ملاءمة المنحنيات

معادلة متعددة الحدود من الدرجة الأولى

${\displaystyle y=ax+b\;}$

هو خط مستقيم ميله a . سيصل الخط المستقيم أي نقطتين، لذا فإن معادلة كثيرة الحدود من الدرجة الأولى هي مطابقة دقيقة لأي نقطتين بإحداثيات x مختلفة.

إذا زادت رتبة المعادلة إلى كثيرة حدود من الدرجة الثانية، فستكون النتائج كالتالي:

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\;.}$

هذا سيتناسب تمامًا مع منحنى بسيط بثلاث نقاط.

إذا زادت رتبة المعادلة إلى كثيرة حدود من الدرجة الثالثة، فسيتم الحصول على ما يلي:

${\displaystyle y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\;.}$

هذا سيناسب أربع نقاط بالضبط.

بصورة أعم، يمكن القول إنها ستتوافق تمامًا مع أربعة قيود . يمكن أن يكون كل قيد نقطة أو زاوية أو انحناء (وهو مقلوب نصف قطر دائرة التماس ). تُضاف قيود الزاوية والانحناء غالبًا إلى نهايتي المنحنى، وتُسمى في هذه الحالة شروط النهاية . تُستخدم شروط النهاية المتطابقة بشكل متكرر لضمان انتقال سلس بين منحنيات متعددة الحدود الموجودة ضمن منحنى واحد . يمكن أيضًا إضافة قيود من رتبة أعلى، مثل "تغير معدل الانحناء". على سبيل المثال، سيكون هذا مفيدًا في تصميم تقاطعات الطرق السريعة لفهم معدل تغير القوى المؤثرة على السيارة (انظر الارتجاج )، أثناء مرورها عبر التقاطع، ولتحديد حدود سرعة معقولة وفقًا لذلك.

يمكن أن تكون معادلة كثير الحدود من الدرجة الأولى مطابقة دقيقة لنقطة واحدة وزاوية، بينما يمكن أن تكون معادلة كثير الحدود من الدرجة الثالثة مطابقة دقيقة لنقطتين، وقيد زاوية، وقيد انحناء. توجد العديد من تركيبات القيود الأخرى الممكنة لهذه المعادلات، وكذلك لمعادلات كثير الحدود من الرتب الأعلى.

إذا كان هناك أكثر من n  +  1 قيدًا ( حيث n هي درجة متعددة الحدود)، فإنه لا يزال من الممكن رسم منحنى متعددة الحدود عبر هذه القيود. لا يُعدّ التطابق التام مع جميع القيود أمرًا مؤكدًا (ولكنه قد يحدث، على سبيل المثال، في حالة متعددة حدود من الدرجة الأولى تُطابق تمامًا ثلاث نقاط تقع على خط مستقيم واحد ). عمومًا، يلزم حينها استخدام طريقة ما لتقييم كل تقريب. تُعدّ طريقة المربعات الصغرى إحدى طرق مقارنة الانحرافات.

هناك عدة أسباب تدعو إلى الحصول على تطابق تقريبي في حين أنه من الممكن ببساطة زيادة درجة معادلة كثير الحدود والحصول على تطابق تام.

• حتى في حال وجود تطابق تام، لا يعني ذلك بالضرورة سهولة اكتشافه. فبحسب الخوارزمية المستخدمة، قد توجد حالة استثنائية، حيث يتعذر حساب التطابق التام، أو قد يستغرق إيجاد الحل وقتًا طويلًا جدًا للحاسوب. في هذه الحالة، قد يلزم حل تقريبي.
• قد يكون من المرغوب فيه إجراء عملية حساب متوسط ​​نقاط البيانات المشكوك فيها في العينة، بدلاً من تشويه المنحنى ليناسبها تمامًا.
• ظاهرة رونج : قد تكون كثيرات الحدود ذات الرتب العليا شديدة التذبذب. إذا مر منحنى ما بنقطتين A و B ، فمن المتوقع أن يمر المنحنى بالقرب من منتصف المسافة بين A و B. قد لا يحدث هذا مع منحنيات كثيرات الحدود ذات الرتب العليا؛ بل قد تكون قيمها كبيرة جدًا، سواءً كانت موجبة أو سالبة . أما مع كثيرات الحدود ذات الرتب الدنيا، فمن المرجح أن يقع المنحنى بالقرب من المنتصف (بل من المؤكد أنه يمر تمامًا بمنتصف المسافة في كثيرات الحدود من الدرجة الأولى).
• تميل كثيرات الحدود منخفضة الرتبة إلى أن تكون سلسة، بينما تميل منحنيات كثيرات الحدود عالية الرتبة إلى أن تكون غير منتظمة. ولتحديد ذلك بدقة أكبر، فإن الحد الأقصى لعدد نقاط الانعطاف الممكنة في منحنى كثير الحدود هو n-2 ، حيث n هي رتبة معادلة كثير الحدود. نقطة الانعطاف هي موضع على المنحنى حيث يتحول نصف قطره من موجب إلى سالب. ويمكننا القول أيضًا إنها النقطة التي ينتقل عندها المنحنى من حالة "الاحتفاظ بالماء" إلى حالة "الانقطاع". تجدر الإشارة إلى أنه من الممكن فقط أن تكون كثيرات الحدود عالية الرتبة غير منتظمة؛ فقد تكون سلسة أيضًا، ولكن لا يوجد ما يضمن ذلك، على عكس منحنيات كثيرات الحدود منخفضة الرتبة. يمكن أن تحتوي كثيرة الحدود من الدرجة الخامسة عشرة على ثلاثة عشر نقطة انعطاف على الأكثر، ولكن يمكن أن تحتوي أيضًا على إحدى عشرة نقطة، أو تسع نقاط، أو أي عدد فردي يصل إلى نقطة واحدة. (يمكن أن تحتوي كثيرات الحدود ذات الدرجات الزوجية على أي عدد زوجي من نقاط الانعطاف من n  -  2 إلى الصفر).

