وحدة تحكم PID

وظيفة التحكم الشاملة هي

${\displaystyle u(t)=K_{\text{p}}e(t)+K_{\text{i}}\int _{0}^{t}e(\tau )\,\mathrm {d} \tau +K_{\text{d}}{\frac {\mathrm {d} e(t)}{\mathrm {d} t}},}$

أين${\displaystyle K_{\text{p}}}$،${\displaystyle K_{\text{i}}}$، و${\displaystyle K_{\text{d}}}$، جميعها غير سالبة، تشير إلى معاملات الحدود التناسبية والتكاملية والتفاضلية على التوالي (يشار إليها أحيانًا بـ P و I و D ).

في الصيغة القياسية للمعادلة (انظر لاحقًا في المقال)،${\displaystyle K_{\text{i}}}$و${\displaystyle K_{\text{d}}}$يتم استبدالها على التوالي بـ${\displaystyle K_{\text{p}}/T_{\text{i}}}$و${\displaystyle K_{\text{p}}T_{\text{d}}}$وتكمن ميزة ذلك في أن${\displaystyle T_{\text{i}}}$و${\displaystyle T_{\text{d}}}$لها معنى فيزيائي مفهوم، حيث أنها تمثل وقت التكامل ووقت الاشتقاق على التوالي.${\displaystyle K_{\text{p}}T_{\text{d}}}$هو الثابت الزمني الذي سيحاول المتحكم من خلاله الاقتراب من نقطة الضبط. ${\displaystyle K_{\text{p}}/T_{\text{i}}}$يحدد المدة التي سيتحمل فيها جهاز التحكم أن يكون الناتج أعلى أو أقل باستمرار من نقطة الضبط.

${\displaystyle u(t)=K_{\text{p}}\left(e(t)+{\frac {1}{T_{\text{i}}}}\int _{0}^{t}e(\tau )\,\mathrm {d} \tau +T_{\text{d}}{\frac {\mathrm {d} e(t)}{\mathrm {d} t}}\right)}$

أين

${\displaystyle T_{\text{i}}={K_{\text{p}} \over K_{\text{i}}}}$هو ثابت زمن التكامل، و

${\displaystyle T_{\text{d}}={K_{\text{d}} \over K_{\text{p}}}}$هو ثابت الزمن التفاضلي.

على الرغم من أن وحدة التحكم PID تحتوي على ثلاثة حدود تحكم، إلا أن بعض التطبيقات لا تحتاج إلا إلى حد واحد أو حدين لتوفير التحكم المناسب. ويتحقق ذلك بضبط المعاملات غير المستخدمة على الصفر، وتُسمى وحدة التحكم حينها PI أو PD أو P أو I في حال عدم وجود حدود التحكم الأخرى. تُعد وحدات التحكم PI شائعة الاستخدام في التطبيقات التي يكون فيها تأثير التفاضل حساسًا لضوضاء القياس، ولكن غالبًا ما يكون حد التكامل ضروريًا لكي يصل النظام إلى قيمته المستهدفة.

لا يضمن استخدام خوارزمية PID التحكم الأمثل في النظام أو استقراره . قد تحدث حالات تأخير مفرط: كأن يتأخر قياس قيمة العملية، أو لا يُطبَّق إجراء التحكم بالسرعة الكافية. في هذه الحالات، يلزم تعويض التأخير والتقدم ليكون فعالاً. يمكن وصف استجابة وحدة التحكم من حيث استجابتها للخطأ، ومدى تجاوز النظام للقيمة المحددة، ودرجة أي تذبذب في النظام . لكن وحدة التحكم PID قابلة للتطبيق على نطاق واسع لأنها تعتمد فقط على استجابة متغير العملية المقاس، وليس على معرفة أو نموذج للعملية الأساسية.

اخترع كريستيان هويغنز منظم السرعة الطارد المركزي في القرن السابع عشر لتنظيم الفجوة بين أحجار الرحى في طواحين الهواء تبعاً لسرعة الدوران، وبالتالي تعويض السرعة المتغيرة لتغذية الحبوب. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

مع اختراع محرك البخار الثابت منخفض الضغط، برزت الحاجة إلى التحكم الآلي في السرعة، وأصبح منظم السرعة " البندولي المخروطي " الذي صممه جيمس وات بنفسه ، وهو عبارة عن مجموعة من الكرات الفولاذية الدوارة المتصلة بمحور رأسي بواسطة أذرع توصيل، معيارًا صناعيًا. وقد استند هذا المنظم إلى مفهوم التحكم في فجوة حجر الرحى. ^{[ 5 ]}

مع ذلك، ظل التحكم في سرعة المنظم الدوار متغيرًا في ظل ظروف الحمل المتغير، حيث برز قصور ما يُعرف الآن بالتحكم النسبي وحده. إذ يزداد الخطأ بين السرعة المطلوبة والسرعة الفعلية مع ازدياد الحمل. في القرن التاسع عشر، وصف جيمس كلارك ماكسويل الأساس النظري لعمل المنظمات لأول مرة عام 1868 في بحثه الشهير " حول المنظمات" . استكشف ماكسويل الأساس الرياضي لاستقرار التحكم، وقطع شوطًا كبيرًا نحو الحل، لكنه دعا علماء الرياضيات إلى دراسة المشكلة. ^{[ 6 ] [ 5 ]} ثم دُرست المشكلة بتعمق عام 1874 من قِبل إدوارد روث وتشارلز ستورم ، وفي عام 1895 من قِبل أدولف هورويتز ، الذين ساهموا جميعًا في وضع معايير استقرار التحكم. ^{[ 5 ]} وفي التطبيقات اللاحقة، جرى تحسين منظمات السرعة بشكل أكبر، ولا سيما من قِبل العالم الأمريكي ويلارد جيبس ، الذي حلل نظريًا عام 1872 منظم وات البندولي المخروطي.

في ذلك الوقت تقريبًا، شكّل اختراع طوربيد وايتهيد تحديًا في التحكم، إذ تطلّب تحكمًا دقيقًا في عمق الغوص. لم يكن استخدام مستشعر ضغط العمق وحده كافيًا، فتم دمج بندول يقيس ميل الطوربيد للأمام والخلف مع قياس العمق، ليُصبح نظام التحكم بالبندول والهيدروستاتيك . كان التحكم بالضغط يوفر تحكمًا تناسبيًا فقط، وإذا كان كسب التحكم مرتفعًا جدًا، فإنه يصبح غير مستقر ويتجاوز العمق المطلوب، مما يؤدي إلى عدم استقرار كبير في تثبيت العمق. أضاف البندول ما يُعرف الآن بالتحكم التفاضلي، الذي يُخمد التذبذبات من خلال رصد زاوية غوص/صعود الطوربيد، وبالتالي معدل تغير العمق. ^{[ 7 ]} حدث هذا التطور (الذي أطلق عليه وايتهيد اسم "السر" لإخفاء آلية عمله) حوالي عام 1868. ^{[ 8 ]}

ومن الأمثلة المبكرة الأخرى على وحدة التحكم من نوع PID التي طورها إلمر سبيري في عام 1911 لتوجيه السفن، على الرغم من أن عمله كان حدسيًا أكثر منه قائمًا على أسس رياضية. ^{[ 9 ]}

لم يتم تطوير قانون تحكم رسمي لما يُعرف اليوم بالتحكم التناسبي التكاملي التفاضلي (PID) أو التحكم ثلاثي الحدود، باستخدام التحليل النظري، إلا في عام 1922 على يد المهندس الروسي الأمريكي نيكولاس مينورسكي . ^{[ 10 ]} كان مينورسكي يُجري أبحاثًا ويُصمم أنظمة توجيه آلية للسفن لصالح البحرية الأمريكية، واستند في تحليله إلى ملاحظاته لقائد السفينة . لاحظ أن القائد كان يُوجه السفينة ليس فقط بناءً على خطأ المسار الحالي، بل أيضًا على الخطأ السابق، بالإضافة إلى معدل التغير الحالي؛ ^{[ 11 ]} ثم قام مينورسكي بمعالجة ذلك رياضيًا. ^{[ 5 ]} كان هدفه تحقيق الاستقرار، وليس التحكم العام، مما بسّط المشكلة بشكل كبير. في حين أن التحكم التناسبي يُوفر الاستقرار في مواجهة الاضطرابات الصغيرة، إلا أنه لم يكن كافيًا للتعامل مع الاضطرابات المستمرة، ولا سيما العواصف الشديدة (بسبب خطأ الحالة المستقرة )، الأمر الذي استلزم إضافة الحد التكاملي. وأخيرًا، أُضيف الحد التفاضلي لتحسين الاستقرار والتحكم.

