة على أنه عند إعطاء عينة من القيم المستقلة والمتطابقة التوزيع، فإن متوسط ​​العينة يتقارب مع المتوسط ​​الحقيقي .

يُعدّ قانون الأعداد الكبيرة مهمًا لأنه يضمن نتائج مستقرة على المدى الطويل لمتوسطات بعض الأحداث العشوائية . ^{[ 1 ] [ 2 ]} على سبيل المثال، بينما قد يخسر الكازينو أموالًا في دورة واحدة من لعبة الروليت ، فإن أرباحه ستميل إلى نسبة مئوية يمكن التنبؤ بها على مدار عدد كبير من الدورات. وأي سلسلة انتصارات يحققها لاعب ستتلاشى في النهاية بفعل عوامل اللعبة. ومن المهم أن نلاحظ أن هذا القانون (كما يشير اسمه) لا ينطبق إلا عند النظر في عدد كبير من المشاهدات. فليس هناك ما يضمن أن عددًا قليلًا من المشاهدات سيتطابق مع القيمة المتوقعة، أو أن سلسلة من قيمة معينة ستُعادلها فورًا القيم الأخرى .

على مرّ التاريخ، قام العديد من علماء الرياضيات بتطوير هذا القانون. واليوم، يُستخدم قانون الأعداد الكبيرة في العديد من المجالات، بما في ذلك الإحصاء، ونظرية الاحتمالات، والاقتصاد، والتأمين. ^{[ 3 ]}

ينتج عن رمية واحدة لنرد سداسي الأوجه أحد الأرقام 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 5 أو 6، باحتمالية متساوية . لذلك، فإن القيمة المتوقعة للرمية هي:

$${\displaystyle {\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3.5}$$

وفقًا لقانون الأعداد الكبيرة، إذا تم رمي عدد كبير من النرد ذي الستة أوجه، فإن متوسط ​​قيمها (يسمى أحيانًا متوسط ​​العينة ) سيقترب من 3.5، مع زيادة الدقة مع زيادة عدد النرد الذي يتم رميه.

يستنتج من قانون الأعداد الكبيرة أن الاحتمال التجريبي للنجاح في سلسلة من تجارب برنولي يتقارب مع الاحتمال النظري. بالنسبة لمتغير عشوائي برنولي ، فإن القيمة المتوقعة هي الاحتمال النظري للنجاح، ومتوسط ​​n من هذه المتغيرات (بافتراض أنها مستقلة وموزعة توزيعًا متطابقًا ) هو بالضبط التكرار النسبي.

على سبيل المثال، تُعدّ رمية عملة عادلة تجربة برنولي. عند رمي عملة عادلة مرة واحدة، يكون الاحتمال النظري لظهور الصورة مساويًا لـ ½ . لذلك، ووفقًا لقانون الأعداد الكبيرة، فإن نسبة ظهور الصورة في عدد كبير من رميات العملة "ينبغي" أن تكون تقريبًا ½ . وبالتحديد ، فإن نسبة ظهور الصورة بعد n رمية ستتقارب بشكل شبه مؤكد إلى ½ كلما اقترب n من اللانهاية .

على الرغم من أن نسبة ظهور الصورة (والكتابة) تقترب من النصف ، فمن شبه المؤكد أن الفرق المطلق بين عدد مرات ظهور الصورة والكتابة سيزداد مع ازدياد عدد مرات رمي ​​العملة. أي أن احتمال أن يكون الفرق المطلق صغيرًا يقترب من الصفر مع ازدياد عدد مرات رمي ​​العملة. كذلك، من شبه المؤكد أن نسبة الفرق المطلق إلى عدد مرات رمي ​​العملة ستقترب من الصفر. وبشكل بديهي، يزداد الفرق المتوقع، ولكن بمعدل أبطأ من معدل ازدياد عدد مرات رمي ​​العملة.