إن كون درجة منحنى كثير الحدود أعلى من اللازم لتحقيق تطابق دقيق أمر غير مرغوب فيه لجميع الأسباب المذكورة سابقًا لكثيرات الحدود ذات الرتب العالية، ولكنه يؤدي أيضًا إلى حالة وجود عدد لا نهائي من الحلول. على سبيل المثال، كثير حدود من الدرجة الأولى (خط مستقيم) مقيد بنقطة واحدة فقط، بدلًا من النقطتين المعتادتين، سيعطي عددًا لا نهائيًا من الحلول. وهذا يثير مشكلة كيفية مقارنة الحلول واختيار حل واحد فقط، وهو ما قد يمثل تحديًا لكل من البرمجيات والبشر. لهذا السبب، يُفضل عادةً اختيار أقل درجة ممكنة لتحقيق تطابق دقيق في جميع القيود، وربما درجة أقل من ذلك إذا كان التطابق التقريبي مقبولًا.

يمكن أيضًا استخدام أنواع أخرى من المنحنيات، مثل الدوال المثلثية (مثل الجيب وجيب التمام)، في حالات معينة.

في علم الأطياف، يمكن مطابقة البيانات مع الدوال الغاوسية ، واللورنتزية ، والفويجتية ، والدوال ذات الصلة.

في علم الأحياء، وعلم البيئة، وعلم السكان، وعلم الأوبئة، والعديد من التخصصات الأخرى، يمكن تمثيل نمو السكان ، وانتشار الأمراض المعدية، وما إلى ذلك باستخدام الدالة اللوجستية .

في الزراعة، تُستخدم دالة الانحدار اللوجستي المعكوس (منحنى S) لوصف العلاقة بين محصول المحاصيل وعوامل النمو. تم إنشاء الشكل الأزرق باستخدام انحدار سيجمويدي لبيانات مُقاسة في الأراضي الزراعية. يُلاحظ أنه في البداية، أي عند انخفاض ملوحة التربة، ينخفض ​​محصول المحاصيل ببطء مع ازدياد ملوحة التربة، بينما يتسارع الانخفاض بعد ذلك.

يتناول كوب ^{[ 23 ]} مشكلة محاولة إيجاد أفضل تطابق بصري لدائرة مع مجموعة من نقاط البيانات ثنائية الأبعاد. يحوّل هذا الأسلوب ببراعة المشكلة غير الخطية عادةً إلى مشكلة خطية يمكن حلها دون استخدام طرق عددية تكرارية، وبالتالي فهو أسرع بكثير من التقنيات السابقة.

معادلة القطع المخروطي (بما في ذلك القطع الناقص) لها الشكل ^{[ 24 ]}

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$

بالنسبة للنقاط ذات الإحداثيات الديكارتية (x,y) على الحدود. بالنسبة لمجموعة بيانات من النقاط المبعثرة (xᵢ _, yᵢ ₎ وقطع ناقص ثابت، فإن الطرف الأيمن من هذه المعادلة لا يساوي صفرًا. إحدى طرق مطابقة النقاط مع القطع الناقص هي إيجاد المعاملات الستة من A إلى F بحيث يتم تقليل مجموع مربعات الطرف الأيمن المتبقي. يؤدي هذا إلى مشكلة مطابقة خطية للمربعات الصغرى، والتي تُحل أساسًا بإيجاد المتجهات الذاتية لمصفوفة 6×6 مرتبطة بها ، والتي تحتوي على مجاميع قوى مختلطة لـ ( _xᵢ , _yᵢ ) . ^{[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]}

تم توسيع نطاق التقنية المذكورة أعلاه لتشمل القطوع الناقصة العامة ^{[ 29 ]} بإضافة خطوة غير خطية، مما ينتج عنه طريقة سريعة، وفي الوقت نفسه تجد قطوعًا ناقصة جذابة بصريًا ذات اتجاه وإزاحة عشوائيين. يقلل التوافق الهندسي من مجموع مربعات المسافات المتعامدة لنقاط البيانات إلى حدود القطع الناقص. ^{[ 30 ] [ 31 ]} وتعتمد طريقة مماثلة لتقريب هذه المسافات المتعامدة على مقياس سامبسون. ^{[ 32 ] [ 33 ]}