أُجريت تجارب على متن السفينة يو إس إس نيو مكسيكو ، حيث تحكمت أجهزة التحكم في السرعة الزاوية (وليس الزاوية) للدفة. وقد حقق التحكم التناسبي التكاملي (PI) انحرافًا مستمرًا (خطأً زاويًا) قدره ±2°. وأدى إضافة عنصر D إلى خطأ في الانحراف قدره ±1/6°، وهو أفضل مما يستطيع معظم الربان تحقيقه. ^{[ 12 ]}

لم تعتمد البحرية النظام في نهاية المطاف بسبب معارضة الأفراد. وقد أُجريت أعمال مماثلة ونُشرت من قبل العديد من الباحثين الآخرين في ثلاثينيات القرن العشرين.

لم يصبح استخدام وحدات التحكم بالتغذية الراجعة على نطاق واسع ممكنًا إلا بعد تطوير مضخمات عالية الكسب واسعة النطاق تستخدم مفهوم التغذية الراجعة السالبة . وقد طُوّر هذا المفهوم في مجال الإلكترونيات الهندسية للهواتف على يد هارولد بلاك في أواخر عشرينيات القرن العشرين، ولكن لم يُنشر إلا في عام 1934. ^{[ 5 ]} وبشكل مستقل، اخترع كليسون إي ماسون من شركة فوكسبورو في عام 1930 وحدة تحكم هوائية واسعة النطاق من خلال دمج مضخم هوائي عالي الكسب ذي فوهة وغطاء ، والذي كان قد اختُرع في عام 1914، مع التغذية الراجعة السالبة من خرج وحدة التحكم. وقد أدى ذلك إلى زيادة كبيرة في النطاق الخطي لتشغيل مضخم الفوهة والغطاء، كما أمكن إضافة التحكم التكاملي باستخدام صمام تنفيس دقيق ومنفاخ يُولّد الحد التكاملي. وكانت النتيجة وحدة التحكم "ستابيلوغ"، التي وفرت وظائف تناسبية وتكاملية باستخدام منفاخ التغذية الراجعة. ^{[ 5 ]} وقد سُمّي الحد التكاملي "إعادة الضبط" . ^{[ 13 ]} وفي وقت لاحق، أُضيف الحد التفاضلي بواسطة منفاخ آخر وفتحة قابلة للتعديل.

ابتداءً من عام 1932 تقريبًا، ازداد استخدام وحدات التحكم الهوائية ذات النطاق العريض بشكل سريع في تطبيقات تحكم متنوعة. استُخدم ضغط الهواء لتوليد خرج وحدة التحكم، وكذلك لتشغيل أجهزة تعديل العمليات مثل صمامات التحكم ذات الغشاء. كانت هذه الأجهزة بسيطة، قليلة الصيانة، وتعمل بكفاءة في البيئات الصناعية القاسية، ولا تُشكل مخاطر انفجار في المواقع الخطرة . وقد ظلت المعيار الصناعي لعقود طويلة حتى ظهور وحدات التحكم الإلكترونية المنفصلة وأنظمة التحكم الموزعة (DCS).

باستخدام هذه المتحكمات، تم وضع معيار إشارة صناعي هوائي من 3 إلى 15 رطل لكل بوصة مربعة (0.2 إلى 1.0 بار) ، والذي كان له صفر مرتفع لضمان عمل الأجهزة ضمن خصائصها الخطية ويمثل نطاق التحكم من 0 إلى 100٪.  

في خمسينيات القرن الماضي، عندما أصبحت مضخمات الصوت الإلكترونية عالية الكسب رخيصة وموثوقة، شاعت وحدات التحكم الإلكترونية PID، وتمت محاكاة المعيار الهوائي بإشارات حلقة تيار 10-50 مللي أمبير و4-20 مللي أمبير (وأصبحت الأخيرة هي المعيار الصناعي). ولا تزال مشغلات المجال الهوائية تُستخدم على نطاق واسع نظرًا لمزايا الطاقة الهوائية في التحكم بالصمامات في بيئات المصانع.

يتم تنفيذ معظم أنظمة التحكم PID الحديثة في الصناعة كبرامج حاسوبية في أنظمة التحكم الموزعة (DCS) أو وحدات التحكم المنطقية القابلة للبرمجة (PLCs) أو وحدات التحكم المدمجة المنفصلة .

كانت حلقات التحكم التناظرية الإلكترونية من نوع PID شائعة الاستخدام في الأنظمة الإلكترونية المعقدة، مثل نظام تحديد موضع رأس القراءة/الكتابة في محركات الأقراص ، ونظام تنظيم الطاقة في وحدات التغذية ، وحتى دائرة كشف الحركة في أجهزة قياس الزلازل الحديثة . وقد حلت وحدات التحكم الرقمية محل وحدات التحكم التناظرية الإلكترونية المنفصلة إلى حد كبير، وذلك باستخدام المتحكمات الدقيقة أو مصفوفات البوابات المنطقية القابلة للبرمجة (FPGAs) لتنفيذ خوارزميات PID. ومع ذلك، لا تزال وحدات التحكم التناظرية المنفصلة من نوع PID تُستخدم في تطبيقات متخصصة تتطلب نطاقًا تردديًا عاليًا وأداءً منخفض الضوضاء، مثل وحدات التحكم في ثنائيات الليزر. ^{[ 14 ]}

الطريقة الواضحة هي التحكم النسبي : حيث يتم ضبط تيار المحرك بما يتناسب مع الخطأ الموجود. إلا أن هذه الطريقة تفشل إذا كان على الذراع، على سبيل المثال، رفع أوزان مختلفة: فالوزن الأكبر يتطلب قوة أكبر لنفس الخطأ في الاتجاه السفلي، بينما يتطلب قوة أقل إذا كان الخطأ منخفضًا في الاتجاه العلوي. وهنا تبرز أهمية التكامل والتفاضل.

يزيد الحد التكاملي من فعالية النظام ليس فقط تبعًا للخطأ، بل أيضًا تبعًا للمدة التي استمر فيها. لذا، إذا لم تكن القوة المطبقة كافية لإلغاء الخطأ، فستزداد هذه القوة مع مرور الوقت. قد يُلغي مُتحكم "تكاملي" بحت الخطأ، ولكنه سيكون ضعيف الاستجابة في البداية (لأن فعالية النظام ستكون ضئيلة في البداية، وتعتمد على الوقت لتصبح ذات أهمية)، وأكثر فعالية في النهاية (تزداد فعالية النظام طالما أن الخطأ موجب، حتى لو كان الخطأ قريبًا من الصفر).