مثال آخر جيد على قانون الأعداد الكبيرة هو طريقة مونت كارلو . تُعدّ هذه الطرق فئة واسعة من الخوارزميات الحسابية التي تعتمد على أخذ عينات عشوائية متكررة للحصول على نتائج عددية. كلما زاد عدد التكرارات، كان التقريب أفضل. تكمن أهمية هذه الطريقة أساسًا في أنه في بعض الأحيان، يصعب أو يستحيل استخدام طرق أخرى. ^{[ 4 ]}

قد لا يتقارب متوسط ​​النتائج المُستخلصة من عدد كبير من التجارب في بعض الحالات. على سبيل المثال، لن يتقارب متوسط ​​n نتيجة مأخوذة من توزيع كوشي أو بعض توزيعات باريتو (α<1) عندما تزداد قيمة n ؛ والسبب هو الذيول السميكة . ^{[ 5 ]} يُمثل توزيع كوشي وتوزيع باريتو حالتين: توزيع كوشي ليس له قيمة متوقعة، ^{[ 6 ]} بينما القيمة المتوقعة لتوزيع باريتو ( α <1) لانهائية. ^{[ 7 ]} إحدى طرق توليد مثال مُوزع وفقًا لتوزيع كوشي هي أن تكون الأرقام العشوائية مساوية لظل زاوية موزعة بانتظام بين -90° و+90°. ^{[ 8 ]} الوسيط يساوي صفرًا، لكن القيمة المتوقعة غير موجودة، وفي الواقع، فإن متوسط ​​n من هذه المتغيرات له نفس توزيع متغير واحد من هذه المتغيرات. ولا يتقارب احتماليًا نحو الصفر (أو أي قيمة أخرى) عندما تؤول n إلى اللانهاية.

إذا كانت التجارب تنطوي على تحيز في الاختيار ، وهو أمر شائع في السلوك الاقتصادي/العقلاني البشري، فإن قانون الأعداد الكبيرة لا يساعد في حل هذا التحيز، فحتى لو زاد عدد التجارب، فإن تحيز الاختيار يبقى قائماً.

ذكر عالم الرياضيات الإيطالي جيرولامو كاردانو (1501-1576)، دون برهان، أن دقة الإحصاءات التجريبية تميل إلى التحسن مع ازدياد عدد المحاولات. ^{[ 9 ] [ 3 ]} ثم صِيغ هذا في قانون الأعداد الكبيرة. وقد برهن جاكوب برنولي لأول مرة على شكل خاص من قانون الأعداد الكبيرة (لمتغير عشوائي ثنائي) . ^{[ 10 ] [ 3 ]} واستغرق منه الأمر أكثر من 20 عامًا لتطوير برهان رياضي دقيق بما فيه الكفاية، نُشر في كتابه " فن التخمين " ( Ars Conjectandi ) عام 1713. أطلق عليه اسم "النظرية الذهبية"، لكنها أصبحت تُعرف عمومًا باسم " نظرية برنولي ". يجب عدم الخلط بينها وبين مبدأ برنولي ، نسبةً إلى ابن شقيق جاكوب برنولي، دانيال برنولي . في عام 1837، وصفها إس. دي. بواسون بشكلٍ أوسع تحت اسم "قانون الأعداد الكبيرة" (la loi des grands nombres). ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 3 ]} بعد ذلك، عُرفت باسمين، ولكن "قانون الأعداد الكبيرة" هو الأكثر استخدامًا.

بعد أن نشر برنولي وبواسون جهودهما، ساهم رياضيون آخرون في تحسين القانون، بمن فيهم تشيبيشيف [ ^{13 ] ،} وماركوف ، وبوريل ، وكانتيللي ، وكولموغوروف، وخينشين [ ^{3 ] .} بيّن ماركوف أن القانون يمكن تطبيقه على متغير عشوائي ليس له تباين محدود في ظل افتراض أضعف، وأظهر خينشين في عام 1929 أنه إذا كانت السلسلة تتكون من متغيرات عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع، فإن وجود القيمة المتوقعة يكفي لصحة القانون الضعيف للأعداد الكبيرة ^{[ 14 ] [ 15 ]} . وقد أدت هذه الدراسات اللاحقة إلى ظهور شكلين بارزين لقانون الأعداد الكبيرة. يُطلق على أحدهما اسم القانون "الضعيف" والآخر القانون "القوي"، وذلك في إشارة إلى نمطين مختلفين لتقارب المتوسطات التراكمية للعينة نحو القيمة المتوقعة؛ وعلى وجه الخصوص، كما هو موضح أدناه، فإن الشكل القوي يستلزم الشكل الضعيف ^{[ 14 ] .}

