علم الجغرافيا الرياضية

يطور علم ديناميكا الموائع الجيوفيزيائية نظرية ديناميكا الموائع للغلاف الجوي والمحيطات وباطن الأرض. ^{[ 1 ]} وتشمل تطبيقاته الديناميكا الأرضية ونظرية الدينامو الأرضي .

تهتم نظرية الجيوفيزياء العكسية بتحليل البيانات الجيوفيزيائية لاستخلاص معلمات النموذج. ^{[ 2 ] [ 3 ]} وهي تُعنى بالسؤال التالي: ما الذي يمكن معرفته عن باطن الأرض من خلال القياسات على سطحها؟ عمومًا، توجد حدود لما يمكن معرفته حتى في ظل البيانات الدقيقة المثالية. ^{[ 4 ]}

يهدف علم النظرية العكسية إلى تحديد التوزيع المكاني لمتغير ما (مثل الكثافة أو سرعة الموجات الزلزالية). ويحدد هذا التوزيع قيم متغير قابل للرصد على السطح (مثل تسارع الجاذبية الأرضية للكثافة). لذا، لا بد من وجود نموذج أمامي يتنبأ بالقيم المرصودة على السطح بناءً على توزيع هذا المتغير.

تشمل التطبيقات علم المغناطيسية الأرضية ، وعلم المغناطيسية الأرضية ، وعلم الزلازل.

تتميز العديد من مجموعات البيانات الجيوفيزيائية بأطياف تتبع قانون القوة ، ما يعني أن تردد المقدار المرصود يتغير وفقًا لقوة معينة للمقدار. ومن الأمثلة على ذلك توزيع مقادير الزلازل ؛ فالزلازل الصغيرة أكثر شيوعًا بكثير من الزلازل الكبيرة. غالبًا ما يشير هذا إلى أن مجموعات البيانات لها بنية هندسية كسورية كامنة . تشترك المجموعات الكسورية في عدد من السمات، بما في ذلك البنية على مستويات متعددة، وعدم الانتظام، والتشابه الذاتي (يمكن تقسيمها إلى أجزاء تشبه إلى حد كبير الكل). تحدد طريقة تقسيم هذه المجموعات بُعد هاوسدورف للمجموعة، والذي يختلف عمومًا عن البُعد الطوبولوجي الأكثر شيوعًا . ترتبط الظواهر الكسورية بالفوضى ، والتنظيم الذاتي الحرج ، والاضطراب . ^{[ 5 ]} يُعد كتاب "النماذج الكسورية في علوم الأرض" لغابور كورفين من أوائل الكتب التي تناولت تطبيق الكسور في علوم الأرض . ^{[ 6 ]}

يجمع استيعاب البيانات بين النماذج العددية للأنظمة الجيوفيزيائية والملاحظات التي قد تكون غير منتظمة مكانيًا وزمنيًا. وتتضمن العديد من التطبيقات ديناميكيات الموائع الجيوفيزيائية. وتخضع نماذج ديناميكيات الموائع لمجموعة من المعادلات التفاضلية الجزئية . ولتقديم تنبؤات دقيقة، يلزم توفر شروط ابتدائية دقيقة. إلا أن هذه الشروط غالبًا ما تكون غير معروفة بدقة. وتتيح طرق استيعاب البيانات للنماذج دمج الملاحظات اللاحقة لتحسين الشروط الابتدائية. ويلعب استيعاب البيانات دورًا متزايد الأهمية في التنبؤات الجوية . ^{[ 7 ]}

تندرج بعض المشكلات الإحصائية تحت عنوان الجيوفيزياء الرياضية، بما في ذلك التحقق من صحة النموذج وتحديد عدم اليقين.

يُعدّ التصوير المقطعي الزلزالي مجالاً بحثياً هاماً يستخدم الأساليب العكسية ، وهو تقنية لتصوير باطن الأرض باستخدام الموجات الزلزالية . تقليدياً، كانت تُستخدم الموجات الزلزالية الناتجة عن الزلازل أو المصادر الزلزالية البشرية المنشأ (مثل المتفجرات والمدافع الهوائية البحرية).

علم البلورات هو أحد فروع الجيولوجيا التقليدية التي تستخدم الرياضيات . يستخدم علماء البلورات الجبر الخطي من خلال المصفوفة المترية . تعتمد المصفوفة المترية على متجهات الأساس لأبعاد الخلية الأولية لحساب حجمها، والمسافات بين مستويات الشبكة البلورية (d-spacings)، والزاوية بين مستويين، والزاوية بين الذرات، وطول الرابطة. ^{[ 8 ]} يُعدّ مؤشر ميلر مفيدًا أيضًا في تطبيق المصفوفة المترية . كما تُفيد معادلة براغ عند استخدام المجهر الإلكتروني في توضيح العلاقة بين زوايا حيود الضوء، والطول الموجي، والمسافات بين مستويات الشبكة البلورية (d-spacings) داخل العينة. ^{[ 8 ]}