يؤدي تطبيق تكامل كبير جدًا عندما يكون الخطأ صغيرًا ومتناقصًا إلى تجاوز القيمة المطلوبة. بعد التجاوز، إذا قام المتحكم بتطبيق تصحيح كبير في الاتجاه المعاكس وتجاوز القيمة المطلوبة بشكل متكرر، فسيتذبذب الخرج حول نقطة الضبط إما بشكل ثابت أو متزايد أو متناقص . إذا زادت سعة التذبذبات مع مرور الوقت، يكون النظام غير مستقر. إذا انخفضت، يكون النظام مستقرًا. إذا بقيت التذبذبات عند قيمة ثابتة، يكون النظام مستقرًا بشكل هامشي .

لا يأخذ مصطلح المشتقة في الاعتبار مقدار الخطأ (أي أنه لا يمكنه جعله صفراً: فوحدة التحكم التفاضلية البحتة لا تستطيع إعادة النظام إلى نقطة الضبط)، بل يأخذ في الاعتبار معدل تغير الخطأ، محاولاً جعل هذا المعدل صفراً. ويهدف إلى جعل مسار الخطأ خطاً أفقياً، وتخميد القوة المطبقة، وبالتالي تقليل التجاوز (الخطأ الناتج عن القوة المطبقة الكبيرة جداً).

لتحقيق وصول مُتحكم به إلى الموضع المطلوب (SP) بدقة وفي الوقت المناسب، يجب أن يكون نظام التحكم مُخمدًا بشكل حرج . كما يقوم نظام التحكم في الموضع المُضبوط جيدًا بتطبيق التيارات اللازمة على المحرك المُتحكم به، بحيث يدفع الذراع ويسحب حسب الحاجة لمقاومة القوى الخارجية التي تحاول إبعاده عن الموضع المطلوب. يمكن توليد نقطة الضبط نفسها بواسطة نظام خارجي، مثل وحدة تحكم منطقية قابلة للبرمجة (PLC) أو نظام حاسوبي آخر، بحيث تتغير باستمرار تبعًا للعمل المطلوب من الذراع الروبوتية. يُمكّن نظام التحكم PID المُضبوط جيدًا الذراع من تلبية هذه المتطلبات المتغيرة بأفضل ما لديه من إمكانيات.

إذا بدأ المتحكم من حالة مستقرة بدون خطأ (PV = SP)، فإن أي تغييرات لاحقة فيه ستكون استجابةً لتغيرات في مدخلات أخرى، مقاسة أو غير مقاسة، تؤثر على العملية، وبالتالي على PV. تُعرف المتغيرات التي تؤثر على العملية بخلاف MV بالاضطرابات. تُستخدم المتحكمات عمومًا لرفض الاضطرابات وتنفيذ تغييرات نقطة الضبط. يُعدّ أي تغيير في الحمل على الذراع اضطرابًا في عملية التحكم بذراع الروبوت.

نظرياً، يمكن استخدام وحدة التحكم للتحكم في أي عملية لها مخرج قابل للقياس (PV)، وقيمة مثالية معروفة لهذا المخرج (SP)، ومدخل للعملية (MV) يؤثر على قيمة PV ذات الصلة. تُستخدم وحدات التحكم في الصناعة لتنظيم درجة الحرارة ، والضغط ، والقوة ، ومعدل التغذية ، ^{[ 16 ]} ومعدل التدفق ، والتركيب الكيميائي ( تركيزات المكونات )، والوزن ، والموقع ، والسرعة ، وكل متغير آخر تقريباً يمكن قياسه.

يُنتج الحد التناسبي قيمة خرج تتناسب مع قيمة الخطأ الحالية. ويمكن تعديل الاستجابة التناسبية بضرب الخطأ بثابت K_{_p} ، يُسمى ثابت الكسب التناسبي.

يُعطى الحد النسبي بالصيغة التالية:

${\displaystyle P_{\text{out}}=K_{\text{p}}e(t).}$

يؤدي كسب التناسب العالي إلى تغيير كبير في الخرج مقابل تغيير معين في الخطأ. إذا كان كسب التناسب مرتفعًا جدًا، فقد يصبح النظام غير مستقر (انظر قسم ضبط الحلقة ). في المقابل، يؤدي الكسب المنخفض إلى استجابة خرج ضعيفة لخطأ إدخال كبير، ووحدة تحكم أقل استجابة أو حساسية. إذا كان كسب التناسب منخفضًا جدًا، فقد يكون تأثير التحكم ضئيلًا جدًا عند الاستجابة لاضطرابات النظام. تشير نظرية الضبط والممارسة الصناعية إلى أن الحد التناسبي يجب أن يُسهم بالجزء الأكبر من تغيير الخرج.

تتناسب مساهمة الحد التكاملي طرديًا مع كلٍّ من مقدار الخطأ ومدته. في وحدة التحكم PID، يُمثل التكامل مجموع الخطأ اللحظي على مدار الزمن، ويُعطي الانحراف المتراكم الذي كان ينبغي تصحيحه مسبقًا. ثم يُضرب الخطأ المتراكم في معامل التكامل ( K _i ) ويُضاف إلى خرج وحدة التحكم.

يُعطى الحد التكاملي بالصيغة التالية:

${\displaystyle I_{\text{out}}=K_{\text{i}}\int _{0}^{t}e(\tau )\,d\tau .}$

يُسرّع الحد التكاملي حركة العملية نحو نقطة الضبط، ويُزيل خطأ الحالة المستقرة المتبقي الذي يحدث مع وحدة تحكم تناسبية بحتة. مع ذلك، ولأن الحد التكاملي يستجيب للأخطاء المتراكمة من الماضي، فقد يتسبب في تجاوز القيمة الحالية لقيمة نقطة الضبط (انظر قسم ضبط الحلقة ).

يُحسب مشتق خطأ العملية بتحديد ميل الخطأ مع مرور الوقت وضرب معدل التغير هذا في كسب المشتق K _{_d} . ويُطلق على مقدار مساهمة حد المشتق في إجراء التحكم الكلي اسم كسب المشتق، K_{_d} .

يُعطى حد المشتقة بالصيغة التالية

${\displaystyle D_{\text{out}}=K_{\text{d}}{\frac {de(t)}{dt}}.}$

يتنبأ تأثير المشتقة بسلوك النظام، وبالتالي يُحسّن زمن الاستقرار واستقراره. ^{[ 18 ] [ 19 ]} المشتقة المثالية ليست سببية ، لذا تتضمن تطبيقات وحدات التحكم PID ترشيحًا إضافيًا منخفض التمرير لمصطلح المشتقة للحد من كسب الترددات العالية والضوضاء. مع ذلك، نادرًا ما يُستخدم تأثير المشتقة عمليًا - وفقًا لأحد التقديرات، في 25% فقط من وحدات التحكم المستخدمة - نظرًا لتأثيره المتفاوت على استقرار النظام في التطبيقات الواقعية.

إذا تم اختيار معلمات وحدة التحكم PID (مكاسب الحدود التناسبية والتكاملية والتفاضلية) بشكل غير صحيح، فقد يكون مدخل العملية المتحكم بها غير مستقر؛ أي أن مخرجها يتباعد ، مع أو بدون تذبذب ، ولا يحده سوى التشبع أو العطل الميكانيكي. وينتج عدم الاستقرار عن زيادة المكاسب، خاصةً في حالة وجود تأخير كبير.

بشكل عام، يلزم استقرار الاستجابة، ويجب ألا تتذبذب العملية لأي مجموعة من ظروف العملية ونقاط الضبط، على الرغم من أن الاستقرار الهامشي (التذبذب المحدود) يكون مقبولاً أو مرغوباً فيه في بعض الأحيان.