_{يوجد شكلان مختلفان لقانون الأعداد الكبيرة ،} وهما: القانون القوي للأعداد الكبيرة والقانون الضعيف للأعداد الكبيرة . ^{[ 16 ] [ 1 ]} ينص كلا الشكلين على أنه في حالة كون X1 ، X2 _، ... سلسلة لانهائية من المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع (iid) والقابلة للتكامل وفقًا لمعيار ليبيغ، والتي يكون متوسطها المتوقع E(X1) = E(X2 ₎ = ... = _μ ، فإن متوسط ​​العينة

$${\displaystyle {\overline {X}}_{n}={\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})}$$

يتقارب مع القيمة المتوقعة:

$${\displaystyle {\overline {X}}_{n}\to \mu \quad {\textrm {as}}\ n\to \infty .}$$

1

(تعني قابلية التكامل لـ X _j وفقًا لمقياس ليبيغ أن القيمة المتوقعة E( X _j ) موجودة وفقًا لتكامل ليبيغ وهي محدودة. ولا يعني ذلك أن مقياس الاحتمال المرتبط بها متصل بشكل مطلق بالنسبة لمقياس ليبيغ .)

غالباً ما تفترض كتب الاحتمالات التمهيدية أيضاً تبايناً محدوداً متطابقاً${\displaystyle \operatorname {Var} (X_{i})=\sigma ^{2}}$(للجميع)${\displaystyle i}$) ولا يوجد ارتباط بين المتغيرات العشوائية. في هذه الحالة، يكون تباين متوسط ​​n من المتغيرات العشوائية هو

$${\displaystyle \operatorname {Var} ({\overline {X}}_{n})=\operatorname {Var} ({\tfrac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n}))={\frac {1}{n^{2}}}\operatorname {Var} (X_{1}+\cdots +X_{n})={\frac {n\sigma ^{2}}{n^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}.}$$

والتي يمكن استخدامها لتقصير البراهين وتبسيطها. هذا الافتراض بوجود تباين محدود ليس ضروريًا . سيؤدي التباين الكبير أو غير المحدود إلى إبطاء التقارب، لكن قانون الأعداد الكبيرة يبقى ساريًا على أي حال. ^{[ 17 ]}

يمكن استبدال الاستقلال المتبادل للمتغيرات العشوائية بالاستقلال الزوجي ^{[ 18 ]} أو التبادلية ^{[ 19 ]} في كلا نسختي القانون.

يكمن الفرق بين الصيغة القوية والصيغة الضعيفة في نمط التقارب المُعتمد. للاطلاع على تفسير هذه الأنماط، انظر تقارب المتغيرات العشوائية .

قانون ضعيف

محاكاة توضح قانون الأعداد الكبيرة. في كل إطار، تُقلب عملة معدنية حمراء من جهة وزرقاء من الجهة الأخرى، وتُضاف نقطة في العمود المقابل. يُظهر مخطط دائري نسبة اللونين الأحمر والأزرق حتى الآن. لاحظ أنه بينما تتفاوت النسبة بشكل ملحوظ في البداية، فإنها تقترب من 50% مع ازدياد عدد المحاولات.

ينص قانون الأعداد الكبيرة الضعيف ( المعروف أيضًا باسم قانون خينشين ) على أنه بالنظر إلى مجموعة من العينات المستقلة والموزعة بشكل متطابق (iid) من متغير عشوائي ذي متوسط ​​محدود، فإن متوسط ​​العينة يتقارب في الاحتمالية إلى القيمة المتوقعة ^{[ 20 ].}

$${\displaystyle {\overline {X}}_{n}\ {\overset {P}{\rightarrow }}\ \mu \qquad {\textrm {when}}\ n\to \infty .}$$

2

أي أنه لأي عدد موجب ε ،

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\overline {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon \,\right)=1.}$$

بتفسير هذه النتيجة، ينص القانون الضعيف على أنه بالنسبة لأي هامش غير صفري محدد ( ε )، مهما كان صغيرًا، مع عينة كبيرة بما فيه الكفاية، سيكون هناك احتمال كبير جدًا أن يكون متوسط ​​الملاحظات قريبًا من القيمة المتوقعة؛ أي ضمن الهامش.