يُعدّ علم الجيوفيزياء أحد أكثر فروع علوم الأرض اعتمادًا على الرياضيات . وله تطبيقات عديدة تشمل قياس الجاذبية ، والمجال المغناطيسي ، والزلازل ، والمجال الكهربائي ، والمجال الكهرومغناطيسي ، والمقاومة الكهربائية ، والنشاط الإشعاعي، والاستقطاب المستحث، وتسجيل الآبار . ^{[ 9 ]} تتشابه طرق قياس الجاذبية والمجال المغناطيسي في خصائصها، إذ تقيس تغيرات طفيفة في مجال الجاذبية بناءً على كثافة الصخور في المنطقة. ^{[ 9 ]} وعلى الرغم من تشابه مجالات الجاذبية، إلا أنها تميل إلى أن تكون أكثر انتظامًا وسلاسة مقارنةً بالمجالات المغناطيسية . يُستخدم قياس الجاذبية بكثرة في استكشاف النفط ، ويمكن أيضًا استخدام قياس الزلازل، ولكنه غالبًا ما يكون أكثر تكلفة بكثير. ^{[ 9 ]} يُستخدم قياس الزلازل أكثر من معظم تقنيات الجيوفيزياء نظرًا لقدرته على الاختراق، ودقته، ووضوحه.

ترتبط العديد من تطبيقات الرياضيات في علم شكل الأرض بالماء. أما في مجال التربة ، فتُستخدم مفاهيم مثل قانون دارسي ، وقانون ستوكس ، والمسامية .

• يُستخدم قانون دارسي عندما تكون التربة مشبعة بالماء ومتجانسة لوصف كيفية تدفق السوائل عبرها. ^{[ 10 ]} يندرج هذا النوع من العمل تحت علم المياه الجوفية .
• يقيس قانون ستوكس سرعة ترسب الجسيمات ذات الأحجام المختلفة من السائل. ^{[ 10 ]} يُستخدم هذا القانون عند إجراء تحليل التربة باستخدام الماصة لتحديد نسبة الرمل والطمي والطين. ^{[ 11 ]} ومن الأخطاء المحتملة افتراضه أن الجسيمات كروية تمامًا، وهو افتراض غير موجود.
• تُستخدم قوة التيار لتحديد قدرة النهر على نحت قاعه . وهذا مفيد لتحديد الأماكن التي يُحتمل أن ينهار فيها النهر ويغير مساره، أو عند دراسة الأضرار الناجمة عن فقدان رواسب النهر في نظام نهري (كما هو الحال في اتجاه مجرى السد).
• يمكن استخدام المعادلات التفاضلية في مجالات متعددة من علم شكل الأرض، بما في ذلك: معادلة النمو الأسي ، وتوزيع الصخور الرسوبية، وانتشار الغاز عبر الصخور، والتشققات المتعرجة . ^{[ 12 ]}

يتألف علم الرياضيات في علم الجليد من الجوانب النظرية والتجريبية والنمذجة. وهو يغطي عادةً الأنهار الجليدية والجليد البحري وتدفق المياه والأرض الواقعة تحت النهر الجليدي.

يتشوه الجليد متعدد البلورات ببطء أكبر من الجليد أحادي البلورة، وذلك لأن الإجهاد يتركز على المستويات القاعدية المحجوبة مسبقًا ببلورات جليدية أخرى. ^{[ 13 ]} ويمكن نمذجته رياضيًا باستخدام قانون هوك لإظهار خصائصه المرنة مع استخدام ثوابت لاميه . ^{[ 13 ]} وعمومًا، تُحسب ثوابت المرونة الخطية للجليد كمعدل على بُعد واحد من الفضاء لتبسيط المعادلات مع الحفاظ على دقتها. ^{[ 13 ]}

يُعتبر الجليد متعدد البلورات اللزج المرن ذا إجهاد منخفض، عادةً ما يقل عن بار واحد . ^{[ 13 ]} يُستخدم هذا النوع من الجليد لاختبار الزحف أو الاهتزازات الناتجة عن الشد الواقع عليه. ومن أهم المعادلات في هذا المجال معادلة تُسمى دالة الاسترخاء. ^{[ 13 ]} وهي علاقة بين الإجهاد والانفعال مستقلة عن الزمن. ^{[ 13 ]} يُطبق هذا المجال عادةً على النقل أو البناء على الجليد العائم. ^{[ 13 ]}

يُعدّ تقريب الجليد الضحل مفيدًا للأنهار الجليدية ذات السماكة المتغيرة، والتي تتميز بإجهاد وسرعة منخفضين. ^{[ 13 ]} يتمثل أحد الأهداف الرئيسية للعمل الرياضي في القدرة على التنبؤ بالإجهاد والسرعة، اللذين يتأثران بتغيرات خصائص الجليد ودرجة الحرارة. وهذا مجال يمكن فيه استخدام صيغة إجهاد القص القاعدي. ^{[ 13 ]}

• باركر، روبرت ل. (1994). نظرية المعكوس الجيوفيزيائي . مطبعة جامعة برينستون . ISBN 0-691-03634-9.
• بيدلوسكي، جوزيف (2005). ديناميكا الموائع الجيوفيزيائية . جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية . ISBN 0-89871-572-5.
• تارانتولا، ألبرت (1987). نظرية المسائل العكسية وطرق تقدير معلمات النموذج . سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 0-387-96387-1.
• توركوت، دونالد ل. (1997). الفراكتلات والفوضى في الجيولوجيا والجيوفيزياء . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-56164-7.
• وانغ، بين؛ زو، شياولي؛ تشو، جيانغ (2000). "استيعاب البيانات وتطبيقاته" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية . 97 ( 21): 11143-11144 . Bibcode : 2000PNAS...9711143W . doi : 10.1073/pnas.97.21.11143 . PMC 34050. PMID 11027322 .