رياضياً، يمكن رؤية أصول عدم الاستقرار في مجال لابلاس . ^{[ 20 ]}

دالة التحويل ذات الحلقة المغلقة هي

${\displaystyle H(s)={\frac {K(s)G(s)}{1+K(s)G(s)}},}$

أين${\displaystyle K(s)}$هي دالة التحويل PID، و${\displaystyle G(s)}$هي دالة نقل النظام. يكون النظام غير مستقر عندما تتباعد دالة نقل الحلقة المغلقة لبعض القيم.${\displaystyle s}$[ ^{20 ] يحدث هذا في} الحالات التي${\displaystyle K(s)G(s)=-1}$بمعنى آخر، يحدث هذا عندما${\displaystyle |K(s)G(s)|=1}$مع إزاحة طورية قدرها 180 درجة. ويُضمن الاستقرار عندما${\displaystyle K(s)G(s)<1}$بالنسبة للترددات التي تعاني من انزياحات طورية كبيرة. يُعرف شكل أكثر عمومية لهذا التأثير باسم معيار استقرار نايكويست .

يختلف السلوك الأمثل عند حدوث تغيير في العملية أو تغيير في نقطة الضبط تبعاً للتطبيق.

هناك متطلبان أساسيان: التنظيم (رفض الاضطرابات  - البقاء عند نقطة ضبط محددة) وتتبع الأوامر (تنفيذ تغييرات نقطة الضبط). يشير هذان المصطلحان إلى مدى دقة تتبع المتغير المتحكم به للقيمة المطلوبة. تشمل المعايير المحددة لتتبع الأوامر زمن الصعود وزمن الاستقرار . يجب ألا تسمح بعض العمليات بتجاوز متغير العملية لنقطة الضبط إذا كان ذلك غير آمن، على سبيل المثال. بينما يجب على عمليات أخرى تقليل الطاقة المستهلكة للوصول إلى نقطة ضبط جديدة.

توجد عدة طرق لضبط حلقة التحكم التناسبي التكاملي التفاضلي (PID). تتضمن أكثر الطرق فعاليةً عمومًا تطوير نموذج للعملية، ثم اختيار قيم P و I و D بناءً على معلمات النموذج الديناميكي. قد تستغرق طرق الضبط اليدوي وقتًا طويلاً نسبيًا، خاصةً للأنظمة ذات أوقات الحلقة الطويلة.

يعتمد اختيار الطريقة بشكل كبير على إمكانية فصل الحلقة عن الشبكة لضبطها، وعلى زمن استجابة النظام. إذا أمكن فصل النظام عن الشبكة، فإن أفضل طريقة للضبط غالبًا ما تتضمن تعريض النظام لتغيير مفاجئ في المدخلات، وقياس المخرجات كدالة للزمن، واستخدام هذه الاستجابة لتحديد معلمات التحكم.

إذا كان يجب أن يبقى النظام متصلاً بالإنترنت، فإن إحدى طرق الضبط هي أولاً ضبط${\displaystyle K_{i}}$و${\displaystyle K_{d}}$قم بضبط القيم على الصفر. ثم قم بزيادة${\displaystyle K_{p}}$حتى يتذبذب خرج الحلقة؛ ثم اضبط${\displaystyle K_{p}}$إلى ما يقارب نصف تلك القيمة للحصول على استجابة من نوع "انخفاض السعة الربعية". ثم قم بزيادة${\displaystyle K_{i}}$إلى أن يتم تصحيح أي انحراف في الوقت المناسب للعملية، ولكن ليس قبل أن تتسبب قيمة كبيرة جدًا في عدم الاستقرار. وأخيرًا، قم بزيادة${\displaystyle K_{d}}$إذا لزم الأمر، حتى تصل الحلقة إلى قيمتها المرجعية بسرعة مقبولة بعد حدوث اضطراب في الحمل. أكثر من اللازم${\displaystyle K_{p}}$يُسبب ذلك استجابة مفرطة وتجاوزًا. عادةً ما يتجاوز ضبط حلقة PID السريع القيمة المحددة قليلاً للوصول إليها بسرعة أكبر؛ ومع ذلك، لا تستطيع بعض الأنظمة قبول التجاوز، وفي هذه الحالة يلزم نظام حلقة مغلقة مُخمد بشكل زائد ، والذي بدوره يتطلب${\displaystyle K_{p}}$تحديد أقل بكثير من نصف ذلك${\displaystyle K_{p}}$الإعداد الذي كان يسبب التذبذب.

تأثيرات زيادة أحد المعاملات بشكل مستقل ^{[ 23 ] [ 24 ]}

المعلمة	وقت الاستيقاظ	تجاوز	وقت الاستقرار	خطأ الحالة المستقرة	استقرار
${\displaystyle K_{p}}$	ينقص	يزيد	فكة صغيرة	ينقص	تدهور
${\displaystyle K_{i}}$	ينقص	يزيد	يزيد	اِسْتَبْعَد	تدهور
${\displaystyle K_{d}}$	تغيير طفيف	ينقص	ينقص	لا يوجد تأثير من الناحية النظرية	تحسين إذا${\displaystyle K_{d}}$صغير

هناك طريقة أخرى لضبط الخوارزمية تُعرف باسم طريقة زيغلر-نيكولز ، والتي قدمها جون جي. زيغلر وناثانيال بي. نيكولز في أربعينيات القرن العشرين. وكما هو الحال في الطريقة المذكورة أعلاه، فإن${\displaystyle K_{i}}$و${\displaystyle K_{d}}$تُضبط المكاسب أولاً على الصفر. ثم تُزاد المكاسب النسبية حتى تصل إلى المكسب النهائي.${\displaystyle K_{u}}$عند هذه النقطة يبدأ خرج الحلقة بالتذبذب باستمرار.${\displaystyle K_{u}}$وفترة التذبذب${\displaystyle T_{u}}$تُستخدم لضبط المكاسب على النحو التالي:

طريقة زيغلر-نيكولز

نوع التحكم	${\displaystyle K_{p}}$	${\displaystyle K_{i}}$	${\displaystyle K_{d}}$
P	${\displaystyle 0.50{K_{u}}}$	—	—
باي	${\displaystyle 0.45{K_{u}}}$	${\displaystyle 0.54{K_{u}}/T_{u}}$	—
PID	${\displaystyle 0.60{K_{u}}}$	${\displaystyle 1.2{K_{u}}/T_{u}}$	${\displaystyle 3{K_{u}}{T_{u}}/40}$

غالباً ما يتم قياس تردد التذبذب بدلاً من ذلك، وتعطي مقلوبات كل عملية ضرب نفس النتيجة.

تنطبق هذه المكاسب على الشكل المثالي المتوازي لوحدة التحكم PID. عند تطبيقها على الشكل القياسي لوحدة التحكم PID، فإن مكاسب التكامل والتفاضل فقط هي التي تنطبق.${\displaystyle K_{i}}$و${\displaystyle K_{d}}$وتعتمد على فترة التذبذب${\displaystyle T_{u}}$.

طُوِّرت هذه الطريقة عام 1953، وهي تعتمد على نموذج من الدرجة الأولى مع تأخير زمني. وعلى غرار طريقة زيغلر-نيكولز ، طُوِّرت مجموعة من معلمات الضبط للحصول على استجابة حلقة مغلقة بنسبة اضمحلال تبلغ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$يمكن القول إن أكبر مشكلة في هذه المعايير هي أن تغييرًا طفيفًا في معايير العملية قد يتسبب في عدم استقرار النظام ذي الحلقة المغلقة.

نُشرت طريقة المرحل عام 1984 من قِبل كارل يوهان أستروم وتوري هاغلوند، ^{[ 25 ]} وهي تُشغّل العملية مؤقتًا باستخدام تحكم ثنائي النبض، وتقيس التذبذبات الناتجة. يتم تبديل الخرج (كما لو كان بواسطة مرحل ، ومن هنا جاء الاسم) بين قيمتين لمتغير التحكم. يجب اختيار القيم بحيث تتجاوز العملية نقطة الضبط، ولكن ليس بالضرورة أن تكون 0% و100%؛ باختيار قيم مناسبة، يمكن تجنب التذبذبات الخطيرة.