كما ذُكر سابقًا، ينطبق قانون التوزيع الضعيف في حالة المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع، ولكنه ينطبق أيضًا في بعض الحالات الأخرى. على سبيل المثال، قد يختلف التباين لكل متغير عشوائي في السلسلة، مع ثبات القيمة المتوقعة. إذا كانت التباينات محدودة، فإن القانون ينطبق، كما أوضح تشيبيشيف في وقت مبكر من عام 1867. (إذا تغيرت القيم المتوقعة خلال السلسلة، فيمكننا ببساطة تطبيق القانون على متوسط ​​الانحراف عن القيم المتوقعة المعنية. وينص القانون حينها على أن هذا يتقارب احتماليًا إلى الصفر). في الواقع، ينجح برهان تشيبيشيف طالما أن تباين متوسط ​​أول n قيمة يؤول إلى الصفر عندما تؤول n إلى اللانهاية. ^{[ 15 ]} كمثال، افترض أن كل متغير عشوائي في السلسلة يتبع توزيعًا غاوسيًا (توزيعًا طبيعيًا) بمتوسط ​​صفر، ولكن بتباين يساوي${\displaystyle 2n/\log(n+1)}$وهي غير محدودة. في كل مرحلة، سيكون المتوسط ​​موزعًا توزيعًا طبيعيًا (كمتوسط ​​لمجموعة من المتغيرات الموزعة توزيعًا طبيعيًا). تباين المجموع يساوي مجموع التباينات، وهو ما يقترب من${\displaystyle n^{2}/\log n}$وبالتالي، فإن تباين المتوسط ​​يقترب من${\displaystyle 1/\log n}$ويؤول إلى الصفر.

وهناك أيضاً أمثلة على تطبيق القانون الضعيف حتى في حالة عدم وجود القيمة المتوقعة.

قانون قوي

ينص قانون الأعداد الكبيرة القوي (المعروف أيضًا باسم قانون كولموغوروف ) على أن متوسط ​​العينة يتقارب بشكل شبه مؤكد إلى القيمة المتوقعة ^{[ 21 ].}

$${\displaystyle {\overline {X}}_{n}\ {\overset {\text{a.s.}}{\longrightarrow }}\ \mu \qquad {\textrm {when}}\ n\to \infty .}$$

3

إنه،

$${\displaystyle \Pr \!\left(\lim _{n\to \infty }{\overline {X}}_{n}=\mu \right)=1.}$$

هذا يعني أنه كلما ازداد عدد المحاولات (n) إلى ما لا نهاية، فإن احتمال تقارب متوسط ​​المشاهدات إلى القيمة المتوقعة يساوي واحدًا. ويُعدّ البرهان الحديث للقانون القوي أكثر تعقيدًا من برهان القانون الضعيف، ويعتمد على الانتقال إلى متتالية فرعية مناسبة. ^{[ 17 ]}

يمكن اعتبار قانون الأعداد الكبيرة القوي حالة خاصة من نظرية الإرجودية النقطية . يبرر هذا الرأي التفسير البديهي للقيمة المتوقعة (للتكامل اللوبسغي فقط) لمتغير عشوائي عند أخذ عينات منه بشكل متكرر على أنها "المتوسط ​​طويل الأجل".

يُطلق على القانون الثالث اسم القانون القوي لأن المتغيرات العشوائية التي تتقارب بقوة (بشكل شبه مؤكد) مضمونة التقارب بشكل ضعيف (احتماليًا). مع ذلك، من المعروف أن القانون الضعيف ينطبق في ظروف معينة لا ينطبق عليها القانون القوي، وعندها يكون التقارب ضعيفًا فقط (احتماليًا). انظر: الفروق بين القانون الضعيف والقانون القوي .

ينطبق القانون القوي على المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع والتي لها قيمة متوقعة (مثل القانون الضعيف). وقد أثبت كولموغوروف ذلك عام 1930. ويمكن تطبيقه أيضًا في حالات أخرى. كما بيّن كولموغوروف عام 1933 أنه إذا كانت المتغيرات مستقلة ومتطابقة التوزيع، فلكي يتقارب المتوسط ​​تقريبًا بشكل مؤكد نحو قيمة معينة (وهذا يُعدّ بيانًا آخر للقانون القوي)، فمن الضروري أن يكون لها قيمة متوقعة (وبالتالي سيتقارب المتوسط ​​تقريبًا بشكل مؤكد نحو تلك القيمة). ^{[ 22 ]}

إذا كانت الحدود مستقلة ولكنها غير موزعة توزيعًا متطابقًا، فإن

$${\displaystyle {\overline {X}}_{n}-\operatorname {E} {\big [}{\overline {X}}_{n}{\big ]}\ {\overset {\text{a.s.}}{\longrightarrow }}\ 0,}$$

2

بشرط أن يكون لكل X _k عزم ثانٍ محدود و

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}\operatorname {Var} [X_{k}]<\infty .}$$

يُعرف هذا البيان باسم قانون كولموغوروف القوي ، انظر على سبيل المثال Sen & Singer (1993 ، النظرية 2.3.10) .

بفرض وجود X1 _، X2 ، ... سلسلة لانهائية من المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع _ذات القيمة المتوقعة المحدودة${\displaystyle E(X_{1})=E(X_{2})=\cdots =\mu <\infty }$نحن مهتمون بتقارب متوسط ​​العينة

$${\displaystyle {\overline {X}}_{n}={\tfrac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n}).}$$

ينص قانون الأعداد الكبيرة الضعيف على ما يلي:

$${\displaystyle {\overline {X}}_{n}\ {\overset {P}{\rightarrow }}\ \mu \qquad {\textrm {when}}\ n\to \infty .}$$

2

برهان باستخدام متباينة تشيبيشيف بافتراض تباين محدود

يعتمد هذا البرهان على فرضية التباين المحدود${\displaystyle \operatorname {Var} (X_{i})=\sigma ^{2}}$(للجميع)${\displaystyle i}$استقلال المتغيرات العشوائية يعني عدم وجود ارتباط بينها، ولدينا ذلك

$${\displaystyle \operatorname {Var} ({\overline {X}}_{n})=\operatorname {Var} ({\tfrac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n}))={\frac {1}{n^{2}}}\operatorname {Var} (X_{1}+\cdots +X_{n})={\frac {n\sigma ^{2}}{n^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}.}$$

المتوسط ​​المشترك μ للتسلسل هو متوسط ​​متوسط ​​العينة:

$${\displaystyle E({\overline {X}}_{n})=\mu .}$$

باستخدام متباينة تشيبيشيف على${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$النتائج في

$${\displaystyle \operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|\geq \varepsilon )\leq {\frac {\sigma ^{2}}{n\varepsilon ^{2}}}.}$$

يمكن استخدام هذا للحصول على ما يلي:

$${\displaystyle \operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|<\varepsilon )=1-\operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|\geq \varepsilon )\geq 1-{\frac {\sigma ^{2}}{n\varepsilon ^{2}}}.}$$

عندما يقترب n من اللانهاية، يقترب التعبير من 1. وبحسب تعريف التقارب في الاحتمالات ، فقد حصلنا على

$${\displaystyle {\overline {X}}_{n}\ {\overset {P}{\rightarrow }}\ \mu \qquad {\textrm {when}}\ n\to \infty .}$$

2

البرهان باستخدام تقارب الدوال المميزة

بحسب نظرية تايلور للدوال المركبة ، يمكن كتابة الدالة المميزة لأي متغير عشوائي X ذي متوسط ​​محدود μ على النحو التالي:

$${\displaystyle \varphi _{X}(t)=1+it\mu +o(t),\quad t\rightarrow 0.}$$

جميع X ₁ ، X ₂ ، ... لها نفس الدالة المميزة ، لذلك سنرمز ببساطة إلى هذا φ _X .

من بين الخصائص الأساسية للدوال المميزة ما يلي:

$${\displaystyle \varphi _{{\frac {1}{n}}X}(t)=\varphi _{X}({\tfrac {t}{n}})\quad {\text{and}}\quad \varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)\quad }$$إذا كان X و Y مستقلين.