طالما أن قيمة المتغير المُعالَج أقل من القيمة المُحدَّدة، يتم ضبط خرج التحكم على القيمة الأعلى. وبمجرد أن يرتفع فوق القيمة المُحدَّدة، يتم ضبط خرج التحكم على القيمة الأدنى. في الوضع الأمثل، يكون شكل موجة الخرج مربعًا تقريبًا، حيث يقضي وقتًا متساويًا فوق القيمة المُحدَّدة وتحتها. يتم قياس دورة وسعة التذبذبات الناتجة، وتُستخدم لحساب الكسب والدورة النهائيين، واللذين يتم إدخالهما بعد ذلك في طريقة زيغلر-نيكولز.

على وجه التحديد، الفترة النهائية${\displaystyle T_{u}}$يُفترض أن تكون مساوية للفترة المرصودة، ويتم حساب الربح النهائي على النحو التالي:${\displaystyle K_{u}=4b/\pi a,}$حيث a هي سعة تذبذب متغير العملية، و b هي سعة تغيير خرج التحكم الذي تسبب في ذلك.

توجد العديد من المتغيرات في طريقة الترحيل. ^{[ 26 ]}

دالة التحويل لعملية من الدرجة الأولى مع زمن تأخير هي

${\displaystyle y(s)={\frac {k_{\text{p}}e^{-\theta s}}{\tau _{\text{p}}s+1}}u(s),}$

حيث k_{_p} هو كسب العملية، وτ_{_p} هو الثابت الزمني، وθ هو زمن التأخير، و u ( s ) هو إشارة دخل متغيرة. ينتج عن تحويل دالة النقل هذه إلى المجال الزمني ما يلي:

${\displaystyle y(t)=k_{\text{p}}\Delta u\left(1-e^{\frac {-t-\theta }{\tau _{\text{p}}}}\right),}$

باستخدام نفس المعايير المذكورة أعلاه.

من المهم عند استخدام هذه الطريقة تطبيق تغيير مفاجئ كبير بما يكفي في المدخلات بحيث يمكن قياس المخرجات؛ مع ذلك، قد يؤثر التغيير المفاجئ الكبير جدًا على استقرار العملية. إضافةً إلى ذلك، يضمن التغيير المفاجئ الكبير عدم تغير المخرجات نتيجةً لأي اضطراب (للحصول على أفضل النتائج، حاول تقليل الاضطرابات قدر الإمكان عند إجراء اختبار التغيير المفاجئ).

إحدى طرق تحديد معلمات العملية من الدرجة الأولى هي استخدام طريقة 63.2%. في هذه الطريقة، يساوي كسب العملية ( k_{_p ) التغير في المخرجات مقسومًا على التغير في المدخلات. زمن التأخير} θ هو الفترة الزمنية بين حدوث التغير المفاجئ وبداية تغير المخرجات. أما ثابت الزمن ( τ_{_p} ) فهو الزمن اللازم لوصول المخرجات إلى 63.2% من قيمة الحالة المستقرة الجديدة بعد التغير المفاجئ. من عيوب هذه الطريقة أنها قد تستغرق وقتًا طويلًا للوصول إلى قيمة الحالة المستقرة الجديدة إذا كانت ثوابت الزمن للعملية كبيرة. ^{[ 27 ]}

لم تعد معظم المنشآت الصناعية الحديثة تعتمد على طرق الحساب اليدوي المذكورة أعلاه لضبط حلقات التحكم. وبدلاً من ذلك، تُستخدم برامج ضبط PID وتحسين حلقات التحكم لضمان نتائج متسقة. تجمع هذه البرامج البيانات، وتُطوّر نماذج العمليات، وتقترح أفضل حلول الضبط. بل إن بعض البرامج قادرة على تطوير حلول الضبط من خلال جمع البيانات من التغييرات المرجعية.

تعتمد عملية ضبط حلقة PID الرياضية على إحداث نبضة في النظام، ثم تستخدم استجابة التردد للنظام المتحكم به لتصميم قيم حلقة PID. في الحلقات ذات أزمنة الاستجابة التي تصل إلى عدة دقائق، يُنصح باستخدام الضبط الرياضي للحلقة، لأن التجربة والخطأ قد تستغرق أيامًا للعثور على مجموعة مستقرة من قيم الحلقة. أما القيم المثلى، فيصعب إيجادها. توفر بعض وحدات التحكم الرقمية للحلقات ميزة الضبط الذاتي، حيث تُرسل تغييرات طفيفة جدًا في نقطة الضبط إلى العملية، مما يسمح لوحدة التحكم نفسها بحساب قيم الضبط المثلى.

هناك نهج آخر يحسب القيم الأولية باستخدام طريقة زيغلر-نيكولز، ويستخدم تقنية التحسين العددي لإيجاد معاملات PID أفضل. ^{[ 28 ]}

تتوفر صيغ أخرى لضبط الحلقة وفقًا لمعايير أداء مختلفة. وقد تم تضمين العديد من الصيغ الحاصلة على براءات اختراع في برامج وأجهزة ضبط PID. ^{[ 29 ]}

تُتيح التطورات في برامج ضبط حلقات التحكم التناسبي التكاملي التفاضلي (PID) المؤتمتة خوارزميات لضبط هذه الحلقات في سيناريوهات ديناميكية أو غير مستقرة. يقوم البرنامج بنمذجة ديناميكيات العملية من خلال تأثير اضطراب ما، ويحسب معلمات التحكم التناسبي التكاملي التفاضلي استجابةً لذلك. ^{[ 30 ]}

تعمل وحدات التحكم PID بأفضل شكل عندما تكون الحلقة المراد التحكم بها خطية ومتناظرة. وبالتالي، يتراجع أداؤها في الأنظمة غير الخطية وغير المتناظرة.

على سبيل المثال، يؤدي استخدام صمام غير خطي في تطبيقات التحكم بالتدفق إلى حساسية متغيرة للحلقة، مما يستدعي استخدام التخميد لمنع عدم الاستقرار. يتمثل أحد الحلول في تضمين نموذج لعدم خطية الصمام في خوارزمية التحكم للتعويض عن ذلك.

من الأمثلة على التطبيقات غير المتناظرة، التحكم في درجة الحرارة في أنظمة التدفئة والتهوية وتكييف الهواء التي تستخدم التسخين النشط فقط (عبر عنصر تسخين)، بينما لا يتوفر سوى التبريد السلبي. لا يمكن تصحيح تجاوز درجة الحرارة المرتفعة إلا ببطء؛ فالتبريد النشط غير متاح لخفض درجة الحرارة كدالة لمخرج التحكم. في هذه الحالة، يمكن ضبط وحدة التحكم PID لتكون ذات تخميد زائد، لمنع أو تقليل التجاوز، لكن هذا يقلل من الأداء بزيادة زمن استقرار درجة الحرارة المرتفعة إلى النقطة المحددة. يمكن حل التدهور المتأصل في جودة التحكم في هذا التطبيق بتطبيق التبريد النشط.

تتمثل إحدى مشكلات مصطلح المشتقة في تضخيمه لضوضاء القياس أو العملية ذات الترددات العالية ، مما قد يُحدث تغييرات كبيرة في المخرجات. غالبًا ما يكون من المفيد ترشيح القياسات باستخدام مرشح تمرير منخفض لإزالة مكونات الضوضاء ذات الترددات العالية. ونظرًا لأن ترشيح التمرير المنخفض والتحكم بالمشتقة قد يُلغي أحدهما الآخر، فإن مقدار الترشيح يكون محدودًا. لذلك، قد يكون استخدام أجهزة قياس منخفضة الضوضاء أمرًا بالغ الأهمية. يمكن استخدام مرشح وسيط غير خطي ، مما يُحسّن كفاءة الترشيح والأداء العملي. ^{[ 31 ]} في بعض الحالات، يمكن إيقاف تشغيل النطاق التفاضلي مع فقدان طفيف للتحكم. وهذا يُعادل استخدام وحدة تحكم PID كوحدة تحكم PI .