يمكن استخدام هذه القواعد لحساب الدالة المميزة لـ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$بدلالة φ _X :

$${\displaystyle \varphi _{{\overline {X}}_{n}}(t)=\left[\varphi _{X}\left({t \over n}\right)\right]^{n}=\left[1+i\mu {t \over n}+o\left({t \over n}\right)\right]^{n}\,\rightarrow \,e^{it\mu },\quad {\text{as}}\quad n\to \infty .}$$

النهاية e ^itμ هي الدالة المميزة للمتغير العشوائي الثابت μ، وبالتالي، وفقًا لنظرية ليفي للاستمرارية ،${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$يتقارب في التوزيع إلى μ:

$${\displaystyle {\overline {X}}_{n}\,{\overset {\mathcal {D}}{\rightarrow }}\,\mu \qquad {\text{for}}\qquad n\to \infty .}$$

μ ثابت، مما يعني أن التقارب في التوزيع إلى μ والتقارب في الاحتمال إلى μ متكافئان (انظر تقارب المتغيرات العشوائية ). لذلك،

$${\displaystyle {\overline {X}}_{n}\ {\overset {P}{\rightarrow }}\ \mu \qquad {\textrm {when}}\ n\to \infty .}$$

2

وهذا يدل على أن متوسط ​​العينة يتقارب في الاحتمالية إلى مشتق الدالة المميزة عند نقطة الأصل، طالما أن الأخيرة موجودة.

نقدم برهانًا بسيطًا نسبيًا للقانون القوي بافتراض أن${\displaystyle X_{i}}$هي مستقلة ومتطابقة التوزيع ،${\displaystyle {\mathbb {E} }[X_{i}]=:\mu <\infty }$،${\displaystyle \operatorname {Var} (X_{i})=\sigma ^{2}<\infty }$، و${\displaystyle {\mathbb {E} }[X_{i}^{4}]=:\tau <\infty }$.

لنلاحظ أولاً أنه دون فقدان للعمومية، يمكننا أن نفترض أن${\displaystyle \mu =0}$عن طريق التمركز. في هذه الحالة، ينص القانون القوي على أن

$${\displaystyle \Pr \!\left(\lim _{n\to \infty }{\overline {X}}_{n}=0\right)=1,}$$ أو $${\displaystyle \Pr \left(\omega$$ :\lim _{n\to \infty }{\frac {S_{n}(\omega )}{n}}=0\right)=1.} وهذا يكافئ إثبات أن $${\displaystyle \Pr \left(\omega$$  لاحظ أن : lim_{n\to \infty}{\frac{S_{n}(\omega)}{n}}\neq 0\right)=0 $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {S_{n}(\omega )}{n}}\neq 0\iff \exists \epsilon >0,\left|{\frac {S_{n}(\omega )}{n}}\right|\geq \epsilon \ {\mbox{infinitely often}},}$$ وبالتالي، لإثبات القانون القوي، نحتاج إلى إظهار أنه لكل${\displaystyle \epsilon >0}$لدينا $${\displaystyle \Pr \left(\omega$$ :|S_{n}(\omega )|\geq n\epsilon {\mbox{ مرات لا نهائية}}\right)=0.} عرّف الأحداث${\displaystyle A_{n}=\{\omega$ :|S_{n}|\geq n\epsilon \}} ، وإذا استطعنا إثبات ذلك $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Pr(A_{n})<\infty ,}$$ ثم تستلزم مبرهنة بوريل-كانتيلي النتيجة. فلنقم بتقدير${\displaystyle \Pr(A_{n})}$.