إحدى المشكلات الشائعة الناتجة عن تطبيقات PID المثالية هي تراكم الخطأ التكاملي . فبعد حدوث تغيير كبير في نقطة الضبط، قد يتراكم خطأ في الحد التكاملي يتجاوز القيمة القصوى لمتغير التحكم (تراكم الخطأ)؛ وبالتالي، يتجاوز النظام القيمة المطلوبة ويستمر في الزيادة حتى يتم تصحيح هذا الخطأ المتراكم. ويمكن معالجة هذه المشكلة من خلال:

• تعطيل التكامل حتى تدخل الطاقة الشمسية الكهروضوئية المنطقة القابلة للتحكم
• منع تراكم الحد التكاملي فوق أو تحت حدود محددة مسبقًا
• حساب الحد التكاملي عكسيًا لتقييد خرج المنظم ضمن حدود ممكنة. ^{[ 32 ]}

على سبيل المثال، تُستخدم حلقة تحكم PID للتحكم في درجة حرارة فرن كهربائي مقاوم بعد استقرار النظام. عند فتح الباب وإدخال جسم بارد إلى الفرن، تنخفض درجة الحرارة عن القيمة المحددة. تميل دالة التكامل في وحدة التحكم إلى تعويض الخطأ بإضافة خطأ آخر في الاتجاه الموجب. يمكن تجنب هذا التجاوز بتجميد دالة التكامل بعد فتح الباب، وذلك للمدة التي تحتاجها حلقة التحكم عادةً لإعادة تسخين الفرن.

وحدة التحكم PI (وحدة التحكم التناسبية التكاملية) هي حالة خاصة من وحدة التحكم PID التي لا يتم فيها استخدام مشتق (D) الخطأ.

يتم تحديد خرج وحدة التحكم بواسطة

${\displaystyle K_{P}\Delta +K_{I}\int \Delta \,dt}$

أين${\displaystyle \Delta }$هو الخطأ أو الانحراف في القيمة المقاسة الفعلية ( PV ) عن نقطة الضبط ( SP ).

${\displaystyle \Delta =SP-PV.}$

يمكن تصميم وحدة تحكم PI بسهولة في برامج مثل Simulink أو Xcos باستخدام مربع "مخطط التدفق" الذي يتضمن عوامل لابلاس :

${\displaystyle C={\frac {G(1+\tau s)}{\tau s}}}$

أين

${\displaystyle G=K_{P}}$= مكسب نسبي

${\displaystyle {\frac {G}{\tau }}=K_{I}}$= كسب متكامل

تحديد قيمة لـ${\displaystyle G}$غالباً ما يكون هناك توازن بين تقليل التجاوز وزيادة وقت الاستقرار.

قد يؤدي غياب تأثير المشتقات إلى جعل النظام أكثر استقرارًا في حالة البيانات المشوشة. وذلك لأن تأثير المشتقات يكون أكثر حساسية للترددات العالية في المدخلات.

بدون إجراء مشتق، يكون النظام الذي يتم التحكم فيه بواسطة PI أقل استجابة للتغيرات الحقيقية (غير الضوضاء) والسريعة نسبيًا في الحالة، وبالتالي سيكون النظام أبطأ في الوصول إلى نقطة الضبط وأبطأ في الاستجابة للاضطرابات مقارنة بنظام PID مضبوط جيدًا.

تتحكم العديد من حلقات PID في جهاز ميكانيكي (مثل الصمام). قد تُشكل الصيانة الميكانيكية تكلفة باهظة، ويؤدي التآكل إلى تدهور التحكم على شكل احتكاك أو رد فعل عكسي في الاستجابة الميكانيكية لإشارة الإدخال. يعتمد معدل التآكل الميكانيكي بشكل أساسي على عدد مرات تنشيط الجهاز لإجراء تغيير. عندما يكون التآكل مصدر قلق كبير، قد تحتوي حلقة PID على نطاق ميت للإخراج لتقليل تردد تنشيط الإخراج (الصمام). يتم ذلك عن طريق تعديل وحدة التحكم للحفاظ على ثبات إخراجها إذا كان التغيير طفيفًا (ضمن نطاق النطاق الميت المحدد). يجب أن يخرج الإخراج المحسوب من النطاق الميت قبل أن يتغير الإخراج الفعلي.

قد تُؤدي الحدود التناسبية والتفاضلية إلى حركة مفرطة في الخرج عند تعرض النظام لزيادة مفاجئة وفورية في الخطأ، مثل تغيير كبير في نقطة الضبط. في حالة الحد التفاضلي، يعود ذلك إلى اشتقاق الخطأ، الذي يكون كبيرًا جدًا في حالة التغيير المفاجئ والفوري. ونتيجة لذلك، تتضمن بعض خوارزميات PID بعض التعديلات التالية:

زيادة نقطة الضبط

في هذا التعديل، يتم تحريك نقطة الضبط تدريجياً من قيمتها القديمة إلى قيمة محددة حديثاً باستخدام دالة تفاضلية خطية أو من الدرجة الأولى. وهذا يتجنب الانقطاع الموجود في التغيير المفاجئ البسيط.

مشتق متغير العملية

في هذه الحالة، يقيس متحكم PID مشتق القيمة المقاسة (PV)، بدلاً من مشتق الخطأ. هذه الكمية متصلة دائمًا (أي لا تتغير فجأةً نتيجةً لتغيير نقطة الضبط). هذا التعديل هو حالة بسيطة من ترجيح نقطة الضبط.

ترجيح نقطة الضبط

تُضيف عملية ترجيح نقطة الضبط عوامل قابلة للتعديل (عادةً ما بين 0 و1) إلى نقطة الضبط في الخطأ الموجود في العنصرين التناسبي والتفاضلي لوحدة التحكم. يجب أن يكون الخطأ في الحد التكاملي هو خطأ التحكم الحقيقي لتجنب أخطاء التحكم في الحالة المستقرة. لا تؤثر هاتان المعلمتان الإضافيتان على الاستجابة لاضطرابات الحمل وضوضاء القياس، ويمكن ضبطهما لتحسين استجابة نقطة الضبط لوحدة التحكم.

يمكن تحسين أداء نظام التحكم من خلال دمج التحكم بالتغذية الراجعة (أو التحكم ذي الحلقة المغلقة) لوحدة تحكم PID مع التحكم بالتغذية الأمامية (أو التحكم ذي الحلقة المفتوحة). يمكن تغذية معلومات النظام (مثل التسارع المطلوب وعزم القصور الذاتي) إلى الأمام ودمجها مع خرج وحدة تحكم PID لتحسين أداء النظام بشكل عام. غالبًا ما توفر قيمة التغذية الأمامية وحدها الجزء الأكبر من خرج وحدة التحكم. يتعين على وحدة تحكم PID بشكل أساسي تعويض أي فرق أو خطأ متبقٍ بين نقطة الضبط واستجابة النظام للتحكم ذي الحلقة المفتوحة. نظرًا لأن خرج التغذية الأمامية لا يتأثر بتغذية العملية الراجعة، فإنه لا يمكن أن يتسبب أبدًا في تذبذب نظام التحكم، مما يحسن استجابة النظام دون التأثير على استقراره. يمكن أن تستند التغذية الأمامية إلى نقطة الضبط وإلى اضطرابات إضافية مقاسة. يُعد ترجيح نقطة الضبط شكلاً بسيطًا من أشكال التغذية الأمامية.

على سبيل المثال، في معظم أنظمة التحكم بالحركة، يتطلب تسريع الحمل الميكانيكي الخاضع للتحكم قوة أكبر من المشغل. إذا تم استخدام وحدة تحكم PID ذات حلقة سرعة للتحكم في سرعة الحمل وتحديد القوة التي يطبقها المشغل، فمن المفيد أخذ التسارع اللحظي المطلوب، وتعديل قيمته بشكل مناسب، وإضافته إلى خرج وحدة تحكم PID ذات حلقة السرعة. هذا يعني أنه كلما تسارع الحمل أو تباطأ، يتم توجيه قوة متناسبة من المشغل بغض النظر عن قيمة التغذية الراجعة. تستخدم حلقة PID في هذه الحالة معلومات التغذية الراجعة لتغيير الخرج المجمع لتقليل الفرق المتبقي بين نقطة ضبط العملية وقيمة التغذية الراجعة. من خلال العمل معًا، يمكن لوحدة التحكم ذات التغذية الأمامية ذات الحلقة المفتوحة ووحدة تحكم PID ذات الحلقة المغلقة توفير نظام تحكم أكثر استجابة.

غالبًا ما تُنفَّذ وحدات التحكم PID بميزة تهيئة "سلسة" تُعيد حساب مُجمِّع التكامل للحفاظ على خرج ثابت للعملية عند تغيير المعلمات. ^{[ 33 ]} يتمثل أحد التطبيقات الجزئية في تخزين حاصل ضرب كسب التكامل في الخطأ بدلًا من تخزين الخطأ ثم ضربه في كسب التكامل، مما يمنع انقطاع الخرج عند تغيير كسب التكامل، ولكنه لا يمنع حدوث ذلك عند تغيير كسبَي P أو D.

بالإضافة إلى التغذية الأمامية، غالبًا ما تُحسَّن وحدات التحكم PID من خلال طرق مثل جدولة كسب PID (تغيير المعلمات في ظروف التشغيل المختلفة)، والمنطق الضبابي ، أو منطق الأفعال الحسابية. ^{[ 34 ] [ 35 ]} قد تنشأ مشكلات تطبيقية عملية أخرى من الأجهزة المتصلة بوحدة التحكم. يتطلب تحقيق أداء تحكم مناسب معدل أخذ عينات عالٍ، ودقة قياس عالية، وصحة قياس عالية. ومن الطرق الحديثة الأخرى لتحسين وحدات التحكم PID زيادة درجة الحرية باستخدام الرتبة الكسرية . تُضفي رتبة المُكامل والمُفاضل مرونة أكبر على وحدة التحكم. ^{[ 36 ]}

يُعدّ الشكل القياسي لوحدة التحكم PID هو الشكل الأكثر شيوعًا في الصناعة، والأكثر صلةً بخوارزميات الضبط . في هذا الشكل${\displaystyle K_{p}}$يتم تطبيق الربح على${\displaystyle I_{\mathrm {out} }}$، و${\displaystyle D_{\mathrm {out} }}$الشروط، مما ينتج عنه:

${\displaystyle u(t)=K_{p}\left(e(t)+{\frac {1}{T_{i}}}\int _{0}^{t}e(\tau )\,d\tau +T_{d}{\frac {d}{dt}}e(t)\right)}$

أين

${\displaystyle T_{i}}$هو الزمن المتكامل

${\displaystyle T_{d}}$هو زمن المشتقة

في هذا الشكل القياسي، تحمل المعاملات معنىً فيزيائيًا واضحًا. وعلى وجه الخصوص، ينتج عن الجمع الداخلي قيمة خطأ واحدة جديدة، يتم تعويضها عن الأخطاء المستقبلية والسابقة. يمثل حد الخطأ النسبي الخطأ الحالي. أما حد الاشتقاق فيحاول التنبؤ بقيمة الخطأ عند${\displaystyle T_{d}}$ثوانٍ (أو عينات) في المستقبل، بافتراض أن التحكم في الحلقة يظل دون تغيير. يقوم المكون التكاملي بتعديل قيمة الخطأ للتعويض عن مجموع جميع الأخطاء السابقة، بهدف القضاء عليها تمامًا في${\displaystyle T_{i}}$ثوانٍ (أو عينات). ثم يتم قياس قيمة الخطأ الفردي المعوضة الناتجة بواسطة الكسب الفردي${\displaystyle K_{p}}$لحساب متغير التحكم.

في الشكل المتوازي، كما هو موضح في قسم نظرية المتحكم

${\displaystyle u(t)=K_{p}e(t)+K_{i}\int _{0}^{t}e(\tau )\,d\tau +K_{d}{\frac {d}{dt}}e(t)}$

ترتبط معلمات الكسب بمعلمات الشكل القياسي من خلال${\displaystyle K_{i}=K_{p}/T_{i}}$و${\displaystyle K_{d}=K_{p}T_{d}}$يُعدّ هذا الشكل الموازي، حيث تُعامل المعاملات كقيم كسب بسيطة، الشكل الأكثر عمومية ومرونة. مع ذلك، فهو الشكل الذي تكون فيه علاقة المعاملات بالسلوكيات الفيزيائية أضعف ما يكون، ويُستخدم عادةً في المعالجة النظرية لوحدة التحكم PID. أما الشكل القياسي، فرغم كونه أكثر تعقيدًا رياضيًا، إلا أنه أكثر شيوعًا في الصناعة.

في كثير من الحالات، يكون خرج المتغير المُتحكم به بواسطة وحدة التحكم PID عبارة عن كسر لا بُعدي يتراوح بين 0 و100% من قيمة قصوى ممكنة، ويتم تحويله إلى وحدات حقيقية (مثل معدل الضخ أو قدرة السخان بالواط) خارج نطاق وحدة التحكم PID. أما متغير العملية، فيكون بوحدات بُعدية مثل درجة الحرارة. ومن الشائع في هذه الحالة التعبير عن الكسب.${\displaystyle K_{p}}$ليس على أنه "ناتج لكل درجة"، بل على أنه الشكل المتبادل لنطاق تناسبي${\displaystyle 100/K_{p}}$وهي "الدرجات لكل خرج كامل": النطاق الذي يتغير فيه الخرج من 0 إلى 1 (من 0% إلى 100%). خارج هذا النطاق، يكون الخرج مشبعًا، أو مطفأً تمامًا، أو موصولًا تمامًا. كلما كان هذا النطاق أضيق، زاد الكسب النسبي.

في معظم أنظمة التحكم التجارية، يعتمد الإجراء التفاضلي على متغير العملية وليس على الخطأ. أي أن تغيير نقطة الضبط لا يؤثر على الإجراء التفاضلي. ويعود ذلك إلى أن النسخة الرقمية من الخوارزمية تُنتج ارتفاعًا مفاجئًا غير مرغوب فيه عند تغيير نقطة الضبط. إذا كانت نقطة الضبط ثابتة، فإن التغيرات في متغير العملية ستكون مماثلة للتغيرات في الخطأ. لذا، لا يُحدث هذا التعديل أي فرق في طريقة استجابة وحدة التحكم لاضطرابات العملية.

تُتيح معظم أنظمة التحكم التجارية خيارَ جعل التحكم التناسبي مُعتمدًا كليًا على متغير العملية. وهذا يعني أن التحكم التكاملي فقط هو الذي يستجيب للتغيرات في نقطة الضبط. ولا يؤثر تعديل الخوارزمية على طريقة استجابة وحدة التحكم لاضطرابات العملية. ويُزيل اعتماد التحكم التناسبي على متغير العملية التغير الفوري، وربما الكبير جدًا، في الناتج الناتج عن تغيير مفاجئ في نقطة الضبط. وبحسب العملية وضبطها، قد يكون هذا مفيدًا للاستجابة لتغير نقطة الضبط.