نقوم بالحساب $${\displaystyle {\mathbb {E} }[S_{n}^{4}]={\mathbb {E} }\left[\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)^{4}\right]={\mathbb {E} }\left[\sum _{1\leq i,j,k,l\leq n}X_{i}X_{j}X_{k}X_{l}\right].}$$ ندعي أولاً أن كل مصطلح من الشكل${\displaystyle X_{i}^{3}X_{j},X_{i}^{2}X_{j}X_{k},X_{i}X_{j}X_{k}X_{l}}$حيث تكون جميع الرموز السفلية متميزة، يجب أن يكون التوقع صفراً. وذلك لأن${\displaystyle {\mathbb {E} }[X_{i}^{3}X_{j}]={\mathbb {E} }[X_{i}^{3}]{\mathbb {E} }[X_{j}]}$بالاستقلال، والحد الأخير يساوي صفرًا، وكذلك الحال بالنسبة للحدود الأخرى. لذلك، فإن الحدود الوحيدة في المجموع ذات القيمة المتوقعة غير الصفرية هي${\displaystyle {\mathbb {E} }[X_{i}^{4}]}$و${\displaystyle {\mathbb {E} }[X_{i}^{2}X_{j}^{2}]}$منذ${\displaystyle X_{i}}$موزعة بشكل متطابق، وكلها متماثلة، وعلاوة على ذلك${\displaystyle {\mathbb {E} }[X_{i}^{2}X_{j}^{2}]=({\mathbb {E} }[X_{i}^{2}])^{2}}$.

هناك${\displaystyle n}$شروط النموذج${\displaystyle {\mathbb {E} }[X_{i}^{4}]}$و${\displaystyle 3n(n-1)}$شروط النموذج${\displaystyle ({\mathbb {E} }[X_{i}^{2}])^{2}}$وهكذا $${\displaystyle {\mathbb {E} }[S_{n}^{4}]=n\tau +3n(n-1)\sigma ^{4}.}$$ لاحظ أن الطرف الأيمن هو متعدد حدود من الدرجة الثانية في${\displaystyle n}$وعلى هذا النحو يوجد${\displaystyle C>0}$بحيث${\displaystyle {\mathbb {E} }[S_{n}^{4}]\leq Cn^{2}}$ل${\displaystyle n}$كبير بما فيه الكفاية. بقلم ماركوف، $${\displaystyle \Pr(|S_{n}|\geq n\epsilon )\leq {\frac {1}{(n\epsilon )^{4}}}{\mathbb {E} }[S_{n}^{4}]\leq {\frac {C}{\epsilon ^{4}n^{2}}},}$$ ل${\displaystyle n}$كبيرة بما يكفي، وبالتالي فإن هذه المتسلسلة قابلة للجمع. بما أن هذا ينطبق على أي${\displaystyle \epsilon >0}$لقد أثبتنا القانون القوي للأعداد الكبيرة. ^{[ 32 ]} ويمكن تعزيز البرهان بشكل كبير بإسقاط جميع افتراضات التناهي على العزمين الثاني والرابع. كما يمكن توسيعه، على سبيل المثال، لمناقشة المجاميع الجزئية للتوزيعات دون أي عزوم منتهية. تستخدم هذه البراهين حججًا أكثر تعقيدًا لإثبات نفس محمول بوريل-كانتيلي، وهي استراتيجية تُنسب إلى كولموغوروف لوضع النهاية داخل أقواس الاحتمال من الناحية المفاهيمية. ^{[ 33 ]}

ينص قانون الأعداد الكبيرة على توقع توزيع غير معروف من خلال تحقيق متسلسلة، وكذلك أي سمة من سمات التوزيع الاحتمالي . ^{[ 1 ]} بتطبيق قانون بوريل للأعداد الكبيرة ، يمكن بسهولة الحصول على دالة الكتلة الاحتمالية . لكل حدث في دالة الكتلة الاحتمالية المستهدفة، يمكن تقريب احتمال وقوع الحدث بنسبة تكرار أي حدث محدد. كلما زاد عدد التكرارات، كان التقريب أفضل. أما بالنسبة للحالة المستمرة:${\displaystyle C=(a-h,a+h]}$، بالنسبة لقيم h الموجبة الصغيرة. وبالتالي، بالنسبة لقيم n الكبيرة:

$${\displaystyle {\frac {N_{n}(C)}{n}}\thickapprox p=P(X\in C)=\int _{a-h}^{a+h}f(x)\,dx\thickapprox 2hf(a)}$$

بهذه الطريقة، يمكن للمرء تغطية المحور السيني بالكامل بشبكة (بحجم شبكة 2h) والحصول على رسم بياني شريطي يسمى المدرج التكراري .