${\displaystyle \mathrm {MV(t)} =K_{p}\left(\,{-PV(t)}+{\frac {1}{T_{i}}}\int _{0}^{t}{e(\tau )}\,{d\tau }-T_{d}{\frac {d}{dt}}PV(t)\right)}$

يصف كينج ^{[ 39 ]} طريقة فعالة تعتمد على المخططات.

أحيانًا يكون من المفيد كتابة منظم PID في شكل تحويل لابلاس :

${\displaystyle G(s)=K_{p}+{\frac {K_{i}}{s}}+K_{d}{s}={\frac {K_{d}{s^{2}}+K_{p}{s}+K_{i}}{s}}}$

إن كتابة وحدة التحكم PID في شكل لابلاس ومعرفة دالة التحويل للنظام المتحكم فيه يجعل من السهل تحديد دالة التحويل ذات الحلقة المغلقة للنظام.

هناك تمثيل آخر لوحدة التحكم PID وهو الشكل التسلسلي أو التفاعلي

${\displaystyle G(s)=K_{c}\left({\frac {1}{\tau _{i}{s}}}+1\right)(\tau _{d}{s}+1)}$

حيث ترتبط المعلمات بمعلمات الشكل القياسي من خلال

${\displaystyle K_{p}=K_{c}\cdot \alpha }$،${\displaystyle T_{i}=\tau _{i}\cdot \alpha }$، و

${\displaystyle T_{d}={\frac {\tau _{d}}{\alpha }}}$

مع

${\displaystyle \alpha =1+{\frac {\tau _{d}}{\tau _{i}}}}$.

يتكون هذا الشكل أساسًا من مُتحكمين PD و PI متصلين على التوالي. ولأن التكامل مطلوب لحساب انحياز المُتحكم، فإن هذا الشكل يُتيح إمكانية تتبع قيمة انحياز خارجية، وهو أمر ضروري للتنفيذ السليم لأنظمة التحكم المتقدمة متعددة المُتحكمات.

يتطلب تحليل تصميم تطبيق رقمي لوحدة تحكم PID في وحدة تحكم دقيقة (MCU) أو جهاز FPGA تحويل الشكل القياسي لوحدة تحكم PID إلى شكل منفصل . ^{[ 40 ]} يتم إجراء تقريبات للمشتقات من الدرجة الأولى باستخدام الفروق المحدودة الخلفية .${\displaystyle u(t)}$و${\displaystyle e(t)}$يتم تقسيمها إلى أجزاء صغيرة بفترة أخذ عينات${\displaystyle \Delta t}$، k هو مؤشر العينة.

بتفاضل طرفي معادلة PID باستخدام ترميز نيوتن نحصل على:

${\displaystyle {\dot {u}}(t)=K_{p}{\dot {e}}(t)+K_{i}e(t)+K_{d}{\ddot {e}}(t)}$

يتم تقريب الحدود المشتقة على النحو التالي:

${\displaystyle {\dot {f}}(t_{k})={\dfrac {df(t_{k})}{dt}}={\dfrac {f(t_{k})-f(t_{k-1})}{\Delta t}}}$

لذا،

${\displaystyle {\frac {u(t_{k})-u(t_{k-1})}{\Delta t}}=K_{p}{\frac {e(t_{k})-e(t_{k-1})}{\Delta t}}+K_{i}e(t_{k})+K_{d}{\frac {{\dot {e}}(t_{k})-{\dot {e}}(t_{k-1})}{\Delta t}}}$

بتطبيق الفرق العكسي مرة أخرى نحصل على،

${\displaystyle {\frac {u(t_{k})-u(t_{k-1})}{\Delta t}}=K_{p}{\frac {e(t_{k})-e(t_{k-1})}{\Delta t}}+K_{i}e(t_{k})+K_{d}{\frac {{\frac {e(t_{k})-e(t_{k-1})}{\Delta t}}-{\frac {e(t_{k-1})-e(t_{k-2})}{\Delta t}}}{\Delta t}}}$

من خلال تبسيط وإعادة تجميع حدود المعادلة أعلاه، يتم الحصول في النهاية على خوارزمية لتنفيذ وحدة التحكم PID المتقطعة في وحدة التحكم الدقيقة (MCU):

${\displaystyle u(t_{k})=u(t_{k-1})+\left(K_{p}+K_{i}\Delta t+{\dfrac {K_{d}}{\Delta t}}\right)e(t_{k})+\left(-K_{p}-{\dfrac {2K_{d}}{\Delta t}}\right)e(t_{k-1})+{\dfrac {K_{d}}{\Delta t}}e(t_{k-2})}$

أو:

${\displaystyle u(t_{k})=u(t_{k-1})+K_{p}\left[\left(1+{\dfrac {\Delta t}{T_{i}}}+{\dfrac {T_{d}}{\Delta t}}\right)e(t_{k})+\left(-1-{\dfrac {2T_{d}}{\Delta t}}\right)e(t_{k-1})+{\dfrac {T_{d}}{\Delta t}}e(t_{k-2})\right]}$

شارع${\displaystyle T_{i}=K_{p}/K_{i},T_{d}=K_{d}/K_{p}}$

ملاحظة: هذه الطريقة تحل المشكلة بالفعل${\displaystyle u(t)=K_{\text{p}}e(t)+K_{\text{i}}\int _{0}^{t}e(\tau )\,\mathrm {d} \tau +K_{\text{d}}{\frac {\mathrm {d} e(t)}{\mathrm {d} t}}+u_{0}}$أين${\displaystyle u_{0}}$هو ثابت مستقل عن الزمن t. يُفيد هذا الثابت عند الرغبة في التحكم في بدء وإيقاف حلقة التنظيم. على سبيل المثال، ضبط قيم Kp وKi وKd على الصفر يُبقي u(t) ثابتًا. وبالمثل، عند الرغبة في بدء تنظيم نظام يكون فيه الخطأ قريبًا من الصفر،${\displaystyle u(t)}$إذا لم يكن الناتج فارغًا، فإنه يمنع إرسال المخرجات إلى 0.

• التحكم التناسبي التكاملي التفاضلي (PID) في MATLAB/Simulink و Python باستخدام TCLab
• ما هي كل هذه الأمور المتعلقة بـ PID؟ مقال في مجلة التصميم الإلكتروني
• يوضح كيفية بناء وحدة تحكم PID باستخدام المكونات الإلكترونية الأساسية (صفحة 22).
• PID بدون شهادة دكتوراه
• التحكم التناسبي التكاملي التفاضلي باستخدام MATLAB و Simulink
• وحدة تحكم PID مع مكبر عمليات واحد
• أساليب مثبتة وأفضل الممارسات للتحكم التناسبي التكاملي التفاضلي (PID)
• مبادئ التحكم التناسبي التكاملي التفاضلي (PID) وضبطه
• دليل ضبط PID: نهج أفضل الممارسات لفهم وضبط وحدات التحكم PID
• مايكل بار (30 يوليو 2002)، مقدمة في التحكم ذي الحلقة المغلقة ، برمجة الأنظمة المدمجة، مؤرشف من الأصل في 9 فبراير 2010
• جينغهوا تشونغ، قسم الهندسة الميكانيكية، جامعة بيردو (ربيع 2006). "ضبط وحدة التحكم PID: دليل موجز" (ملف PDF) . مؤرشف من النسخة الأصلية (PDF) بتاريخ 21 أبريل 2015. تاريخ الاطلاع: 4 ديسمبر 2013 .{{cite web}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
• مقدمة إلى وحدات التحكم P و PI و PD و PID باستخدام MATLAB
• تحسين مهارات المبتدئين في استخدام PID