يُعدّ أحد تطبيقات قانون الأعداد الكبيرة طريقةً مهمةً للتقريب تُعرف باسم طريقة مونت كارلو ، ^{[ 3 ]} والتي تستخدم عينةً عشوائيةً من الأرقام لتقريب النتائج العددية. وتكون خوارزمية حساب تكامل الدالة f(x) على الفترة [a, b] كما يلي: ^{[ 3 ]}

1. قم بمحاكاة متغيرات عشوائية منتظمة X1 _، X2 _، ...، Xn _{باستخدام} برنامج حاسوبي، واستخدم جدول أرقام عشوائية يُعطي U1 _، U2 _، ...، Un _{متغيرات} عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع (iid) على الفترة [0، 1]. ثم ليكن Xi ₌ a + (b - a)Ui _حيث i = 1، 2، ...، n. عندئذٍ، تكون _X1 ، X2 _، ...، Xn _{متغيرات} عشوائية منتظمة مستقلة ومتطابقة التوزيع على الفترة [a، b].
2. قم بتقييم f(X ₁ ), f(X ₂ ), ..., f(X _n ).
3. احسب متوسط ​​f(X1 ₎ ، f(X2 ₎ ، ...، f(Xn ₎ عن طريق الحساب${\displaystyle (b-a){\tfrac {f(X_{1})+f(X_{2})+\dots +f(X_{n})}{n}}}$ثم، وفقًا لقانون الأعداد الكبيرة القوي، يتقارب هذا إلى${\displaystyle (b-a)\operatorname {E} (f(X_{1}))=(b-a)\int _{a}^{b}f(x){\tfrac {1}{b-a}}\,dx=\int _{a}^{b}f(x){dx}}$.

يمكننا إيجاد تكامل${\displaystyle f(x)=\cos ^{2}(x){\sqrt {x^{3}+1}}}$على الفترة [-1، 2]. يُعدّ حساب هذا التكامل باستخدام الطرق التقليدية أمرًا بالغ الصعوبة، لذا يمكن استخدام طريقة مونت كارلو هنا. ^{[ 3 ]} باستخدام الخوارزمية المذكورة أعلاه، نحصل على

${\displaystyle \int _{-1}^{2}f(x)\,dx=0.905}$عندما n = 25

و

${\displaystyle \int _{-1}^{2}f(x)\,dx=1.028}$عندما n = 250.

نلاحظ أنه مع ازدياد قيمة n، تزداد القيمة العددية أيضًا. وعندما نحصل على النتائج الفعلية للتكامل، نحصل على

${\displaystyle \int _{-1}^{2}f(x)\,dx=1.000194}$.

عند استخدام الأعداد الصحيحة الكبيرة، كان تقريب التكامل أقرب إلى قيمته الحقيقية، وبالتالي أكثر دقة. ^{[ 3 ]}

ومن الأمثلة الأخرى دمج${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}-1}{e-1}}}$على الفترة [0، 1]. ^{[ 34 ]} باستخدام طريقة مونت كارلو والعدد الطبيعي الكبير، نلاحظ أنه مع ازدياد عدد العينات، تقترب القيمة العددية أكثر فأكثر من 0.4180233. ^{[ 34 ]}

• "قانون الأعداد الكبيرة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• وايسشتاين، إريك دبليو. "القانون الضعيف للأعداد الكبيرة" . عالم الرياضيات .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "قانون الأعداد الكبيرة القوي" . عالم الرياضيات .
• رسوم متحركة لقانون الأعداد الكبيرة من تصميم ييهوي شي باستخدام حزمة الرسوم المتحركة في لغة البرمجة R
• أدلى تيم كوك، الرئيس التنفيذي لشركة آبل، بتصريحٍ قد يُثير استياء الإحصائيين . قال: "لا نؤمن بقوانين الأعداد الكبيرة. هذا نوعٌ من المعتقدات القديمة، أعتقد، التي ابتدعها أحدهم [...]". وأضاف: "مع ذلك، لا علاقة لقانون الأعداد الكبيرة بالشركات الضخمة، أو الإيرادات الضخمة، أو معدلات النمو المرتفعة. قانون الأعداد الكبيرة هو مفهوم أساسي في نظرية الاحتمالات والإحصاء، يربط بين الاحتمالات النظرية التي يُمكننا حسابها والنتائج الفعلية للتجارب التي نجريها عمليًا". هذا ما أوضحه موقع بيزنس إنسايدر.